11.2.3_三角形全等的判定(ASA)AAS-
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
三角形全等的判定(ASA、AAS)
∴△ABC≌△DEF（ASA） 边”或“AAS”）
几何语言 A
D
B
CE
F
在△ABC与△DEF中
∠A= ∠D ∠B= ∠E BC= EF
∴△ABC≌△DEF（AAS）
跟踪练习： 已知如图， ∠1＝∠2， ∠C＝∠D 求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
∠1＝∠2
∠D＝∠C
D
∵ B∠C2=＝C∠B1（公共边 ）
∠BC2=＝∠1CB
B1
D
4
O 2C
∴△ABC≌△DCB（ ASAA）S
2、请在下列空格中填上适当的 条件，使△ABC≌△DEF。
在△ABC和△DEF中
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
∠AAB==∠DDE
∵ ∠BABACB=C=∠BEDD=FEE∠F
∠ABBACC=C==∠BDED=FE∠F
分别为B、D，∠1=∠2，求证：AB=AD
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC
∴∠B＝∠D＝90°
在△ABC和△ADC中
A
∠1＝∠2
12
∠B＝∠D
AC＝AC
∴△ABC≌△ADC（AAS） B
D
∴AB＝AD
C
练习2. 已知如图，点B,F,C,E在一条直线上，
BF=CE,AB∥DE,AC∥DF.求证：
AB=DE,AC=DF
AB＝AB
∴△ABD≌△ABC（AAS） 1
∴AD＝AC
A 2B
C
变式1：已知如图，
∠1＝∠2，∠ABD＝∠ABC
求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
D
∠1＝∠2 AB＝AB ∠ABD＝∠ABC
三角形全等的判定导学案(ASA、AAS)苏版数学
三角形全等的判定导学案（ASA、AAS）苏版数学课题：《11.2三角形全等的判定》(ASA、AAS)导学案使用说明：学生利用自习先预习课本第11页-12页10分钟，然后35分钟独立做完学案。
正课由小组讨论交流10分钟，25分钟展现点评，10分钟整理落实，关于有疑问的题目教师点拨、拓展。
【学习目标】1、把握三角形全等的角边角角角边条件。
能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题2.经历探究三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程。
3、积极投入，激情展现，体验成功的欢乐。
教学重点：已知两角一边的三角形全等探究。
教学难点：灵活运用三角形全等条件证明。
【学习过程】一、自主学习1、复习摸索(1)。
到目前为止，能够作为判别两三角形全等的方法有几种?各是什么?(2)。
在三角形中，已知三个元素的四种情形中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否能够判定两三角形全等呢?三角形中已知两角一边又分成哪两种呢?2、探究一：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等?(1)动手试一试。
已知：△ABC求作：△，使=B, =C，=BC，(不写作法，保留作图痕迹)(2) 把△剪下来放到△ABC上，观看△与△ABC是否能够完全重合?(3)归纳;由上面的画图和实验能够得出全等三角形判定(三)：“教书先生”可能是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当如何说也确实是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初显现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。
事实上《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。
可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。
看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。
11、2三角形全等的判定(ASA、AAS)上课用
1、SSS
B C
甲
三边
E
F
2 、SAS
两边一夹角
3、 ASA 一边两角 4、 AAS
练习：
1、如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离， 可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再 画出BF的垂线DE，使E与A、C在同一条直线上，这 时测得DE的长就是AB的长AB⊥BC，AD⊥DC，B ∠1=∠2，求证：AB=AD
C
E C C′ D
A
B
A′
B′
现在同学们把我们所画的两个三角形 重合在一起，你发现了什么？
E C D
C′
A
B
A′
B′
发现的结果是：两个三角形完全重合。 从而我们又得到了一个判定两个三角形全 的方法：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角 形全等（简写为“角边角”或“ASA”)
探究6. 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF， △ABC与△DEF全等吗？能利用角边 A 角证明你的结论吗？
11、2三角形全等的判定（ASA、AAS）
• 目的要求： • 1、使学生理解判定两三角形全等的角边角 公理，并能运用这个方法证明线段或角的相等。 • 2、通过画图发现规律，并用之解决问题。 • 重点难点： • 1、重点 ： 熟悉判定两三角形全等的角边角 公理。 • 2、难点：通过两个三角形全等，间接证明 线段或角相等及两线平行、垂直等。
C
注 意
这条边一定要是一个角的对边
例3：已知，如图，D在AB上， E在AC上，AB=AC，∠B=∠C 求证：①AD=AE ②BD=CE A ③OB=OC
D
B
C
探究7： 三角对应相等的两个三角形 全等吗？解答上述问题后把三角 形全等的判定方法做一个小结。
三角形全等的判定ASA
边角边相等（SAS）
如果两个三角形的两边长度相等，且 这两边所夹的角也相等，则这两个三 角形全等。
三角形全等的应用
解决几何问题
通过三角形全等关系，可以证明 线段相等、角相等、垂直关系等 ，从而解决各种几何问题。
制作精确图形
在几何作图或设计领域，三角形 全等关系可以用来制作精确的图 形或模型。
02
与平行线判定定理的联系
在三角形全等的判定中，常常需要利用平行线的性质来证明 两个三角形全等。例如，在ASA全等判定定理中，需要证明 两角及夹角的边相等，而夹角的边是通过平行线性质推导出 来的。
与勾股定理的联系
勾股定理是三角形全等判定中的重要工具。在证明两个直 等于斜边的平方。
02
全等关系具有传递性，即如果三 角形ABC与三角形DEF全等，那 么三角形DEF也与三角形ABC全 等。
三角形全等的条件
边边边相等（SSS）
角边角相等（ASA）
如果两个三角形的三边长度分别相等 ，则这两个三角形全等。
如果两个三角形有两个角分别相等， 且这两个角所夹的边也相等，则这两 个三角形全等。
ssa全等判定方法
总结词
两边及其夹角对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据SSA全等判定定理，如果两个三 角形有两边长度相等且这两边所夹的 角相等，则这两个三角形全等。这个 定理在解决几何问题时非常有用。
aas全等判定方法
总结词
两角及其夹边对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据ASA全等判定定理，如果两个三 角形有两个角相等且这两个角所夹的 边也相等，则这两个三角形全等。这 个定理是三角形全等判定的重要依据 之一。
asa全等定理的应用
总结词：广泛实用
11.2三角形全等的判定(AAS-ASA)练习题及答案
11.2三角形全等的判定（AAS-ASA）◆随堂检测1．如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？2．已知如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，试说明BD=CE。
3．如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC。
试说明AD=CB。
4.如图，已知AC 、BD 相交于点0，∠A=∠B ，∠1=∠2，AD=BC. 试说明△AOD ≌△BOC.◆典例分析例:如图：已知AE 交BC 于点D ，∠1= AB=AD. 求证：DC=BE 。
证明：∵∠ADB=∠1+∠C ， ∠ADB=∠3+∠E ， 又∵∠1=∠3， ∴∠C=∠E 。
在△ABE 和△ADC 中， ∵∠E =∠C ， ∠2 =∠1， AB =AD ，∴ △ABE ≌△ADC （AAS ）。
∴DC=BE 。
解析:要证DC=BE,先观察DC 与BE 分别在可能全等的两个三角形中.根据所给条件选择方法◆课下作业●拓展提高5.玻璃三角板摔成三块如图，现在到玻璃店在配一块同样大小的三角板，最省事的方法（ ）A 、带①去B 、带②去C 、带③去D 、带①②③去6. 如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ．7.如图，已知AC 、BD 交于E ，∠A=∠B ，∠1=∠2．求证：AE=BE ．8.如图，在△ABC 中，MN ⊥AC ，垂足为N ，，且MN 平分∠AMC ，△ABM 的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC 的周长。
9．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，说明AB=ACABCDE10.已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。
⑴求证：∠ABE=∠C ；⑵若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。
11.2三角形w全等的判定(ASA AAS)
1罗家一中课堂指南年级:七年级 课目:数学 主备：张志杰 审核： 课型：新授/预习 班级： 课题：11.2三角形全等的判定（ASA,AAS) 教学目标1.掌握三角形全等的“角边角”，“角角边”条件。
2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作，归纳获得数学结论的过程。
3.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
教学重点：掌握三角形全等的“角边角”，“角角边”条件。
教学难点：正确运用“角边角”，“角角边”条件判定三角形全等，解决实际问题。
学习过程一、解读文本，你最棒（一）概念认知，阅读教材P11-P12，重点内容用波浪线划出来，不能理解的用“？”号作好标记。
（二）独立尝试1.如图，已知AO=DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件______________=_______________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件_______________=_______________，就可根据“AAS ”，说明△AOB ≌△DOC 。
（若把“AO=DO ”去掉，答案又会有怎样的变化呢？）2. 如图，OP 是∠MON 的角平分线，C 是OP 上一点，CA ⊥OM ，CB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，△AOC ≌△BOC 吗？为什么？（三）共同探讨：把自己个人预习过程中存在的疑问提交组长，再由组长组织本组同学开展交流，找出自己不足的地方，再次研读，解难释惑。
二、自学、合作探究，解决问题（1）分别找出各题中的全等三角形，并说明理由。
ABCDo图1MNPBAOCB AFEDCEA CDB图22.如图2所示,点C、F在BE上,∠1=∠2,BC=EF,请补充条件:___________，根据 ,可判定△ABC≌△DEF.21(9)F EDCBA3.已知：如图：AB=CD , AB∥CD，BE∥CF 求证：BE=CF4.如图，ΔABC中，D是AC上一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G．⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论．⑵若连结DE，则DE与AB有什么关系？并说明理由．三、学有余力的课外自主探究练习已知：如图，AB=DC，∠A=∠D．试说明：∠1=∠2．总结感悟我独立完成的题目我不会做的题目通过合作学习，我会做的题目通过合作学习，我还不会做的题目老师我想对您说：AB CDO1 2BCDAFG E2。
11.2 三角形全等的判定(ASA,AAS)(含答案)
11.2 三角形全等的判定(ASA,AAS)◆课堂测控测试点 ASA，AAS1．三角形对应相等的两个三角形______全等，•即两个三角形全等的条件中至少有_______相等．2．已知在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，•则在下列条件中不能确定△ABC与△A′B′C′全等的是（）A．AB=A′B′ B．BC=B′C′ C．AC=A′C′ D．∠C=∠C′3．如图，已知AB=A′B′，∠A=∠A′，若△ABC≌△A′B′C′，还需要（）A．∠B=∠B′ B．∠C=∠C′ C．AC=A′C′ D．以上都对4．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲，乙，丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，•现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去◆课后测控6．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，∠1=•∠2，•∠B=•∠ADE，•根据______可判定△ABC≌△ADE．7．如图，AD=AB，∠C=∠E，∠ADC=125°，则∠ABE=_____．8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，•且DC=15，则点D到AB的距离DE长为_______．EDC BA(第6题) (第7题) (第8题)9．如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE=AF ，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF ；③△ACN ≌△ABM ，其中正确的结论是_______．（注：将你认为正确的结论都填上）(第9题) (第11题)10．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠A=44°，∠B=67°，∠C ′=69°，∠B ′=44°，且AC=B ′C ′．那么这两个三角形（提醒：画出草图）（ ）A ．一定不全等B ．一定全等C ．不一定全等D ．以上都不对11．如图，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，•还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ，不能添加的一组条件是（ ）A ．∠B=∠E ，BC=EFB ．BC=EF ，AC=DFC ．∠A=∠D ，∠B=∠E D ．∠A=∠D ，BC=EF12．如图，AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，求证：AD=AE ．13．如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，AB=CD，求证：E为BD的中点．14．已知：如图，B，C，E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌△CDE．◆拓展测控15．（教材变式探究题）如图（1），在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，直线L经过点C，AD ⊥L于D，BE⊥L于E．（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．（2）当直线L绕点C旋转到图（2）的位置时，DE，AD，BE具有怎样的等量关系？说出你的猜想，并证明你的猜想．答案：1．不一定一对对应边2．D （点拨：没有一对对应边相等）3．D （点拨：根据ASA可选A，根据AAS可选B，根据SAS可选C）4．B （点拨：根据SAS可知乙，根据AAS可知丙）5．C （点拨：依据ASA）[总结反思]证明三角形全等的方法增加了ASA和AAS．6．ASA （点拨：由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE）7．125°（点拨：易知△ADC≌△ABE）8．15 （点拨：易证△ACD≌△AED，DE=CD）9．①②③（点拨：根据已知条件易证△ABE≌△ACF，△ABM≌△ACN）10．B （点拨：画出草图后，确定对应边和角）11．D （点拨：三角形全等条件中边边角不成立）12．证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC=∠AEB=90°．在△ADC和△AEB中，,,,A AAD C AEB AC AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△AEB，∴AD=AE．[解题规律]有两角及其一角对边相等的两个三角形全等．13．证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D．在△ABE和△CDE中，,,,A C ABC DB E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE≌△CDE（ASA）．∴BE=DE，即E为BD的中点．[解题规律]有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．14．证明：∵AC∥DE，∴∠ACD=∠D，∠ACB=∠E．又∵∠ACD=∠B，∴B=∠D．在△ABC和△CDE中，,,,B DAC B E AC C E∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△CDE（AAS）．[解题技巧]充分利用AC∥DE得到∠ACB=∠E和∠ACD=∠D，即一线二用．15．（1）证明：∵AD⊥L，BE⊥L，∴∠ADC=∠CEB=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠ECB=90°．又∠1+∠ACD=90°，∴∠1=∠ECB．在△ADC和△CEB中，, 1,,AD C C EBEC BAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，DC=BE．∴DE=CE+DC=AD+BE．（2）结论：DE=AD-BE．证明：同（1）可证△ADC≌△CEB．∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE．[解题方法]解决问题（2）的关键是弄清图（2）中哪些量发生了变化，•哪些没有发生变化，本题在证明过程中要发现∠ACD=90°的用法，即由∠ACB=90°可得∠ACD+∠BCE=90°．。
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O D
）
A
）
小测：如图，AB⊥BC，AD⊥DC， ∠1=∠2。 求证AB＝AD。 A
12
B
D C
知识应用
例2.如图，要测量河两岸相对的两点A，B 的距离，可以在AB的垂线BF上取两点 C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线 DE，使A， C，E在一条直线上，这时 测得DE的长就是AB的长。为什么？
A
D
C
E
B
探究反映的规律是： 角边角判定定理
有两角和它们夹边对应相等的两个三 角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）。
符号语言表示
在△ABC和△DEF中
∠A=∠D （已知 ） AB=DE（已知 ） A
B
C D
∠B=∠E（已知 ）
∴ △ABC≌△DEF（ASA）E F
例题讲解：
例1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于
∴△ABD≌△ABC （AAS） ∴AC=AD （全等三角形对应边相等）
C
1.如图，应填什么就有 △AOC≌ △BOD
在△AOC和△BOD中 ∠A=∠B（已知） （已知） ∠C=∠D （已知）
B C
）
∴△ADC≌△BOD（ ∠A=∠B（已知）
（ CA=DB （已知） ∴△ADC≌△BOD（
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.如图， 在△AOC和△BOD中
A B
C D
E
F
1.你能总结出我们学过哪些判定三角形 全等的方法吗？注意角角边、角边角中 两角与边的区别 2.要根据题意选择适当的方法。 3.证明线段或角相等，就是证明它们所 在的两个三角形全等。
布置作业
练习册P39、40
练习册配套练习 5、 6、 8.
符号语言：
在△ABC和△DEF中
A
∠A=∠D （已知）
∠B=∠E（已知 ） BC=EF（已知 ） ∴ △ABC≌△DEF（AAS）
B
D
C
E
F
例2.已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D 求证：AC=AD 证明： 在△ABD和△ABC中
D
∠1=∠2
（已知）
1 2
∠D=∠C（已知） AB=AB（公共边）
A B
(2) (1)
利用“角边角”可知,带第(2)块去， 可以配到一个与原来全等的三角 形玻璃。
探究
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角 条件证明你的结论吗？
A D C B
E
F
有两角和它们中的一边对应相等的两个三 角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。
复习引入
1.什么样的图形是全等三角形？ 2.判定两个三角形全等要具备什么 条件? 边边边：三边对应相等的两个 三角形全等。
边角边：有两边和它们夹角对应 相等的两个三角形全等
创设情景,实例引入
一张教学用的三角形硬纸板不小心
怎么办？可以帮帮 我吗？
被撕坏了，如图，你能制作一张与原来
同样大小的新教具？能恢复原来三角形 的原貌吗？
点O，AB=AC，∠B=∠C。 A 求证：BD=CE
证明 ：在△ADC和△AEB中 ED
A
∠A=∠A（公共角）
AC=AB（已知） ∠C=∠B（已知） ∴△ADC≌△AEB（ASA） ∴AD=AE（全等三角形的对应边相等） 又∵AB=AC（已知） B
B
A D O C E
C
B ∴AB-AD=AC-AE即BD=CE（等式性质）