八年级数学下册1.4.1角平分线的性质一教案
八年级数学下册 1.4 角平分线的性质教案1 (新版)湘教版
1.4角平分线的性质教学目标1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．2．会用尺规作一个已知角的平分线．教学重点利用尺规作已知角的平分线．教学难点角的平分线的作图方法的提炼．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境问题1：三角形中有哪些重要线段．问题2：你能作出这些线段吗？Ⅱ．导入新课在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．求证：∠MOC=∠NOC．通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知∠A OB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了． 看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△A BC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ． 求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M 、N为圆心，大于12MN 的长为半径作弧．两弧在∠AOB 内部交于点C ． （3）作射线OC ，射线OC 即为所求．议一议：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN 的长”这个条件行吗？ 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？总结：1．去掉“大于12MN 的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线． 2．若分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB 的外部，而我们要找的是∠AO B 内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB 的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AO B，作它的平分线．探索活动按以下步骤折纸1．在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。
八年级数学下册第一章三角形的证明1.4.1角平分线教案北师大版(new)
设计说明：1、利用多媒体增大课容量激发学生的求知欲人。
2、通过师生互动加深学生对新知识的理解，培养学生获取新知识的能力教学过程教学环节(注明每个环节预设的时间）教师活动学生活动设计意图一、情境引入 6分钟复习提问（出示课件）①.角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？学生思考回答为讲解角平分线的判定定理做铺垫.②.角平分线性质定理的作用是证明什么？③。
填空如图：OC平分∠AOB写出满足什么条件时AC=BC.∵OC平分∠AOB, AC⊥AOCB⊥BO∴AC=BC（角平分线性质定理）二、探究新知24分钟1。
探究角的平分线的判定：学生根据上面的猜测及证明，归纳角平分线的判定定理。
学生明确在已知一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。
1.通过对角平分线判定定理的探索，培养学生分析推理的能力2。
培养学生的归纳概括能力。
使学生明确角平分线判定定理的作用.3.通过性质定理的应用，培养学生解决实际问题的能力和独立思考问题的良好习惯思考：把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？它正确？如何证明？多媒体展示:(1），已知：CA⊥OA于A，BC⊥OB于B,AC=BC求证： OC平分∠AOB(C点在∠AOC的平分线上)证明：∵CA⊥OA，BC⊥OB∴∠A=∠B=90°在△AOC和△BOC中∴△AOC≌△BOC（HL）∴∠AOC=∠BOC ∴OC平分∠AOB通过证明上面的猜想归纳角平分线的判定定理：到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。
根据上图，角平分线的判定定理用几何语言叙述为：如果CA⊥OA于A,BC⊥OB于B，AC=BC那么OC平分∠AOB学生用几何语言练习2.角平分线判定定理的运用出示课件已知如图,△ABC的角平分线BM、CN 相交于点P。
求证；点P到三边AB、BC、CA的距离相等教师引导学生证明，教师总结纠证错误3、角平分线判定定理的延伸想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？结论：三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等三、课堂训练12分钟多媒体展示：、学生应用角的平分线判定定理解题。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.4角平分线1优秀教学案例
1.介绍角平分线的定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，把这个角平分成两个相等角的线段。
2.讲解角平分线的性质：角平分线垂直于对边，将对边分成相等的线段，同时也将对角分成相等的角。
3.演示如何使用直尺和圆规作出三角形的角平分线，并解释作图过程中的关键步骤。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组学生共同探讨如何作三角形的角平分线，并互相交流心得。
3.小组合作的学习方式：我将学生分成小组，让他们在合作中探讨如何作三角形的角平分线。这种小组合作的学习方式，不仅能够提高学生的团队协作能力，还能够促进学生之间的交流和互助，从而提高他们的学习效果。
4.反思与评价的环节：在教学的最后，我引导学生进行反思和评价，让他们回顾所学内容，总结角平分线的性质和作法。这种反思与评价的环节，能够帮助学生巩固所学知识，提高他们的自我认知能力。同时，也能够让我及时了解学生的学习情况，为下一步的教学做好准备。
5.全面的教学目标：在教学设计中，我不仅关注学生的知识和技能的培养，还注重培养他们的过程与方法和情感态度与价值观。这种全面的教学目标，能够帮助学生在学习数学的过程中，提高他们的思维能力，培养他们的团队合作精神，同时也让他们感受到数学学习的乐趣，增强他们的自信心。
这些亮点都是我在教学过程中努力实现的，也是我在教学中的一些成功经验。我相信，只有不断总结和反思，才能够不断提高教学水平，更好地为学生服务。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握角平分线的定义，理解角平分线的性质，能够运用角平分线的性质解决相关问题。
2.培养学生运用几何画图工具，如直尺、圆规等，正确作出三角形的角平分线。
3.使学生了解角平分线在实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。
北师大版数学八年级下册1.4角的平分线(教案)
c.应用角平分线的性质解决实际问题：能够运用角平分线的性质解决角度、线段等相关的计算问题。
举例：在讲解角平分线的性质时，可以通过绘制图形，让学生观察并验证性质，强调这一性质在后续解题中的应用。
北师大版数学八年级下册1.4角的平分线（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级下册第一章第四节“角的平分线”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.角平分线的定义：通过一个角的顶点，将角分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线。
2.角平分线的性质与判定：
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
举例：
a.针对定义的难点，教师可以通过动态演示或让学生动手操作，直观地感受角平分线的概念，从而加深理解。
b.在证明角平分线性质的过程中，教师可以引导学生运用几何画板等工具，通过动态演示，让学生观察、思考并尝试证明。同时，教师应强调证明过程中的关键步骤，如辅助线的添加、角的相等关系等。
c.在解决实际问题时，教师应引导学生分析问题，找出与角平分线相关的关系，从而突破解题难点。同时，通过讲解典型例题，让学生掌握解题方法，提高解题能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《角的平分线》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将一个角平均分成两个角的情况？”比如，在制作一张桌子时，如何保证桌角是均匀的？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角的平分线的奥秘。
在课程总结环节，我觉得学生们对于角的平分线的理解和应用已经有了较好的掌握。但在实际运用中，他们还需要进一步提高解题速度和准确性。针对这一点，我计划在课后布置一些针对性的练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
八年级数学下册1.4第1课时角平分线教案
1．4 角平分线第1课时角平分线1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点)2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB ＝AF＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE ⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵BD＝DF，DC＝DE，∴Rt△CDF≌Rt △EBD(HL)．∴CF＝EB；(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE中，∵CD＝DE，AD＝AD，∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB ＝4，则AC的长是( )A．6 B．5 C．4 D．3解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝12×4×2＋12×AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图所示，D是△ABC外角∠ACG 的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.解析：由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵CD＝CD，DE＝DF，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．探究点二：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BE＝CF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线的性质和判定的综合如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF ⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD 平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选 D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点 D.求证：AD是∠BAC的平分线．解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．【类型四】线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵AC＝AD，OC＝OD，AO＝AO，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．三、板书设计1．角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.。
1.4.1角平分线(教案)
一、教学内容
本节课选自七年级数学教材《几何初步》1.4.1节——角平分线。教学内容主要包括以下部分：
1.角平分线的定义：介绍什么是角平分线，即从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
2.角平分线的性质：讨论角平分线的一些基本性质，如角平分线把角分成两个相等的角，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
-难点2：在证明角平分线性质时，教师应逐步引导学生通过等量代换和角的性质来进行逻辑推理，同时提供多个证明方法的示例，以帮助学生理解。
-难点3：在画角平分线时，教师应详细演示画图步骤，并强调圆规和直尺的正确使用方法，同时提供足够的练习机会，让学生在实践中掌握技巧。
-难点4：针对实际问题中的应用，教师可以设计一系列有层次的练习题，从简单到复杂，让学生逐步学会如何将角平分线的性质运用到几何图形的求解中。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.培养学生的团队合作能力：设置小组讨论和合作完成练习题，促使学生在交流与合作中共同提高。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-角平分线的定义：确保学生能够准确理解角平分线的概念，即从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的射线。
-角平分线的性质：掌握角平分线将角分成两个相等的角，以及角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（二）新课讲授（用时10分钟）
北师大八年级数学下册1.4.1角平分线(1)教案
我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．
引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
它是真命题吗? 你能证明它吗? (由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导。注：没有加“在角的内部”时，是假命题．)
作业
设计
习题1．9第1，2，3，4题．
板
书
设
计
1.4角平分线（一）
角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。（附图）
角平分线判定定理：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。（附图）
例题讲解：
证明：……（附图）
教
后
反
思
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)
我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。 (用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
证明如下：
已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在么AOB的角平分线上．
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
湘教版八下数学1.4角平分线的性质(第2课时)教学设计
湘教版八下数学1.4角平分线的性质（第2课时）教学设计一. 教材分析湘教版八下数学1.4《角平分线的性质（第2课时）》的教学内容主要包括角平分线的性质定理、角的平分线的判定定理以及角平分线与三角形的关系。
通过本节课的学习，使学生掌握角平分线的性质，能够运用角平分线的性质解决一些几何问题。
二. 学情分析学生在七年级下学期已经学习了角平分线的定义和一些基本性质，对于角平分线的概念已经有了初步的认识。
但在角的计算、三角形的性质等方面的运用还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过引导、探究、实践等方式，使学生逐步掌握角平分线的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握角平分线的性质定理、角的平分线的判定定理以及角平分线与三角形的关系。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、证明等过程，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质定理、角的平分线的判定定理以及角平分线与三角形的关系。
2.难点：角平分线的性质定理的证明以及角的平分线与三角形的关系的证明。
五. 教学方法1.引导探究法：通过问题引导，让学生自主探究，发现角平分线的性质。
2.实践操作法：让学生通过动手操作，直观地理解角平分线的性质。
3.合作交流法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、直尺、三角板、多媒体设备。
2.学具：每人一份角平分线的性质的学习材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的角平分线的例子，引导学生回顾角平分线的定义，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现角平分线的性质定理和角的平分线的判定定理，让学生初步感知角平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个几何图形，运用角平分线的性质定理和角的平分线的判定定理进行解答。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
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课题：1.4.1角平分线的性质（一）
教学目标
1、让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理
2、经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．
3、激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
重点：领会角的平分线的两个互逆定理
难点：两个互逆定理的实际应用
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
如图∠AOB沿射线OC对折，∠AOC 和∠COB重合。
2、什么是角平分线
一条射线将一个角分成为两个相等的角，这条射线就叫做这个角的角平分线。
如上图，射线OC是∠AOB的平分，∠AOC = ∠COB =12∠AOB，
3、用尺规作已知角的平分线：
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
（2）分别以MN为圆心．大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．
（3）作射线OC．射线OC即为所求．
你能证明吗？
二、探究交流（出示ppt课件）
1、角平分线性质：
如图：画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，
试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？
（1） 猜想：将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE重合，
即：PD=PE.
（2）引导学生证明猜想。
已知：OC是∠AOB的平分线，
点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，
垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
可证明：∆PDO≌∆PEO(AAS)
在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？
（3）得出结论：角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等
（4）理解性质：题设：一个点在一个角的平分线上。
结论：它到角的两边的距离相等。
用符号语言表示为：∵∠1= ∠2，PD⊥OA ，PE⊥OB，∴PD=PE.
注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。
2、角平分线性质的逆定理：（角平分线的判定定理）
（1）写出逆命题：交换定理的题设和结论得到的命题为：
到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。
2
1
O
B
A
P
C
E
D
A
O
B
C
A
O
B
C
M
N
2
（2）证明逆命题的正确性：
如图：已知P点是∠AOB内一点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE. 求
证： 点P在∠AOB的平分线上。
分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1= ∠2 .则OP是角平分线，即点P在∠AOB
的平分线上）
证明：Rt∆PDO≌Rt∆PEO(HL)即可
（3）结论：角平分线的判定定理：
角的内部到角的两边距离相等的点，在角平分线上。
用符号语言表示为：
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE
∴ ∠1= ∠2 .（OC是∠AOB的平分线）
综上所述：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
三、知识应用（出示ppt课件）
例1、如图，∠BAD= ∠BCD=900 ，∠1= ∠2 .
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上 .
（2）求证：BD是∠ABC的平分线 .
证明：（1） ∵∠1= ∠2 ∴ BA=BC，
∵∠BAD= ∠BCD=900， BA ⊥AD，BC ⊥CD
∴点B在∠ADC的平分线上
（2）在Rt∆BAD和Rt∆BCD中，∵ BA=BC， BD=BD
∴ Rt∆BAD≌Rt∆BCD (HL) ∠ABD= ∠CBD
∴ BD是∠ABC的平分线
例2、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BD是∠AB C的平分线 ，DE⊥AB，垂足为E，图中
相等的线段有哪些？为什么？
答： (1) DE=DC
∵ ∠C=90° （已知）
∴ DC⊥BC（垂直的定义）
又∵ BD是∠ABC的平分线
∵ DE⊥BA（已知）
∴ DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）
(2) BE=BC
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?
角平分线的性质，为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与途径
四、巩固练习（出示ppt课件）
3.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。
4.已知：如图，∠C=∠D=90° ，AC=AD .求证:（1） ∠ABC= ∠ABD （2）BC=BD.（要求不
用三角形全等的判定）
第3题 第4题
五、课堂小结（出示ppt课件）
A
C
B
D
2
1
_2
_1
_ O
_ B
_ A
_ P
_ C
_E
_ D
A
B
C
D
E
1
2
3
4
A
B
C
D
E
A
B
C D
3
六、作业：p24 练习 p26 A 1、2