高等数学中极限概念教学的思考

为中介,将数列看成是定义在正整数集上的函数 xn = f（n）, n ∈ N + ,
在此基础上用与数列极限相类比的方法,建立一一对应关系,自己给
出函数
f
(x) 当
x
→
∞
时
的
极
限
的
定
义
。lim n→∞
xn
=
A
⇔
∃A , ∀ε
>
0,
∃N > 0 ,当 n > N 时, f (n) − A < ε 成立。将 f (n) 换成 f (x) ,将 N 换成
创新教育
科技创新导报 2012 NO.01
Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
高等数学中极限概念教学的思考
王华丽 (襄樊学院数学与计算机科学学院 湖北襄阳 441052)
摘 要:在分析高等数学极限概念的教学难点的基础上,结合具体的教学实践,给出了极限概念的教学对策。
概念的文字表述上和逻辑上都有很大差别,直接引入容易引起学
生 认 知 上 的 困 难 。具 体 教 学 过 程 中 ,可 以 改 变 这 一 顺 序 , 将 函 数
f (x) 当 x → ∞ 时 的 极 限 提 到 函 数 f (x) 当 x → x0 时 的 极 限 的 前
面。
在学生对数列概念较为熟悉以后,启发引导学生利用函数概念作
A ,那么 A 就 是 这 个 数 列 {xn}的 极 限 ”。
增
大
时
,
xn
无
第 二 步:指 出 描 述 性 定 义 中 的“ 无 限 增 大 ”和“ 无 限 接 近 ”的 含
义 不 确 切 ,不 能 满 足 数 学 理 论 上 的 推 导 。将“ 无 限 接 近 ”改 成“ 距 离
无 限 减 小 ”,而 距 离 可 以 用 绝 对 值 表 示 。因 此 ,将 描 述 性 定 义 换 一 种
<ε
;若取
ε
=
1 10000
,则存在 N
= 10000 ,只要 n
>
N
时,
1 n
−0
=
1 n
<ε
。于 是 就 得
到数列极限的定量定义:设 {xn}是一个数列, A 为确定的常数。如果对
于任意给定的正数 ε (无论它有多小),总存在正整数 N ,使得对 n > N
时的一切 {xn},不等式 xn − A < ε 都成立,则称 A 是数列 {xn}的极限,
极限概念从描述性定义到定量形式的转化,是教学中的关键
和 重 点 。在 教 学 中 我 尝 试 按 下 列 过 程 逐 步 使 学 生 掌 握 极 限 概 念 :
第一步:举出几个无穷数列的例子,让学生观察数列的规律,
引 限
导 接
学 近
生 于
总 结 出 极 限 的 描 述 性 定 义“: 如 果 当 n 无 限
X
以上表述为
lim f (x) = A
x→∞
⇔
∃A , ∀ε > 0 , ∃X > 0 , 当
x >X 时,
f ( X ) − A < ε 成立。这实际上是将数列极限统一到 了 函 数 极 限 概 念
之下。
3 由理论到实践使认识逐步提高
一个学生能把概念背得滚瓜烂熟,不一定表明他已获得概念, 真正意义上的获得概念,就是运用概念做出判断和推理,能够根据 概 念 解 决 数 学 问 题 。在 教 学 中 引 导 学 生 利 用 极 限 定 义 证 明 函 数 极 限,加深学生对极限概念的理解。
2 极限概念的教学对策
对于极限概念的教学,我们可以从以下几个方面入手。
2. 1 介绍数学史, 做好铺垫导入
从 数 学 史 的 角 度 来 阐 述 极 限 的 萌 芽 、发 展 到 完 善 的 过 程 。这 样
不仅能让学生认识到极限在高等数学中的重要性,更能让他们对
数 学 的 本 质 有 更 深 刻 的 认 识 。通 过 介 绍 数 学 史 的 小 故 事 来 引 入 极
对极限概念的几何意义的说明,可以加深学生对极限概念的理解
和掌握。
2.4 适当调整教材中有关极限内容的结构顺序
关于极限的内容,目前几乎所有的教材都是这样的顺序:先讲
数 列 极 限 ,然 后 讲 函 数 f (x）当 x → x0 时 的 极 限 ,再 讲 函 数 f (x) 当 x → ∞ 时 的 极 限 。数 列 极 限 与 函 数 f (x) 当 x → x0 时 的 极 限 ,在
参考文献
[1] 同 济 大 学 应 用 数 学 系 主 编 .高 等 数 学 上 册 第 五 版 [M].北 京 :高 等 教 育 出 版 社 ,2002.
[2] 王 树 禾 .数 学 思 想 史 [M].北 京 :国 防 工 业 出 版 社 ,2003.
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限 概 念 。例 如 :战 国 时 期《 庄 子·天 下 篇 》惠 施 说“: 一 尺 之 锤 ,日取其
半,万 世 不 竭 ”以 及 刘 徽 的“ 割 圆 术 ”都 体 现 了 极 限 思 想 。通 过 上 述
例子的讲解,让学生了解极限就是为了求实际问题的精确解而产
生的。
2.2 由直观描述性定义过渡到精确定义
１３３
或称数列 {xn}收敛于
A
,记做
lim
n→∞
xn
=
A或
xn
→
A
(n
→
∞) 。
2.3 利用几何意义形象的理解概念
著 名 数 学 家 华 罗 庚 先 生 曾 经 指 出“: 数 缺 形 时 少 直 观 ,形 少 数
时难入微”“; 数形结合百般好,割裂分家万分休”。“数”与“形”往往
可以同构,所以数形结合可帮助我们深刻而全面地理解概念,通过
大一新生刚进入大学,对于大学的学习方法和教师的教学方 法 都 还 没 有 适 应 。大 学 当 中 有 大 量 的 学 习 任 务 是 要 求 学 生 自 己 独
立完成的,这就要求学生有较强的自学能力,这一点对于大多数的 大 一 新 生 都 是 难 以 达 到 要 求 的 。因 此 , 在 极 限 概 念 的 学 习 中 出 现 各 种问题也就在情理之中了。
1 极限概念学习困难的原因初步分析
极限概念学习困难的原因主要来自以下两方面的矛盾:一是 极限概念本身的特点;另一是学生自身的特点。 1.1 极限概念的特点
极限概念的形成,经过的抽象层次较高,深刻性也较高,学习 这一概念时,需要用到原有的数学认知结构中的相关概念,进行正 确 的 心 理 表 征 ,以 建 立 概 念 的 逻 辑 运 演 。因 此 ,极 限 概 念 的 抽 象 程 度 较 高 。此 外 ,极 限 概 念 的 定 义 ,逻 辑 结 构 也 比 较 复 杂 ,符 号 很 多 , 并且它们之间的数量关系错综复杂,学生很难掌握。 1.2 学生自身特点
第 三 步 :通 过 例 子 将“ n 无 限 增 大 ”和“ xn − A 无 限 减 少 ”结 合
{ } 起来,即得到严格定义。“当 n 无限增大时,
xn
=
1 n
无限接近 0 ”即
只要 n 足够大,
1 n
−0
=
1 n
<ε
。
若取 ε
=
1 100
,则存在
N
= 100 ,只要
n
>
N
时,
1 n
−0
=
1 n
例:用数列极限定义证明
lim
n→∞
n n+1
=1
证 明 : 对 于 ∀ε > 0 , 要 使
n n+1
−1
=
1 n+1
<
ε
,只
需
n
+1>
1 ε
,取
N
=
[
1 ε
−1] 。当
n
>
N
时,Leabharlann n n+1−1=
1 n+1
<ε
成 立 。即
lim
n→∞
n n+1
=1
高等数学当中很多重要的概念都是由极限定义的,在后续的
说 法“: 如 果 当 n 无 限 增 大 时 , xn − A 无 限 减 少 ,那 么 A 就 是 这 个
数 列 {xn}的 极 限 ”。进 一 步 把“ 无 限 减 少 ”的 意 思 严 格 化,所 谓 的 无
限减少就是“要多小就有多小”,给出任意一个正数 ε , xn − A 总能 小于 ε 。
关键词:高等数学 极限概念 教学
中图分类号:G6 4
文献标识码: Ａ
文章编号: 1 6 7 4 - 0 9 8 X ( 2 0 1 2 ) 0 1 ( a ) - 0 1 3 3 - 0 1
极限概念是微积分学的奠基概念之一,微积分中几乎所有的 重 要 概 念 ,如 连 续 、导 数 、定 积 分 、重 积 分 、级 数 等 的 定 义 都 是 建 立 在 极 限 概 念 的 基 础 上 。极 限 概 念 是 学 习 高 等 数 学 过 程 中 遇 到 的 第 一个较难理解的概念,正确理解和掌握极限的概念和极限的思想 方法是学好高等数学得关键,也是教学中的重点和难点。
函 数 的 连 续 性 、导 数 、定 积 分 等 概 念 的 讲 解 时 要 有 意 识 的 用 比 较 的
方 法 ,借 助 于 定 理 、反 例 、公 式 等 ,明 确 它 们 之 间 的 联 系 和 区 别 ,建
立 一 个 正 确 的 概 念 网 络 ,从 而 全 面 、深 入 、透 彻 的 掌 握 极 限 概 念 。