理论力学L6-3自然法

o
M(t) +
s(t)
s 是代数量，称为动点 M在轨迹上的弧坐标：
-
s s( t )
该式为动点沿已知轨迹的运动方程。 因为自然法是建立在已知轨迹的基础上的， 所以，在自然法中，无需再求轨迹方程。
例1. 摇杆OA=OB=l，BC以 = · t (为常数)规 律绕B点转动、带动滑块A运动并带动OA绕O转 动。求：OA杆上A点的运动方程。 1. 建立弧坐标, 1)选t=0时点A 位置A0为弧 坐标原点； +

是切线方向上的单位矢量 对时间的导数。 因为自然坐标系随动点运动，它的方向是时间 的函数。

d 现分别讨论矢量项 的大小和方向。 dt

1. 大小
由 的运动，得矢量三角形：

s
注意 和 ' 都是单位矢量，

' 1

是等腰三角形， 2 sin 2 d lim lim t 0 t t 0 t dt s 1 lim v t 0 s t
矢径为 r 。
r dr dr ds v lim t 0 t dt ds dt
Δt 时间内，弧坐标增量Δs， 位移： r r ' r
dr dr r 矢 量 的 大 小 ： lim 1 s 0 s ds ds dr dr r lim 矢量 的方向是 的极限方向， s 0 s ds ds 即M点的切线方向。 ds
v
dt

ds v v dt
ds v s dt
为速度矢量 v 在 轴上的投影。 速度在 轴的投影是弧坐标对时间的一阶导数。
ds 0 表示 s 0 ，动点沿弧坐标正向运动。 dt
分析动点的速度时，均假设动点沿弧坐标正 向运动： ds 0 dt 实际速度方向由计算结果的+/-决定。
2)B点为正方向 (逆时针)；
A0
2. 机构置于一般位置，选OA杆上A点为动点， 3. 写出动点随时间变化的弧坐标。 任一时刻 t，动点由A0运动到位置A，弧坐标：
s Ao A l 2 l 2l t
A
+
s
A0
二、自然轴系 因弧坐标是代数量，无法描述v 、 a 矢量，必 须建立对应的矢量坐标系。 设作平面曲线运动的动点，在t 时刻位于M点， 弧坐标为s。 作M点切线TT， 取单位矢量为 ， 指向与弧坐标正向一致。 作M点法线NN， 取单位矢量为 n ，指向曲率中心。
四、加速度在自然坐标系上的投影
d d dv d ( v ) dv v v v a dt dt dt dt dt
在自然坐标系中，加速度由两个矢量组成：
一) 切向加速度 v

该项是加速度在切线方向的矢量分量，称为切 向加速度。体现动点速度大小的变化。
an v
2


为加速度矢量在法线方向的投影。
3. 动点的全加速度
a at an
dv v n dt
大小：
2
dv 2 v 2 2 2 ( ) s a a a ( ) ( ) dt
2 t 2 n
2
2 s
at 方向：tan( a , n ) an
N T N

n

T
由轨迹上一点的切线与法线为坐标轴的正交坐 标系，称为 t 时刻动点在M处的自然坐标系(平 面)。这两个轴称为自然轴。 自然坐标系的位置和方向随动点位置变化而变 化。特别注意它是动坐标系，它的方向是时间 的函数*。
N T N

n

T
三、速度在自然坐标系上的投影 动点在弧坐标上的运动方程：s=s(t) t 时刻：动点在轨迹上的 M点，矢径为 r ； 经过Δt 时间后， 在 t＋Δt 时刻： 动点在轨迹上的M’点，
推论：
an 0 ， a at 。 1. 退化为直线运动， 2. 当 v c : at 0 ， a an ,匀速曲线运动；
又若 r ，为匀速圆周运动。 3. 当 at dv / dt c 时， dv at dt ， 积分： v v o at t 2 2 dv v t a n 再积: s so vo t at dt 2 可推导出：v
切向加速度记为：at v at 为加速度矢量在切线方向的投影，用 at 表示。 v
1. at 0 ： at 与 正方向一致。 计算时应假设 at 为正。 2. 当 v与 at 同号为加速；与 v at 反号为减速。

d 二) 法向加速度 v dt

d v是该时刻速度矢量的投影, 矢量项 ， dt
2. 方向
的极限方向是: 当t 0 ， 。 。 lim ( 90 ) 90 t 0 2 d 即 dt 方向是垂直于 的方向，即Ｍ点的法线 方向 n ,且指向曲率中心。 d v n dt 2 d v 称 v n an 为法向加速度。 dt
§6－3 自然法 在已知动点运动的轨迹上，建立弧坐标及自然 轴系，以研究点的运动的方法。 一、弧坐标及运动方程 在已知运动轨迹曲线上，任选一点Ｏ为原点， 规定一端为运动正方向。 则建立一条沿已知运动轨迹曲线的坐标。
o
+
-
在任一时刻 t ，动点M 的空间位置， 可以用原点O到M点的弧长 s(t) 及±表示。
2
ห้องสมุดไป่ตู้
v 2at ( s s0 )
2 0
匀变速曲线运动的三个公式，s是弧坐标。