麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组表达式及物理意义
麦克斯韦方程组表达式及物理意义麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程组，包含了电场和磁场的生成、传播和相互作用的规律，被广泛应用于电磁学的研究和应用中。
麦克斯韦方程组共有四个方程式，分别是高斯定律、安培环路定理、法拉第电磁感应定律和安培定律。
下面将对麦克斯韦方程组的表达式和物理意义进行介绍。
## 1. 麦克斯韦方程组的表达式### 1.1 高斯定律高斯定律描述了电场的生成和分布规律，其数学表达式为：$$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} =\frac{Q}{\epsilon_{0}}$$其中，$\vec{E}$表示电场强度，$d\vec{S}$表示任意面元的面积分，$Q$表示该面元内的电荷量，$\epsilon_{0}$为真空介电常数。
### 1.2 安培环路定理安培环路定理描述了磁场的生成和分布规律，其数学表达式为：$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_{0} I_{enc}$$其中，$\vec{B}$表示磁场强度，$d\vec{l}$表示任意回路的线积分，$\mu_{0}$为真空磁导率，$I_{enc}$表示该回路内的电流总量。
### 1.3 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场对电场的影响，以及磁场和电场的相互作用规律。
其数学表达式为：$$\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}$$其中，$\mathcal{E}$表示感应电动势，$\Phi$表示磁通量，$t$表示时间。
### 1.4 安培定律安培定律描述了电流对磁场的影响，以及磁场和电流的相互作用规律。
其数学表达式为：$$\nabla \times \vec{B} = \mu_{0} \vec{J} + \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$$其中，$\vec{J}$表示电流密度，$\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$表示电场随时间的变化率。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。
它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。
它包含四个方程:电荷如何产生电场的高斯定理;不存在的磁单极子的高斯定律;电流与变化的电场如何产生磁场的麦克斯韦安培定律以及变化的磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程中，我们可以推断出光波是电磁波。
麦克斯韦方程和洛伦兹力方程构成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了由20个方程和20个变量组成的原始方程
麦克斯韦方程组是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一套偏微分方程。
它们描述了电场、磁场、电荷密度和电流密度之间的关系。
它包含四个方程:电荷如何产生电场的高斯定理;不存在的磁单极子的高斯定律;电流与变化的电场如何产生磁场的麦克斯韦安培定律以及变化的磁场如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
详细介绍
麦克斯韦方程是英国物理学家麦克斯韦在19世纪建立的描述电场和磁场的四个基本方程。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程
微分形式的方程通常称为麦克斯韦方程。
在麦克斯韦方程组中，电场和磁场是一个整体。
方程组系统而完整地推广了电磁场的基本规律，预测了电磁波的存在。
核心理念
麦克斯韦的旋涡电场和位移电流假说的核心思想是:变化的磁场激发旋涡电场，变化的电场激发旋涡磁场;电场和磁场不是彼此孤立的，而是相互联系，相互激发，形成统一的电磁场(这也是电磁波的形成原理)。
麦克斯韦进一步整合了电场和磁场的所有定律，建立了完整的电磁场理论体系。
电磁理论体系的核心是麦克斯韦方程组。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程麦克斯韦方程是19世纪英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为描述电场、磁场和电荷密度与电流密度之间的关系而创建的一组偏微分方程。
它由四个方程组成：高斯定律描述电荷如何产生电场;高斯磁定律在磁单极中不存在;麦克斯韦-安培定律描述电流和时变电场如何产生磁场;法哈迪感应定律描述时变磁场如何产生电场。
从麦克斯韦的方程系统中可以推断出电磁波在真空中以光速传播，然后猜测光是电磁波。
麦克斯韦方程和洛伦茨力方程是经典电磁学的基本方程。
从这些基本方程的相关理论，发展几代电力技术和电子技术。
麦克斯韦在1865年提出的原始方程形式由20个方程和20个变量组成。
1873年，他试图用四重奏，但没有成功。
现在使用的数学形式在1884年由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯以矢量分析的形式重新表达。
历史背景：在麦克斯韦诞生前半个多世纪，对电磁现象的认识已经取得重大进展。
1785年，法国物理学家Char charles A. Coulomb根据扭曲尺度实验的结果，建立了库仑定律，说明了两个点电荷之间的相互作用。
1820年，汉斯·克里斯蒂安·欧斯特德发现电流偏转磁针，将电与磁性联系起来。
后来，A.M.安培研究了电流之间的相互作用力，提出了许多重要概念和安培环定律。
Michael Faraday在很多方面做出了杰出的贡献，特别是1831年出版的电磁感应定律，它是电机和变压器等设备的重要理论基础。
1845年，《库仑定律》（1785年）、《生物萨瓦尔定律》（1820年）、法拉第电磁感应定律（1831-1845年）和法拉第的"电线"和"电磁线"概念被概括为"电磁场概念"。
从1855年到1865年，麦克斯韦在全面研究库仑定律、生物萨法尔定律和法拉第定律的基础上，将数学分析引入电磁学领域，从而催生了麦克斯韦的电磁理论。
在麦克斯韦之前，电磁现象理论是以超距离作用的概念为基础的，认为带电、磁力或载波导体之间的相互作用可以直接直接和直接在中间介质之外进行，即电磁干扰的传播速度被认为是无限的。
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组维基百科，自由的百科全书麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组偏微分方程，描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间的关系。
它含有的四个方程分别为：电荷是如何产生电场的高斯定理；论述了磁单极子的不存在的高斯磁定律；电流和变化的电场是怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律，以及变化的磁场是如何产生电场的法拉第电磁感应定律。
从麦克斯韦方程组，可以推论出光波是电磁波。
麦克斯韦方程组和洛伦兹力方程共同形成了经典电磁学的完整组合。
1865年，麦克斯韦建立了最初形式的方程，由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
当代使用的数学表达式是由奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年使用矢量分析的形式重新表达的。
概论麦克斯韦方程组乃是由四个方程共同组成的。
它们分别为▪高斯定律描述电场是怎样由电荷生成的。
更详细地说，通过任意闭合表面的电通量与这闭合表面内的电荷之间的关系。
▪高斯磁定律表明，通过任意闭合表面的磁通量等于零，或者，磁场是一个螺线矢量场。
换句话说，类比于电荷的磁荷，又称为磁单极子，实际并不存在于宇宙。
▪法拉第电磁感应定律描述含时磁场怎样生成电场。
许多发电机的运作原理是法拉第电磁感应定律里的电磁感应效应：机械地旋转一块条形磁铁来生成一个含时磁场，紧接着生成一个电场于附近的导线。
▪麦克斯韦-安培定律阐明，磁场可以用两种方法生成：一种是靠电流（原本的安培定律），另一种是靠含时电场（麦克斯韦修正项目）。
这个定律意味着一个含时磁场可以生成含时电场，而含时电场又可以生成含时磁场。
这样，理论上允许电磁波的存在，传播于空间。
▪一般表述在这段落里，所有方程都采用国际单位制。
若改采其它单位制，经典力学的方程形式不会改变；但是，麦克斯韦方程组的形式会稍微改变，大致形式仍旧相同，只有不同的常数会出现于方程的某些位置。
麦克斯韦方程
麦克斯韦方程麦克斯韦方程组（英语：Maxwell's equations），是英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。
它由四个方程组成：描述电荷如何产生电场的高斯定律、论述磁单极子不存在的高斯磁定律、描述电流和时变电场怎样产生磁场的麦克斯韦-安培定律、描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。
根据麦克斯韦方程，可以推断电磁波在真空中以光速传播，然后推测光是电磁波。
麦克斯韦方程和洛伦兹力方程是经典电磁学的基本方程。
从这些基本方程式的相关理论出发，已经发展了现代电力技术和电子技术。
麦克斯韦在1865年提出的最初形式的方程组由20个等式和20个变量组成。
他在1873年尝试用四元数来表达，但未成功。
现在所使用的数学形式是奥利弗·赫维赛德和约西亚·吉布斯于1884年以矢量分析的形式重新表达的。
麦克斯韦（Maxwell）出生前半个多世纪，人类在理解电磁现象方面取得了长足进步。
1785年，法国物理学家C.A. 库仑（Charles A. Coulomb）建立了库仑定律，该定律根据扭转平衡实验的结果描述了两点电荷之间的相互作用力。
1820年，H.C。
奥斯特（Hans Christian Oersted）发现电流可以使磁针偏转，从而使电与磁力联系起来。
后来，安培（Andre Marie Ampere）研究了电流之间的相互作用力，并提出了许多重要概念和安培环定律。
法拉第（Michael Faraday）先生在许多方面做出了杰出的贡献，尤其是1831年发布的电磁感应定律，这是电动机，变压器和其他设备的重要理论基础。
麦克斯韦方程
2021/7/19
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图1-1 电荷三种密度的示意图
q V d ， q S d s ， q LL d l
静电的产生与电荷的关系？飞机特制接地轮胎，油罐车接地铁链
2.电流——电荷的流动(或场的变化)
电流定义：电荷的宏观定向运动 电流方向：正电荷宏观运动方向
2021/7/19
Ilim qd(q C或 /sA ) t 0 t dt
场的分布。总电场为自由电荷与束缚电荷产生电场的之和。为
讨论介质中电场和介质中高斯定理，引进电位移矢量。
D r0 E 0 E P (1-1-21)
2021/7/19
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介电常数决定了电信号在该介质中传播的速度。电信号传 播的速度与介电常数平方根成反比。介电常数越低，信号传送 速度越快。我们作个形象的比喻，就好想你在海滩上跑步，水 深淹没了你的脚踝，水的粘度就是介电常数，水越粘，代表介 电常数越高，你跑的也越慢。
B L d B 4 0 IL d l R ' 3 R 4 0 IL d l |'r ( r r ' |3 r ')
单位：1特斯拉（T）＝1韦伯/米2(Wb/m2)＝104高斯
洛伦磁力：
FqvB
(1-1-22)
4.磁场强度矢量
磁介质：讨论媒质与磁场相互作用时，称媒质为磁介质。
磁偶极子：任意形状的小电流环。
第1章 麦克斯韦方程
§1-1 基本电磁量——源量、场量
一、源量 1.电荷——一种带电粒子的统称，能负荷电的一种物质
①体电荷密度（电荷体密度）：(x,y,z) l im 0 q (1(C -1-3 1/))m ②表面电荷密度（忽略厚度）： S(x,y,z) ls i0 m (q s1(-C 1-22 /))m ③线电荷密度（不考虑线径）： L(x,y,z) ll i0 m (q l1(-C 1-3/))m
麦克斯韦方程
1865 年麦克斯韦在总结前人工作的基础 上，提出完整的电磁场理论，他的主要贡献是 提出了“有旋电场”和“位移电流”两个假设， 从而预言了电磁波的存在，并计算出电磁波的 速度（即光速）.
是恒定磁场的安培环路定理与位移电流产生的磁场 所遵循的环路定理的结合。
麦克斯韦假设
1）有旋电场 2）位移电流
Ek
麦 克 斯 韦 电 磁 场
方 程 的 积 分 形 式
SD ds V dV q B l E dl S t ds
D l H dl S ( jc t ) ds
L1
答案C
§8-6 麦克斯韦方程组
一、麦克斯韦电磁场方程的积分形式
D ds dV q
S V
是静电场高斯定理与涡旋电场遵循的高斯定理
d B l E dl dt S t d S
是电磁感应定律与静电场环路定理的结合 式中E是静电场与涡旋电场的合场强 对静电场环路
dD jd dt
B ds 0
S
二、麦克斯韦方程组的微分形式
B E t
D
三、介质性质方程
B 0 D H jc t
D E 0 r E B H 0 r H
jc -
dt
I
麦克斯韦方程组
Idl
dF
Idl
dF
F l dF l Idl B
B
B
例 求 如图不规则的平 面载流导线在均匀磁场中所受 的力，已知 B 和 I . 解 取一段电流元 Idl
y
dF
Idl
B
I dF Idl B o dFx dF sin BIdl sin dFy dF cos BIdl cos
0 di 0dr di dq dr , dB 2 2 a b 2r 4r 0 a b 0 ln B dB dr 4 a 4r a
（2）磁矩 m ，dq旋转 产生的磁矩
1 dm r di r 2 dr 2 a b 1 1 2 (a b) 3 a 3 m dm r dr 6 2 a （3）若 a >> b, 求 Bo 及 m 。 若 a>>b , AB 可看成点电荷i 2 q 2 b 1 2 0i 0b 2 a b. B0 , m a i 2 2a 4a
利用安培环路定理求无限长均匀密绕载流直螺线管 的磁场
例 5 有一无限长圆柱形导体和一无限长薄圆筒形导
体，都通有沿轴向均匀分布的电流，它们的磁导率都 为 0, 外半径都为R。今取长为 l，宽为 2R的矩形平面 ABCD 和 A`B`C`D`， AD及A`D` 正好在圆柱的轴线上。 问通过ABCD的磁通量大小是多少？通过A`B`C`D的磁 通量是多少?
（x R ）2 2
Idl
r
B
dB
p *
o
R
I
B
dB
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第三章 麦克斯韦方程第一章我们已提到电磁场可以用以下四个场量描述，它们是：E (r , t )——电场强度 (伏特/米，V /m )D (r , t )——电通量密度或电位移（库仑/米2，C /m 2）H (r , t )——磁场强度（安培/米，A /m ）B (r , t )——磁感应强度或磁通量密度（韦伯/米2，Wb /m 2）这四个量都是矢量，都是时间坐标t 和空间矢径r 的函数。
这些场量在我们周围总是存在的，有来自太阳和其它星球的场，也有来自闪电的场。
传播电视的无线电波、激光则是用人工方法产生的场。
本章主要讨论电磁运动服从的基本方程——麦克斯韦方程。
需要指出的是，麦克斯韦方程不是从几个公理推导出来的，而是根据科学实验总结出来的电磁运动基本规律。
麦克斯韦方程是正确的，因为宏观世界电磁运动都遵循麦克斯韦方程。
本章3.1-3.2分别讨论积分形式、微分形式的麦克斯韦方程以及用复矢量表示的时谐场的麦克斯韦方程。
3.3与3.4讨论电荷守恒定律与物质的本构关系。
麦克斯韦方程描述源产生的场，而场对源的作用由洛仑兹力方程描述。
洛仑兹力方程在3.5讨论。
3.6讨论坡印廷定理，它表示电磁运动满足能量守恒关系。
3.7简要介绍唯一性定理、镜像定理、等效原理、磁流和磁荷以及互易定理。
3.1 积分与微分形式的麦克斯韦方程本节根据基本电磁现象以及对实验规律的总结，得出积分形式的麦克斯韦方程组，然后利用散度定理与斯托克斯定理，又从积分形式的麦克斯韦方程组得到微分形式的麦克斯韦方程组。
3.1.1 从库仑定理到高斯定理根据库仑定理，真空中带电量q 的质点对周围试验电荷q 1的作用可以看作点电荷q 激发的电场E 对试验电荷q 1的作用，点电荷q 激发的电场强度E 为 0r E 204r qπε= （V /m式中电场强度E 的单位为V /m ，电量q 的单位为库仑（C ），()m F /10854.8120-⨯=ε，为真空介电常数，r 为点电荷q 到试验电荷q 1之间距离，用米（m ）做单位，r 0表示由q 指向q 1的单位矢量。
将点电荷q 放到介质中，由于介质极化的影响，点电荷q 在介质中产生的电场强度E 为式中?叫做介质的介电常数? = ?r ?0?r 叫做介质的相对介电常数。
与电场强度E 相关连的电通量密度或电位移D 为D = ?Eq 产生的电通量密度将点电荷q 置于原点，其电通量密度D 在半径r 方向。
以原点为球心作一球面（图3-1），则通过该球面的电通量?D 为图3-1 点电荷q 产生的电通量密度D02r dS Ω=d r ，r 为球面的半径，d ?为球面上面积元dS 对球心所张立体角，r 0为r 方向的单位矢量，即面积元dS 法线方向单位矢量，将dS 代入上式，得到这就是说穿过球面的电通量等于球心处点电荷q 。
实验证明电荷产生的电场满足叠加原理，即N 个点电荷产生的场等于每个点电荷产生的场的叠加。
由此进一步得到穿过任意闭曲面的电通量⎰⋅S dS D 等于该闭曲面包围的总电荷Q ，即 如果?v 为体电荷密度，则总电荷Q 为闭曲面包围的体积V 内电荷密度?v 的体积分⎰=V v dV Q ρ，所以上式成为 这就是积分形式的高斯定理。
注意库仑定理、高斯定理都是实验规律的总结，两者等价。
3.1.2 磁通连续性原理迄今为止，对磁现象的研究表明，世界上没有单独的磁极存在，磁力线永远构成闭合回路（见图3-2），这就是磁通连续性原理。
因为磁力线自成闭合回路，对于任何封闭曲面，穿出闭曲面的磁通量，一定等于穿进闭曲面的磁通量，这就是说穿出或穿进闭曲面的净磁通量等于零，（a ） （b ）图3-2 圆环电流（磁偶极子）与永磁体产生的磁场（a ）磁偶极子 （b ）永磁棒因此，磁力线与电力线不同，电力线总是从正电荷出发，终止于负电荷，电力线“有头有尾”，而磁力线没有起始，“无头无尾”。
3.1.3 法拉电第磁感应定理1831年法拉第发现电磁感应现象，这是人们第一次对随时间变化的电磁场进行研究。
法拉第定理表示随时间变化的磁场会产生电场。
参看图3-3，如果穿过闭合导线l 所包围的面积的磁通量?m 随时间变化，则会感应一个电动势V emfV emf 的大小等于穿过闭合导线l 所包围面积S 的磁通量⎰⋅=Sm dS B ψ随时间变化率的负数，即 因为微分对时间坐标进行，积分对空间坐标进行，两者次序可调换，这样就得到 这就是积分形式的法拉第定理。
图3-4用来说明得出法拉第定理的原理实验装置（在大学物理课程中已见过）。
矩形导电线圈与一电流计相连，随时间增加 S I R B1 2 + – V emf 图3-3 穿过闭合导线l 的磁通量随时间变化会感应一个电动势n 0 = r 0 假想球面D如有电流通过线圈，电流计指针将偏转。
螺线管与电池连接，当螺线管与电池接通，流过螺线管的电流会产生磁场，部分磁力线穿过矩形导电线圈包围的面积。
不管采用什么方法，比如螺线管与电池的接通或断开，通电螺细管靠近或远离矩形导电线圈等，只要使螺线管产生的磁力线穿过线圈包围面积的磁通量?m 随时间变化，电流计指针就会偏转，表示矩形线圈上有电流流过。
此电流由感应的电动势V emf 驱动，而指针偏转的大小反映电动势的大小。
指针偏转的方向，也就是电流的方向取决于感应电动势的符号。
实验得出的规律是，感应电动势V emf 大小与穿过线圈磁通量随时间的变化率dt d m ψ 3.1.4 安培全电流定理 电流流过导体，在其周围产生磁场，如果右手大姆指与电流方向一致，则右手四指方向就是磁场方向，安培全电流定理告诉我们，磁场强度H 沿任一闭合回路l 的线积分等于穿过回路l 所包围面积的电流 I t ，即式中I t 是全电流。
右边第一项I 在导电媒质中叫传导电流I c ，它由导体中自由电子的定向运动引起；在气体或真空中叫运流电流I v ，它由真空或气体中荷电粒子的运动引起。
所以I 包括传导电流与运流电流两部分，即I =I c + I v第二项I d 叫位移电流，它并不代表电荷的运动，因而与传导电流、运流电流不同。
传导电流、运流电流和位移电流之和叫全电流。
如果引入电流密度J c 、J v 与J d ，则I c 、I v 与I d 可表示为式中 J =J c + J vE J σ=c ，为传导电流密度，其中?为导体的电导率，E 为导体内电场强度。
v J v v ρ=，为真空中或气体中电流密度，其中?v 和v 分别为真空或气体中荷电粒子的密度和速度。
J d 为位移电流密度，它等于D 为电通量密度或电位移。
J d 是麦克斯韦（James Clerk Maxwell ，1831-1879年）在1873年首先引入的。
为了说明位移电流的概念，参看图3-5所示电路，电容器C 通过导线连到交流电源V S (t )，设显然导线中电流式中S c 为导线截面，dS 的方向为电流流过导线的方向。
在电容器极板上有电荷Q = CV S ，C 为电容器的电容量。
对于平行板电容器，电容d AC ε=，其中A 为极板面积，d 为两平板间距，?为两平行极板间填充介质的介电常数，V S 为电容器两极板间电压。
Q 随时间的变化率即极板上的电流I q 这里我们假定导线的电导率?很大很大，导线上压降可忽略，极板两端电压等于源电压。
由源、导线、电容器构成的电流回路，其上通过的电流应连续，导线中电流要等于极板上电流I q ，那末电容器中电流是什么呢？位移电流的引入可解释回路电流连续的问题。
两极板上加电压V S 后，在电容器空间产生电场E E 的大小为V S /d ，方向在y 0方向，总的位移电流I d 为介质 极板 极板 面积A y V S (t )=V 0cos ?t y =0 y =d边缘电场线 ?s –?s dS 图3-5 交流电源与平行板电容器相连构成的回路 +Q E E 图3-4 说明法拉第定理的原理实验装置 I I B 矩形导电线圈 螺线管电池 电流计因为dS 方向为极板法线方向，故dS 0y dS =，C 为平行板电容器电容。
这个电流与极板上电流刚好相等。
注意，上面的例题不是给位移电流的正确性进行证明，而是说明位移电流概念解释了由电容器构成的回路中电流的连续性。
引入位移电流的正确性是因为引入位移电流概念后得出的结论被其后的实验证明，其中最重要的一点是，麦克斯韦引入位移电流概念后预言电磁波的存在，其后赫兹在1886-1889年间通过实验证明电磁波的存在。
迄今宏观世界观察到的电磁现象没有一个与位移电流的概念相冲突，所以我们说位移电流概念的引入是正确的。
这就是安培全电流定理的积分形式。
3.1.5 积分与微分形式的麦克斯韦方程组现在我们把法拉第电磁感应定理、安培全电流定理、高斯定理、磁通连续性原理的积分形式重写如下：⎰⎰⋅∂∂-=⋅S l dS t B dl E a ）⎰⎰⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⋅S l dS t D J dl H b ）⎰⎰=⋅V v S dV ρdS D c ） 0 =⋅⎰S dS B d ）这就是积分形式的麦克斯韦方程组，它们是在实验基础上得出的电磁运动规律的科学概括。
根据矢量场的斯托克斯定理a ,b ）可写为由上两式可得t ∂∂-=⨯∇B E a ） t ∂∂+=⨯∇D J H b ） 同样根据矢量场的散度定理c ,d ）可写成由此得到v ρ=⋅∇D c ） 0=⋅∇B d ）【例3-1】如果y cos 0y E =，B 随时间变化吗？a ）所以，B 不随时间变化。
【例3-2】在0≤y ≤1，0≤z ≤1区域，磁场z y sin sin 00z y B +=存在吗？解：因为z y cos cos +=⋅∇B ，在0≤y ≤1，0≤z ≤1区域，0cos cos ≠+z y ，即0≠⋅∇B d ）矛盾。
所以在0≤y ≤1，0≤z ≤1区域z y s i n s i n 00z y B +=的磁场不存在。
【例3-3】如果00cosh sin sinh cos y x D y x y x +=，求区域内电荷密度?v 。
c ）区域内电荷密度0=v ρ，场可以由包围区域的界面上的面电荷产生。
体电荷密度v ρ不包括面电荷密度s ρ。
aabb ）表示变化的电场产生磁场。
ddcc ）对时变电荷与静止电荷都成立，它表明电场是有源的。
时变场中电场的散度和旋度都不为零，所以电力线起始于正电荷而终止于负电荷。
磁场的散度恒为零，而旋度不为零，所以磁力线是与电流交链的闭合曲线，并且磁力线与电力线两者还互相交链。
在远离场源的无源区域中，电场和磁场的散度都为零，这时磁力线和电力线将自行闭合，相互交链，在空间形成电磁波，在下章将专门讨论。
3.2 时谐场的麦克斯韦方程组麦克斯韦方程包含的四个电磁场量E 、D 、B 和H 以及场源J 和?v 都是时间和空间的函数。