决胜2016年高考数学全国名校试题分项汇编(新课标Ⅱ特刊)：专题16 选修部分(第03期).doc

第十六章 选修部分一．基础题组1.（长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，过圆O 外一点P 的作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 的直线交圆O 于A 、B 两点，连接PA 并延长交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若MC BC =.（1）求证：APM ∆∽ABP ∆； (2) 求证：四边形PMCD 是平行四边形. 【答案】见解析. 【解析】2. （长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数），以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos()3πρθ=-.（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A ,B 两点，求||AB 的最大值和最小值.【答案】(1) 2240x y x +--=，其表示一个圆. (2) ||AB 的最小值为值为8. 【解析】3.（长春市普通高中2016届高三质量监测（二）理科数学）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.设函数()|+2|||()f x x x a a =+-∈R .(1)若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围； (2) 若不等式3()2f x x …恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1a -≥.(2) a 的取值范围是(,4]-∞时3()2f x x ≥恒成立. 【解析】试题解析 (1) 当0a ≥时，()0f x a +≥恒成立，当0a <时，要保证()f x a -≥恒成立，即()f x 的最小值|2|a a --≥，解得1a -≥. (5分)(2) 根据函数()f x 图像的性质可知，当322a a +=时，3()2f x x ≥恒成立，即4a =， 所以a 的取值范围是(,4]-∞时3()2f x x ≥恒成立. (10分)4. （贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=4，AE=2，求CD．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，证明OA∥CE，利用AE⊥CE，可得AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）由（1）可得△ADE∽△BDA，求出∠ABD=30°，从而∠DAE=30°，可得DE=AEtan30°，利用切割线定理，可得结论．5．（贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．【分析】（Ⅰ）根据互化公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，将极坐标方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）设出Q点坐标，Q，再根据点到直线的距离公式求出最小值．【解析】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．6．（贵州省黔南州2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求证：﹣3≤f（x）≤3；（2）解不等式f（x）≥x2﹣2x．【分析】（1）通过讨论x的范围得到相对应的f（x）的表达式，从而证明出结论；（2）利用分段函数解析式，分别解不等式，即可确定不等式的解集．7. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数学（理）试题）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，两个圆相内切于点T，公切线为TN，外圆的弦TC，TD分别交内圆于A、B 两点，并且外圆的弦CD恰切内圆于点M.AB CD；(Ⅰ)证明：//(Ⅱ)证明：AC MD BD CM ⋅=⋅.【答案】（Ⅰ）//AB CD .（Ⅱ）AC MD BD CM ⋅=⋅. 【解析】试题解析：（Ⅰ）由弦切角定理可知，NTB TAB ∠=∠, ……………3分 同理，NTB TCD ∠=∠,所以，TCD TAB ∠=∠, 所以，//AB CD . ……………5分8. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C . (Ⅰ)求曲线2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2sin ρθ=. (Ⅱ) []1,0∈TN TM . 【解析】(Ⅱ)由题令00(,)T x y ，0(0,1]y ∈，切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数方程为:00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ……………………………7分 联立2C 的直角坐标方程得,20002(cos sin sin )120t x y t y θθθ++-+-= , …8分 即由直线参数方程中,t 的几何意义可知,012TM TN y ⋅=-，因为012[1,1)y -∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈. …………10分 (解法二)设点()ααsin ,cos T ，则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2C 相交， 由对称性可知，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πα 时斜线的倾斜角为2πα+，则切线MN 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x （t 为参数），…………………7分 与C 2的直角坐标联立方程，得0sin 21cos 22=-+-ααt t ，…………………8分 则αsin 2121-==t t TN TM ,因为⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πα ，所以[]1,0∈TN TM . …………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.9. （辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测（一）数 学（理）试题）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知命题“a b c ∀>>，11ta b b c a c+≥---”是真命题，记t 的最大值为m ， 命题“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，其中(0,)2πγ∈.(Ⅰ)求m 的值； (Ⅱ)求n 的取值范围.【答案】（Ⅰ）4=m .（Ⅱ）22≥n . 【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为“n R ∀∈，14sin cos n n m γγ+--<”是假命题，所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题. ………………7分因为n n n n --+=--+γγγγcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2πγ∈）， 因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ，即4πγ=时. ……8分即，22222=--+n n ，由绝对值的意义可知，22≥n .…………10分 10. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，PA 是圆的切线，A 是切点，M 是PA 的中点，过点M 作圆的割线交圆于点C,B ，连接PB,PC 分别交圆于点E,F,EF 与BC 的交点为N. 求证：（Ⅰ）//;EF PA （Ⅱ）MA NE MC NB ⋅=⋅.【答案】见解析. 【解析】11. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程点P 是曲线()=20ρθπ≤≤上的动点，(20)A ，,AP 的中点为Q. （Ⅰ）求点Q 的轨迹C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若C 上点M 处的切线斜率的取值范围是⎡⎢⎣，求点M 横坐标的取值范围.【答案】（Ⅰ）()()22110x y y -+=≥；（Ⅱ）32⎡⎢⎣． 【解析】12. （新疆乌鲁木齐地区2016年高三年级第一次诊断性测试数学（理）试题）(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()2(0,0)f x x a x b a b =-++>>的最小值为1. (Ⅰ)求a b +的值 (Ⅱ)求12a b+的最小值.【答案】（Ⅰ）1a b +=；（Ⅱ）当且仅当1,2a b ==时，12a b+有最小值3+．【解析】13.（甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．14．（甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【分析】（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．化为ρ2=2，把代入即可得出；．（II）设P，又C．利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出．【解析】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴ρ2=2，化为x2+y2=，配方为=3．（II）设P，又C．∴|PC|==≥2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．15．（甘肃省白银市会宁四中2016届高三（上）期末数学（理）试题）已知函数f（x）=|x ﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到|x﹣3|+|x﹣2|的最小值大于等于3﹣k，求出|x﹣3|+|x﹣2|的最小值即可确定出k的取值范围；（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．16．（黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知C点在⊙O直径的延长线上，CA切⊙O于A点，DC是∠ACB的平分线，交AE于F点，交AB于D点．（1）求∠ADF的度数；（2）若AB=AC，求AC：BC．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【专题】综合题；压轴题．（1）由弦切角定理可得∠B=∠EAC，由DC是∠ACB的平分线，可得∠ACD=∠DCB，【分析】进而∠ADF=∠AFD，由BE为⊙O的直径，结合圆周角定理的推论，可得∠ADF的度数；（2）由（1）的结论，易得△ACE∽△BCA，根据三角形相似的性质可得，又由AB=AC，可得AC：BC=tanB，求出B角大小后，即可得到答案．【点评】本题考查的知识点是弦切角，三角形相似的性质，其中（1）中是要根据已知及弦切角定理结合等量代换得到∠ADF=∠AFD，（2）的关键是根据三角形相似的性质得到=tanB．17．（黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）（2015•海南模拟）在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）把曲线M的参数方程化为y=x2﹣1，把曲线N的极坐标方程化为x+y﹣t=0．曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围．（2）当t=﹣2时，曲线N即x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=﹣，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果．故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，为=．【点评】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．18．（黑龙江省哈尔滨六中2016届高三上学期期末数学（理）试题）（2015•哈尔滨校级三模）已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．【考点】不等式的证明．【专题】推理和证明．【分析】（Ⅰ）利用，相乘即可证明结论．（Ⅱ）利用，，，，相加证明即可．（Ⅱ），，，，相加得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查综合法证明不等式的方法的应用，考查逻辑推理能力．19．（宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）（2015•海南模拟）已知函数f （x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．20. （宁夏中卫一中2016届高三上学期期末数学（理）试题）已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线AF2的直角坐标方程；（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）由圆锥曲线C：（α为参数）化为，可得F2（1，0），利用截距式即可得出直线AF2的直角坐标方程．（2）直线AF2的斜率为，可得直线l的斜率为．直线l的方程为：，代入椭圆的方程化为=0，t1+t2=，利用||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|即可得出．∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=．【点评】本题考查了椭圆的参数方程、直线的截距式与参数方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，过圆O 外一点P 的作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 的直线交圆O 于A 、B 两点，连接PA 并延长交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若MC BC =.（1）求证：APM ∆∽ABP ∆； (2) 求证：四边形PMCD 是平行四边形.【命题意图】本题主要考查平面几何的证明，具体涉及切割线定理以及三角形相似等内容.22. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题)（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos()3πρθ=-.（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A ,B 两点，求||AB 的最大值和最小值.【命题意图】本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容.【解析】(1) 对于曲线2C 有8cos()3πρθ=-，即24cos sin ρρθθ=+，因此曲线2C的直角坐标方程为2240x y x +--=，其表示一个圆. (5分) (2) 联立曲线1C 与曲线2C 的方程可得：2130t t α-⋅-=，12||||AB t t =-===因此||AB 的最小值为8. (10分)23. (长春市普通高中2016届高三质量监测（二）数学理科试题) （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.设函数()|+2|||()f x x x a a =+-∈R .(1)若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围； (2) 若不等式3()2f x x …恒成立，求实数a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容.24.（甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点M ，BAC ∠的平分线分别交圆O 和BC 于点D ，E ，若5152MA MB ==. （1）求证：52AC AB =；（2）求AE ·DE 的值.【答案】（1）详见解析；（2）4052. 【解析】25.（甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，在直角坐标系xOy 中，以O 点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为26sin 8ρρθ-=-．（1）求圆M 的直角坐标方程；（2）若直线l 截圆M a 的值.【答案】（1）22(3)1x y +-=；（2）376a =或92a =. 【解析】26.（甘肃省河西五市部分普通高中2016年1月高三第一次联考数学（理）试题）(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知不等式|2||2|18x x ++-<的解集为A ．（1）求集合A ；（2）若a ∀，b A ∈，(0,)x ∈+∞，不等式4a b x m x+<++ 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）(9,9)A =-；（2）14m ≥.【解析】试题分析：（1）对x 的取值情况分类讨论将绝对值号去掉，即可求解；（2）根据（1）中求得的A ，再结合问题，可知其等价于min 4()a b x m x+<++，再利用基本不等式求最值即可. 试题解析：（1）若|2||2|18x x ++-<，则2(2)(2)18x x x <-⎧⎨-+--<⎩或22(2)(2)18x x x -≤≤⎧⎨+--<⎩或 2(2)(2)18x x x >⎧⎨++-<⎩，解得99x -≤≤，∴(9,9)A =-；（2）∵a ∀，b A a ∈⇒∀，(9,9)b ∈-，∴(18,18)a b +∈-，∵4x m m x ++≥+，∴min 4()4x m m x++=+，由题可知，418m +≥，∴14m ≥.27. （甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知圆上的弧，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）∠ACE ＝∠BCD ；（Ⅱ）BC 2＝BE·CD.28.（甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为1(12x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-． （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若(,)P x y 是直线l 与圆面ρ≤4sin()6πθ-+y 的取值范围． 【解析】（1）因为圆C 的极坐标方程为4sin()6πρθ=-所以214sin()4cos )62πρρθρθθ=-=- 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==所以22x y+2x =-所以圆C 的直角坐标方程为：22x y+20x +-=. 5分（2）设z y =+，由圆C 的方程22x y+20x +-=⇒22(1)(4x y ++-= 所以圆C的圆心是(-，半径是2将112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入z y =+得z t =- 8分又直线l过(C -，圆C 的半径是2，由题意有：22t -≤≤所以22t -≤-≤+y 的取值范围是[2,2]-. 10分29.（甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试数学(理科)试题）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|,f x m x m R =--∈，且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-．（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若,,a b c R +∈，且11123m a b c ++=，求证：239a b c ++≥.。