采样控制系统2

上式写成闭合形式，即
z1t 1z

1 1 z1

z
z 1
z 1
(8-4-7)
例8-4-2 求 f t eat 的z变换。
解 f *t f nT eanT
根据式(8-4-6)可得
F z 1 eaT z 1 e2aT z 2 enaT z n
若取级数的前三项，则

Gh
s

1 s
1

1
T
T 2s2
1 Ts 2 T 2s2
1 Ts
1 Ts

2
2
这可用图8-2-4所示的无源网络实现。
图8-2-4 无源网络
8-3 差分方程
设采样系统的框图如图8-3-1所示。在第k个采样时 间间隔中，零阶保持器的输出为
（8-4-6）
上式即为离散函数的z变换的展开形式。
例8-4-1 求单位阶跃函数1(t)的z变换 。
解 单位阶跃函数的采样函数为
1nT 1, n 0、1、2、
将f nT 1nT 1代入式(8 4 6)得：
z1t 11 z1 1 z2 1 zn
在采样系统中，当离散信号为数字量时，称为 数字控制系统，最常见的时计算机控制系统。 图8-0-3为一典型计算机控制系统的框图。
图8-0-3 计算机控制系统框图
在计算机控制系统中，通常时数字―模拟混合结构。 因此需要设置数字量和模拟量相互转换的环节。图 8-0-3中，模拟信号e(t)经模拟―数字转换器（A/D 转换器）转换成离散信号e*(t)，并把其值由十进制 数转换成二进制数（编码），输入计算机进行运算 处理；计算机输出二进制的控制脉冲序列u*c(t)经 过数字模拟转换器（D/A转换器）转换成模拟信号 uc(t)去控制对象。


Gh
s

1

e s
Ts

1 s
1

1 eTs


1 s
1
1
Ts

1 T
2s2





（8-2-5）

2

只取级数的前两项，可得
Gh
s

1 s
1
1 1 Ts


1 1 Ts
（8-2-6）
这就是说，零阶保持器可以近似地用RC网络实现。
2、部分分式法
(8-4-8)
设连续函数f(t)的拉普拉斯变换式为有理函数， 可以展开为部分分式的形式，即
n
Fs
Ai
i1 s pi
(8-4-9)
式中 pi — —Fs的极点；
Ai — —常系数； 上式的z变换为
F
z

n i 1
Ai z z e pit
c2 1 T c1 Tr1 1 T 2 c0 1 T Tr0 Tr1

k 1
ck 1 T k c0 T 1 T k1i ri i0
（8-3-3）
一般n阶线性常系数差分方程的形式为
ck n a1ck n 1 anck b0rk m b1rk m 1 bmrk
上式两边同乘 eaT z1，得
eaT z 1F z eaT z 1 e2aT z 2 enaT z n
上两式相减，可以求得
Fz1 eaT z1 1
1
z
F z 1 eaT z1 z eaT ,
z eaT
图8-0-1 采样系统
在上述系统中,采样误差信号是通过采样开关对 连续误差信号采样后得到的,如图8-0-2.
图8-0-2 模拟信号的采样
图8-0-2中，T称为采样周期，而
1 fs T
及
s
2f s

2
T
分别称为采样频率和采样角频率。
由图可见，若采样频率太低，包含在输入信 号中的大量信息通过采样就会损失掉。
采样定理
理想单位脉冲序列δT(t)是一个以T为周期的函数， 展开成傅立叶级数，复数形式为

T t
Ane jnst
n
（8-1-5）
式中
An

1 T
T2
T 2 T
t e jnst dt
为傅立叶系数。
对于δ
T(t)，
An

1 T
。将An代入式（8-1-5），得
E * s
1 T

Es
n
jns
（8-1-8）
上式表明，E*是s的周期性函数。
通常E*(s)的全部极点均位于s平面的左半部，
因此，可以用 s j 代入上式，得到采样
信号e*(t)的傅立叶变换
E* j 1
T

E j
n
jns
前者表示z平面上的函数关系，后者表示s平面
上的函数关系。
Z变换的方法
1、级数求和法
将离散函数f*(t)展开如下

f * t f nT t nT n0 f 0 t f T t T f 2T t 2T
或简写为
ck 1 ckTek
（8-3-1）
考虑到 ek rk ck ，上式可改写为
ck 1 T 1ck Trk
（8-3-2）
这就是图8-3-1所示采样系统的差分方程。
根据式(8-3-2)可得
c1 1 T c0 Tr0
s 2m
（8-1-10）
而2ωm,为连续信号的有限频率带宽。
综上所述，只有在 s 2的m 条件下，才能将采
样后的离散信号无失真地恢复为原来的连续信号。 这就是香农（Shannon）采样定理。
8-2 保持器
零阶保持器
零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它 将前一采样时刻nT的采样值e(nT)保持到下一 采样时刻(n+1)T，其输入信号与输出信号的关 系如图8-2-1所示。
本章重点
学习本章，需要掌握离 散系统的相关基本概念， 特别是采样过程和采样 定理、z变换和z反变换 及其性质、差分方程和 脉冲传递函数等概念。 在此基础上了解利用脉 冲传递函数求解离散系 统的暂态响应，离散系 统稳定性和稳态性能计 算等内容。
概述
与连续系统显著不同的特点是，在离散系统中的 一处或数处的信号不是连续的模拟信号，而是在 时间上离散的脉冲序列，称为离散信号或采样信 号。相应的离散系统也称为采样系统。典型的采 样系统如图8-0-1所示。
gh t 1t 1t T
上式的拉普拉斯变换式为
Gh
s

Lg h
t

1

e Ts s
（8-2-1）
图8-2-2 零阶保持器的单位脉冲响应
单位脉冲响应的拉普拉斯变换，就是零阶保持器 的频率特性
Gh

j


1
e jT
j
（8-2-2）
或 Gh j Gh jGh j
f nT t nT
（8-4-5）
然后逐项进行拉普拉斯变换，得
F *s f 01 f T eTs f 2T e2Ts f nT enTs
或
F z f 01 f T e1 f 2T e2 f nT en
（8-4-2）
上式中 esT是s的超越函数，不便于直接运算，
因此引入一个新式（8-4-2），得

Z f * t F z f nT z n n0
（8-4-4）
式（8-4-4）被定义为采样函数f*(t)的z变换。
它和式（8-4-2）是互为补充的两种变换形式。
理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序 列发生器，能产生单位脉冲序列δ T(t)，如 图8-1-1所示。
图8-1-1 单位脉冲序列
单位脉冲序列δT(t)的数学表达式为

T t t nT n
（8-1-1）
式中 T——采样周期； n——整数。
脉冲调制器（采样器）的输出信号e*(t)可表示为
第八章 采样控制系统
本章主要内容
8-1 采样过程及采样定理 8-2 保持器 8-3 差分方程 8-4 z 变换 8-5 脉冲传递函数 8-6 采样控制系统的时域分析 8-7 用MATLAB分析采样控制系统小结
本章主要内容
本章在阐述了离散控制系 统相关基本概念后，学习 了采样过程及采样定理、 保持器的作用和数学模型、 z变换的定义和求法、基本 定理和z反变换的求法、线 性差分方程的建立及其解 法、脉冲传递函数的概念 及求取方法等。
（8-2-3）
式中
Gh j Gh
T
j
sinT
T 2 T
2
2

（8-2-4）
零阶保持器的幅频特性如图8-2-3所示。由图可见， 它的幅值随角频率ω 的增大而衰减，具有明显的 低通滤波特性。
图8-2-3 零阶保持器的幅频特性
若将零阶保持器传递函数展开为下列级数形式
T t
1

e jnst
T n
（8-1-6）
将式（8-1-6）代入式（8-1-2），并考虑式 （8-1-3），可得
e*t 1


e t e jnst et t nT
T n
n0
（8-1-7）
由于e*(t)的拉普拉斯变换式为

L e* t E* s enT enTs
（8-1-4）