新人教版八年级初二数学下册第十六章_二次根式全章复习_Microsoft_PowerPoint_演示文稿课件
八年级数学下册 第十六章 二次根式单元复习课件 (新版)新人教版.pptx
变式练习
7
巩固提高
4.下列各式 其中一定是二次根式的有（B ） A．4个 B.3个 C.2个 D.1个 5.下列各式中计算正确的是（D ）
6．已知
，则（ D ）
A．x≤0 B．x≤－3 C．x≥－3 D．－3≤x≤0
8
巩固提高
7. 是整数，则正整数n的最小值是 6 ．
8.若最简二次根式
与
能够合并，则m=
第十六章 二次根式
《二次根式》 单元复习
1
目录 contents
8分钟小测 精典范例 变式练习 巩固提高
2
8 分钟小测
1.下列根式不是最简二次根式的是（C ）
2.使得式子
有意义的X的取值范围是（D ）
A. x≥1 且 x≠-2 B.x>1且x≠-2 C.x≠-2 D. x≥1
3.下列根式不能与 合并的是（B ）
类比推广：根据探索二次根式相关知识过程中获
得的经验，解决下面的问题．
（1）写出n次根式 （n≥3，n是整数）有意义的
条件和性质；
12
（2）计算:
．
巩固提高
13
.
9.已知
,…请你用含n的
式子将其中蕴涵的规律表示出来：
. 10. 计算：
9
巩固提高
11.如图，化简:
12. 已知
，求代数式
的值。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
巩固提高
13.
11
巩固提高
14．知识回顾：我们在学习《二次根式》这一章 时，对二次根式有意义的条件、性质和运算法则 进行了探索，得到了如下结论：
（1）二次根式 有意义的条件是a≥0． （2）二次根式的性质： （3）二次根式的运算法则：
人教版八年级下册数学：第十六章 二次根式小结与复习
(a 2)(a 1) (a 2)2
(a 2)(a 2) a(a 1)
a2 a
当 a 2 时，
原式
2 2 1 2
2.
b
5．二次根式的加减：类似合并同类项
可以先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__，再将
__被__开__方__数__相__同____的二次根式进行合并．
6．二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再 算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的. 注意平方差公式与完全平方公式的运用！
【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非 负性可知 x 1和(3x y 1)2均为0. 解：∵ x 1 (3x y 1)2 0,
∴x-1=0, 3x+y-1=0,解得x=1,y=-2. 则 5x y2 51 (2)2 3.
方法总结
初中阶段主要涉及三种非负数： a ≥0，|a|≥0， a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个 非负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知 数的有效方法之一.
例3 实数a,b在数轴上的位置如图所示，请化简： | a | a2 b2 .
a0 b 解析:化简此代数式的关键是能准确地判断a,b的符 号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简.
解：由数轴可以确定a<0,b>0， ∴ | a | a, a2 a, b2 b.
∴原式=-a-(-a)+b=b.
针对训练
考点讲练
考点一 二次根式的相关概念有意义的条件
例1 求下列二次根式中字母a的取值范围:
(1) 3a 2;
(2) 1 ; 1 2a
(3) (a 3)2； (4) a . a 1
新人教版八年级下册数学知识点总结归纳期末总复习
D
C
O
A
B
3． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；
么结论一定成立的命题。 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结 论总是成立的命题。
4、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公 理。
5、定经过证明被确认正确的命题叫做 定理 。 我们把题设、结论正好相 反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做 它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
法。
（定理中 a ， b ， c 及 a2 b2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若
三角形三边长
a，
b
，
c
满足
2
a
2
c
2
b
，那么以
a，b
，c
为三边的三角形是直角
三角形，但是 b 为斜边）
3、勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即
2
a
2
b
2
c
中，
a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数
等。
8、命题、定理、证明
1 、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。 理解：命题的定义
包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某
件事情做出判断。
2、命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）
这个句子必须对某件事情做出判断。
3、命题的分类 （按正确、 错误与否分）
（ 3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
CD=1 AB=BD=AD 2
D
为 AB的中点
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2
1 2 3 2 2 10 3、同类二次根式的定义：
几个二次根式化成最简二次根 式以后，如果被开方数相同，这几 个二次根式就叫做同类二次根式.
巩固练习
5、下列各式中，哪些是同类二次根式？ 2 75 1 50 a 6b 2b 1 27 3
2 3 8ab 3
4、分母有理化：
去掉分母中的二次根式 的变形叫分母有理化
二次根式的乘除法法则
a b ab
a b a b
a≥0,b≥0
a 0, b 0
巩固练习：
1、计算： 3-4 -2 + 12
x 2 5 x 2、计算：3 2 x 8 x 4 501 2 1 3、计算：18 1 2 + 2 2
2
提高练习：
a (a 0, b 0) b
加 、减、乘、除
1、二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子 叫做二次根式.
巩固练习 1.判断下列各式是否是二次根式.
5
( ×)
a (a 0)
( ×)
3
8
( ×)
a (a 0)
(√ )
C） 2. 下列各式一定是二次根式的是（ A. 1 B. D. 2 C. 2 x 1 x 1 x x
2
巩固练习：
(2) =____；
2 2
( 2 3) = _____;
2
(m 4) _____(m 4)； 9 x 6 x 1 ( 3x 1) _______
2 2
巩固练习：
8、ABC的三边满足 a b b c 0, 请你判断这个三角形的形状。
一、知识结构
四个概念
八年级数学下册第十六章二次根式知识点总结(超全)(带答案)
八年级数学下册第十六章二次根式知识点总结(超全)单选题1、下列二次根式中，最简二次根式是（）A．√5B．√4C．√12D．√12答案：A分析：根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可．解：A、√5是最简二次根式，符合题意；B、√4=2不是最简二次根式，不符合题意；C、√12=2√3不是最简二次根式，不符合题意；D、√12=√22不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．小提示：本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．2、二次根式√1x−2有意义，则x满足的条件是（）A．x＜2B．x＞2C．x≥2D．x≤2答案：B分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．解：根据题意得：x﹣2＞0，解得，x＞2．故选：B．小提示：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．3、若a=√3b−1﹣√1−3b+6，则ab的算术平方根是（）A ．2B ．√2C ．±√2D ．4 答案：B试题解析：∵a =3b √−1−√1−3b +6， ∴{3b −1≥01−3b ≥0, ∴1−3b =0， ∴b =13， ∴a =6，∴ab =6×13=2， 2的算术平方根是√2, 故选B.4、下列各式中，是二次根式有（ ）①√7；②√−3；③√103；④√−3−x 2；⑤√a 2+9；⑥√1x 2+1．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 答案：B分析：根据二次根式的概念进行分析判断． 解：①√7是二次根式，②√−3没有意义，不是二次根式， ③√103是三次根式，不是二次根式， ④√−3−x 2没有意义，不是二次根式， ⑤√a 2+9是二次根式， ⑥√1x 2+1是二次根式，∴①⑤⑥是二次根式，共3个， 故选：B ．小提示：本题考查二次根式的定义，理解二次根式的概念（形如√a ，a ≥0的式子叫做二次根式）是解题关键．5、计算2√5×3√10=( )A．6√15B．6√30C．30√2D．30√5答案：C分析：根据二次根式的混合运算和根式的性质即可解题.解：2√5×3√10=6√50=30√2,故选C.小提示：本题考查了根式的运算,属于简单题,熟悉根式的性质是解题关键.6、计算√8+√18的值等于（）A．√26B．4√2C．5√2D．2√2+2√3答案：C分析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式=2√2+3√2=5√2故选C．小提示：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.7、若a＝√2﹣1，则a+1a的整数部分是（）A．0B．1C．2D．3答案：C分析：把a的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出最简结果，再估算即可求解．解：∵a=√2−1，∴a+1a =√2−1√2−1=√2−1+√2+1=2√2，∵4<8<9，∴2<2√2<3，∴a+1a的整数部分是2，故选：C小提示：本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算能力，掌握二次根式的混合运算法则是解决问题的关键．8、下列计算正确的是（ ） A ．32＝6B ．（﹣25）3＝﹣85C ．（﹣2a 2）2＝2a 4D ．√3+2√3＝3√3 答案：D分析：由有理数的乘方运算可判断A ，B ，由积的乘方运算与幂的乘方运算可判断C ，由二次根式的加法运算可判断D ，从而可得答案． 解：32=9，故A 不符合题意； (−25)3=−8125, 故B 不符合题意； (−2a 2)2=4a 4, 故C 不符合题意； √3+2√3=3√3, 故D 符合题意； 故选D小提示：本题考查的是有理数的乘方运算，积的乘方与幂的乘方运算，二次根式的加法运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．9、估计√12×√13+√10÷√2的运算结果应在（ ）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间 答案：C分析：先进行二次根式的运算，然后再进行估算． 解：原式=2√3×√33+√10÷√2=2+√5， √4<√5<√9， 即2<√5<3， 4<2+√5<5，故选：C．小提示：题目主要考查二次根式的混合运算及运用“夹逼法”估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．10、2,5,m是某三角形三边的长，则√(m−3)2+√(m−7)2等于（）A．2m−10B．10−2m C．10D．4答案：D分析：先根据三角形三边的关系求出m的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．解：∵2,3,m是三角形的三边，∴5−2<m<5+2，解得：3<x<7，∴√(m−3)2+√(m−7)2=m−3+7−m=4，故选：D．小提示：本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m的范围，再对二次根式化简．填空题11、如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为________cm2.答案：8√3-12分析：根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC,再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为4cm，√12＝2√3cm，∴AB＝4cm，BC＝（2√3＋4）cm，∴空白面积＝（2√3＋4）×4－12－16＝8√3＋16－12－16＝（8√3－12）cm2，故答案为8√3－12.小提示：本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出AB 、BC 的长度，从而求出空白部分面积. 12、化简：(√x −2)2+√(1−x )2＝_________． 答案：2x -3分析：根据二次根式的性质可知，x ≥2，再根据x 的取值范围进行化简即可． 解：∵x −2⩾0， ∴x ⩾2，∴√(1−x )2=x −1，∴原式=x −2+(x −1)=x -2+x -1=2x -3．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．13、已知√x +5有意义，如果关于x 的方程√x +5+a =3没有实数根，那么a 的取值范围是__． 答案：a >3．分析：把方程变形为√x +5=3−a ，根据方程没有实数根可得3−a <0，解不等式即可． 解：由√x +5+a =3得√x +5=3−a ， ∵ √x +5有意义，且√x +5⩾0，∴方程√x +5=3−a 没有实数根，即3−a <0， ∴a >3，所以答案是：a >3．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a 的取值范围． 14、人们把√5−12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a =√5−12，b =√5+12，得ab =1，记S 1=11+a +11+b ，S 2=11+a 2+11+b 2，S 3=11+a 3+11+b 3，…，则S 1+S 2+⋅⋅⋅+S 2022=______． 答案：2022分析：根据异分母分式加法法则分别求出S 1、S 2、 S 3⋯ 、S 10的值，发现结果均为1，依此解答即可． 解：S 1=11+a +11+b =1+b+1+a(1+a)(1+b)=2+a+b1+a+b+ab =2+a+b1+a+b+1=2+a+b2+a+b =1，S 2=11+a 2+11+b 2=1+b 2+1+a 2(1+a 2)(1+b 2)=2+a 2+b 21+a 2+b 2+a 2b 2=2+a 2+b 21+a 2+b 2+1=2+a 2+b 22+a 2+b 2=1， S 3=11+a 3+11+b 3=1+b 3+1+a 3(1+a 3)(1+b 3)=2+a 3+b 31+a 3+b 3+a 3b 3=2+a 3+b 31+a 3+b 3+1=2+a 3+b 32+a 3+b 3=1， S n =11+a n +11+b n =1+b n +1+a n(1+a n )(1+b n )=2+a n +b n1+a n +b n +a n b n =2+a n +b n1+a n +b n +1=2+a n +b n2+a n +b n =1， ∴S 1+S 2+⋯+S 2022=1+1+⋯1=2022． 所以答案是：2022小提示：本题考查分式的规律计算，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运用规律解决问题是解题的关键． 15、当_____时，式子√x −3+√5−x有意义．答案：3≤x ＜5．分析：根据二次根式和分式的意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 根据题意，得：{x −3≥05−x ＞0，解得：3≤x ＜5． 小提示：本题考查了的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数． 解答题16、如图，正方形ABCD 的面积为8，正方形ECFG 的面积为32．(1)求正方形ABCD 和正方形ECFG 的边长； (2)求阴影部分的面积．答案：(1)正方形ABCD 的边长为2√2，正方形ECFG 的边长为4√2 (2)阴影部分的面积为12分析：（1）根据正方形的面积公式直接开平方得出正方形的边长即可；（2）用两个正方形的面积之和减去直角三角形ABD 和直角三角形BGF 的面积，即可得出阴影部分的面积． （1）解：∵正方形ABCD 的面积为8，正方形ECFG 的面积为32，∴正方形ABCD的边长为√8=2√2，正方形ECFG的边长为√32=4√2．（2）阴影部分的面积为：S阴影=S正方形ABCD+S正方形ECFG−SΔABD−SΔBGF=8+32−12×2√2×2√2−12×4√2×(2√2+4√2)=12小提示：本题主要考查了正方形的性质，根据阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，是解题的关键．17、计算：(1)√24÷√12−(√6+√2)2+(π−√3)0；(2)(7+4√3)(2−√3)2−(2+√3)(2−√3)+√3．答案：(1)-7(2)√3分析：（1）直接利用乘法公式以及零指数幂的性质、二次根式的除法运算法则分别化简，进而合并得出答案；（2）直接利用乘法公式以及二次根式的乘法运算法则分别化简，进而合并得出答案．(1)原式＝√24×2﹣（6+4√3+2）+1＝4√3﹣8﹣4√3+1＝﹣7；(2)原式＝（7+4√3）（7﹣4√3）﹣（4﹣3）+√3＝49﹣48﹣1+√3＝√3．小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算以及零指数幂的性质，正确运用乘法公式化简是解题关键．18、计算：(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3答案：(1)4√3−5√5(2)1+6√2分析：(1)直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；(2)直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)=(8√3−4√5)−(4√3+√5)=8√3−4√5−4√3−√5=4√3−5√5(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3=(4√3−3√3)÷√3+6√2=√3÷√3+6√2=1+6√2小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．。
人教版数学八年级下册第十六章二次根式 复习课件(共17张PPT)
二、举一反三
4 .计练算习2：计算：
（1） 80 20 5；
（2）18 ( 98 27)；
（3）( 24 0.5) ( 1 6); 8
(4) 32 3 1 10 0.08 1 48.
3
2
二、举一反三
解：
(1) 80 20 5 4 5 2 5 5 3 5. (2) 18 ( 98 27 ) 3 2 7 2 3 3 10 2 3 3.
A. 2 2 1 B.2x 1 C.2 2 1 D.2 2 1
2．填空题：
（1）若 x 4 有意义，则 x 的取值范围是_____
x5
（2）若 a2 1，则 a 的取值范围是______ a
（3）化简 a
1
a3
_____
(4)若2n1 3m 2n 与 6 是同类最简二次根式，则n=__ ，m=____ (5)化简 _____ 3a2b2(a 0,b 0) (6)若 a 0,b 0 ，则 a b2 _____
4．计算：
课堂小结
1．本节课复习的六个基本问题是“二次根式”这一 章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握． 2．在二次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意 利用题中使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)， 即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式 子的取值范围．
3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算 时，一定要注意每一个性质中字母的取值范围．
3.计算
a2 a2
4a 4a
4 3
•
3a a2
1 1 a
4.已知m，n为实数，且满足 m n2 9 9 n2 4 ，
求 6m 3n 的值
n3
四、融会贯通
1．选择题：
最新新人教版八年级数学第十六章二次根式知识点+测试题知识讲解
第十六章 二次根式基本知识点1.二次根式的有关概念：（1）形如 的 式子叫做二次根式.（即一个 的算术平方根）二次根式有意义的条件: .（2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：① ；② .（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质：（1） 非负性3.二次根式的运算：二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) 0()a≥0 2(2)(0)a = ≥ =(0,0)a b = ≥ ≥(00)a b = ≥>(0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根号外的因数合并。
二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律、公式）仍然适用二次根式提高测试题一、选择题1．要使式子x -1有意义，则x 的取值范围是（ ）A.x ≤1B.x ≥1C.x ＞0D.x ＞﹣12．下列式子成立的是（ ） A ．331= B ．2332=- C ．332=-）（ D.（3）2=6 3．化简8的结果是（ ）A ．2B ．4C ．22D ．±224．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A.2x B.8 C.2x D.12+x 5．如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别是1和，点A 关于点B 的对称点是点C ，则点C 所表示的数是（ ）A 2 1B ．2．2 2 D ．2 16．化简2723-的结果是（ ） A ．32- B ．32- C ．36- D ．2- 7．若代数式有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x ≥﹣2且x ≠﹣1 B.x ＞﹣2且x ≠﹣1C.x ≤2且x ≠﹣1D.x ＜2且x ≠﹣18．已知是整数，则实数n 的最大值是（ ）．A ．12B ．11C ．8D ．3二、填空题9．（3+7）（3﹣7）= ．10．已知a 、b 为两个连续的整数，且28b <，则a+b=________．11()2310m n -+=，则m ﹣n 的值为 ． 1221x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围为 ．13．已知x=3+1，y=3﹣1，则代数式yx x y +的值是 ． 14．若x ，y 为实数，且0)31(32=-+-y x ，则xy= ． 15. 若246m -234m -m 的值为 . 16. 若0,0a b <>3a b -化简得 .三、计算题17．计算：272833.）1（-+-；22)2664.(）2（÷-；227614.）3（⨯÷；)7581()3125.0.(）4（---．18．计算：10)41(2)31(-+-+-四、解答题19．已知某正数的两个平方根分别是a+3和2a-15,b 的立方根是-2，求3a+b 的算术平方根.20．先化简，再求值：(1).2222()a b a b a b a b--÷+，其中a =b =(2).()22a 2a 1b ab a a 1+++÷+，其中a 1b 1==，．学习《弟子规》验收试题一、默写（10分）1、亲有过，_____________，____________，____________。
人教版八年级下册第十六章 二次根式复习归纳总结(提高题参考答案详解)
第十六章 二次根式复习总结（一）知识归纳（1）二次根式定义：形如式子叫做二次根式。
二次根式的形式定义：①从形式上看，二次根式必须含有二次根号“”。
②被开方数a 可以是数，也可以是含有字母的式子，但a 必须是非负数,否则a 无意义。
③“”的根指数为2,即“ 2”，一般省略根指数2，写作“”.需要注意的是:(1)建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误记为正数）的要求．(2)提醒学生的是“数式通性”：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似）．(3)形如a b （a ≥o ）的式子也是二次根式，b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是假分数时不能写成带分数。
二次根式（根号）的双重非负性：)0(,0≥≥a a ；(1)注意：)0(≥a a 的最小值是0.(2)拓展：具有非负性的式子有：)0(0;0;02≥≥≥≥a a a a 若02=++c b a ，则a=b=c=0)0(≥a a（2）二次根式的性质：1、 是一个非负数；2、3、 (a )2＝ a (a ≥0) ；a 2＝||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)，(a ＝0)，(a <0).化简二次根式时注意: ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)a b ＝ab (a ≥0，b >0)2a 与2)(a 的对比：① 运算顺序不同：2)(a 是先求算术平方根再平方，2a 是先平方再求算术平方根；② a 的取值不同：2)(a 中a 的取值是0≥a ，而2a 中a 的取值是任意实数；③ 运算结果不同：2)(a =a （0≥a ）；2a =⎩⎨⎧<-≥=)0()0(||a a a a a ．总结：求使代数式有意义的字母取值范围的类型：二次根式型：被开方数大于或等于0； 分式型：分母不等于0；复合型：对于分式、根式组成的复合型代数式，应取其各部分字母取值范围的公共部分。
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4、已知：x 3 1, y 3 1, x 2 xy y 求 的值。 2 2 x y
2 2
提高练习：
5、已知： 4 x y -4 x 6 y 10 0,
2 2
2 x 1 y 2 2 求 x 9x y 3 - x 5x 的值。 3 y x x
巩固练习
6、化简（分母有理化） 1 2 1 27 y 6x 3x
二次根式的三个性质:
1、 a 0, a 0. （双重非负性）
2、 a
2
2
a(a 0)
a -a (a≥ 0) (a≤0)
3、 a =∣a∣=
32 7、计算：( 5) =____；( ) = _____; 4 2 2 (2 3) ______ ； (3 a ) _______
3、x取何值时，下列二次根式有意义？ （ 1 ） x +2 x≥-2 （2） -3-x x≤-3
1 X 取全体 2 （ 4） （3） x +1 3x 实数
x＞ 0
x≥0且
（5） x x≥0
5
x （6） x 1
x≠1
2、最简二次根式定义： （1）被开方数不含分母
（2）被开方数不含开的尽 方的因数或因式
a (a 0, b 0) b
加 、减、乘、除
1、二次根式的定义:
形如 a (a 二次根式.
5
( ×)
a (a 0)
( ×)
3
8
( ×)
a (a 0)
(√ )
C） 2. 下列各式一定是二次根式的是（ A. 1 B. D. 2 C. 2 x 1 x 1 x x
二次根式的乘除法法则
a b ab
a b a b
a≥0,b≥0
a 0, b 0
巩固练习：
1、计算： 3-4 -2 + 12
x 2 5 x 2、计算：3 2 x 8 x 4 501 2 1 3、计算：18 1 2 + 2 2
2
提高练习：
2
1 2 3 2 2 10 3、同类二次根式的定义：
几个二次根式化成最简二次根 式以后，如果被开方数相同，这几 个二次根式就叫做同类二次根式.
巩固练习
5、下列各式中，哪些是同类二次根式？ 2 75 1 50 a 6b 2b 1 27 3
2 3 8ab 3
4、分母有理化：
去掉分母中的二次根式 的变形叫分母有理化
巩固练习
3、化简
(1) 24,
(2) 72,
(3) 50
5 2
2 6
(4) 9a ,
6 2
(5) 2a ,
2
(6) a b
2 3
3 a
a 2
ab b
4、化简： (1) a b
4
a b
2
2
(2) 12a b 4a 3b 2a 3b
2
(3) 8a b
3
4
4a 2ab 2a 2ab
2
巩固练习：
(2) =____；
2 2
( 2 3) = _____;
2
(m 4) _____(m 4)； 9 x 6 x 1 ( 3x 1) _______
2 2
巩固练习：
8、ABC的三边满足 a b b c 0, 请你判断这个三角形的形状。
一、知识结构
四个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 分母有理化
1、 a 0, a 0. （双重非负性）
二 次 根 式
三个性质
2、
a
2
a a 0
2 a a 3、
a a 0
aa 0
两个法则
1
2 四种运算
a b
a b ab a 0, b 0
课堂小结