第三章通03班

矢量正交的概念可以推广到函数或信号。
3.2 信号在正交函数空间的分解
3.2.3 用正交函数表示信号 由n个正交矢量构成一个n维矢量空间，该矢量空间中的任意矢量均可按式 (3.2-4)进行分解。这同样可以推广到函数空间。
对于某给定信号，可以选择各种可能的完备正交函数集来表示。但三角函数集 和虚指数函数集是最重要、最方便的，这是因为它们具有一些显著的优点。
若 f (t )的频谱是 Fn ，则 f (t )的偶分量f e (t ) 的频谱是 Fn 的实部 ，即 Rn ；而 f (t ) 的奇分量 f o (t )的频谱是 Fn 的虚部乘以 j ，即 jI n 。 信号的频谱图和信号的波形图同样都形象地描述了信号的全部 特性，前者是信号的频域描述法，而后者是信号的时域描述法。
（3）由于 An 表示振幅，故 An 0
（4）当 f(t) 是实信号时，双边幅度频谱 Fn ~ n 0 是的 偶函数，双边相位频谱 n ~ n 0 的奇函数；
（5）为了使图形清晰，采用竖线代替点的办法来表示相应 幅度或相位的数值，称为谱线，谱线只在基波的整倍数处出 现。
3.3 周期信号的频谱
三角函数和指数函数是自然界中最常见、最基本的函数。 三角函数和虚指数函数是简谐函数，用它们表示信号，就自然建立了时间和频率 这两个基本物理量之间的联系。很多系统（例如滤波器、信息传输信道等）的特 性主要是由频域特性来描述的。 简谐信号容易产生、传输和处理。 三角函数（或指数函数）信号通过线性时不变系统后，仍为三角函数（或指数函 数）信号，其重复频率不变，只是幅度和相位发生变化，给计算带来方便。 三角函数和指数函数的加、减、乘、微分和积分运算后仍然是三角函数和指数函 数。
TFn
T 2
f
T
(t )e
j n 0 t
dt
(3.4-4)
3.4 非周期信号的频谱
当T
时， 0 ，用 d
2 T 2
f ( t ) dt
f (t ) a 0 (a n cos n 0 t bn sin n 0 t )
n 1

(3.1-2)
式中，也称基本角频率,系数a0 , an , bn 称为三角型傅里叶级数的系数，它 们分别为:
1 a 0 f (t )dt T T
3.1 周期信号分解为傅里叶级数
3.1.1 三角型傅里叶级数 由高等数学知识，以 T 为周期的周期信号 f(t) ，若满足下列狄里赫利 T （Dirichlet）条件： 1. 在一个周期内满足绝对可积，即

2. 在一个周期内只有有限个极大值和极小值； 3. 在一个周期内只有有限个不连续点。则可展开为如下三角型傅里叶 级数
3.3 周期信号的频谱
周期信号的频谱有如下特点：
离散性：谱线沿频率呈离散分布，这种频谱称 为离散频谱；
谐波性：各谱线间呈等距分布，相邻谱线间的 距离正好等于基波频率，不可能包含不是基波 整数倍的其它频率分量； 收敛性：Fn（或 An ）一般随 零。
t 总是趋于
3.3 周期信号的频谱
以后我们会看到，时域中的卷积运算在频域中会转变为乘积运算，从而找到了计 算积分的一种新的简便方法。
3.3 周期信号的频谱
式（3.1-4）和式（3.1-10）说明，周期信号可分解为 各次谐波频率分量的叠加，而傅里叶系数 An 或 Fn 反映 了不同谐波分量的幅度，n 或 n 反映了不同谐波分量 的相位。将它们沿频率 n 0 （或 ）轴分布的图形画 出来，就称为周期信号的频谱（Spectrum）图。 这种图形清晰地表征了周期信号的频域特性，从频域角 度反映了该信号携带的全部信息。 3.3.1 周期信号的单边频谱和双边频谱
T 2
3.1 周期信号分解为傅里叶级数
• 当f(t)是实周期信号时，其傅里叶复系数Fn的模 和实部是n0偶函数；Fn的相角和虚部是n0的 奇函数。 • 指数型傅里叶级数中出现负频率分量，这只是 一种数学表达形式，没有太多的物理意义。实 际上，正负频率分量总是共轭成对地出现。一 对共轭的正负频率分量之和构成一个实际的谐 波分量.
3.1 周期信号分解为傅里叶级数
上一章讨论了连续时间信号与系统的时域分析。它 是以冲激函数为基本信号，任意信号可以分解为一 系列加权的冲激信号之和，而系统的零状态响应是 输入信号与冲激响应的卷积。本章将以正弦函数或 虚指函数为基本信号，任意信号可以表示成一系列 不同频率的正弦信号或虚指函数信号之和。连续信 号与系统的频域分析就是将时间变量变换为频率变 量的分析方法，这种方法以傅里叶（Fourier）变换理 论为工具，将时间域映射到频率域，揭示了信号内 在的频率特性以及信号时间特性与频率特性之间的 密切关系。 一个连续时间信号若每隔一定的时间 T 按相同的变 换规律重复变化，此信号称为周期信号。
第3章 连续信号与系统 的频域分析
第3章 连续信号与系统的频域分析
• 3.1 周期信号分解为 傅里叶级数 • 3.2 信号在正交函数 空间的分解 • 3.3 周期信号的频谱 • 3.4 非周期信号的频 谱 • 3.7 相 关函 数 与 谱 密度 • 3.8 连 续系 统 的 频 域分析 • 3.9 信 号的 无 失 真 传输和理想滤波器 • 3.10 希尔伯特变换
n
F e
n
jn 0 t
(3.4-2)
和
1 Fn T
T 2
f
T 2
T
(t )e
j n 0 t
dt
(3.4-3)

3.4 非周期信号的频谱
由上节对周期矩形脉冲信号的讨论已经知道， 当T 变大时，基本角频率 0 2 / T 变小，相 应的离散谱线变密，此时各频率分量的幅度 也变小，频谱包络线的形状不变。当T趋于无 限大时，尽管频谱包络线的形状不变，但谱 线都趋于无穷小。如果此时仍然讨论展开为 傅里叶级数问题已经没有实际意义。为了描 述非周期信号的频谱特性，考虑到T非常大时， 就变得非常小，可用 来表示。式(3.4-3) T 可改写成 2
3.3.2 周期信号的功率谱 周期信号属于功率信号。为了方便，研究周期信号 在 1 电阻上消耗的平均功率，称为归一化平均功 率，如果 f (t ) 是实信号，无论它表示电压还是电流， 其平均功率为
1 P T


T
f 2 (t )dt

(3.3-2)
2 An (3.3-6) 2
式中，T 为周期信号的周期。
P F02 2 Fn
n 1 2 2 A0 n 1
式(3.3-6)称为帕什瓦尔（Parseval）定理。也称功 率等式。该式表明周期信号的平均功率不仅可以在 时域中求取，还可以在频域中确定。
3.3 周期信号的频谱
从式(3.3-6b)右边两项分别就是周期信号的直流分量 和各次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率，因此， 它表明了周期信号在时域中的平均功率等于频域中 的直流分量和各次谐波分量的平均功率之和。把各 2 2 平均功率分量即 Fn 随 n 0 变化的图形 Fn ~ n 0 称为周期信号的功率频谱，简称功率谱（ Power spectrum ）。显然，周期信号的功率谱也是离散频 谱。可见，功率谱是相应的双边幅度频谱的平方， 而与相应的相位谱无关。从周期信号的功率谱中可 以看出各平均功率分量的分布情况，另外还可以确 定在周期信号的有效频带宽度内谐波分量所具有的 平均功率占整个周期信号的平均功率之比。
Fn e jn 0t
(3.1-10)
这就是指数型傅里叶级数。将式(3.1-3)中的an和bn代入式(3.1-9a)即可求得指数 T 型傅里叶级数的系数
Fn T


2
f ( t )e j n 0 t dt
(3.1-11)
一般情况下，Fn是关于变量n0的复函数，故又称为指数型傅里叶级数的复系 数.
3.4 非周期信号的频谱
前面几节讨论了周期信号的频谱，在自然界里除了 周期信号外，还广泛存在着非周期信号。这些非周 期信号能否分解为指数型级数，应该如何分解。这 些就是本节要讨论的问题。 3.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
对于周期信号 fT (t ) 可以表示成指数型傅里叶级数, 即写成
f T (t )
2 a n f (t ) cos n 0 tdt T T 2 bn f (t ) sin n 0 tdt T T
n 1,2,
3.1 周期信号分解为傅里叶级数
利用信号波形的对称性，可以方便地求取傅里叶级数的系数。 1. f(t)为偶函数
f (t ) f ( t ) ，则 只含有常数项和余弦项；而 bn
3.3 周期信号的频谱
图合在一起称为的双边频谱。 （1）F0 A0 , 但当
Fn ~ n 0 称为双边幅度频谱，把 n 随 n 0 变化的图形 n ~ n 0 称为双边相位频谱。两
An n 0 时，Fn 2
；
画频谱图时必须注意下面几点：
;
（2）三角型傅里叶级数必须统一用余弦函数来表示；


0。
2. f(t)为奇函数
f (t ) f ( t ) , 则 只含正弦项；而 a0
3. f(t)为偶谐函数
0 , an 0 。
4.
若将式(3.1-2)中同频率项合并，即
T f ( t ) f (t ) ，偶半波对称,则 只含有偶次谐波。 2 f(t)为奇谐函数 T f (t ) f (t ) ，奇半波对称,则 只含有奇次谐波。 2
1 jn0t 1 jn0t jn 0t sin n 0t e e , cos n 0t e e jn0t 2j 2
于是，可将原傅里叶级数写成紧凑的形式




故三角型傅里叶级数和指数型傅里叶级数实质上是同一级数的两种不同的表现 形式。