3-3 系统内质量移动问题

dx dy 1 [( ) 2 ) 2 ] 2 dt ( t1 dt s dt
t2
该时间间隔内质点经过的路程
ds vdt
v v v
2 x 2 y
b Aab a F a (2 y 2 i xj ) i j ) 3 ( dx dy dr 3 2 2 2 3 0 2 y i i 0 3xj j 0 2 y 2 dx 0 3xdy J dx dy 27
a t et nen a a
a at2 2 an
4
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讨论5 已知质点的运动方程为 x (t), y (t) , x y
则 t1 时刻质点的位矢 r (t1 ) x(t 1 )i y (t 1 ) j
时间间隔 (t2 ) 内质点的位移 t1 该时间间隔内质点位移的大小
1 m m mv22 E E k p 0 G E 2 RE 解得:
v2
h
``````
2GM 2 gRE 2 v1 .2 3 m 11 10 s 1 R
黑洞的讨论 对任一星球,若要脱离其引力范围 的最小速度.
3. 飞出太阳系 第三宇宙速度 v 3 抛体脱离太阳系引力飞出太阳系必须的发射速度
例1 一轻质弹簧 k ,挂一质量为 M 的圆盘时,伸 长 l1,一个质量为m 的油质球从离盘高 h 处由静止 下落到盘上,然后与 盘一起向下运动,求向下运动 的最大距离 . 解:本题可分为三个运动过程,每一过 程运用相应的规律. 本题选择: 泥球,圆盘,弹簧和地球为系统
h
l1
A
m
l2
M
m
M
B明确各个过程:来自v v vE 有v vvE 3 3
抛体要脱离太阳引力(引力势能为零,动能至少为零)
m m 1 2 m v S 0 G 3 2 RS
v ( 3
2Gm S 1 2 ) RS
v v v E ( 3
2GmS 12 ) E v RS
2Gm S 12 ) E v RS 2 m m v 1 由牛顿二定律 G E S m E E v G mS ) 2 ( E R2 RS RS S m S 12 可得 v ( 2 1 )( G ) RS mEm 1 1 2 2 由 mv 3 G mv 2 RE 2 m 1 2 可得 v 3 (v2G E ) 2 km 16 4 s1 RE v v vE 3 (
E 0
E 0
m v v 讨论:⑴ 若m1 2 则 v1 20 v2 10 ⑵ 若m 2 >> m1 且 v20 得 v1 v10 v 2 0 0
⑶ 若m 2 << m1 且 v20 得 v1 10 0 v
1 1 1 1 2 2 2 2 动能守恒: m1v10 m2v 20 m1v1 m2 v 2 2 2 2 2 m2 10 2m2v20 v 2 m120 2m1v10 m v m v v1 1 2 m1 2 m m1 2 m
v2 v10 2
2.完全非弹性碰撞: 动量守恒: m1v10 2 v 20 m1 2 ) v m ( m 机械能损失: 1 1 1 2 E k 0 k (m1 2 )v 2 m1 v10 m 2 v2 ) E E m ( 20 2 2 2 3.非弹性碰撞: 动量守恒: m1v10 2 v20 1 v1 2 v2 m m m 碰撞定律: 碰撞后两球的分离速度(v 2-v 1)与 碰撞前两球的接近速度(v 10-v 20)成正 比.比值由两球的质料决定. v2 1 v 弹性碰撞: e =1 e v10 20 v 非弹性碰撞:0<e<1 e 称为恢复系数 完全非弹性碰撞:e =0
n n m'vC mi vi pi
i 1
0 其质心位矢: rC R 2 j
再对时间 t 求一阶导数,得
n d( pi ) 1 m' aC i dt
根据质点系动量定理
n
dt F
i 1 i 1
n
dpi
n
ex
i
in (因质点系内 i ) F 0
dvC ex F m' aC m' dt
dr (B) dt
(D)
v( t t) d
v (t ) dv
(
dx 2 dy ) )2 ( dt dt
a a 0
所以
dv a dt
对于作曲线运动的物体,以下几种说法 中正确的是( B ) (A)切向加速度必不为零; (B)法向加速度必不为零(拐点处除外); (C)由于速度沿切线方向,法向分速度必为零, 因此法向加速度必为零; (D)若物体作匀速率运动,其总加速度必为零; (E)若物体的加速度 a 为恒矢量,它一定作匀 变速率运动 .
r(t2) (t 2)i (t2) j x y [ [ x( t2 ) x (t1 )]i y (t 2 ) y ( t1 )] j r
讨论6 质点在力F y 2i xj(N)作用下沿图 2 3 示路径运动,则力F在路径oa,ab和ob上的功为: oa路径: F 3xj dr i j i dx dy dx 3 a A0 a F r 3x j i d dx 0 y(m)
b b Aab F (2 y 2i j ) j 9 dy dr a2 2 a 0 9 j j 0 9dy J dy 18
0 0 ab路径: F y 2 i j dr dyj 2 9
b(3,2)
2 2 [ [ x( t 2 ) x(t1 )] y( t 2 ) y (t1 )] r
作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以质 心的加速度— — 质心运动定律
i 1
例3 用质心运动定律来讨论以下问 题.一长为l,密度均匀的柔软链条, 其单位长度的质量为 .将其卷成一 堆放在地面. 若手提链条的一端,以 匀速v 将其上提.当一端被提离地面 高度为 y时,求手的提力. 解 建立图示坐标系 链条质心的坐标yc是变化的 mi yi λ y λl y ) y 2 y ( 0 yc i 2 λ l 2l mi
上式两边对时间 t 求一阶导数,得
ds 2 π sin d R R 圆环的质量 dm 2 π 2 sin R d
由于球壳关于y 轴对称,故xc = 0
m'
n drC dr mi i dt dt i 1
i 1
y R2 d 1 2 π sin yC m yd 2 m' π π 2 R R 2 cos sin d y R cos θ 所以 yC R 2
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四 宇宙速度 1.人造地球卫星 第一宇宙速度 v 1 地球半径为RE,质量为mE,抛 体质量为m,要使抛体在距离地面h 高度绕地球以速度 v 作匀速圆周运 动,求其最小的发射速度 v 1 .
h
``````
v
2. 人造行星 第二宇宙速度
v2
抛体脱离地球引力而必须具有的发射速度. (1)脱离地球引力处,抛体的引力势能为零. (2)脱离地球引力时,抛体动能至少为零. 由机械能守恒定律:
取太阳为参考系,设太阳的质量为ms ,抛体 距太阳为R s,抛体相对太阳的速度为 v 3 ,地球相对 太阳的速度为 v E ,抛体相对地球的速度为 v .
取太阳为参考系,设太阳的质量为ms ,抛体 距太阳为R s,抛体相对太阳的速度为v 3 ,地球相对 太阳的速度为 v E ,抛体相对地球的速度为 v .
M
B
l1
A
h
m
l2
M
m (2) 与 M 相碰撞,系统动量守恒 (为什么?)
M
mv m MV
m
mg 2 kh l 2 1 1 k M m g
m
M
B
2
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§3—8 质心
1 质心的概念 对质量离散分布的物系:
c c c c
2 质心的位置
y
c c c
m2
r2
ri mi
(3) 和 M共同向下运动,运动过程机 m 械能守恒(为什么?) 与M 碰撞 选重力势能零点:最底点(B) 选弹性势能零点:弹簧自然长度处(A)
A
m自由下落
m与M 共同向下运动
(1)m 自由下落有
1 mv 2 mgh 2
l1
v 2 gh
h
m
l2
有 1 M 2 m M 1 kl2 m V gl 2 1 2 2 1 2 Mg k l2 Mg kl1, k l1 2 l1 解得
1 解: 机械能守恒: 1 mv12 mE m mv2 mE m G G 2
由牛顿定律: G
2 E h R
v
mE m
RE
2
m
v2 RE h
RE h
v1
2GmE GmE RE RE h
g G
mE RE
2
h R E v1 gR E 7. 9 3 m 10 s 1
R v1 gRE (2 E ) RE h
h
v
v
2GM r
M 为该星球质量
r
为星球半径 首先抛体脱离地球引力场 设抛体脱离地球引力后,对地球的速度为 v
1 m m 1 2 mv 2 E mv G 2 3 RE 2
若v (光速) C 则任何物体都不可能从该星球中逃逸出来.
1 2 m m 1 2 mv 3 E mv G 2 RE 2
d y 0 dt 2
2
g l 得到 F y
d yC v l dt 2 l
2
F v 2 yg
1.掌握描述质点运动(包括圆周运动)的四个物理量 及矢量,标量表示. 2.掌握质点在平面内运动的两类基本问题: (1)已知运动方程,求v,a 或 a t,an. (2)已知a和初始条件,求v及运动方程. 3.理解伽利略速度变换式,求解简单相对运动问题. 4.掌握牛顿三定律的应用. 5.掌握动量定理和动量守恒定律. 6.掌握变力功的计算,理解保守力作功特点及势能概 念,掌握万有引力,重力,弹性力势能的计算. 7.掌握动能定理,功能原理和机械能守恒定律.