(3)第2章 信号分析基础

2.3 非周期信号与连续频谱
•
图2-5 非周期信号
2.3 非周期信号与连续频谱
• 2.3.1傅立叶变换
• 当周期T趋于无穷大时，相邻谱线的间隔 趋 近于无穷小，从而信号的频谱密集成为连续频谱 。同时，各频率分量的幅度也都趋近于无穷小， 不过，这些无穷小量之间仍保持一定的比例关系 。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密 度的概念。令
• 对于周期信号，在时域中求得的信号功率与在频域中求得 的信号功率相等。
2.3 非周期信号与连续频谱
• 2.3 非周期信号与连续频谱 • 非周期信号包括准周期信号和瞬态信号两种，其频谱
各有独自的特点：周期信号的频谱具有离散性，各谐波分 量的频率具有一个公约数——基频。但几个简谐具有离散 频谱的信号不一定是周期信号。只有各简谐成分的频率比 是有理数，它们才能在某个时间间隔后周而复始，合成的 信号才是周期信号。若各简谐信号的频率比不是有理数， 合成信号就不是周期信号，而是准周期信号。因此准周期 信号具有离散频谱，例如多个独立激振源激励起某对象的 振动往往是这类信号对于瞬态信号，不能直接用傅立叶级 数展开，而必须应用傅立叶变换的数学方法进行分解。
第2章 信号分析基础
2.1 信号的分类与描述
• 2.1 信号的分类与描述
• 2.1.1 信号的分类
• 信号是反映被测对象状态或特性的某种物理量。以信 号所具有的时间函数特性分类，信号主要分为确定性信号 与随机信号、连续信号与离散信号等。
• 1. 确定性信号与随机信号
• 确定性信号是指可以用精确的数学关系式来表达的信 号。确定性信号根据它的波形是否有规律地重复又可进一 步分为周期信号和非周期信号两种。
•
（2-21） F( j) lim Fn T 1 / T

lim
T
FnT
• 称为频谱密度函数。
2.3 非周期信号与连续频谱
• 非周期信号频谱的特点有： • （1）非周期信号可分解成许多不同频率的正弦、
余弦分量之和，但它包含了从零到无穷大的所有 频率分量； • （2）非周期信号的频谱是连续的； • （3）非周期信号的频谱由频谱密度函数来描述， 表示单位频宽上的幅值和相位（即单位频宽内所 包含的能量）； • （4）非周期信号频域描述的数学基础是傅立叶变 换。
2.1 信号的分类与描述
• 信号的幅值域描述是以信号幅值为自变量的信号表达 方式，它反映了信号中不同强度幅值的分布情况，常用于 随机信号的统计分析。由于随机信号的幅值具有随机性， 通常用概率密度函数来描述，概率密度函数反映信号幅值 在某一范围内出现的概率，提供了随机信号沿幅值域分布 的信息，它是随机信号的主要特征参数之一。以时间和频 率的联合函数来同时描述信号在不同时间和频率的能量密 度或强度，称为信号的时延描述。它是非平稳随机信号分 析的有效工具，可以同时反映其时间和频率信息，揭示非 平稳随机信号所代表的被测物理量的本质，常用于图像处 理、语音处理、医学、故障诊断等信号连续信号与离散信号 • 在信号的时间函数表达式中，按信号的取值时间是否
连续，将信号分为连续信号和离散信号。 • （1）连续信号 • 在一定时间间隔内，对任意时间值，除若干个不连续
点（第一类间断点）外，都可给出确定的函数值，即时间 变量t是连续的，此类信号称为连续信号。例如正弦信号 、直流信号、阶跃信号、锯齿波、矩形脉冲信号等都属于 连续信号。连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散 的，若时间变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号。 • （2）离散信号 • 在一定的时间间隔内，只在时间轴的某些离散点给出 函数值，此类信号称为离散信号。离散信号又可分为两种 ：时间离散而幅值连续的信号称为采样信号；时间离散且 幅值离散（量化）的信号称为数字信号。
• 随机信号是非确定信号，不具有重复性，任何一次测 量的结果只代表可能结果之一，但其值得变动仍服从某一 统计规律，因此可以用概率统计的方法来描述随机信号。 对随机信号所作的各次长时间观测记录称为样本函数，全 部样本函数的集合就是随机过程。
• 判断一个信号是确定性信号还是随机信号，通常是以 通过实验能否重复产生该信号为依据。在相同的条件下， 如果一个实验重复多次，在一定的误差范围内得到的信号 相同，则可以认为该信号是确定性信号，否则为随机信号 。
2.2 周期信号与离散频谱
• 图中每条竖线代表该频率分量的幅度，称为谱
线。连接各谱线顶点的曲线(如图中虚线所示)称为
包络线，它反映了各分量幅度随频率变化的情况
。需要说明的是，图2-1 (a)中，信号分解为各余弦
分量，图中的每一条谱线表示该次谐波的振幅(称
为单边幅度谱)，而图2-1 (b)中，信号分解为各虚
• 从数学分析已知，任一周期信号fx(t)在有限区 间（t，t+T）上满足狄里赫利条件时，即信号在定 义周期[0，T]内单调连续或只有有限个第一类间断 点、在此定义周期内有有限个极值点、f(t)绝对可 积，则信号f(t)可以展开成傅立叶级数。
•
（2-3） f
(t)

a0 2

n1
(an
cos nt
指数函数，图中的每一条谱线表示各分量的幅度
(称为双Fn边幅度谱，其中
)。 1 Fn Fn 2 An
• 类似地，也可画出各谐波初相角与频率(或角频率)
的线图，如图2-1 (c)、(d)所示，称为相位频谱，
简称相位谱。
2.2 周期信号与离散频谱
• 图2-1 周期信号的频谱 • 由图可见，周期信号的谱线只出现在频率为 0，，2，， 等离散频率上
• (2)谐波性 频谱中每条谱线只出现在基波频率的整数倍上 ，基波频率是各分量频率的公约数；
• (3)收敛性 各频率分量的谱线高度表示各次谐波分量的幅 值或相位角。工程上常见的周期信号其谐波幅值总的趋势 是随着谐波次数的增高而减小的。
2.2 周期信号与离散频谱
• 2.2.3周期信号的功率
• 周期信号是功率信号，为了方便，研究周期信号在1电 阻上消耗的平均功率，称为归一化平均功率。如果周期信
bn
sin
nt)
• 式中： T——信号周期；
• 2. 傅立里叶级数的复指数函数展开式
2.2 周期信号与离散频谱
• 2.2.2 周期信号的频谱
• 1.周期信号的频谱
• 如前所述，周期信号可以分解成一系列正弦信号或虚指数
信号之和，即
•
f
(t)

A0 2



n1
An
cos(nt（n2) -12）
规律变化且具有单一的频率。正弦函数的时间函数表达式 为
•
x(t) Asin(2 ft ) （2-2）
• 式中：A——振幅，f——频率，φ——初相位。当三个参数 已知时，正弦信号x(t) 在任一时刻的数值就可以完全确定 。
• 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周 期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信 号，其周期为T1和T2的最小公倍数，否则为非周期信号。
• （2）非周期信号 不具有周期重复性的信号。非周期信号 包括准周期信号和瞬态信号两类。
• 准周期信号是由有限个简谐周期信号合成的，但其中各简 谐分量之间无法找到公共周期，因而不能按基本周期重复 出现。
2.1 信号的分类与描述
• 瞬态信号是指或者在一定时间区域内存在，或者随时 间的增加而衰减至零的信号。它们的共同特点是过程突然 发生、时间极短、能量很大。
• （1）周期信号 定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T (或 整数N），按相同规律重复变化的信号，它满足关系式：
•
x(t) x(t nT ), n 0, 1, 2,（2-1）
• 满足上述关系的最小T称为该信号的周期。
2.1 信号的分类与描述
• 最简单的周期信号即简谐周期信号，是按正弦或余弦
2.1 信号的分类与描述
• 2.1.2 信号的描述 • 信号分析就是采用各种物理的或数学的方法提取有用
信息的过程，而信号的描述方法提供了对信号进行各种不 同变量域的数学描述，表征了信号的数据特征，它是信号 分析的基础。通常以四个变量域来描述信号，即时间域（ 简称时域）、频率域（简称频域）、幅值域和时延域。 • 以时间作为自变量的信号表达，称为信号的时域描述 。时域描述是信号最直接的描述方法，它反映了信号的幅 值随时间变化的过程，从时域描述图形中可以知道信号的 时域特征参数，即周期、峰值、均值、方差、均方值等。 它们反映了信号变化的快慢和波动情况，因此时域描述比 较直观、形象、便于观察和记录。 • 以信号的频率作为自变量的信号表达，称为信号的频 域描述。频域描述可以揭示信号的频率结构，即组成信号 的各频率分量的幅值、相位与频率的对应关系，因此在动 态测试技术中得到广泛应用。
号频谱的共同特点，它们的频谱都是离散的。周期性矩形
脉冲信号的频谱仅含有 n的各分量，其相邻两谱线的
间隔是
(

2 T
)，脉冲周期T愈长，谱线间隔愈小，频谱愈
稠密；反之，则愈稀疏。
• 3.周期信号频谱的特点
• (1)离散性 周期信号的频谱是由不连续的谱线组成，每条 谱线代表一个谐波分量。
• 2. 对称性
•
若偶函数的频谱函数为，则与波形相同的时域函数的频谱密度函数与原信
号有相似的波形。
• 3. 时移特性
•
时域信号沿时间轴右平移（延迟）时间，则在频域中所有频率分量相位落
后相位，而其幅度保持不变。
• 4. 频移特性
•
若 f (t) F( j，) 且 为0 常数，则 f (t)e j0t F[( j(，m频0)]移特性表明：若 时域信f (t)
•或 •

f
(t)

n
Fne
jnt
（2-13）