华东师大课标版九年级数学下册教案26.3 实践与探索(1)
2020九年级数学下册 第26章 二次函数 26.3 实践与探索(1)学案(无答案)(新版)华东师大版
26.3.1实践与探索（1）【学习目标】1.会根据二次函数的图象分析、解决问题。
2.在转化、建模中体会二次函数的实际意义。
3.感觉数学在生活中的运用，激发学习热情。
【重点】会用二次函数的性质解决问题。
【难点】构建二次函数的数学模型。
【使用说明与学法指导】先预习P21问题2，P26-27问题1内容，勾画课文中的重点，理清解题思路后，独立完成导学案，疑惑随时记录在课本或预习案上，准备课上讨论质疑；预 习 案一、预习导学：如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB ）的薄壳屋顶．它的拱宽AB 为4 m ，拱高CO 为0.8 m ．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？（画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图）二、我的疑惑:合作探究探究一：例1:在预习导学中，建立不同的坐标系，并求出函数表达式。
A B O C（1）（2）（3）A BOC探究二例2：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8 m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示:根据设计图纸已知：在图26.3.1（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54． (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少？(2)如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？课堂练习：在体育测试时，九年级一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，现测得这名男同学出手处A点离地面2米，铅球路线的最高处B点离地面4米，且B点与该同学水平距离为5米，请你建立合适的直角坐标系，并求出函数关系式。
华师大版数学九年级下册《26.3 实践与探索》教学设计2
华师大版数学九年级下册《26.3 实践与探索》教学设计2一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.3 实践与探索》主要介绍了利用函数解决实际问题，通过本节课的学习，使学生能够掌握利用函数解决实际问题的方法和步骤，培养学生的数学应用能力。
本节课的内容与生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和性质，能够理解函数与实际问题之间的关系。
但是，对于如何将实际问题转化为函数问题，以及如何利用函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生将实际问题与函数知识相结合。
三. 教学目标1.理解函数在解决实际问题中的应用，提高学生的数学应用能力。
2.培养学生将实际问题转化为函数问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
四. 教学重难点1.教学重点：函数在解决实际问题中的应用，以及如何将实际问题转化为函数问题。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题与函数知识相结合，利用函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂讨论。
2.案例教学法：分析实际问题，引导学生将其转化为函数问题，培养学生解决问题的能力。
3.小组合作学习：分组讨论，相互交流，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例，用于教学过程中的呈现和讨论。
2.准备PPT课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例引入课题，例如：某商场举行打折活动，原价100元的商品打8折，求打折后的价格。
让学生思考如何用数学知识解决这个问题。
2.呈现（10分钟）呈现一系列实际问题，引导学生将其转化为函数问题。
例如：（1）某商品的原价为a元，现进行n折优惠，求优惠后的价格。
（2）一辆汽车从出发点出发，以b米/秒的速度行驶，经过t秒后，求汽车行驶的距离。
26.3实践与探索-华东师大版九年级数学下册教案
26.3 实践与探索-华东师大版九年级数学下册教案知识点概述本课时的主要内容为“实践与探索”，是带领学生从计算单元中跳脱出来，走向实际应用中的一节课。
教师通过一个简单实际的案例，引导学生运用所学的知识点进行探索和解决问题。
主要的知识点有： - 一元二次方程：解一元二次方程的方法、二次函数的图像、二次函数的性质、根的判别式 - 代数式：代数式的概念、同类项、合并同类项、化简代数式 - 数据分析：构建数据表格、分析数据、求平均值和中位数教学目标通过本课的学习，学生将能够： - 运用所学的知识点，解决实际生活中的问题- 能够根据给定条件建立一元二次方程，解决相关问题 - 能够对数据进行分析，求平均值和中位数 - 能够灵活运用代数式的合并同类项和化简等技巧，简化计算过程教学重点•运用一元二次方程解决实际问题•数据分析中平均数和中位数的求解•代数式的同类项的合并教学难点•将实际问题转化为一元二次方程，并进行解题•中位数的概念和求解教学过程一、自主探究•学生小组分配任务，带领同学出门实地考察，在任务的过程中，积极倾听小组成员发言，并记录相关信息。
•教师通过一个实际案例引导学生完成构造数据表格，并对数据进行分析。
•根据构造的数据表格，教师通过一个实际案例，引导学生运用所学知识构建一元二次方程。
•解决问题：根据构建的一元二次方程解决问题。
二、巩固知识知识点1：一元二次方程•引入例题，教师讲解解一元二次方程的方法、如何通过二次函数图像求解一元二次方程，以及如何判断一元二次方程的根的情况。
•学生通过多组练习巩固一元二次方程的解法及其相关知识。
知识点2：代数式•引入例题，教师讲解代数式的概念、同类项、合并同类项和化简等相关知识点。
•学生通过多组练习巩固代数式的相关知识。
知识点3：数据分析•引入例题，教师讲解如何构建数据表格、如何分析数据，以及如何求解平均值和中位数等相关知识点。
•学生通过多组练习巩固相关知识。
三、拓展应用•在学生掌握基本知识点的情况下，教师设计一组拓展应用题，并将学生分组协作完成问题的解答。
九年级数学下册26.3实践与探索课件1(新版)华东师大版
由(2)(3)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定
价能使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.
牛刀小试
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价
30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经 验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高 1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在 半个月内获得最大利润?
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x)
=-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
创新学习
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会 减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会 少结5个橙子.
2.(09中考)某超市经销一种销售成本为每 件40元的商品．据市场调查分析，如果按每 件50元销售，一周能售出500件；若销售单价 每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价 为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ， 顶点坐标是 (-4 ，-1) 。当x=-4 时，函数有最 大 值 -1 。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ，顶 点坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小 值，
是1 。
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
26.3.1 建立二次函数模型解决实际问题 课件(共20张PPT)华东师大版数学九年级下册
4
y x2 2x 5 4
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
（2）y x2 2x 5 x 12 Nhomakorabea94
4
9
当x＝1时， y最大 4 .
∴ 喷出的水流距水平面的最大高度是 9 .
D或E的坐标
抛物线的函 数表达式
可设抛物线表达式 为 y＝ax2（a＜0）
顶点在原点 对称轴为y轴 开口向下
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面
的距离为2.4 m. 这时，离开水面1.5 m处，涵洞
宽ED是多少？是否会超过1 m？
解：设涵洞的横截面所成抛物线表达式为 y＝ax2（a＜0）
∵ AB＝1.6m ， ∴ CB AB 0.8 m 又由题可知OC＝2.4 m， 2
∴点B的坐标是（0.8，－2.4） 代入y＝ax2（a＜0） ，得－2.4＝a×0.82
∴ a 15 因此，函数关系式是 y 15 x2
4
4
问题2
一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.
现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面
所以涵洞宽ED是 2 10 ，超过1m. 5
练 练习 习
如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12 m、高6 m. 车辆双向
通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 m的范围内行驶，
并保持车辆顶部与隧道有不少于 1
3
m的空隙.
你能否根据这些要求，建立适当的平面直角
坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧
（1）写出出售该商品每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数 关系式. 利润=（售价－进价）×售出件数
华东师大版九年级下册数学26.3实践与探索(第3-1课时二次函数与一元二次方程的关系)
当k≤3时，Δ≥0，此时抛物线与x轴有交点.
因此,k≤3时，y关于x的函数y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1
的图象与x轴总有交点.
(2)关于z的方程去分母得：z-2=k+2z-6,k=4-z.
由于原分式方程有增根，其增根必为z=3.这时k=1,
这时函数y=-x2+2,它与x轴的交点是
1 2 15 已知函数 y x 7 x 2 2 ⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以 及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然 后画出函数图像的草图； (2)自变量x在什么范围内时，y随着x的增大而增 大？何时y随着x的增大而减少；并求出函数的最 大值或最小值。
倍速课时学练
例:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且 它的顶点为P，求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4x(-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有x2-2x-8=0 解方程得:x1=4,x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) ∴S△ABC=27
26.3实践与探索
第3课时
倍速课时学练
倍速课时学练
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况 ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax2+bx+c=0的根.
九年级数学下册第26章二次函数26.3实践与探索教学课件新版华东师大版
对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论.
课外作业
在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米 处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离 是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已 知球门高2．44米，问能否射中球门？
分析 根据已知条件，要求涵洞的宽ED，只要求出 FD的长度即可，即在如图所示的平面直角坐标系中， 求出点D的横坐标.因为点D在涵洞界截面的抛物线上， 又由已知条件可得到点D的众坐标，所以利用抛物线所 对应的函数表达式可以进一步算出点D的横坐标，你会 求吗？
画出函数 y x2 x 3 的图象，根据图象回答下列问
育才中学九年级（3）班的学生在上节课的练习
中出现了争论：求方程 x2 1 x 3 的解时，几乎 2
所有学生都是将方程化为 x2 1 x 3 3 的图象，观察它与x轴的交点，得 2
出方程的根.唯独小刘没有将方程移项，而是分别画
出了函数 y x2和y 1 x 3 的图象，如图，认为 2
第26章 二次函数
26.3 实践与探索
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题， 比如在奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮 球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你 知道二次函数在生活中的其他方面的运用吗？
某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂 直于水面竖立一根柱子，在柱子的顶端A处安装一个喷 头向外喷水，柱子在水面以上部分的高度为0.8m.水流 在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图。
根据设计图纸已知：在如图所示的平面直角坐标 系中，水面喷出的高度y(m)与水平距离之间的函数 关系式是 y x2 2x 5
4
（1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ （2）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池 外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的 水流都落在水池内？
华东师大版九年级下册数学26.3实践与探索(华师大版全)
1、抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于A、 B两点，与y轴交于C点. 点A、C的坐标分别 是（－1，0）、（0， ）. 3
2
(1) 求此抛物线对应的函数解析式； (2) 若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动 点，求△ABP面积的最大值.
灿若寒星
灿若寒星
1、抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴 交于A、B两点，与y轴交于C点. 点A、 C的坐标分别是（－1，0）、（0， 3 ）. (1) 求此抛物线对应的函数解析式； (2) 若点P是抛物线上位于x轴上方的一 个动点，求△ABP面积的最大值.
（2）解：由 y=-x2 +2x+5/4=-(x-1)2 +9/4=0时 解得x1=5/2 ,x2=-1/2(不符合题意，舍去）
答：水池的半径至少为5/2米时，才能使喷出的 水流都落在水池内。
灿若寒星
1、如图所示是一学生推铅球时，铅
球行进高度y(m)与水平距离x(m)的函数 关系式 y 1 x2 2 x 5 。
12 3 3
问：此学生把铅球推出多远？。
y
分析：此题实际上求抛物线与x轴的交点
∵y 0
∴ 1 x2 2 x 5 0
12
33
x2 8x 20 0
(x 10)(x 2) 0
o
x
x1 10
x2 2
(舍去)
∴此同学把铅球推出了10米
灿若寒知二次函数y=2(x+1)2+1,(-2≤x≤1），
则y的最小值是 1
，y的最大值
是9 。
灿若寒星
总结：
• 二次函数应用于抛物线的实物相当常见，如抛物线形的桥梁、隧 道、涵洞等。
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[本课知识要点]
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
[创新思维]
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，
很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函
数在生活中的其它方面的运用吗？
[实践与探索]
例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子
OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在
离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，
此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在
直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可
解决问题．
解 （1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为
C（如图26．3．3）．
由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），
因此，设抛物线为．
将A（0，1．25）代入上式，得，
解得
所以，抛物线的函数关系式为．
当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，
所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．
（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为．
由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7．
所以，水流最大高度应达3．7m．
[当堂课内练习]
1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9
米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球
打出边线？
2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离
为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面
3米，问此球是否投中？
[本课课外作业]
A组
1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离
是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？
2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）
之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距
离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方
0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
B组
4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距
0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利
用图b所示的坐标系进行计算．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．
5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图
所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面m，
入水处距池边的距离为4m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调
整好入水姿势时，否则就会出现失误．
（1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调
整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．