四川省广元市广元中学学年高一数学下学期第二次段考试题文【精选】
2023-2024学年四川省广元市高一下册期中数学质量检测模拟试题合集2套(含答案)
2023-2024学年四川省广元市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数πsin 213y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A.4π B.2πC.πD.π2【正确答案】C【分析】直接利用正弦型函数的周期公式求解即可.【详解】因为πsin 213y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以2ω=，则2ππ2T ==，即函数πsin 213y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故选：C.2.已知CA b = ，BA c = ，则BC = （）A.1122b c +B.b c +C.b c-D.c b-【正确答案】D【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】BC BA CA c b =-=-，故选：D.3.把函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位长度，再把所得图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()f x 的图象，则()f x =（）A.cos xB.cos x- C.cos 4xD.πsin 4x ⎛⎫-⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】根据三角函数平移和伸缩的原则即可得到答案.【详解】将函数sin 2y x =的图象向右平移π4个单位长度得ππsin 2sin 2cos 242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把图象上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得()cos f x x =-，故选：B.4.某班有男生20名，女生30名．一次数学考试（所有学生均参加了考试），男生数学成绩平均为92，女生数学成绩平均分为97，则该班数学成绩平均分为（）A.94B.94.5C.95D.95.5【正确答案】C【分析】根据平均数的计算公式即可得到答案.【详解】设该班数学成绩平均分为x ，根据平均数定义得209230979550x ⨯+⨯==分，故选：C.5.在ABC 中，45A =o ,75C =，BC =AC =（）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】由正弦定理可求得结果.【详解】180457560B =--= ，由正弦定理得sin 60sin 45AC BC=，得3sin 602sin 4522BC AC ⋅===故选：A6.在ABC 中，π3A =，2AB AC ⋅=，则该三角形的面积1sin 2AB AC A ⋅=（）A.B.C.2D.【正确答案】B【分析】利用向量的数量积公式得4AB BC ⋅=，再根据三角形面积公式计算即可.【详解】因为在ABC 中，π3A =，2AB AC ⋅=，所以1cos 22AB A A A C B C AC A B A ⋅=⋅⋅=⋅⨯= ，则4AB BC ⋅=，故113sin 4222ABC S AB AC A =⋅=⨯⨯= 故选：B.7.已知平面向量a ，b ，c 满足(2,1)a = ，(1,2)b = ，且a c ⊥.若b c ⋅= ，则||c = （）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】设(,)c x y = ，根据向量垂直、数量积的坐标表示列方程求c，最后用坐标公式求模即可.【详解】令(,)c x y =，则202a c x y b c x y ⋅=+=⎧⎪⎨⋅=+=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以||c ==.故选：A8.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，113b c a +=，cos A 的最小值为（）A.33B.66C.34D.58【正确答案】D【分析】对原式化简得a b c=+，再将其代入余弦定理结合基本不等式即可求出最值.【详解】11b c a +=，化简得a b c=+，2222222222222233325222cos 22228b c b c b c b c bc b c b c a b c bc bc bc A bc bc bc bc ⎛⎫+- ⎪+--++-⎝⎭+++===≥=，当且仅当b c =时等号成立，故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.函数π()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，π12，7π12是()f x 的两个相邻正零点，其中π12是()f x 最小的正零点．则（）A.π()2sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.π()2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C.曲线()y f x =的对称轴是ππ()26k x k =-∈Z D.()f x 在区间π5π2π,2π()36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递减【正确答案】BCD【分析】由图象可知2A =，7ππ21212T =-求出周期T ，再利用周期公式可求出ω，再由π12是()f x 最小的正零点可求出ϕ的值，从而可求出()f x 的解析式，然后逐个分析判断.【详解】由图象可知2A =，7πππ212122T =-=，则πT =，所以2ππT ω==，0ω>，得2ω=，所以π()2sin(2)2f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，因为π12是()f x 最小的正零点，所以π2sin 2012ϕ⨯+⎛⎫⎪⎝⎭= ，则ππ,Z 6k k ϕ+=∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，所以π()2sin(2)6f x x =-，所以A 错误，B 正确；对于C ，由ππ2π,Z 62x k k -=-+∈，得ππ,Z 62k x k =-+∈，所以曲线()y f x =的对称轴是ππ()26k x k =-∈Z ，所以C 正确；对于D ，由ππ3π2π22π,Z 262k x k k +≤-≤+∈，得π5πππ,Z 36k x k k +≤≤+∈，所以()f x 的减区间为π5ππ,π(Z)36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在区间π5π2π,2π()36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递减，所以D 正确.故选：BCD10.已知sin cos 3αα+=，则（）A.447sin cos 9αα+= B.5cos 49α=C.2tan 11tan 3αα=-+ D.315sin 6α+=【正确答案】AC【分析】将已知等式两边平方得2sin 23α=-，将44sin cos αα+配方，利用二倍角正弦公式可求出44sin cos αα+79=，可知A 正确；利用二倍角的余弦公式求出1cos 49α=，可知B 不正确；由22sin cos 3αα=-弦化切可得C 正确；联立223sin cos 3sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩求出sin α，可知D 不正确.【详解】因为sin cos 3αα+=，所以()2sin co 1s 3αα+=，所以112sin cos 3αα+=，所以22sin cos 3αα=-，所以2sin 23α=-，442222sin cos (sin )(cos )αααα+=+22222(sin cos )2sin cos αααα=+-2211271sin 21()2239α=-⨯=-⨯-=，故A 正确；由2sin 23α=-得241cos 412sin 21299αα=-=-⨯=，故B 不正确；由2sin 23α=-得22sin cos 3αα=-，得222sin cos 2sin cos 3αααα=-+，得22tan 21tan 3αα=-+，得2tan 11tan 3αα=-+，故C 正确；联立223sin cos 3sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得315sin 6cos 6αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或315sin 6cos 6αα⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故D 不正确.故选：AC11.已知复数1z ，2z ，3z 均为虚数，312z z z =，则（）A.1230z z z <B.312z z z =⋅C.31211z z z -为实数D.存在某个实系数三次方程，这个三次方程的三个根为12z z ，3z ，123z z z 【正确答案】BD【分析】令12i,i(,,,R)z a b z c d a b c d =+=+∈，则312()()i z z z ac bd ad bc ==--+，然后逐个分析判断即可.【详解】令12i,i(,,,R)z a b z c d a b c d =+=+∈，则312()()i z z z ac bd ad bc ==--+，对于A ，123(i)(i)[()()i]z z z a b c d ac bd ad bc =++--+[()()i][()()i]ac bd ad bc ac bd ad bc =-++--+22()()0ac bd ad bc =-++≥，所以A 错误，对于B，因为3z ==12z z ⋅==，所以312z z z =⋅，所以B 正确，对于C ，1232231212311()()i [()()i]()()z z z ac bd ad bc ac bd ad bc z z z z z z ac bd ad bc --++---+-==-++222()i ()()ad bc ac bd ad bc +=-++，不一定为实数，所以C 错误，对于D ，因为12()()i z z ac bd ad bc =-++，3()()i z ac bd ad bc =--+，22123()()z z z ac bd ad bc =-++，所以12z z ，3z ，123z z z 是方程22222[()()][2()()()]0x ac bd ad bc x ac bd x ac bd ad bc ---+--+-++=的根，所以D 正确，故选：BD12.在ABC 中，π3A =，2AB =，6AC =，AD 是三角形的中线．E ，F 分别是AB ，AC 边上的动点，AE xAB= ，AF y AC =（x ，(]0,1y ∈），线段EF 与AD 相交于点G ．已知ABC 的面积是AEF △的面积的2倍，则（）A.12xy =B.x ＋y的取值范围为2⎤⎦C.若AG AD λ= ，则λ的取值范围为22,32⎡⎢⎣⎦D.AG EF ⋅的取值范围为1137,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】ACD【分析】利用三角形面积公式即可得到12xy =，利用对勾函数的性质和基本不等式即可判断B ，利用共线向量定理的推论即可判断C ，利用转化法计算AG EF ⋅即可判断D.【详解】对A，1sin 23ABCS AB AC AC π==，1sin 2344AEFS AE AF x AB y AC xy AB AC π===，又因为2ABC AEF S S =△△24AC xy AB AC =⨯ ，解得12xy =，故A正确，对B ，因为12xy =，(],0,1x y ∈，则112y x =≤，解得12x ≥，则112x ≤≤，则12x y x x +=+≥=当且仅当22x =时等号成立，根据对勾函数的图象与性质可知当12x =或1时，max 1322x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则32x y ⎤+∈⎥⎦，故B 错误，对C ，因为1122AD AB AC =+ ，AG AD λ=，所以22AG AB AC λλ=+ ，因为点,,E G F 三点共线，则存在R μ∈，使得()1AG AE AF μμ=+- ()1x AB y ACμμ=+-则有()212x y λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则y x y μ=+，2122,32xy x y x y λ⎡==∈⎢++⎣⎦，故C 正确；对D ，1()2()AG AD AB AC x y λ==++ ，EF AF AE y AC xAB =-=- ，则()1()2()AG EF AC AB y AC xABx y ⋅=+-+ ()2212()AG EF y AC y x AC AB xAB x y ⎡⎤⋅=+-⋅-⎢⎥⎣⎦+ ()221166222()2y y x x x y ⎡⎤=⨯+-⨯⨯⨯-⨯⎢⎥+⎣⎦2222221521521513251122x y x xy x x y x xy x x ---====++++，因为112x ≤≤，则2133,242x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则21311375,1332x ⎡⎤-∈⎢⎣⎦+，故D 正确.故选：ACD.关键点睛：本题较难的CD 选项的判定，需要利用共线向量定理的推论，从而得到()212x y λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，然后解出21xy x y x yλ==++，从而得到其范围；对于D 选项，则利用转化法来计算AG EF ⋅ ，最后得到215y x AG EF x y-⋅=+ ，再进行消元转化为单变量表示即可得到其范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数i()z a a =+∈R 满足i 0z z ⋅+=，则a ＝______．【正确答案】1【分析】根据复数乘法以及共轭复数的概念代入计算即可得到关于a 的方程，解出即可.【详解】()()i i i i 11i 0z z a a a a ⋅+=++-=-+-=，则10a -=，解得1a =，故1.14.心理健康问题是青少年成长的重要问题，某校为了解1500名高一新生（其中男生700名）心理健康情况，按性别分层用分层抽样的方法从中抽取45人进行科学的心理健康调查，抽取的女生人数是______．【正确答案】24【分析】利用分层抽样比例一样求解即可.【详解】设抽取的女生人数为x ，则抽取的男生人数为45x -，所以45457001500x -=，解得24x =.所以抽取的女生人数为24.故答案为.2415.已知向量)a =，(2cos ,2sin 1)()b θθθ=+∈R ，当a b ⋅取得最大值时，a b += ______．【分析】先利用向量数量积的坐标表示与辅助角公式，求得a b ⋅ 取得最大值时θ的值，从而求得a b +，再利用向量模的运算公式即可得解.【详解】因为)a =，(2cos ,2sin 1)()b θθθ=+∈R，所以31π2sin 1414sin 1223a b θθθθθ⎛⎫⎛⎫⋅=++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当ππ2π(Z)32k k θ+=+∈，即π2π(Z)6k k θ=+∈时a b ⋅ 取最大值415+=，此时ππ2cos 2π,2sin 2π166b k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以a b +=，所以||a b +==.16.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，22b ac a =+，则b 的取值范围为______．【正确答案】【分析】利用正、余弦定理得2A B =，再利用正弦定理得2cos b a A =，最后根据三角形为锐角三角形求出cos A 的范围即可得到答案.【详解】由余弦定理得22222cos b a c ac B a ac =+-=+，则2cos c a B a =+，则根据正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A =+，又因为()C A B π=-+，sin()2sin cos sin A B A B A ∴+=+，即sin cos cos sin 2sin cos sin A B A B A B A +=+，化简得sin sin()A B A =-，因为ABC 是锐角三角形，则π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,22B A ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，则则A B A =-，则2A B =，则π02203ππ0π32A A A ⎧<<⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎩，解得ππ64A <<，根据正弦定理有sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin b B A A A A a A A A====∈，2a =，b ∴∈，故答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z 满足i (1i)14i z z ⋅+⋅+=+．（1）求z ；（2）若()kz k z+∈R 为纯虚数，求k 的值．【正确答案】（1）12i =-z （2）5k =-【分析】（1）设i z b a =+，,R a b ∈，根据复数的乘法运算和共轭复数的概念即可得到方程组，解出即可；（2）根据复数的乘除法运算即可得到答案.【小问1详解】设i z b a =+，,R a b ∈，(i)i (1i)14i a b z +⋅+⋅+=+，(i)i (i)(1i)14i a b a b +⋅+-+=+，(2)i 14i a a b +-=+，24211a b b a a ⎧-==-⎧⇒⎨⎨==⎩⎩，则12i =-z 【小问2详解】()()()()()12i 5210i 12i 12i 12i 12i 12i 5k k k k k z z +++-+=-+=-+=--+，因为()kz k z+∈R 为纯虚数，则50k +=，且2100k -≠，解得5k =-.18.已知角α，β的顶点都在原点O ，始边都与x 轴非负半轴重合，点()3,4A 在α的终边上，点()12,5B -在β终边上．（1）求()cos αβ+的值；（2）若π2α<，π02θ-<<，7sin()25αθ+=，求πtan 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【正确答案】（1）5665（2）17【分析】（1）利用三角函数定义和两角和与差的余弦公式即可得到答案；（2）首先求出24cos()25αθ+=，再利用两角和与差的正弦公式以及正切公式即可得到答案.【小问1详解】由题意得3cos 5α==，4sin 5α==，12cos 13β==，5sin 13β-==，则()3124556cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭.【小问2详解】π2α<，ππsin 22α∴-<<，又4sin 05α=> ，π02α∴<<，因为π02θ-<<，所以ππ,22αθ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以24cos()25αθ+==，所以[]sin sin ()sin()cos cos()sin θαθααθααθα=+-=+-+7324432552555=⨯-⨯=-，所以4cos 5θ==，sin 3tan cos 4θθθ==-，π3tan tan1π144tan π3471tan tan 1144θθθ+-+⎛⎫+=== ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅--⨯ ⎪⎝⎭.19.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为11sin sin 22S bc A ac B ==，()6S b a c =+．（1）若2sin 3A =，求cos B ；（2）若3b =，π3B =，求S ．【正确答案】（1）19-（2）332【分析】（1）根据三角形面积公式，得a c =，再根据正弦定理，边角互化，结合cos cos()B A C =-+，即可求解；（2）根据条件，变形得32ac a c =+，再结合余弦定理求ac ，代入三角形面积公式，即可求解.【小问1详解】因为()6S b a c =+，所以()16sin 2bc A b a c ⨯⨯=+，因为2sin 3A =，所以233c a c ⨯=+，即a c =，所以2sin sin 3C A ==，且A C =，所以()21cos cos()cos 212sin 9B AC A A =-+=-=--=-.【小问2详解】因为()6S b a c =+，所以()16sin 2bc A b a c ⨯⨯=+，即3sin c A a c =+，因为3b =，π3B =，3πsin sin sin 3abA B ===sin A =32ac a c =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得()()222239334a c ac a c ac ac ac =+-=+-=-，解得6ac =或2ac =-（舍去），所以1sin 22S ac B ==.20.已知函数22()(sin cos )1f x x x x =++．（1）求曲线()y f x =对称中心的坐标；（2）5π0,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()2f x a -≤，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）ππ(,0)26k -()k ∈Z （2）01a ≤≤【分析】（1）化简()f x ，根据正弦函数的对称中心可求出结果；（2）利用正弦函数的最值求解可得结果.【小问1详解】22()(sin cos )1f x x x x =++-1cos 21sin 212xx +=++sin 22x x=π2sin(2)3x =+，由π2π3x k +=()k ∈Z ，得ππ26k x =-()k ∈Z ，所以()y f x =的对称中心的坐标为ππ(,0)26k -()k ∈Z .【小问2详解】当5π[0,12x ∈时，ππ7π2[,]336x +∈，π()2sin(2)[1,2]3f x x =+∈-，又()2f x a -≤2()2a f x a ⇔-≤≤+，所以2122a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得01a ≤≤.21.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a b c +=．（1）求C 的最大值；（2）求sin sin sin CA B的取值范围．【正确答案】（1）3π（2）23,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由余弦定理结合已知条件可得23cos 12c C ab=-，再利用基本不等式可求出1cos 2C ≥，从而可求出C 的最大值；（2）由已知条件结合基本不等式可得2c ab ≥，再由正弦定理得2sin sin sin C A B ≥，所以sin 1sin sin sin C A B C ≥，由（1）知03C π<≤，则可求出sin C 的范围，从而可求得结果.【小问1详解】由余弦定理得22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab+-+--==，因为2a b c +=，所以2222(2)2323cos 1222c ab c c ab c C ab ab ab---===-，因为2c a b =+≥，当且仅当a b =时取等号，所以2c ab ≥，当且仅当a b =时取等号，所以2331cos 11222c ab C ab ab =-≥-=，当且仅当a b =时取等号，因为(0,)C π∈，所以03C π<≤，所以C 的最大值为3π，【小问2详解】因为2c a b =+≥，当且仅当a b =时取等号，所以2c ab ≥，当且仅当a b =时取等号，所以由正弦定理得2sin sin sin C A B ≥，当且仅当A B =时取等号，所以2sin sin 1sin sin sin sin C C A B C C ≥=，当且仅当π3A B ==时取等号，由（1）知03C π<≤，所以30sin sin 32C π<≤=，所以123sin 3C ≥，所以sin sin sin 3C A B ≥，当且仅当A B =时取等号，即sin sin sin CA B的取值范围为,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.22.已知H 是ABC 内的一点，1143AH AB AC =+ ．（1）若H 是ABC 的外心，求∠BAC ；（2）若H 是ABC 的垂心，求∠BAC 的余弦值．【正确答案】（1）π4（2）6【分析】（1）设D 为AB 的中点，E 为AC 中点，利用基底法得1134DH AC AB =-，再计算0DH AB ⋅= 得4cos 3b A c =，同理利用0EH AC ⋅=得6cos 4c A b =，联立即可得到A 的大小；（2）利用基底法得1143AH BC AB BC AC BC ⋅=⋅+⋅，再结合向量数量积的含义和余弦定理有22277c b a -=，同理根据0BH AC ⋅= 得222990a c b --=，再利用余弦定理即可得到答案.【小问1详解】设D 为AB 的中点，E 为AC 中点，H 是ABC 的外心，所以AH BH CH ∴==，∴点H 在边AB 和AC 的垂直平分线上，,DH AB EH AC ∴⊥⊥，1111124334DH DA AH AB AB AC AC AB =+=-++=-，21111cos 03434DH AB AC AB AB AB bc A c ∴⋅=⋅-⋅=-= ，即4cos 3b A c =①，同理，()111432EH AC AH AE AC AB AC AC AC⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅ ⎪⎝⎭22111111cos 0464646AB AC AC AB AC AC bc A b ⎛⎫=-⋅=⋅-=-= ⎪⎝⎭可得3cos 2c A b =②，联立①②得21cos 2A =，而cos 0A >，则2cos 2A =，()0,πA ∈ ，π4A ∴=.【小问2详解】H 是ABC 的垂心，AH BC ∴⊥，即0AH BC ⋅=，1143AH AB AC =+ ，()2211111432341AH BC AB AC AC AB AB AB AC AC⎛⎫∴⋅=+⋅-=--⋅+ ⎪⎝⎭22222111042312b c a c bc b bc +-=--⋅+=化简得22277c b a -=，①同理13()34BH AC AH AB AC AC AB AC⎛⎫⋅=-⋅=-⋅ ⎪⎝⎭222222131313cos 03434342b c a AC AB AC b bc A b bc bc+-=-⋅=-=-⋅= ，化简得222990a c b --=，②，联立①②得222732c b =，则223227c b =，c =，则()2222222222232868627cos 222677b bb c b c abcA bc bcbcc b -⨯+-+--=-====.关键点睛：本题的关键是通过基底法转化计算向量数量积，从而得到方程组，再结合余弦定理得到角的余弦值.2023-2024学年四川省广元市高一下册期中数学质量检测模拟试题一、单选题（每小题5分，共计40分）1.sin 24cos6cos 24sin 6+的值为（）A.2B.2C.12D.3【正确答案】C【分析】利用两角和的正弦公式求解.【详解】()1sin24cos6cos24sin6sin 246sin 302+=+==.故选：C.2.为了得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图象（）A.向左平移π3个单位长度 B.向右平移π3个单位长度C.向上平移π3个单位长度 D.向下平移π3个单位长度【正确答案】A【分析】由平移变换的规则求解即可.【详解】将函数sin y x =的图象向左平移π3个单位长度即可得到函数πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.故选：A.3.已知向量()2,1m x =与向量11,22n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭垂直，则x =（）A.14B.-14C.12D.-12【正确答案】C【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求参数即可.【详解】()2,1m x = 与11,22n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭垂直，()1112,1,0222m n x x ⎛⎫∴⋅=⋅-=-= ⎪⎝⎭，即12x =.故选：C4.在ABC 中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ．若1a =，3b =，c =，则角C 等于（）A.90°B.120°C.60°D.45°【正确答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】由题可知222222131cos 22132a b c C ab +-+-===-⨯⨯,因为0180C ︒<<︒,故120C =︒.故选：B.5.在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，2AO AE = ，则BE =（）．A.3144AB AD -+B.1344AB AD +C.1344AB AD -+D.3144AB AD +【正确答案】A【分析】根据向量的线性运算直接计算.【详解】由已知对角线AC 与BD 交于点O ，2AO AE = ，则()11114444AC AB AD AB AE AD ==+=+，所以11314444B A E AD =-=+-=-+，故选：A.6.下列不等式成立的是（）A.sin 60sin 50sin 40<<B.tan 60tan 50tan 40<<C.cos60cos50cos 40>>D.cos80sin 80tan 80<<【正确答案】D【分析】分别判断正弦、余弦、正切、的单调性，判断选项A ，B ，C ，再结和正弦余弦正切单调性及诱导公式找中间值比较即可判断D 选项.【详解】A 选项：因为sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且605040>> ，所以有sin 60sin 50sin 40>> ，故A 错误；B 选项：因为tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且605040>> ，所以有tan 60tan 50tan 40>> ，故B 错误；C 选项：cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且605040>> ，所以有cos 60cos50cos 40︒<︒<︒，故C 错误.D 选项：因为sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且8010> ，所以1sin 90sin 80sin10cos80=>>= ，由tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且8045> ，所以tan 80tan 451>= ，所以cos80sin 80tan 80<< ，故选：D.7.如图所示，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若311AP AB mAC =+ ，则实数m 的值为（）A.1011B.811C.211D.111【正确答案】C【分析】根据给定条件，可得3411AP AB mAN =+，再利用共线向量的推论列式计算作答.【详解】在ABC 中，13AN NC = ，即4AC AN =，又311AP AB mAC =+ ，因此3411AP AB mAN =+ ，而点B ，P ，N 共线，于是34111m +=，解得211m =，所以实数m 的值为211.故选：C8.设向量a 与b 的夹角为θ，定义sin cos a b a b θθ⊕=- ，已知a = ，1b a b ==- ，则a b ⊕= （）A.12B.2C.2D.【正确答案】B【分析】根据数量积求模长的公式计算1a b -=，可得2cos 2θ=，计算出2sin 2θ=，再代入sin cos a b a b θθ⊕=- ，利用数量积求模长公式计算即可.【详解】a = ，1b a b ==- ，1a b ∴-= ，得2cos 1cos 2a b a b θθ⋅==⇒=，[]0,πθ∈ ，2sin 2θ∴=，2a b b ∴-⊕=2===.故选：B二、多选题（每小题5分，全对得5分，漏选得2分，错选0分，共计20分）9.下列说法中，错误的是（）A.若a b = ，则a b = 或a b=- B.向量AB与CD 是共线向量，则四点,,,A B C D 必在同一条直线上C.向量AB 与BA是平行向量D.任何两个单位向量都是相等向量【正确答案】ABD【分析】利用向量及向量共线的定义对选项逐一判断即可.【详解】向量是既有大小又有方向的量，若a b = ，则a 和b大小相同，方向不一定相同，故选项A说法错误；向量AB与CD是共线向量，则AB与CD方向相同或反向，点,,,A B C D 可能在一条直线上，也可能组成平行四边形，故选项B 说法错误；向量AB与BA 方向相反，是平行向量，故选项C 说法正确；单位向量模长相同，方向不一定相同，故选项D 说法错误；故选：ABD10.已知平面向量()1,0a =，(b = ，则下列说法正确的是（）A.||16a b +=B.()2a b a +⋅=C.向量+a b 与a 的夹角为30°D.向量+a b 在a 上的投影向量为2a【正确答案】BD【分析】根据向量模长的坐标计算即可判断A ，根据数量积的坐标运算可判断B,由夹角公式可判断C ，由投影向量的求解公式可判断D.【详解】((11,0a b +=++= ，所以4a b += ，故A错误；()1202a a b ⋅+=⨯+⨯=，故B 正确；()1cos ,2a a b a a b aa b⋅+<+>==+，(),0,πa a b <+>∈ ，a ∴< ，π3a b +>=，故C 错误；向量+a b 在a 上的投影向量为()2·21a ab a a a a a ⋅+=⨯=，故D 正确．故选：BD11.已知函数()()πtan 312f x x ϕϕ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭的图象经过点π,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A.π3ϕ=B.()f x 的最小正周期为π3C.()f x 的定义域为5π2π,183k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ZD.不等式()2f x <的解集为ππ7ππ,183363k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z 【正确答案】BD 【分析】将点π,19⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 中，再结合π2ϕ<即可求得ϕ的值，从而即可判断A ；求正切函数的最小正周期即可判断B ；求正切函数的定义域即可判断C ；解不等式()2f x <即可判断D ．【详解】对于A ，由题知ππtan 1193f ϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πtan 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-，A 错误；对于B ，()f x 的最小正周期ππ3T ω==，B 正确；对于C ，令ππ3π32x k -≠+，k ∈Z ，则5ππ183k x ≠+，k ∈Z ，所以()f x 的定义域为5ππ,183k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，C 错误；对于D ，令πtan 3123x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，则πtan 313x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，得ππππ3π234k x k -+<-<+，k ∈Z ，即ππ7ππ183363k k x -+<<+，k ∈Z ，所以不等式()2f x <的解集为ππ7ππ,183363k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，D 正确．故选:BD12.已知P 为ABC 所在的平面内一点，则下列命题正确的是（）A.若P 为ABC 的垂心，2AB AC ⋅= ，则2AP AB ⋅=B.若P 为锐角ABC 的外心，AP xAB yAC =+且21x y +=，则AB BC=C.若()R sin sin AB AC AP AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭ ，则点P 的轨迹经过ABC 的重心D.若111122cos cos AP AB AC AB B AC C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点P 的轨迹经过ABC 的内心【正确答案】ABC【分析】根据0AB PC ⋅= ，AC AP PC =+计算可判断A ；设D 为AC 中点，则根据题意得,,B P D三点共线，且PD AC ⊥，进而得AB BC =判断B ；设BC 中点为E ，进而结合正弦定理得2sin AP AE AB Bλ= 可判断C ；设BC 中点为E ，根据题意计算AP BC ⋅ 得0AP BC AE BC ⋅⋅-= ，进而得0EP BC =⋅可判断D.【详解】解：对于A 选项，因为AC AP PC =+ ，2AB AC ⋅=，又因为P 为ABC 的垂心，所以0AB PC ⋅=，所以()2AB AC AB AP PC AB AP AB PC AB AP ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅= ，故正确；对于B 选项，因为AP xAB yAC =+且21x y +=，所以()12AP y AB y AC =-+，整理得：(2)AP AB y AC AB -=- ，即()BP y BC BA =+ ，设D 为AC 中点，则2BP yBD =，所以,,B P D 三点共线，又因为PD AC ⊥，所以BD 垂直平分AC ，故AB BC =，正确；对于C 选项，由正弦定理sin sin AC AB BC=得sin sin AC C AB B =，所以()sin sin sin AB AC AP AB AC AB B AC C AB B λλ⎛⎫ ⎪=+= ⎪⎝⎭+，设BC 中点为E ，则2AB AC AE += ，所以2sin AP AE AB Bλ=，所以,,A P E 三点共线，即点P 在边BC 的中线上，故点P 的轨迹经过ABC的重心，正确；对于D 选项，因为111122cos cos AP AB AC AB B AC C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11cos cos 12AB AC AB AC AB B AC C =+++ ，设BC 中点为E ，则2AB AC AE += ，所以11cos cos AP AB AC AE AB B AC C+=+，所以11cos cos AP BC AB BC AC BC AE BC AB B AC C ⋅+⋅⋅=+⋅BC BC AE BC AE BC =-=++⋅⋅，所以0AP BC AE BC ⋅⋅-=，即()0AP AE BC -=⋅ ，所以0EP BC =⋅，故P 在BC 中垂线上，故点P 的轨迹经过ABC 的外心，错误.故选：ABC三、填空题（每小题5分，共计20分）13.平面向量22a m m →=+（，），1,1b →=（）.若//a b →→，则实数m 的值是______.【正确答案】2或1-【分析】利用向量共线的坐标运算关系即可求解.【详解】平面向量22a m m →=+（，），1,1b →=（），若//a b →→，则22m m =+，解得2m =或1m =-.故2或1-14.已知向量a ，b 的夹角为120°，且2a b ⋅=-，4b = ，则a = ________．【正确答案】1【分析】根据向量数量积的概念，列出式子即可求出结果.【详解】由cos ,2a b a b a b ⋅==-得211cos12042a b a b ⋅-===⎛⎫︒⨯- ⎪⎝⎭．故1.15.已知α，β满足π04α<<，π4π34β<<，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=______．【正确答案】5665-【分析】根据题意得到,ππs o 4s 4in c αβ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值，然后由正弦的和差角公式，代入计算即可得到结果.【详解】因为π04α<<，则πππ442α<+<，因为π4π34β<<，则πππ24β<+<，所以445πsin α⎛⎫+==⎪⎝⎭，5413πcos β⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，则()ππsin sin 44αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππcos cos sin 444sin 4αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭453125651351365⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭故答案为:5665-16.对于三角形ABC 形状的判断，以下说法正确的有：__________①若cos cos a B b A=，则ABC 为等腰三角形；②若AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，则ABC 为等边三角形．③sin cos A B =，则ABC 为直角三角形．④若ABC 平面内有一点O 满足：0OA OB OC ++=，且OA OB OC == ，则ABC 为等边三角形⑤若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形．【正确答案】②④⑤【分析】根据正弦定理边化角，可推得A B =或π2A B +=，判断①；根据向量数量积的运算律可判断②；举反例可判断③；根据向量数量积的运算律结合向量的模可判断④；利用正弦定理角化边结合余弦定理可判断⑤.【详解】对于①，cos cos a B b A =，则sin cos ,sin cos sin cos sin cos A B A A B B B A=∴=,即sin 2sin 2A B =，由于,(0,π)A B ∈，则2,2(0,2π)A B ∈，则22A B =或22πA B +=，即A B =或π2A B +=，故ABC 为等腰三角形或直角三角形，①错误；对于②，由AB BC BC CA ⋅=⋅可得()0AB AC BC +⋅= ，即()()0AB AC AC AB +⋅-= ，故220,||||AC AB AC AB -=∴= ，同理由BC CA CA AB⋅=⋅可得||||BC AB = ,故ABC 为等边三角形，②正确．对于③，不妨取2ππ,36A B C ===,满足sin cos A B =，但ABC 不是直角三角形．③错误；对于④，因为0OA OB OC ++=，故22||||OA OB OC +=- ，即222||||2||OA OB OA OB OC ++⋅= ，又|||||OA OB OC == ，所以2||2||||cos 0OA OA OB AOB +⋅⋅∠=，故1cos 2AOB ∠=-，由于][0,πAOB ∠∈，故2π3AOB ∠=，同理可得2π3AOC BOC =∠=∠，结合||||||OA OB OC == ，故AOB ≌AOC ≌COB △,可得||||||AB AC BC ==，故ABC 为等边三角形，④正确；对于⑤，由222sin sin cos 1A B C ++<得2222sin sin 1cos sin A B C C +<-=，即222a b c +<，即222cos 02a b c C ab+-=<，由于(0,π)C ∈，故C 为钝角，故ABC 为钝角三角形，⑤正确，故②④⑤方法点睛：判断三角形形状问题可以利用正余弦定理，根据角的范围进行判断，注意正余弦定理边角互化的应用，也可以利用向量的线性运算或者数量积的运算进行判断.四、解答题17.已知(2,4)A -，(3,1)B -，(3,4)C --．设AB a = ，BC b = ，CA c =．（1）求32a b + ；（2）求满足a mb nc =+ 的实数m ，n 的值；【正确答案】（1）(3，21)-；（2）1m n ==-.【分析】（1）利用平面向量的数乘和加法运算求解即可；（2）由向量的坐标运算列出方程组，可得实数m ，n 的值．【详解】由已知得(5,5)a =- ，(6,3)b =-- ，(1,8)c =．（1）323(5a b +=，5)2(6-+-，3)(1512-=-，156)(3--=，21)-．（2）(6,38)mb nc m n m n +=-+-+，65m n ∴-+=，385m n -+=-．解得1m n ==-．18.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求函数的最小正周期､单调递增区间；（2）求函数()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域.【正确答案】（1）πT =；递增区间为3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据正弦型函数的周期性及单调性即得；（2）根据正弦函数的图象和性质即得.【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期为2ππ2T ==，由πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，可得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 单调递增区间为：3πππ,π,Z 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】由π02x ≤≤，可得ππ5π2444x ≤+≤，所以π2sin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，π323sin 2,342x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦所以函数()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为32,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.19.如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点B 和C ，某日两个观测站都观测到了A 处出现火情，在B 点处观测到A 的方位角为125︒．在C 点处，观测到A 的方位角为80︒．B 点和C 点相距25千米，求观测站C 与火情A 之间的距离．【分析】由正弦定理求解即可【详解】在ABC 中，15512530ABC ∠=-=︒︒︒，180********BCA ∠=︒-︒+︒=︒，1803010545BAC ∠=︒-︒-︒=︒，25BC =，由正弦定理可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，即25sin 30sin 45AC =︒︒，所以25sin 30252sin 452AC ⨯︒==︒（千米），所以观测站C 与火情A 之间的距离为2522千米20.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知38,cos 5a C ==（1）求sin A 的值；（2）若6b =，则ABC 的面积.【正确答案】（1）10（2）245【分析】（1）根据cos C 求sin C ，然后利用正弦定理和8a =求sin A 即可；（2）利用余弦定理和8a =得到=2a ，然后利用面积公式求面积即可.【小问1详解】由于3cos ,05C C π=<<，则4sin 5C =，因为8a =，由正弦定理知8sin A C =，则sin sin 810A C ==.【小问2详解】因为8,6a b ==由余弦定理，得22222323635cos 2125a aa b c C aba +-+-===，即234200a a +-=，解得=2a ，而4sin ,65C b ==，所以ABC 的面积11424sin 262255S ab C ==⨯⨯⨯=.21.已知函数()()()1cos 0,02f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若14f απ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求α的值；（3）若不等式()1f x m -<对任意11,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）()1cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12πα=；（3）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】（1）由函数的图象可得出()f x 的最小正周期T 的值，可求得2T πω=，再将点1,04⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合0ϕπ<<可求得ϕ的值，进而可求得函数()f x 的解析式；（2）求得1cos 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可求得α的值；（3）求出函数()f x 在区间11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，由题意可得()()11m f x m f x ⎧<+⎪⎨>-⎪⎩，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）由图象可知，函数()f x 的最小正周期为512244T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，2T ωπ∴==π，则()()1cos 2f x x πϕ=+，12cos 044f πϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，可得cos 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0ϕπ<< ，5444πππϕ∴<+<，42ππϕ∴+=，解得4πϕ=，因此，()1cos 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）11cos 244f απαπ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得1cos 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，02πα<<Q ，3444πππα∴<+<，43ππα∴+=，解得12πα=；（3）当11,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，442x ππππ-≤+≤，则0cos 14x ππ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，()max 12f x ∴=，()min 0f x =，由()1f x m -<可得()11f x m -<-<，则()()11m f x m f x ⎧<+⎪⎨>-⎪⎩，()min 11m f x ∴<+=，()max 112m f x >-=-，所以，112m -<<.综上所述，实数m 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭.方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++（或()()cos f x A x b ωϕ=++）的部分图象求函数解析式的方法：（1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=；（3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.22.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+．（1）求角B 的大小；（2）若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的周长的取值范围；（3）若2b ac =，且外接圆半径为2，圆心为,O P 为O 上的一动点，试求PA PB ⋅ 的取值范围．【正确答案】（1）π3B =（2）(3++（3）[]2,6-【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理将周长转化为关于角A 的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；（3）易得三角形ABC 为等边三角形，取AB 中点M ，可得2223PA PB PM MA PM ⋅=-=- ，由P 为O 上的一动点，可得[]1,3PM ∈，进而可求PA PB ⋅ 的取值范围.【小问1详解】依题意，由正弦定理，sin sin sin a b c A B C==，由sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A++=+可得22cos cos a ac B bc A b ac ++=+，由余弦定理2222222cos ,2cos ac B a c b bc A b c a =+-=+-，则222a cb ac +=+，则2221cos 22a c b B ac +-==，因为0πB <<，所以π3B =；【小问2详解】由ABC 为锐角三角形，π3B =，可得ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，则22πsin sin 3c A A ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2π2sin sin 3,1sin sin sin sin A A A A b c A A A A⎛⎫- ⎪+⎝⎭====+，则ABC的周长为22cos cos 12333sin 2sin cos tan 222A A a b c A A A A +++=+=+=+，由ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,2124A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为2π2tan π312tan π631tan 12==-，整理得：2ππtan 101212+-=，解得πtan 212=-πtan 212=--（舍去），所以()tan 22A ∈-，则周长范围是(3++；【小问3详解】由正弦定理2sin b R B=，则b =，则212ac b ==，由222a c b ac +=+，可得2224a c +=，则a c ==则三角形ABC 为等边三角形，取AB 中点M ，如图所示：则()()PA PB PM MA PM MB ⋅=+⋅+ ()2PM MA MB MA MB PM +=+⋅+⋅ 2223PM MA PM =--= ，由2,1OP OM ==，则[]1,3PM ∈，则[]2,6PA PB ⋅∈- ．方法点睛：（1）利用正余弦定理可进行边角互换用以化简条件；（2）涉及三角形周长与面积的最值问题，可将问题转化为基本不等式或三角函数来求最值；（3）外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围.。
2016-2017学年四川省广元市广元中学高一下学期期末模拟数学试卷(答案+解析)
四川省广元市广元中学2016-2017学年高一（下）期末数学模拟试卷一、选择题1．（5分）2sin cos的值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知等差数列{a n}中，a2=1，a6=21，则a4=（）A．22 B．16 C．11 D．53．（5分）S n为等差数列{a n}的前n项和，a2+a8=6，则S9=（）A．B．27 C．54 D．1084．（5分）设a＜b，c＜d，则下列不等式成立的是（）A．a﹣c＜b﹣d B．ac＜bd C．D．a+c＜b+d5．（5分）已知平面向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），若⊥（t+），则实数t的值为（）A．10 B．5 C．﹣10 D．﹣56．（5分）已知2cos2x+sin2x=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，0＜φ＜π），则A，φ，b的值分别为（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．200 C．220 D．2408．（5分）若，是夹角为60°的单位向量，=2+，=﹣3+2，则，的夹角为（）A．120°B．30°C．60°D．150°9．（5分）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°（即∠BAC=30°）的方向上；行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°（即∠CBE=75°）的方向上，且仰角为30°．则此山的高度CD=（）A．m B．m C．m D．m10．（5分）已知数{a n}满足a n+1=2a n，且a3﹣a1=2，则++…+（）A．3（1﹣）B．（4n﹣1）C．（1﹣）D．（1﹣）11．（5分）若a＞0，b＞0，2ab+a+2b=3，则a+2b的最小值是（）A．1 B．2 C．D．12．（5分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2+c2﹣b2=ac，，，则a+c的取值范围是（）A．（2，3）B．C．（1，3）D．（1，3]二、填空题13．（5分）求值sin75°=．14．（5分）已知||=3，||=4，且＜，＞=120°，则|+|=．15．（5分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为，{b n}为等差数列，且b1=4，b3=10，则数列的前n项和T n=．三、解答题17．（10分）已知向量=（1，0），=（2，1）．（1）求|+3|；（2）当k为何实数时，k﹣与+3平行，平行时它们是同向还是反向？18．（12分）已知直线l经过直线l1：2x﹣y﹣1=0与直线l2：x+2y﹣3=0的交点P，且与直线l3：x﹣y+1=0垂直．（1）求直线l的方程；（2）若直线l与圆C：（x﹣a）2+y2=8相交于P，Q两点，且，求a的值．19．（12分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x+k的最小值为﹣3（1）求常数k的值；（2）若f（x0）=﹣，x0∈[0，]，求cos2x0的值．20．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设数列{b n}满足：，求{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知二次函数f（x）=x2+mx﹣m（x∈R）同时满足：①在定义域内存在0＜x1＜x2，使得f（x1）＞f（x2）成立；②不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；数列{a n}的前n项和为S n，S n=f（n），n≥1，n∈N．（1）求f（x）的表达式；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设，，{c n}的前n项和为T n，若T n＞3n+k对任意n∈N，且n≥2恒成立，求实数k的取值范围．【参考答案】一、选择题1．C【解析】2sin cos=sin=．故选C．2．C【解析】等差数列{a n}中，a2=1，a6=21，∴2a4=a2+a6=1+21=22∴a4=11．故选C．3．B【解析】根据等差数列性质，可得a2+a8=2a5=6，∴a5=3，根据等差数列和的性质可得，S9=9a5=27．故选B．4．D【解析】∵a＜b，c＜d，∴a+c＜b+d，得D正确，令a=1，b=2，c=﹣2，d=1，代入A，得A错误，令a=﹣2，b=1，c=﹣3，d=0，代入B，D，错误，故选D．5．D【解析】∵平面向量=（1，﹣1），=（6，﹣4），∴t+=（t+6，﹣t﹣4），∵⊥（t+），∴=（t+6）﹣（﹣t﹣4）=0，解得实数t=﹣5．故选D．6．A【解析】∵2cos2x+sin2x=A sin（ωx+φ）+b（A＞0，0＜φ＜π），∴cos2x+sin2x+1=A sin（ωx+φ）+b，即sin（2x+）+1=A sin（ωx+φ）+b，∴A=，ω=2，φ=，b=1，故选A．7．D【解析】由三视图可知：该几何体是一个横放的直四棱柱，高为10；其底面是一个等腰梯形，上下边分别为2，8，高为4．∴S表面积=2××（2+8）×4+2×5×10+2×10+8×10=240．故选D．8．A【解析】由题意，，且＜＞=60°，且=2+，=﹣3+2，∴==，=．=（2+）（﹣3+2）==．∴cos＜＞=．则，的夹角为120°．故选A．9．A【解析】在△ABC中，AB=600，∠BAC=30°，∠ACB=∠CBE﹣∠BAC=45°，由正弦定理得，即，解得BC=300，在Rt△BCD中，∵tan30°==，∴CD=BC=100．故选A．10．A【解析】由题意，a n+1=2a n，可知数列{a n}是等比数列，公比q=2，∵a3﹣a1=2，即a1q2﹣a1=2，∴a1=，∴a n=．那么：数列{}的通项公式为∴数列{}是以首项为，公比q=的等比数列．则++…+=3（1﹣）故选A．11．B【解析】∵a＞0，b＞0，2ab+a+2b=3，∴2ab≤（）2，∴a+2b=3﹣2ab≥2﹣，当且仅当a=1，b=时取等号设a+2b=t，则t≥2﹣，∴t2+4t﹣8≥0，解得t≤﹣4（舍去）或t≥2，∴a+2b≥2，故则a+2b的最小值是2，故选B.12．B【解析】∵a2+c2﹣b2=ac，b=，由余弦定理可得cos B===，∵B是三角形内角，∴B=60°，sin B=．∵，∴cos A＜0，∴A为钝角．由正弦定理可得a=•sin A=•sin A=2sin A，同理c==•sin C=2sin C．三角形ABC中，B=60°，∴A+C=120°．a+c=2sin A+2sin C=2sin A+2sin（120°﹣A）=3sin A+cos A=2sin（A+30°），∵90°＜A＜120°，∴120°＜A+30°＜150°，∴sin（A+30°）∈（，），∴2sin（A+30°）∈（，3），∴a+c的取值范围为：（，3）．故选B．二、填空题13．【解析】sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=×+×=故答案为14．【解析】=3×4×cos120°=﹣6，∴（）2=+2+=9﹣12+16=13，∴||=．故答案为．15．【解析】设圆锥的母线长为l，则=，即l=3，设圆锥的底面半径为r，则2πr=πl=3π，∴r=．设圆锥的高为h，则h==．∴圆锥的体积V==．故答案为．16．n×2n+2【解析】∵数列{a n}的前n项和为，∴a1=S1=3+8=11，a n=S n﹣S n﹣1=（3n2+8n）﹣[3（n﹣1）2+8（n﹣1）]=6n+5，n=1时，上式成立，∴a n=6n+5．∵{b n}为等差数列，且b1=4，b3=10，∴b3=4+2d=10，解得d=3，∴b n=4+（n﹣1）×3=3n+1，∴==（n+1）•2n+1，∴数列的前n项和：T n=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）×2n+1，①2T n=2×23+3×24+4×25+…+（n+1）×2n+2，②①﹣②，得：﹣T n=8+23+24+…+2n+1﹣（n+1）×2n+2=8+﹣（n+1）×2n+2=﹣n×2n+2．∴T n=n×2n+2．故答案为：n×2n+2．三、解答题17．解：（1）由于=（1，0）+3（2，1）=（7，3），∴|+3|==．（2）由于k﹣=k（1，0）﹣（2，1）=（k﹣2，﹣1），设k﹣=λ（+3），则（k﹣2，﹣1）=λ（7，3），∴，解得．故时，k﹣与+3反向平行．18．解：（1）直线l经过直线l1：2x﹣y﹣1=0与直线l2：x+2y﹣3=0的交点P，由，得，所以P（1，1）．因为l⊥l3，所以k l=﹣1，所以直线l的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（2）由已知可得：圆心C到直线l的距离为，因为，所以，所以，解得a=0或a=4．19．解：（1）=，∴f（x）min=﹣1+1+k=﹣3，解得k=﹣3．（2）∵，∴，即．∵，∴．∵若，则，若，则，显然，且，∴．∴=，∴==×+×=．20．（1）证明：∵a1=1，，∴，∴，又，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列．（2）解：∵数列是首项为1，公差为3的等差数列，∴，∴；（3）解：∵，∴…+（3n﹣5）×2n﹣1+（3n﹣2）×2n，+…+（3n﹣5）×2n+（3n﹣2）×2n+1，∴…+3×2n﹣（3n﹣2）×2n+1==2﹣12+3×2n+1﹣（3n﹣2）×2n+1=﹣10+（5﹣3n）×2n+1，∴．21．解：（1）由不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素，解得：△=m2+4m=0，∴m=0或m=﹣4．当m=0时，f（x）=x2，在（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．当m=﹣4时，f（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2在（0，2）上单调递减，故存在0＜x1＜x2＜2，使得f（x1）＞f（x2）成立，∴f（x）=x2﹣4x+4；（2）由（1）知：．当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+4]=2n﹣5，∴；（3）∵，∴．当n≥2时，T n=C1+C2+C3+…=，∵T n＞3n+k，对∀n∈N，n≥2恒成立，∴．设G（n）=，是关于n的增函数，∴G（n）min=G（2）=9，∴k的取值范围是：k＜9．。
2023-2024学年四川省广元市高一下学期6月期末数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年四川省广元市高一下学期6月期末数学质量检测试题一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求1．已知，则（ ）1cos 2α=cos2α=A B ．C ．D ．1212-2．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）z 2i 2z z -=z A ．B ．C ．D ．2i 54i 525453．一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图如图所示.知OABC O A B C ''''，则平面图形的面积为（ ）24,O A C B O C A B '==='''''''OABCA ．3B ．6C ．D ．4．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据11,15,17,,23,26,27,34,37,38a 的分位数为22，则（ ）40%=a A ．19B ．20C ．21D ．225．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发､渗透､流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）.24小时降雨量的等级划分如下：mm 24小时降雨量（精确到）0.1L 0.1~9.910.024.9~25.049.9~50.0~99.9降雨等级L小雨中雨大雨暴雨在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，180mm AA =当侧面水平放置时，水面恰好过的中点.则这24小时的降雨量的等11AA B B 1111,,,AC BC A C B C 级是（ ）A ．小雨B ．中雨C ．大雨D ．暴雨6．把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标()sin f x x=π66π不变），得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（ ）()g x ()g x A ．函数的最小正周期()y g x =6T =B ．函数在区间上单调递减()y g x =()2,8C ．函数是奇函数()2y g x =+D ．函数在区间上的最大值为()2y g x =+[]3,4127．如图，圆锥的底面直径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面PO 12PO O '为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．12π24π36π72π8．在中，，点满足，且，则（ ）ABC 4AB AC BC ===P BP tBC =1AP BC BC⋅= t =A ．B ．C ．D ．341434-14-二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知是两条不同的直线，是平面，若，则的关系可能为（ ）,m n αm ,n αα⊂,m nA ．平行B ．垂直C ．相交D ．异面10．的内角的对边分别为，下列结论正确的是（ ）ABC ,,A B C ,,a b c A ．若，则角222sin sin sin sin sin A B C B C =+-π3A =B ．存在，使成立,,A BC tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++>C ．若，则为等腰或直角三角形sin2sin2A B =ABCD ．若，则有两解30a b A ==ABC 11．如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，1111ABCD A B C D -E AB DF ⊥1,D EC F 下列结论正确的是（ ）A ．1FD FC=B ．三棱锥的体积为定值1C DED -C ．11ED A D⊥D ．与所成的角为1BC AC 45︒三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知为共线向量，且，则.,a b ()()()3,1,,2a b x x ==∈R x =13．在中，分别为的中点，交于点.若，ABC ,D E ,AC BC AE BD M 2,4AB AC ==，则.π3BAC ∠=cos EMD ∠=14，则该圆锥的侧面积为．四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.15．已知向量满足，，且在上的投影向量为.,a b 4,a b == a b b - (1)求及的值；,a ba b ⋅(2)若，求的值.()()2a b a bλ-⊥+ λ16．记的内角的对边分别为，若，且.ABC ,,A B C ,,a b c cos πsin 2cos 6B C A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 2sin b C B =(1)求及；A c(2)若点在边上，且的面积.D BC 3,BC BD AD ==ABC 17．2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，衢州文旅也在各大平台发布了衢州的宣传片：孔子，金庸，搁袋饼纷纷出场.现为进一步发展衢州文旅，提升衢州经济，在5月份对来衢旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.4b a =(1)求图中的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；a (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格.衢州市5月份文旅成60%绩合格了吗？(3)衢州文旅6月份继续对来衢旅游的游客发起满意度调查.现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.18．在平行四边形中，分别为的中点，将三角形ABCD 2,45,,AB AD A E F ===,AB AD沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥.ADE DE A ED C --A EBCD -(1)求证：平面；EF ABC (2)求证：平面平面；AED ⊥ACD (3)求与平面所成角的正弦值.EC ACD 19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的120内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形ABC P ,,PA PB PC PA PB PC ++三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针APC △C 旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等60EDC △,PD BE BE 分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其P (),AB x y =AB起点沿逆时针方向旋转角得到向量.θ()cos sin ,sin cos AQ x y x y θθθθ=-+(1)已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，()(1,2,12A B -B A π4P 求点的坐标；P (2)在中，，借助研究成果，直接写出的最ABC 30,12,5ACB BC AC ∠===PA PB PC ++小值；(3)已知点，求的费马点的坐标.()()()1,0,1,0,0,2A B C -ABC P1．D【分析】根据余弦的二倍角公式即可代入求解.【详解】，21cos22cos 12αα=-=-故选：D 2．C【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算，结合复数的意义求解即得.【详解】由，得，2i 2z z -=22(2i)42i 2i (2i)(2i)55z +===+--+所以复数的虚部为.z 25故选：C 3．C【分析】根据斜二测画法画出梯形的原图并确定对应边长，计算即可.OABC 【详解】画出梯形的原图，如图所示：OABC在直观图中，，24,O A C B O C A B '==='''''''得，，O C ='='24OA CB ==OC =四边形是直角梯形，OABC所以.422S +=⨯=故选：C 4．C【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解.【详解】，40%104⨯=又该组数据的分位数为22，40%则，解得.23222a +=21a =故选：C 5．D【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解液面高度，即可与降雨量等级比较求解．【详解】设的面积为，底面水平放置时，液面高为，ABC S ABC h 侧面水平放置时，水的体积为，11AA B B 11336044ABC V S AA AA S S⋅=⋅== 当底面水平放置时，水的体积为，ABC ABC V S h Sh == 于是，解得，60Sh S =60h =所以当底面水平放置时，液面高为．ABC 60mm 故降雨量等级为暴雨，故选：D 6．B【分析】根据伸缩平移变换可得函数的解析式，进而判断各选项中图像性质.()g x 【详解】的图像向左平移个单位长度得函数，()sin f x x =π6πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数，6π()()πππsin sin 1666g x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭其最小正周期为，A 选项错误；2π2π16T ==由，得，在上单调递减，B 选项正确；()2,8x ∈()ππ3π1,622x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin y x =π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，为偶函数，C 选项错误；()()ππππ2sin3sin cos 6626y g x x x x ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭当时，，所以单调递减，[]3,4x ∈ππ2π,623x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()π2cos 6y g x x =+=最大值为，D 选项错误.0故选：B.7．C【分析】设，用的函数表达式表示出圆柱的侧面积，再利用基本不等式即可求出最OO x '=x 大值．【详解】圆锥轴截面如图所示，设圆柱的底面半径为，，由可知，，即，r OO x '=//O A OB 'B PO PO O A O ''＝12126x r-＝所以，()1122r x =-故被挖去的圆柱的侧面积为，()2122ππ12π36π2x x S rx x x +-⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭＝＝＝当且仅当时取等号，即时，被挖去的圆柱的侧面积最大值为．6x =6OO '=36π故选：C 8．A【分析】根据题意，在中取中点为，且点在直线上，由数量积运算可Rt ABC △BC D P BC 得，从而得解.1DP =【详解】因为，易知为等腰直角三角形且，4AB AC BC ===ABC π2A =取中点为，则，又点满足，则点在直线上，BC D AD BC ⊥P BP tBC =P BC 所以，()AP BC AD DP BC DP BC⋅=+⋅=⋅ 由，则，结合图知，所以.1AP BC BC⋅= 1||DP BC BC ⋅= 1DP = 3t 4=故选：A 9．ABD【分析】根据平行、垂直、相交和异面的性质即可求解.【详解】如图，在正方体中，1111ABCD A B C D -若是平面，为，为，αABCD 11A B m AB n 此时与平行，故A 正确；m n 在正方体中，1111ABCD A B C D -若是平面，为，为，αABCD 11A D m AB n 此时，故B 正确；m n ⊥若，不可能与垂直和相交，故C 错误；m ,n αα⊂m n 在正方体中，1111ABCD A B C D -若是平面，为，为，αABCD 11B D m AB n 此时与异面，故D 正确.m n 故选：ABD.10．ACD【分析】利用正弦定理、二倍角公式、解三角形的知识进行判断.【详解】选项A ：由正弦定理得：222,a b c bc =+-又余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-故又故故选项A 正确，1cos ,2A =(0,π),A ∈π,3A =选项B ：因为在中，故故选项B 错误，ABC tan tan tan tan tan tan ,A B C A B C ++=选项C ：当时，或即或故为等腰或sin2sin2A B =22A B =22πA B +=A B =π,2A B +=ABC 直角三角形，故选项C 正确，选项D ：则若，则有两解正确，sin b A <30a b A == ABC 故选项D 正确.故选：ACD.11．ABC【分析】对于A ，可证得平面，进而有，所以在的中垂线上，可1CD ⊥DOF 1OF CD ⊥F 1CD 得，即可判断；对于B ，由，而三棱锥的体积为1FD FC =11C DEDE CDD V V--=三棱锥三棱锥1E CDD -定值，所以三棱锥的体积为定值，即可判断；对于C ，可证得平面，则1C DED -1A D ⊥1AED ，即可判断；对于D ，在正方体中，由是正三角形，可得与所成的11ED A D ⊥1D AC 1BC AC 角为，即可判断.60︒【详解】对于A ，在正方体中，连接，交于点，连接，则，1111ABCD A B C D -1DC 1CD O OF 1DO CD ⊥又平面，平面，所以，DF ⊥1D EC 1CD ⊂1D EC 1CD DF ⊥因为平面，,DF DO D DF DO =⊂ 、DOF 所以平面，1CD ⊥DOF 又平面，所以，OF ⊂DOF 1OF CD ⊥因为为的中点，所以在的中垂线上，O 1CD F 1CD 所以，故A 正确；1FD FC =对于B ，在正方体中，平面，为棱上的动点，//AB 1CDD E AB 所以点到平面的距离即为到平面的距离，E 1CDD AB 1CDD 即为正方体的棱长，为定值，的面积为定值，1CDD 所以三棱锥的体积为定值，又，1E CDD -11C DEDE CDD V V--=三棱锥三棱锥所以三棱锥的体积为定值，故B 正确；1C DED -对于C ，连接，则，11AD A D 、11AD A D ⊥又在正方体中，平面，平面，⊥AE 11AA D D 1A D ⊂11AA D D 所以，又，平面，1A D AE ⊥1AE AD A ⋂=1AE AD ⊂、1AED 所以平面，又平面，1A D ⊥1AED 1ED ⊂1AED 所以，故C 正确；11ED A D ⊥对于D ，连接，1AC BC 、在正方体中，且，11//AB C D 11AB C D =所以四边形是平行四边形，11ABC D 所以，所以即为与所成的角，11//BC AD 1D AC ∠1BC AC 又是正三角形，所以与所成的角为，故D 错误.1D AC 1BC AC 60︒故选：ABC.12．6【分析】根据共线向量，求出x【详解】根据为共线向量，且,a b ，()()3,1,2a b x == ，则，解得.320x ⨯-=6x =故答案为.613【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得的长度，即可根据余弦定理求解.,ME MD 【详解】因为在中，、分别为、的中点，交于点，ABC D E AC BC AE BD M 则为的重心，所以M ABC 1111()()3332ME AE AB BE AB BC ==+=+，1111()()3226AB AC AB AB AC =+-=+由平面向量数量积的定义可得，π1||||cos 24432AB AC AB AC ⋅=⋅=⨯⨯=，11111()()(2)33326MD BD AD AB AC AB AC AB ==-=-=-23==又,由余弦定理可得．112ED AB==222222213cos 2ME MD ED EMD ME MD ∠⎛⎫+-+-===⋅．14．18π【分析】作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得.【详解】过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆，ABC 1O 2O 且两圆同圆心，即的内心与外心重合，所以为正三角形，ABC ABC 由题意的半径为，1O r =所以的边长为6，ABC 所以圆锥的底面半径为3，所以圆锥的侧面积．π3618πS =⨯⨯=故答案为.18π15．(1)，5π,6a b = 12a b ⋅=-(2)910【分析】（1）由投影向量的定义可求得，再由向量的夹角公式可求得；a b ⋅ ,a b （2）由向量垂直建立方程，求解即可．【详解】（1）因为，在上的投影向量为，||4a = ||b = a bb - 所以，所以，||||a b bb b b ⋅⋅=- 2||12a b b ⋅=-=-所以，cos ,a b a b a b ⋅===因为，所以；,[0,π]a b ∈ 5π,6a b =（2）因为，(2)()a b a b λ-⊥+所以，即，(2)()0a b a b λ-⋅+= 22(12)20a a b b λλ+-⋅-=得，解得．1612(12)240λλ---=910λ=16．(1)，，π3A =2c =(2)【分析】（1）根据三角恒等变换即可得,由正弦定理边角互化即可tan A =π3A =求解,2c =（2）根据向量的线性运算，结合模长公式可得，即可由面积公式求解.4b =【详解】（1）由得：，cos πsin 2cos 6B C A⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1cos cos 2cos cos 2B A C A C C ⎫=-+=-⎪⎪⎭，∴sin sin cos A C C A =，，故(0,π)C ∈ sin 0C ∴≠tan A =由于,所以，(0,π)A ∈π3A =由正弦定理以及可得，所以，sin 2sin b C B =2bc b =2c =（2）3,BC BD AD ==，∴()11213333AD AB BC AB AC AB AB AC=+=+-=+，∴222221144||||cos 33999AD AB AC AC AB AB AC A⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，∴222144cos 999b c bc A=++由于，，所以，解得或（舍去）π3A =2c =24320b b +-=4b =8b =-所以11sin 4222ABC S bc A ==⨯⨯=△17．(1)，79.50.01a =(2)合格(3)平均值为86，方差为96【分析】（1）根据频率分布直方图的特征求出a ，进而即可求出平均数；（2）先确定40%分位数的位置，再由频率分布直方图求出百分位数，即可下结论；（3）求出总样本平均数，根据方差的定义，即可求出总样本方差.【详解】（1）由题意知，40.050.1a a ++=0.01a ∴=估计满意度得分的平均值650.15750.35850.4950.179.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位数大于等于75又由满意度在的频率为，满意度在的频率为[)60,700.150.4<[)60,800.50.4>知40%分位数位于[)70,80由0.40.1554070100.50.157-+⨯=-可以估计40%分位数为540757>有超过60%的人满意度在75分及以上，衢州市5月份文旅成绩合格了∴（3）把6月1日—6月7日的样本记为，其平均数记为，方差记为，1240000,,,x x x ⋅⋅⋅x 2xs 把6月8日—6月14日的样本记为，其平均数记为，方差记为，1260000,,,y y y ⋅⋅⋅y 2y s 则总样本平均数464680908610101010z x y =⨯+⨯=⨯+⨯=由方差的定义，总样本方差为()()4000060000222111100000i i i i s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑{}222214()6()10x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦{}221475(8086)670(9086)9610⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦总样本平均值为86，总样本方差为96∴18．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，即可根据线线平行求证，AC G BEFG （2）根据面面垂直的性质即可求解，（3）利用等体积法，求解点到平面的距离，即可求解.E ACD 【详解】（1）取中点，连接和，AC G FG BG 因为，分别为，的中点，所以，且,F G AD AC //FG CD 12FG CD=又，且,//EB CD 12EB CD=所以，且．//EB FG EB FG =所以四边形是平行四边形．BEFG 所以．平面,平面//EF BG BG ⊂ABC EF ⊄ABC 故平面EF //ABC（2）由于在平行四边形中，分别为的中点，ABCD 2,45,,AB AD A E F ===,AB AD 所以，则，1,1AE ED ===222AE DE AD +=因此，又，故，AE DE ⊥//AE DC CD ED ⊥由于二面角为直二面角，所以平面平面且两平面的交线为，又A ED C --AED ⊥EDC ED 平面，CD ⊂ECD 故平面， 平面，故平面平面.CD ⊥AED CD ⊂ACD AED ⊥ACD （3）由于平面平面且两平面的交线为，，平面，故AED ⊥EDC ED AE DE ⊥AE ⊂AED 平面,⊥AE BCDE 由（2）知平面, 平面，故，CD ⊥AED AD ⊂AED CD AD ⊥设点到平面的距离为，则，故E ACD h E ACD A ECD V V --=，ECD ACD ECD ACD S AE S h S AE h S ⋅=⋅⇒===设与平面所成角为，则EC ACD θsin hECθ====19．(1)()0,1P -(2)13(3)P ⎛ ⎝【分析】（1）根据题意，代入公式可得，从而得解；AB =-AP （2）根据题意，旋转后为等边三角形，根据勾股定理可解；ACE △（3）根据题意，中，与关于轴对称，所以旋转后与关于轴对称，ABC BC AC y BD AE y 由图形的对称性知费马点必在轴上，由三点共线求解.P y ,,A P D 【详解】（1），绕着点顺时针旋转，AB =-ABAπ4即逆时针旋转，代入公式，7π4，((()7π7π7π7πsin cos 1,34444AP ⎫=--+-=--⎪⎭ 所以，()()()1,21,30,1OP OA AP =+=+--=-则点的坐标为；P ()0,1P -（2）由费马点的求法知：绕着点顺时针旋转，与重合，，CA C 60 CE 30ACB ∠= 所以为等边三角形，ACE △连接，的最小值为，由勾股定理得；BE PA PB PC ++BE 13BE =（3）通过材料可以知道，内部有一点，连接，ABC P ,,PA PB PC 将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，APC △C 60EDC △,PD BE BE 此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角，P 即此时点满足，P 120APB BPC APC ︒∠=∠=∠=又由题设，可知为等腰三角形，且，ABC AC BC =根据费马点求法知：点在中垂线上，P AB OC且是顶角为的等腰三角形，所以，ABP 12030PAB ∠=︒故.OP ==P ⎛ ⎝关键点点睛：第（3）中，发现中，根据费马点求法知：点在中垂线上，且ABC P AB OC .30PAB ∠=︒。
2023-2024学年四川省广元市高一数学人教A版一元二次函数章节测试-6-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年四川省广元市高一数学人教A版一元二次函数章节测试(6)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）121. 已知f（x）= ， 其中x≥0，则f（x）的最小值为（ ）A .B .C .D .有最小值有最大值有最小值 有最大值2. 已知 且 ，则（ ）A .B .C .D .充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件3. “”是“”的（ ）A . B . C .D .当且仅当时，有最小值为当且仅当时，有最小值为当且仅当时，有最大值为当且仅当时，有最大值为4. 已知函数 ， 则（ ）A .B .C .D .(-3，1)(-1，2)(-1，3)(-∞，-1)∪(3，+∞)5. 在R上定义运算：A B=(A 2)·B ， 若不等式(t x) (x+t)<4对任意的x∈R恒成立，则实数t的取值范围是（ ）A .B .C .D .6. 函数（）的最小值是（ ）A .B .C .D .或或7. 若 ， 则关于x的不等式的解集是（ ）A .B .C .D .8. 设集合 ， ，则 （ ）A .B .C .D .9. 已知且恒成立，则实数的取值范围为（ ）A .B .C .D .22410. 若实数a，b满足 ， 则的最小值为( )A .B .C .D .11. 下列函数最小值为4的是（ ）A .B .C .D .[﹣1，2][﹣1，][﹣ ， 1][﹣1，﹣]12. 已知关于x的不等式ax 2﹣x+b≥0的解集为[﹣2，1]，则关于x的不等式bx 2﹣x+a≤0的解集为（ ）A .B .C .D .13. 已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的解集为 ．14. 已知 ， y最小值为 ；y取得最小值此时x为 ；15. 若是不等式 成立的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ．16. 已知集合 ，则m的取值范围为 ．17.(1) 已知 ， 则的最大值为？(2) 求函数 的最小值.18. 已知 ， 关于 的不等式 恒成立(1) 当 时 成立，求实数 的取值范围；(2) 若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．19. 已知关于的不等式.(1) 若 ， 求不等式的解集；(2) 若 ， 求不等式的解集；20. 已知（）.(1) 若的解集为 ， 求关于的不等式的解集；(2) 若 ， 解关于的不等式.21. 设x，y都是正数，且 ＋ ＝3，求2x＋y的最小值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)(1)(2)21.第 11 页 共 11 页。
四川省广元市广元中学高一下学期第二次段考语文试题Word版含答案
语文试题注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，共150分，考试时间为150分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号及班级填写在答题卡上。
2、所有试题答案均必须用0、5mm黑色中性笔书写在答题卷的相应位置上，写在试题卷上的答案一律无效。
第Ⅰ卷阅读题一、（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1—3题。
“意象符号”说与“语言艺术”说之差异吴晓诗歌意象与普通日常语言有着完全不同的性质。
普通语言符号是人类集体的产物，语言一经产生，对于每个社会成员就有一种约束力，每个社会成员都得强制性地习得和接受这种语言，不如此就无法进行思想的交流与沟通。
而意象符号则是诗人直接感受的产物，具有个性创造物的特点。
它是感性的、直觉的、个别的和不可重复的，是诗人在情感驱动下要求作艺术表现的产物。
科林伍德曾指出普通语言描述与艺术表现的不同：“描述一件事物，就等于把这件事物归到某某类中……而表现却恰恰相反，表现是将这件事物个性化。
”这就是说，普通语言仅仅是一种现成的操作，而作为艺术表现的意象，却是诗人所独创的，具有诗人的情感生命。
意象是“直接”的，因为它是诗人有感而发创造出来的；日常语言则是已经褪色、陈旧、僵死的东西，也是被诗淘汰的东西。
总之，创造意象是诗人表现情感的基本手段，诗人将独创性的意象符号提供给读者，使读者产生理解与共鸣，进而被普遍接受与承认，这是普通语言所无法做到的。
在一般语言中，词语所指称的对象是客观存在的外物，物的观念而非物本身，因此带有较强的主观性。
普通语言，词义的指称性明确而单一，非如此则不能起到交流思想的功用；而意象具有丰富性与多义性，竭力避免单一与直接说出，它虽然以词的形式出现在诗中，但却没有词的明晰性、确定性。
可以说，意象是超语义的，不可解释穷尽。
意象比语言层次更高，更具独立性。
在审美经验中，有许多难以用语言说出的东西，在那些已理解又未理解的无可名状的审美愉悦中，无论何种语言要描述，它都是显得力不胜任的。
2023年四川省广元市青川中学高一数学文下学期期末试卷含解析
2023年四川省广元市青川中学高一数学文下学期期末试卷含解析专业课理论基础部分一、选择题（每题1分，共5分）1.下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^3B. y = x^2C. y = |x|D. y = x^(-1)2.函数f(x) = 2x + 3的零点为（）A. x = -1.5B. x = -3C. x = 1.53.下列不等式中，正确的是（）A. a^2 < aB. a^3 > aC. a^2 > aD. a^3 < a4.若a+b=3，a-b=1，则a2+b2=（）5.直线y=2x+1与y轴的交点坐标为（）A. (0,1)B. (0,-1)C. (1,0)D. (-1,0)二、判断题（每题1分，共5分）1.若两个函数的图像关于y轴对称，则这两个函数一定相等。
（）2.函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
（）3.两个正数的平方根一定相等。
（）4.一次函数的图像一定是一条直线。
（）5.若两个函数在某一点的函数值相等，则这两个函数在该点一定相等。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1.一个函数在某个区间内单调递增，则该函数在该区间内的导数大于____。
（）2.若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，则a的值为____。
（）3.点P(x,y)在直线y=2x+1上，则该点的坐标满足____。
（）4.若a^2 = b^2，则a与b的关系为____。
（）5.函数f(x) = x^3 - 3x的导数为____。
（）四、简答题（每题2分，共10分）1.请简述函数的导数表示的含义。
（）2.请说明二次函数的图像特点。
（）3.请列出一次函数和二次函数的一般形式。
（）4.请解释什么是函数的零点。
（）5.请用一句话描述函数的单调性。
（）五、计算题（每题2分，共10分）1.计算函数f(x) = x^3 - 3x的导数。
（）2.计算直线y=2x+1在x=1时的瞬时变化率。
四川省广元市广元中学2015-2016学年高一下学期第二次
广元中学高2015级高一下期第二次段考数学试题（文科）（总分：150分，时间：120分钟）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量)1,(x =，)1,1(-=，若b a //，则=x （ ） A. 1± B. 1 C. 1- D.0 2. 等差数列{a n }中，2,552==a a ,则=8a （ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．23. 设R d c b a ∈,,,,且d c b a <>,，则下列结论中正确的是（ ） A ．cbd a > B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ． d b c a ->-4．在ABC △中，1,AB AC ==30A ∠=︒，则ABC △的面积等于（ ）A BC D ．125.在中，若C B A 222sin sin sin <+，则的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若角,,A B C 成等差数列，边,,a b c 成等比数列，则sin sin A C ⋅的值为（ ）A ．34 B C ．12 D ．14 7．等差数列{a n }中，如果147=39a a a ++，369=27a a a ++，则数列{a n }前9项的和为（ ）A ．99B ．66C ．144D ． 2978．等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知7,863==S S ，则987a a a ++等于（ ） A. 849-B ． 849 C. 81 D. 81-9．若非零向量，=()02=⋅+b b a ,则与的夹角为（ ） A ．030 B ．060 C ． 090 D ． 012010．等比数列{}n a 的各项均为正数，且465=a a ，则=+++1022212log log log a a a （ ）A ．10-B ．5C ．10D ．2011．在R 上定义运算:⊗()y x y x -=⊗1．若不等式()()1<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）A ．11<<-aB ． 20<<aC ．2123<<-a D ． 2321<<-a 12．数列{}n a 满足：11=a ，且对任意的+∈N n m ,都有mn a a a n m n m ++=+，则12320161111a a a a ++++=（ ） A.10082015 B. 20174032 C. 20162015D.20172016第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若bc a c b =-+222，则=A _____. 14．已知0,0>>b a 向量()()3,2,2,1=-=，若+=λ与-=垂直，则实数λ的值是 ．15.已知等比数列{}n a 满足：8,141==a a ，若16=n m a a ，则nm 41+的最小值为 ．16下列四个结论中，正确结论的序号是 。
四川省广元市广元中学高一数学下学期第二次段考试题
广元中学高2015级高一下期第二次段考 数学试题（文科） （总分：150分，时间：120分钟） 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的)1.已知向量)1,(x a =，)1,1(-=b ，若b a //，则=x （ ）A. 1±B. 1C. 1-D.02. 等差数列{a n }中，2,552==a a ,则=8a （ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．23. 设R d c b a ∈,,,,且d c b a <>,，则下列结论中正确的是（ ）A ．cb d a > B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ． d b c a ->- 4．在ABC △中，3,1,AB AC ==30A ∠=︒，则ABC △的面积等于（ ）A ．32 B ．34 C ．3 D ．12 5.在中，若C B A 222sin sin sin <+，则的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若角,,A B C 成等差数列，边,,a b c 成等比数列，则sin sin A C ⋅的值为（ ）A ．34B ．34C ．12D ．14 7．等差数列{a n }中，如果147=39a a a ++，369=27a a a ++，则数列{a n }前9项的和为（ ）A ．99B ．66C ．144D ． 2978．等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知7,863==S S ，则987a a a ++等于（ ）A. 849- B ． 849 C. 81 D. 81- 9．若非零向量，b a =,()02=⋅+,则与的夹角为（ ）A ．030B ．060C ． 090D ． 012010．等比数列{}n a 的各项均为正数，且465=a a ，则=+++1022212log log log a a a Λ（ ）A ．10-B ．5C ．10D ．2011．在R 上定义运算:⊗()y x y x -=⊗1．若不等式()()1<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）A ．11<<-aB ． 20<<aC ．2123<<-aD ． 2321<<-a 12．数列{}n a 满足：11=a ，且对任意的+∈N n m ,都有mn a a a n m n m ++=+，则12320161111a a a a ++++=L （ ） A. 10082015 B. 20174032 C. 20162015 D. 20172016 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若bc a c b =-+222，则=A _____.14．已知0,0>>b a 向量()()3,2,2,1=-=b a ，若b a m +=λ与b a n -=垂直，则实数λ的值是 ．15.已知等比数列{}n a 满足：8,141==a a ，若16=n m a a ，则nm 41+的最小值为 ． 16下列四个结论中，正确结论的序号是 。
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广元中学高2015级高一下期第二次段考
数学试题（文科）
（总分：150分，时间：120分钟）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量)1,(x =，)1,1(-=，若b a //，则=x （ ）
A. 1±
B. 1
C. 1-
D.0
2. 等差数列{a n }中，2,552==a a ,则=8a （ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2
3. 设R d c b a ∈,,,,且d c b a <>,，则下列结论中正确的是（ ）
A ．c
b d a > B ．bd a
c > C ．
d b c a +>+ D ． d b c a ->-
4．在ABC △中，1,AB AC ==30A ∠=︒，则ABC △的面积等于（ ）
A C ．12 5.在中，若C
B A 222sin sin sin <+，则的形状是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
6．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若角,,A B C 成等差数列，边,,a b c 成等比数列，则sin sin A C ⋅的值为（ ）
A ．34
B ．12 D ．14 7．等差数列{a n }中，如果147=39a a a ++，369=27a a a ++，则数列{a n }前9项的和为（ ）
A ．99
B ．66
C ．144
D ． 297
8．等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知7,863==S S ，则987a a a ++等于（ ） A. 849- B ． 849 C. 81 D. 8
1-
9．若非零向量，=()02=⋅+,则与的夹角为（ ）
A ．030
B ．060
C ． 090
D ． 0120
10．等比数列{}n a 的各项均为正数，且465=a a ，则=+++1022212log log log a a a （ ）
A ．10-
B ．5
C ．10
D ．20
11．在R 上定义运算:⊗()y x y x -=⊗1．若不等式()()1<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）
A ．11<<-a
B ． 20<<a
C ．2123<<-a
D ． 2
321<<-a 12．数列{}n a 满足：11=a ，且对任意的+∈N n m ,都有mn a a a n m n m ++=+，则123
20161111a a a a ++++=（ ） A. 10082015 B. 20174032 C. 20162015 D. 2017
2016 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若bc a c b =-+222，则=A _____. 14．已知0,0>>b a 向量()()3,2,2,1=-=，若+=λ与-=垂直，则实数λ的值是 ．
15.已知等比数列{}n a 满足：8,141==a a ，若16=n m a a ，则
n
m 41+的最小值为 ． 16下列四个结论中，正确结论的序号是 。
○1ab b a b a >+>+2
22
2 ()b a b a ≠>>,0,0； ○2b a b a 22222+≥++ ()R b a ∈,; ③函数222-++-=x x x y 的最大值为5
1； ④n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且876S S S >< ，则014>S 且015<S 。
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，
（1）若3,2,3π=
==A c b ，求a 的值； （2）若3,3,2π===
B b a ，求A 的大小.
18. （本小题满分12分）
已知等差数列满足3466,20.a a a =+= 等比数列{}n b 满足32,452==b b .
（1）求数列与{}n b 的通项公式；
(2)若n n n b a c +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .
19. （本小题满分12分） 设平面内的向量()()3,5,3,1=--=,()2,2= ，//共线，且16-=⋅．
（1）求点P 的坐标；
（2）设R t ∈+的最小值．
20．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，2=c ,()A B B C sin sin 3cos sin =-．
(1) 求角C 的大小；
(2) 若3
22cos =A ，求b 的值．
21.（本小题满分12分）
解关于x 的不等式 02)2(2>++-x a ax ()R a ∈
22. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，31=a ,321-=+n n S a ，数列{}n b 的前n 项和为n T 且满足n n n a b a 3log =⋅；
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .。