淮安市2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题及答案

江苏淮安市2013－2014学年度高一年级学业质量调查测试 数 学 试 卷 2014.6本试卷满分共160分；考试时间120分钟。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．只要求写出结果，不必写出计算和推理过程．请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1.已知集合{1,0,2,3},{0,3,4}A B =-=,则AB = ▲ .2.某县区有,,A B C 三所高中，共有高一学生4000人,且,,A B C 三所学校的高一学生人数之比为3:2:5.现要从该区高一学生中随机抽取一个容量为200的样本,则A 校被抽到的学生人数为 ▲ 人.3.若角ɑ的终边经过点()39,2P m m -+，且cos 0α≤，0sin >α，则实数m 的取值范围是 ▲ .4.函数2()log (1)f x x =-的定义域是 ▲ .5.若向量,a b 满足||1,||2a b ==,且a 与b 的夹角为3π, 则||a b += ▲ .6．运行如图所示的算法流程图,则输出的s 值为 ▲ .7.若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷两次,则出 现向上的点数之和为5的概率是 ▲ .8.已知实数,x y 满足0040y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤,则23x y --的最大值是 ▲ .9.已知数列{}n a 是等差数列,且17132a a a π++=,则7sin a = ▲ . 10.已知实数,x y 满足1,1,16x y xy >>=，则22log log x y 的最大值为 ▲ ． 11.已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=-，则tan tan 44x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ= ▲ ． 12.已知{}n a 为等比数列,n S 是它的前n 项和.若2312a a a =,且4a 与72a 的等差中项为54,则5S = ▲ .13.已知M 为ABC ∆的边BC 上一点,若2,1AM CM BM ===,AC +的最大值为 ▲ .14.正项数列{}n a 满足121,2a a ==,又数列,则使得不等式12211111280n a a a ++++<成立的最大整数n 为 ▲ .二.解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.请把答案写在答题卡相应位置．．．．．．．上. 15.(本小题满分14分)已知向量(3,4tan ),(4,5cos )a b αα=-=. (1) 若a ∥b ,求sin α的值;(2) 若a b ⊥,且(0,)2πα∈,求cos(2)3πα-的值.16.(本小题满分14分)已知ABC ∆1,且sin sin A B C +. (1) 求边AB 的长;(2) 若ABC ∆的面积为1sin 6C ,求角C 的值.17.(本小题满分14分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据， 制成如图所示的茎叶图.（1）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；甲 乙 2 12 44 3 1 1 11 0 2 57 10 8 9 第17题图（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．18.(本小题满分16分)在某文艺会场中央有一块边长为a 米(a 为常数)的正方形地面全彩LED 显示屏如图所示，点,E F 分别为,BC CD 边上异于点C 的动点.现在顶点A 处有视角45EAF ∠=︒的摄像机，正录制移动区域ECF ∆内表演的某个文艺节目.设DF x =米,BE y =米. (1) 试将y 表示为x 的函数; (2) 求ECF ∆面积S 的最大值.19.(本小题满分16分)已知函数()2(),f x x ax b a a b R =++-∈. (1) 若关于x 的不等式()0f x >的解集为(,1)(3,)-∞-+∞,求实数,a b 的值；(2) 设2a =,若不等式2()3f x b b >-对任意实数x 都成立,求实数b 的取值范围；(3) 设3b =,解关于x 的不等式组()01f x x >⎧⎨>⎩.第18题图20.(本小题满分16分)已知递增数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足11a =,2441n n S n a -+=.设11,n n n b n N a a *+=∈,且数列{}n b 的前n 项和为n T . (1) 求证:数列{}n a 为等差数列；(2) 试求所有的正整数m ,使得222121m m m m m a a a a a ++++-为整数；(3) 若对任意的n N *∈,不等式118(1)n n T n λ+<+-恒成立,求实数λ的取值范围.江苏省淮安市2013－2014学年度高一年级学业质量调查测试数学参考答案与评分标准 一、填空题：1.{0,3};2.60;3.(]2,3-;4. (1,2]; 6. 41; 7. 19; 8.5; 10.4; 11.1; 12.31; 13.6; 14.9; 二.解答题15. (1)因为a //b ,所以15cos 16tan αα=-,……………………………………………2分 所以215cos 16sin 0αα+=,即215sin 16sin 150αα--=,………………………………4分 解得3sin 5α=-或5sin 3α=(舍去),所以3sin 5α=-. ……………………………………7分 (2)因为a b ⊥,所以0a b =,即1220tan cos 0αα-=,所以1220sin 0α-=,即3sin 5α=, ………………………………………………………9分 因为(0,)2πα∈,所以4cos 5α=,所以24sin22sin cos 25ααα==,27cos212sin 25αα=-=, ………………………………………………………………12分所以11724cos(2)cos 223222525πααα-=+=⨯=. …………14分16. (1)设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,由2sin sin sin a b cR A B C===,得sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===, ……………………………………………………2分又因为sin sin A B C +=,所以222a b cR R R +,即a b +=, ……………4分又1a b c ++,1c +=,1c =,即1AB =.……………………………6分(2)由已知得11sin sin 26S ab C C ==,因为sin 0C >,所以13ab =, ……………………8分 由(1)知1,c a b =+,所以22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab+-+--==22113223--==, …………………………………………………………………………12分因为(0,)C π∈,所以3C π=. ……………………………………………………………14分17.（1）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 ，方差分别为 、，则，……………………………1分，………………………………2分， ………………………4分， …………………6分 由于，所以甲车间的产品的重量相对稳定；………………………………7分 （2）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：X 甲X 乙2s 甲2s 乙1221141131111111071136X +++++==甲1241101121151081091136X +++++==乙()()()222211221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣甲()()()222111113111113107113⎤+-+-+-⎦21=()()()222211241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣乙()()()222115113108113109113⎤+-+-+-⎦29.33=22s s <甲乙()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109,．…………………………9分设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：．………………………………………11分所以抽取两件样品重量之差不超过2克的概率为．………………………14分 18.(1)由题意得tan ,tan x y EAD EAB a a∠=∠=, 因为45EAF ∠=︒,所以45EAD EAB ∠+∠=︒,…………………………………………2分所以tan tan tan()11tan tan EAD EAB EAD EAB EAD EAB ∠+∠∠+∠==-∠∠,即211x y a a xy a+=-,………………5分 所以2a axy x a -=+,其中0x a <<. ………………………………………………………7分(2)由,CE a y CF a x =-=-,知ECF 的面积()()S CE CF a y a x ==--2()()a ax a a x x a -=--+2(),0ax a x x a x a-=<<+,…………………………………………9分设x a t +=,则x t a =-,其中02t a <<,所以2()(2)a t a a t S t--=22232222[3()]t at a a a a a t t t-+-==-+22(3(6a a a -=-≤,…………14分当且仅当t =,即1)x a =时取等号, …………………………………………15分故ECF ∆面积S的最大值为2(6a -.………………………………………………16分 19. (1)因为不等式2()0f x x ax b a =++->的解集为(,1)(3,)-∞-+∞，所以由题意得1,3-为函数20x ax b a ++-=的两个根,所以()()22110330a b a a b a ⎧-+-+-=⎪⎨++-=⎪⎩,解得2,5a b =-=-.……………………………………4分(2)当2a =时,22223x x b b b ++->-恒成立,即22224x x b b +->-恒成立. 因为()2222133x x x +-=+--≥ ,所以243b b -<-, ………………………………6分 解之得13b <<,所以实数b 的取值范围为13b <<.……………………………………8分 (3)当3b =时,2()3f x x ax a =++-,()f x 的图象的对称轴为2ax =-.(ⅰ)当0∆<,即62a -<<时,由()01f x x >⎧⎨>⎩,得1x >,…………………………………10分(ⅱ)当0∆=,即2a =或6-时()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109()()()()110,112,110,108,110,109,108,109()415P A =①当2a =时,由()01f x x >⎧⎨>⎩,得22101x x x ⎧++>⎨>⎩,所以1x >,②当6a =-时,由()01f x x >⎧⎨>⎩,得26901x x x ⎧-+>⎨>⎩,所以13x <<或3x >,………………12分(ⅲ)当0∆>,即6a <-或2a >时,方程()0f x =的两个根为1x =,2x =, ①当6a <-时,由(1)032f a >⎧⎪⎨->⎪⎩知121x x <<,所以()01f x x >⎧⎨>⎩的解为11x x <<或2x x >,②当2a >时,由(1)012f a >⎧⎪⎨-<-⎪⎩知121x x <<,所以()01f x x >⎧⎨>⎩的解为1x >,…………………14分综上所述,当6a -≤时,不等式组的解集为()a a -++∞, 当6a >-时,不等式组的解集为(1,)+∞.…………………………………………………16分 20.(1)由2441n n S n a -+=,得21144(1)1(2)n n S n a n ----+=≥,………………………2分 所以22144(2n n n a a a n --=-≥）,即22144n n n a a a --+=,即221(2)n n a a --=(2)n ≥, 所以12n n a a --=(2)n ≥或12n n a a --=-(2)n ≥,即12(2)n n a a n --=≥或12(2)n n a a n -+=≥,……………………………………………4分 若12(2)n n a a n -+=≥,则有212a a +=,又11a =,所以21a =,则12a a =,这与数列{}n a 递增矛盾,所以12(2)n n a a n --=≥,故数列{}n a 为等差数列.……………………………6分(2) 由（1）知21n a n =-,所以222121m m m m m a a a a a ++++-222(21)(21)(23)(21)(21)m m m m m -++-+=-+222241274112661414121m m m m m m m -----===----,………………………………………8分因为6121Z m -∈-,所以621Z m ∈-,又211m -≥且21m -为奇数,所以211m -=或213m -=,故m 的值为1或2.……………………………………………………………10分(3) 由(1)知21n a n =-,则1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+,所以12n n T b b b =+++111111[(1)()()]23352121n n =-+-++--+11(1)22121nn n =-=++,……………………………………………………………………12分 从而118(1)21n nn n λ+<+-+对任意n N *∈恒成立等价于,当n 为奇数时,(21)(18)n n nλ++<恒成立,记(21)(18)()n n f n n ++=,则9()2()37f n n n =++49≥,当3n =时取等号,所以49λ<,当n 为偶数时,(21)(18)n n nλ+-<恒成立.记(21)(18)()n n g n n +-=,因为9()2()35g n n n=--递增,所以min ()(2)40g n g ==-,所以40λ<-.综上,实数λ的取值范围为40λ<-.………………………………………16分。