【高中教育】最新高中数学5-4几个著名的不等式5-4-1柯西不等式同步测控

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学5-4几个著名的不等式5-4-
1柯西不等式同步测控
______年______月______日
____________________部门
同步测控
我夯基，我达标
1.y=的最大值是( )x x -+-625
A. B. C.3 D.535 解析:y=1×+2≤×.5-x x -62221+5)6()5(22=-+-x x
答案:B
2.若x 、y∈R+,x+y≤4,则下列不等式成立的是( ) A.≤ B.≥1 C.≥2 D.≥1y x +141y x 1
1+
xy
xy
1 解析:∵x+y≤4,x、y∈R+, ∴≥.A 不成立.
y x +14
1
∵x+y≥2,∴4≥2.xy xy ∴≤2.xy ∴C 不成立.
∴0<xy≤4,≥.D 一定不成立.xy 14
1
而(+)(x+y)≥(+)2=4,x 1y
1x x ∙1
y y
∙1
∵x+y>0,∴+≥.x 1y 1y
x +4
∵x+y≤4,∴≥.y x +14
1
∴≥4×=1.
y x +44
1
∴+≥1成立,即B 成立.x 1y
1
答案:B
3.已知x 、y 、z∈R+,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是( ) A.1 B. C. D.2313
2
解析:∵(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x+y+z)2=1, ∴x2+y2+z2≥,3
1
当且仅当x=y=z=时,取“=”.3
1 答案:B
4.n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是
A.1
B.n
C.n2
D.n
1 解析:设ai>0(i =1,2,…,n),则(a1+a2+…+an)(++…+)11a 2
1a n
a 1
≥(+…+)2=n2.2
21
111a a a a ∙
+∙n
n a a 1∙
答案:C
5.已知a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,则a1x1+a2x2+…+anxn 的最大值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4 解析:由柯西不等式(a12+a22+…+an2)(x12+x22+…+xn2) ≥(a1x1+a2x2+…+anxn)2, 得a1x1+a2x2+…+anxn≤1. 答案:A
6.已知a 、b∈R+,ab=1,则(1+)(1+)的最小值为( )
a 1
b 1
A.4
B.2
C.1
D.4
1 解析:(1+)(1+)≥(1+)2=4.a 1b 1b
a 11∙ 答案:A
7.已知x 、y 、z∈R+,x+y+z=1,则的最大值是________________.z y x ++
解析:∵(x+y+z)(1+1+1)≥()2,且x+y+z=1,z y x ++ ∴≤.z y x ++3 答案:3
8.若x>0,y>0且=1,则x+y 的最小值为________________.y
x
91+ 解析:x+y=(+)(x+y)≥(×+×)2=16.x 1y 9
x
1x
y
9y
答案:16
我综合，我发展
9.若a>b>c,且+≥恒成立,则m 的取值范围为_________________.
b
a -1c
b -1c
a m
-
解析:∵a>b>c,
∴a -b>0,b-c>0,a-c>0.
∴不等式+≥恒成立,即m≤(+)(a -c)恒成立.b a -1c b -1c a m -b a -1c
b -1
∵(a -c)(+)
b a -1c
b -1
=［(a-b)+(b-c)］(+)b a -1c
b -1
≥()2=4.c
b c b b
a b a -∙
-+-∙-11
∴m≤4. 答案:m≤4
10.已知a2+b2=1且c<a+b 恒成立,则c 的取值范围为_________________.
解析:∵(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2,且a2+b2=1, ∴(a+b)2≤2.∴-≤a+b≤.22 ∵c<a+b 恒成立,∴c<-.2 答案:c<-2
11.已知a 、b 、c 、d 都是实数,且a2+b2=1,c2+d2=1, 求证:｜ac+bd ｜≤1.
分析:已知条件中a2+b2和c2+d2与所证的不等式中(ac+bd)之间的关系可用柯西不等式.
证明:由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,及a2+b2=1,c2+d2=1,得(ac+bd)2≤1, 即｜ac+bd ｜≤1成立.
12.比较A=1+++…+与的大小关系(n∈N*).2131n
1n
解:∵A(1+++…+)23n =(1+)(1++…+)n
13121+
++ 2n
≥=n2,
∴1+++…+≥.
2131n 1
n
n +++ 212
而1++…+≤++…+=,2n n n n n n ∴≥.
n +++ 211
n
n 1
∴≥=.
n n +++ 212n
n n 2
n
∴A≥.n
13.△ABC 的三边长为a 、b 、c,其外接圆半径为R, 求证:(a2+b2+c2)()≥36R2.
C
B A 222sin 1
sin 1sin 1++ 分析:本题的左边为柯西不等式的结构,用柯西不等式证明. 证明:∵(a2+b2+c2)()C
B A 222sin 1
sin 1sin 1++ ≥()2,
C
c
B b A a sin sin sin ++ 而在△AB
C 中,=2R.C
c
B b A a sin sin sin == ∴=6R.
C
c
B b A a sin sin sin ++ ∴(a2+b2+c2)()≥36R2.
C
B A 2
22sin 1
sin 1sin 1++ 14.△ABC 的三边a,b,c 对应的高为ha,hb,hc,r 为三角形的内切圆半径,若ha+hb+hc=9r,试判断△ABC 的形状.
分析:三角形的高与面积和底边有关,而内切圆的半径也与面积有关,可将原三角形的分割为三个以r 为高的小三角形. 解:设△ABC 的面积为S,则
S=aha=bhb=chc.
212121
又∵S=r(a+b+c),2
1 ∴2S=r(a+b+c). ∴ha+hb+hc=
c
S
b S a S 222+
+ =r(a+b+c)(++).
a 1
b 1c
1
由柯西不等式(a+b+c)(++)≥［+］2=9,
a 1
b 1c
1∙
a a
1c
c b
b 11∙
+∙
∴ha+hb+hc≥9r,当且仅当a=b=c 时,取“=”. 又∵ha+hb+hc=9r, ∴此三角形为正三角形.
我创新，我超越
15.设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:.9222c
b a a
c c b b a ++>+++++ 证明:∵(a+b+b+c+c+a)(+)b a +1a
c c b +++1
1
≥()2=9,a
c a c c
b c b b
a b a +∙
+++∙+++∙
+111
即2(a+b+c)(++)≥9,
b a +1
c b +1a
c +1
∵a、b 、c 为互不相等的正数, ∴上式“=”取不到. ∴++>.
b a +2
c b +2a c +2c
b a ++9
16.设x 1,x2,…,xn∈R+,且x1+x2+…+xn=1.
求证:.1
1
1112
22
212
1+≥++++++n x x x x x x n n
分析:可用柯西不等式的一般形式,注意“1”的变换.
证明:∵(++…+)(n+1)12
11x x +22
2
1x x +n
n x x +12
=(++…+)(n+x1+x2+…+xn)1211x x +222
1x x +n
n x x +12
=(++…+)［(1+x1)+(1+x2)+…+(1+xn)］12
11x x +22
2
1x x +n
n x x +12
≥(++…+)2
∙+1
2
1
1x x 11x +2
2
2
2
11x x x ++n n
n
x x x +∙+112
=(x1+x2+…+xn)2=1,
即++…+≥成立.12
11x x +221x x +n n x x +12
1
1
+n。