【恒心】【好卷速递】山东省聊城市水城中学2012届高三下学期第二次模拟考试(数学文)

山东省聊城市水城中学2012届高三下学期第二次模拟考试文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2f (x )x cos x =-，则06005f (.),f (),f (.)-的大小关系是( )（A ）00605f ()f (.)f (.)<<- (B) 00506f ()f (.)f (.)<-< (C) 06050f (.)f (.)f ()<-< (D) 05006f (.)f ()f (.)-<<2.过点P （0，-2）的双曲线C 的一个焦点与抛物线216x y =-的焦点相同，则双曲线C 的标准方程是( )（A）221124x y-=（B）221204x y-=（C）221412y x-= (D)221420y x-=3.已知函数210x(x)f(x)log x(x)+≤⎧=⎨>⎩，则函数[]1y f f(x)=+的零点个数是（）(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 14．函数34)(-+=xexf x的零点所在的区间为A．)0,41(-B．)41,0(C．()21,41D．43,21(5．某人睡午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待时间不多于15分钟的概率为A．12B．14C．23D．346. 如下图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是A．πB．3πC D7．阅读如图的程序框图. 若输入6n=, 则输出k的值为A．2B．3C．4D．58．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为 （ ）A ．26B ．24C ．16D ．149．函数()sin()f x x ωϕ=+（0,||2πωϕ><）的最小正周期是π，若其图像向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则ϕ的值为 （ ）A ．6πB ．3πC ． 3π-D ．6π-10．在ABC ∆所在的平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-uu r uuu r uu u r uur,那么PBC ∆和面积与ABC ∆的面积之比是A ．43B ．21 C ．31D ．3211．抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，倾斜角为60o 的直线l 过点F 且与抛物线的一个交点为A ，||3AF =，则抛物线的方程为A. 23y x =B. 292y x =C. 232y x =或292y x =D. 23y x =或29y x =12．已知函数()g x 是R 上的奇函数，且当0x <时()ln(1)g x x =--，函数3(0),()()(0),x x f x g x x ⎧≤=⎨>⎩ 若2(2)f x ->()f x ，则实数x 的取值范围是A ． (,1)(2,)-∞⋃+∞B ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞C ．(1,2)D ．(2,1)-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分 13．从某地区随机抽取100名高中男生，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从各组内的男生中，用分层抽样的方法选取20人参加一项活动，则从[]60,70这一组中抽取的人数为 ． 14．在A B C V 中，若120,5,7A A B B C ∠===o,则A B CV 的面积S= ．15．将边长为2的正A B C ∆沿B C 边上的高A D 折成直二面角B A D C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 ．16．已知圆C 的圆心在x 轴上，曲线22x y =在点(2,2)A 处的切线l 恰与圆C 在A 点处相三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足215313a a a +=，756S =．(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b a =且11n n n b b a ++-=，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18. （本小题满分12分）2.5P M 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国2.5P M 标准采用世卫组织设定的最宽限值， 2.5P M 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标.某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的 2.5P M 监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶），若从这6天的数据中随机抽出2天.（Ⅰ）求恰有一天空气质量超标的概率;（Ⅱ）求至多有一天空气质量超标的概率.19．（本小题满分12分）已知四棱锥E A B C D -的底面为菱形，且60ABC ∠=o ，2,AB EC ==AE BE ==O 为A B 的中点.（Ⅰ）求证：E O ⊥平面A B C D ；（Ⅱ）求点D 到面A E C 的距离．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C ab+=的短轴长等于焦距，椭圆C 上的点到右焦点F 的最短距离为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(20)E ，且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于M 、N 两点，P 是点M 关于x 轴的对称点，证明：N F P 、、三点共线． 21．（本小题满分12分）已知函数1()xax f x e-=.（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()f t t >恒成立，求实数a 的取值范围． 请考生在22， 23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，已知AB 是圆O 的直径，AC 是弦，A D C E ⊥，垂足为D ，AC 平分.B A D ∠ （Ⅰ）求证：直线CE 是圆O 的切线； （Ⅱ）求证：2.AC AB AD =⋅23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的参数方程为：1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=．（Ⅰ）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求PQ 值．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数）a x x x f -++-=|2||1(|log )(2． （Ⅰ）当7=a 时，求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式3)(≥x f 的解集是R ，求a 的取值范围．参考答案及评分标准一、选择题： BCACB DBDCA DD二、填空题 13． 6 14．. 415．. 5π 16．. 22(6)20x y -+=三、解答题17．（本小题共12分）解：(Ⅰ) {}n a Q 是等差数列且215313a a a +=，233123a a ∴=，又306n a a >∴=Q ．…………………………………………………2分177447()75682a a S a a +===∴=Q ，……………………………4分432d a a ∴=-=，3(3)2n a a n d n ∴=+-=． ………………6分（Ⅱ）112n n n n b b a a n ++-==且Q ，12(1)n n b b n +∴-=+当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L22(1)222(1)n n n n =+-++⨯+=+L ，……………………8分当1n =时，12b =满足上式，(1)n b n n =+1111(1)1nb n n nn ∴==-++ ……………………………………………………10分12111111111111(1)()()()22311n n nT b b b b n nnn -∴=++++=-+-++-+--+L L1111nn n =-=++． ………………………………………………12分18．（本小题共12分）解： 由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标. …………2分记未超标的4天为,,,a b c d ，超标的两天为,e f ．则从6天中抽取2天的所有情况为：a b ，ac ，a d ，ae ，af ，bc ，b d ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，基本事件数为15．…………4分（Ⅰ）记 “6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A ，可能结果为：ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，基本事件数为8．∴()815P A =；……………6分（Ⅱ）记“至多有一天空气质量超标”为事件B ，“2天都超标”为事件C ，其可能结果为ef ，…………………………8分 故()115P C =，…………………………………………………………10分∴()()114111515P B P C =-=-=. …………………………………12分19．（本小题共12分）（I ）证明：连接C O,2A E E B A B ==Q AEB ∴V 为等腰直角三角形Q O 为A B 的中点,1EO AB EO ∴⊥=……………………2分又,60AB BC ABC =∠=oQ A C B ∴V 是等边三角形CO ∴=，………………………………4分又2,EC =222E C E O C O∴=+，即E O C O ∴⊥ E O A B C D∴⊥平面……………………6分（II ）设点D 到面A E C 的距离为h2AE AC EC ===Q∴2AEC S =V …………8分Q AD C S =V E 到面A C B 的距离1E O =D AECE AD C V V --=Q ∴A E CA D CS h S E O ⋅=⋅V V………………………………10分7h ∴=∴点D 到面A E C7……………………12分20．（本小题共12分）(I)由题可知：221b c a c =⎧⎪⎨-=-⎪⎩…………2分解得1a c ==，1b ∴=∴椭圆C 的方程为22:12xC y +=…………………………4分（II ）设直线l ：(2)y k x =-，11()M x y ，，22()N x y ，，11()P x y -，，(10)F ，，由22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2222(21)8820k x k x k +-+-=.…………6分所以2122821kx x k +=+，21228221k x x k -=+. ……………………8分而 2222(1)(12)FN x y x kx k =-=--，，uuu r，1111(1)(12)FP x y x kx k =--=--+uur，，，…………10分1221(1)(2)(1)(2)x kx k x kx k -----+Q 1212[23()4]k x x x x =-++22221642442121k k k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭0= //FN FP ∴uuu r uur∴N F P 、、三点共线 ……………………………………12分 21．（本小题共12分）（I ）当1a =时，1()xx f x e-=2()xx f x e-+'∴=………………………………………………………………2分由()0f x '>得2,x <()0f x '<得2x >()f x ∴的单调递增区间为(,2)-∞，单调递减区间为(2,)+∞.………………4分（II ）若对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 使得()f t t >恒成立， 则1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1x ax x e ->恒成立， 即1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1xa e x >+恒成立………………………………6分 设1()xg x e x=+，1[,2]2x ∈，则 21()xg x e x'=-，1[,2]2x ∈设21()x h x e x=-， Q 32()0x h x e x'=+>在1[,2]2x ∈上恒成立∴()h x 在1[,2]2x ∈上单调递增即21()x g x e x'=-在1[,2]2x ∈上单调递增………………8分121()402g e '=-<Q ，21(2)04g e '=->Q∴21()xg x e x '=-在1[,2]2有零点m∴21()xg x e x'=-在1[,]2m 上单调递减，在(,2]m 上单调递增……………10分∴1()2(2)a g a g ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2212a a e ⎧>+⎪⎨>+⎪⎩，∴212a e >+……………………12分 22．（本小题共10分）证明：（Ⅰ）连接O C ，因为O A O C =,所以O C A O A C ∠=∠. ....................... 2分 又因为AD C E ⊥，所以090ACD CAD ∠+∠=，又因为A C 平分B A D ∠，所以O A C C A D ∠=∠， ........................................ 4分 所以90OCA ACD ∠+∠=o ，即O C C E ⊥，所以C E 是O e 的切线. ............. 6分 （Ⅱ）连接B C ，因为AB 是圆O 的直径，所以090BCA ADC ∠=∠=， 因为O A C C A D ∠=∠， ................................................................................ 8分 所以△ABC ∽△A C D ，所以A C A D A BA C=，即2AC AB AD =⋅. ...................10分23．（本小题共10分） 解：（Ⅰ）4cos ρθ= ，24cos ρρθ∴=，………………………………………………………………2分由222,cos x y x ρρθ=+=得：224x y x +=所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=，…………………………4分 它是以(2,0)为圆心，半径为2的圆. …………………………………………5分本卷第11页（共11页）（Ⅱ）把1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入224x y x +=整理得250t -+=，……7分 设其两根分别为1t 、2t，则12125t t t t +==，…………………………8分12PQ t t ∴=-==10分另解：化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得PQ 的值．24．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题设知：721>++-x x ，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：⎩⎨⎧>++-≥7211x x x ，或⎩⎨⎧>+++-<<-72112x x x ，或⎩⎨⎧>--+--≤7212x x x ………………3分 解得函数)(x f 的定义域为),3()4,(+∞⋃--∞； ………………………………5分 （Ⅱ）不等式3)(≥x f 即821+≥++-a x x ，R x ∈ 时，恒有3)2()1(21=+--≥++-x x x x ，…………………………8分 不等式821+≥++-a x x 解集是R ，83,a ∴+≤a ∴的取值范围是]5-,(-∞． ……………………………10分。