高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11节导数与函数的单调性课件46.ppt

D.－1，－13
C [取 a＝－1，则 f(x)＝x－13sin 2x－sin x，f′(x)＝1－23cos 2x－cos x，
但 f′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除 A，
B，D.故选 C.]
[思想与方法] 1．已知函数解析式求单调区间，实质上 是求 f′(x)＞0，f′(x)＜0 的解区间，并注意函 数 f(x)的定义域． 2．含参函数的单调性要分类讨论，通过 确定导数的符号判断函数的单调性． 3．已知函数单调性可以利用已知区间和 函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问 题两种思路解决．
[规律方法] 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求 f′(x)； (3)在定义域内解不等式 f′(x)＞0，得单调递增区间； (4)在定义域内解不等式 f′(x)＜0，得单调递减区间．
[变式训练 2] 已知函数 f(x)＝ax＋ln x，则当 a＜0 时，f(x)的单调递增区间
当 a＞0 时，x∈－∞，－23a∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈－23a，0时，f′(x) ＜0，
所以函数 f(x)在－∞，－23a，(0，＋∞)上单调递增，在－23a，0上单调递 减；10 分
当 a＜0 时，x∈(－∞，0)∪－23a，＋∞时，f′(x)＞0，x∈0，－23a时，f′(x) ＜0，12 分
5．若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则 k 的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
D [由于 f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k
－1x≥0 在(1，＋∞)上恒成立．
[迁移探究 2] (变换条件)函数 f(x)不变，若 f(x)的单调递减区间为(－1,1)， 求 a 的值．
[解] f′(x)＝3x2－a. 当 a≤0 时，f′(x)≥0，4 分 所以 f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
当 a＞0 时，令 3x2－a＜0，得－ 33a＜x＜ 33a，12 分 所以 f(x)的单调递减区间为－ 33a， 33a，∴ 33a＝1，即 a＝3.15 分
[变式训练 1] 设函数 f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝1x－eex，其中 a∈R，e＝2.718…
为自然对数的底数．
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)证明：当 x>1 时，g(x)>0. 【导学号：51062078】 [解] (1)由题意得 f′(x)＝2ax－1x＝2axx2－1(x>0).2 分抓基础 Nhomakorabea·
自
主 学
第二章 函数、导数及其应用
课
习
时
分
第十一节 导数与函数的单调性
层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
函数的导数与单调性的关系 函数 y＝f(x)在某个区间内可导，则 (1)若 f′(x)＞0，则 f(x)在这个区间内_单__调__递__增___； (2)若 f′(x)＜0，则 f(x)在这个区间内_单__调__递__减___； (3)若 f′(x)＝0，则 f(x)在这个区间内是_常__数__函__数___．
2．函数 y＝12x2－ln x 的单调递减区间为(
)
A．(－1,1]
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(0，＋∞)
B [函数 y＝12x2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝x－1xx＋1，令
y′≤0，则可得 0＜x≤1.]
3．(教材改编)如图 2-11-1 所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判
解得ab＝ ＝2e.， 6 分
(2)由(1)知 f(x)＝xe2－x＋ex. 由 f′(x)＝e2－x(1－x＋ex－1)及 e2－x＞0 知，f′(x)与 1－x＋ex－1 同号.10 分 令 g(x)＝1－x＋ex－1，则 g′(x)＝－1＋ex－1. 所以，当 x∈(－∞，1)时，g′(x)<0，g(x)在区间(－∞，1)上单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增.12 分 故 g(1)＝1 是 g(x)在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而 g(x)>0，x∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋ ∞).15 分
[迁移探究 3] (变换条件)函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(－1,1)上不单调，求 a 的取值范围．
[解] ∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.由 f′(x)＝0，得 x＝± 33a(a≥0). 7分
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜ 33a＜1，得 0＜a＜3，即 a 的取值范围 为(0,3).15 分
是________，单调递减区间是________． 0，－1a －1a，＋∞ [由已知得 f(x)的定义域为(0，＋∞)． 因为 f′(x)＝a＋1x＝ax＋x 1a， 所以当 x≥－1a时，f′(x)≤0， 当 0＜x＜－1a时，f′(x)＞0，所以 f(x)的单调递增区间为0，－1a， 单调递减区间为－1a，＋∞.]
求函数的单调区间
设函数 f(x)＝xea－x＋bx，曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y ＝(e－1)x＋4.
(1)求 a，b 的值； (2)求 f(x)的单调区间． [解] (1)因为 f(x)＝xea－x＋bx， 所以 f′(x)＝(1－x)ea－x＋b.2 分 依题设，ff′2＝2＝2e＋e－21，， 即－2eae－a－2＋2＋2bb＝＝e2－e＋1.2，
已知函数的单调性求参数
已知函数 f(x)＝x3－ax－1. 若 f(x)在 R 上为增函数，求实数 a 的取值范围. 【导学号：51062079】 [解] 因为 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以 f′(x)＝3x2－a≥0 在(－∞，＋∞)上恒成立， 即 a≤3x2 对 x∈R 恒成立.7 分 因为 3x2≥0，所以只需 a≤0. 又因为 a＝0 时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1 在 R 上是增函数，所以 a≤0， 即实数 a 的取值范围为(－∞，0].15 分
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定 有 f′(x)>0.( ) (2)如果函数在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则函数 f(x)在此区间上没有单调 性．( ) (3)f′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充要条件．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)×
由于 k≥1x，而 0<1x<1，所以 k≥1，即 k 的取值范围为[1，＋∞)．]
判断或证明函数的单调性
已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论 f(x)的单调性． [解] f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝0，x2＝－23a.2 分 当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2≥0，所以函数 f(x) 在(－∞，＋∞)上单调递增；6 分
[规律方法] 根据函数单调性求参数的一般方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相 应单调区间的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则 f′(x)≥0；若函 数单调递减，则 f′(x)≤0”来求解．
易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f ′(x)≥0， 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f′(x)不恒为 0.应注意此时式子中的等号不能 省略，否则漏解．
(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移 3 中利用了 33a∈(0,1)来求解．
[变式训练 3] 若函数 f(x)＝x－13sin 2x＋asin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则
a 的取值范围是( )
A．[－1,1]
B.－1，13
C.－13，13
[迁移探究 1] (变换条件)函数 f(x)不变，若 f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数， 求 a 的取值范围．
[解] 因为 f′(x)＝3x2－a，且 f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以 f′(x)≥0 在(1，＋∞)上恒成立，即 3x2－a≥0 在(1，＋∞)上恒成立，7 分
所以 a≤3x2 在(1，＋∞)上恒成立，所以 a≤3，即 a 的取值范围为(－∞，3]. 12 分
正确．]
4．设 f(x)＝x－sin x，则 f(x)( ) A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数 B [因为 f′(x)＝1－cos x≥0，所以函数为增函数，排除选项 A 和 C.又因为 f(0) ＝0－sin 0＝0，所以函数存在零点，排除选项 D，故选 B.]
所以函数 f(x)在(－∞，0)，－23a，＋∞上单调递增，在0，－23a上单调递 减.15 分
[规律方法] 用导数证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)一求．求 f′(x)； (2)二定．确认 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)三结论．作出结论：f′(x)＞0 时为增函数；f′(x)＜0 时为减函数． 易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解 集的影响进行分类讨论．
当 a≤0 时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当 a>0 时，由 f′(x)＝0 有 x＝
1， 2a
当 x∈0， 12a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；6 分 当 x∈ 12a，＋∞时，f′(x)>0，f(x)单调递增.10 分 (2)证明：令 s(x)＝ex－1－x，则 s′(x)＝ex－1－1.12 分 当 x>1 时，s′(x)>0，所以 ex－1>x， 从而 g(x)＝1x－ex1－1>0.15 分