20182019学年高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线讲义含解析苏教版选修212019041638.doc

2．1圆锥曲线
椭圆的定义
取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．
问题1：若绳长等于两点F1、F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？
提示：线段F1F2.
问题2：若绳长L大于两点F1、F2的距离．移动笔尖(动点M)满足的几何条件是什么？
提示：MF1＋MF2＝L.
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．
(1)焦点：两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点．
(2)焦距：两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
双曲线的定义
2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1 600 m的“盐城”舰，3 s后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．问题1：“盐城”舰比“洛阳”舰距离快艇远多少米？
提示：MB－MA＝340×3＝1 020(m)．
问题2：把快艇作为一个动点，它的轨迹是双曲线吗？
提示：不是．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．
(1)焦点：两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点．
(2)焦距：两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
抛物线的定义
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
问题1：画出的曲线是什么形状？
提示：抛物线．
问题2：DA是点D到直线EF的距离吗？为什么？
提示：是．AB是Rt△的一条直角边．
问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？
提示：DA＝DC.
1．一般地，平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
2．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．
1．圆锥曲线定义用集合语言可描述为：
(1)椭圆P＝{M|MF1＋MF2＝2a,2a>F1F2}；
(2)双曲线P＝{M||MF1－MF2|＝2a,2a<F1F2}；
(3)抛物线P＝{M|MF＝d，d为M到直线l的距离}．
2．在椭圆定义中，当2a＝F1F2时，M的轨迹为线段F1F2，在双曲线定义中，当2a＝F1F2时，M的轨迹为两条射线．
3．过抛物线焦点向准线作垂线，垂足为N，则FN的中点为抛物线顶点，FN所在直线为抛物线对称轴．
4．对于椭圆、双曲线，两焦点的中点是它们的对称中心，两焦点所在直线及线段F1F2的垂直平分线是它们的对称轴．
圆锥曲线定义的理解
[例1]平面内动点M到两点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之和为3m，问m取何值时M的轨迹是椭圆？
[思路点拨]若M的轨迹是椭圆，则MF1＋MF2为常数，但要注意这个常数大于F1F2.
[精解详析]∵MF1＋MF2＝3m，
∴M到两定点的距离之和为常数，当3m大于F1F2时，由椭圆定义知，M的轨迹为椭圆，∴3m>F1F2＝＝6，
∴m>2，∴当m>2时，M的轨迹是椭圆．
[一点通]
深刻理解圆锥曲线的定义是解决此类问题的前提，一定要注意定义中的约束条件：
(1)在椭圆中，和为定值且大于F1F2；
(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于F1F2；
(3)在抛物线中，点F不在定直线上．
1．命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和PA＋PB＝2a(a＞0，a为常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．
解析：若P点轨迹是椭圆，则PA＋PB＝2a(a＞0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若PA＋PB＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a＞AB时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝AB时，P点轨迹是线段AB；当2a＜AB时，P点无轨迹，
∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要而不充分条件．
答案：必要不充分
2．动点P到两个定点A(－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是10，则点P的轨迹是________．
解析：由题意知：PA＋PB＋AB＝10，又AB＝4，
∴PA＋PB＝6>4.∴点P的轨迹是椭圆．
答案：椭圆
圆锥曲线的应用
[例2]设F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任一点，从某一焦点引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足是P，那么点P的轨迹是什么曲线？
[思路点拨]利用双曲线的定义，结合平面图形的性质判断．
[精解详析]如图所示，点Q在双曲线的右支上，有QF1－QF2＝2a.①
延长F1P、QF2交于L.
∵∠F1QP＝∠LQP，QP⊥F1P，
∴F1Q＝QL，代入①，
则QL－QF2＝2a，即F2L＝2a.
取线段F1F2中点O，则由P是F1L中点有
PO＝F2L＝·2a＝a.
∴P的轨迹是以O为圆心，以a为半径的圆．
[一点通]当点在圆锥曲线上时，点一定满足圆锥曲线的定义，如本题中，点Q在双曲线上，则有QF1－QF2＝2a，这是定义的要求．另外利用平面图形的性质解题是解析几何中很常见的解题思想．
3．平面内到两定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的和为3的点的轨迹是________．
解析：F1F2＝2＜3，∴点P的轨迹是椭圆．
答案：椭圆
4．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，试判断动圆圆心M的轨迹．
解：设圆M的半径为r，由题意，得MC1＝1＋r，
MC2＝3＋r.∵MC2－MC1＝2<C1C2，
∴圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支．
5．已知定点P(0,3)和定直线l：y＋3＝0，动圆M过P点且与直线l相切．求证：圆心M 的轨迹是一条抛物线．
解：∵直线y＋3＝0与圆相切，∴圆心M到直线y＋3＝0的距离为圆的半径r.
又圆过点P(0,3)，∴r＝MP，
∴动点M到点P(0,3)的距离等于到定直线y＋3＝0的距离，
∴动点M的轨迹是以点P(0,3)为焦点，以直线y＋3＝0为准线的抛物线．
椭圆定义中常数为动点到两焦点的距离之和，由三角形中两边之和大于第三边知，应要求常数大于焦距．
双曲线定义中常数为动点到两焦点的距离之差的绝对值，由三角形中两边之差小于第三边知，应要求常数小于焦距．
[对应课时跟踪训练(七)]
1．平面内到一定点F和到一定直线l(F在l上)的距离相等的点的轨迹是______________．答案：过点F且垂直于l的直线
2．设F1、F2为定点，PF1－PF2＝5，F1F2＝8，则动点P的轨迹是________．
解析：∵5＜8，满足双曲线的定义，∴轨迹是双曲线．
答案：双曲线
3．以F1、F2为焦点作椭圆，椭圆上一点P1到F1、F2的距离之和为10，椭圆上另一点P2满足P2F1＝P2F2，则P2F1＝________.
解析：∵P2在椭圆上，∴P2F1＋P2F2＝10，
又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5.
答案：5
4．平面内动点P到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差为m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是________．
解析：由题意可知，|m|＜4，且m≠0，∴－4<m<4，且m≠0.
答案：(－4,0)∪(0,4)
5．已知椭圆上一点P到两焦点F1、F2的距离之和为20，则PF1·PF2的最大值为________．解析：∵PF1＋PF2＝20，
∴PF1·PF2≤()2＝()2＝100.
答案：100
6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F作直线与抛物线相交于A、B两点，试判断以AB为直径的圆与l的位置关系．
解：如图，取AB的中点O2，过A、B、O2分别作AA1⊥l，BB1⊥l，O2O1⊥l，根据抛物线的定义，知
AA1＝AF，BB1＝BF，
∴O2O1＝＝＝＝R(R为圆的半径)，
∴以AB为直径的圆与l相切．
7．动点P(x，y)的坐标满足＋＝8.试确定点P的轨迹．
解：设A(2,0)，B(－2,0)，
则表示PA，
表示PB，又AB＝4，
∴PA＋PB＝8＞4，
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
8．在相距1 600 m 的两个哨所A，B，听远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声速是340 m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时间早3 s．试判断爆炸点在怎样的曲线上？
解：由题意可知点P离B比离A远，
且PB－PA＝340×3＝1 020 m，
而AB＝1 600 m＞1 020 m，满足双曲线的定义，
∴爆炸点应在以A，B为焦点的双曲线的靠近A的一支上．。