协方差分析
协方差分析
协方差分析是将乘积和与平方和按照变异来源 进行分解，从而将直线回归与方差分析结合应 用的一种统计方法。
在方差分析的过程中，通常是根据变异的来源将平 方和和自由度分离，从而进行误差估计和显著性检 验。
P
2
0.18667 0.09333 1.04 0.375
组内
18 1.62286 0.09016
总变异
20 1.80952
对y的方差分析
变异来源 组间
df
SS
s2
F
P
2
2.201 1.100 0.45 0.646
组内
18
44.251 2.458
总变异
20
46.452
从方差分析结果来看，不论是营养液喷洒前还 是喷洒后，瓜苗的高度均没有显著区别！
检验误差项回归系数的显著性（F检验法）：
Ue
F dfe(U ) 25.348 22.8
Qe
18.9
dfe(Q)
17
按df1＝1，df2＝17查F值表，得F（0.01）＝8.40， F值达到极显著水平，故认为喷洒营养液一周
后植株的高度确实受到植株原高度的影响。
检验误差项回归系数的显著性（t检验法）：
C x 2.4 2 2.3 2.2 2 2.9 2.7 16.5 2.35
y 12.9 10.2 12 11 9.5 14.2 13.3 83.1 11.87
总计 x
51.7 2.46
y
240.4 11.44
先对x和y变量分别进行方差分析，得如下结果：
对x的方差分析
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析是数据统计学的一个名词。
它将每组实验数据标上号码，然后依照它们在总体中出现次数的大小，以及每一组数据与其他数据之间的平均差异，求得一组平均数据代表整个总体的概率。
简单来说，就是在均值的基础上，加减方差的和，或者说在众多的数据中取最好的一个数据作为代表整体的标准，这个量化了的标准就叫做“均值”。
这个“均值”是不是真正代表总体呢？不是的，因为它有偏差。
即“协方差”。
协方差分析的目的：协方差分析可以消除假设检验的各种局限性，消除非参数检验中可能存在的假定导致的检验误差，提高非参数检验的效度；而且通过对观测数据的处理，还可以获得一些新的信息，例如平均值变化的原因，检验数据的随机趋势是否符合某种规律，从而为非参数检验建立更好的假设检验方案。
协方差分析包括方差分析和分类变量回归分析两部分内容。
这里仅对方差分析进行介绍。
协方差分析法的基本思想是利用统计软件，根据研究所需的条件自动地选择适当的分析方法，并用数学方法对实验数据进行分析，得到一些重要的参数，例如最大似然估计、协方差、协方差矩阵、相关系数、协方差阵等。
把这些参数应用到假设检验和回归分析中去，就可以确定最优的回归方程。
通常是采用以下3种分析方法。
1.协方差分析法协方差分析是一种比较常见的非参数统计方法，它是根据样本和总体的协方差矩阵来分析总体特征的，即寻找样本与总体的差别以及差别的来源，而不涉及具体的数值解。
这一方法适用于那些对分类变量数值有兴趣的研究。
协方差分析法主要由协方差矩阵和协方差系数两部分组成，其中协方差系数反映了两个变量之间的线性相关程度，其计算公式如下：上述公式的含义是：协方差矩阵E=∑×∑×，式中P是每个变量的数值， Q是各变量的协方差，即协方差矩阵E 的特征值或特征向量为：式中：1．检验每个随机样本与某个特定均值间有无关系，即证明它们的均值之间是否存在协方差。
2．如果没有关系，可以在检验区间内取若干样本点进行多重比较，看看是否存在协方差。
协方差分析名词解释
协方差分析名词解释协方差分析（CovarianceAnalysis）是一种常见的统计分析方法，是衡量两个变量之间线性关系强度的有效手段。
协方差分析与相关分析（correlation analysis）有很多相关点，都是用来识别变量之间的关系，但两者的方法不同。
协方差分析的核心是对变量之间关系的衡量，而这种衡量有多种形式。
一般情况下，协方差分析主要是通过计算变量之间的协方差来完成的。
协方差（covariance）是衡量两个变量的线性关系的函数，可以从变量的期望值（expected value）和方差（variance）来计算。
如果变量之间的协方差大于0，则表明两个变量之间存在正相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B也有可能会上升；如果变量之间的协方差小于0，则表明两个变量之间存在负相关关系，也就是说，变量A上升时，变量B可能会下降。
此外，协方差分析还可以用于研究多个变量之间的关系，其中最常用的方法是多元协方差分析（multivariable covariance analysis）。
它可以用来研究多个变量之间的变化与偏差，以及它们之间关联程度的大小。
此外，协方差分析还可以用于研究两个或多个样本之间的关系，也就是说，它可以分析两个或多个样本集中的变量之间是否存在关联性。
例如，可以利用协方差分析，分析一组调查者的年龄、职业、教育水平和收入之间的关系，这有助于统计学家和社会研究者了解他们的研究结果。
最后，协方差分析是一种常用的数据分析方法，它可以帮助研究者和社会科学家分析不同变量之间的关系，同时它也可以帮助研究者分析不同样本集之间的关系，从而使他们更好地理解社会、经济和文化现象。
它的分析结果可以为社会科学研究提供更多的参考依据，从而改善当前的社会现状。
协方差分析
协方差分析是方差分析法与回归分析法相结合 而产生的一种资料分析方法，其主要作用是用处理 前的试验记录矫正处理后的试验记录，以避免由于 处理前基数不一对处理后差异显著性所带来的影响， 从而提高试验结果的精确度。
协方差分析的分析步骤（原理）：
记处理前观测值（基数）为x、试验处理后观测值为y。
12 3 4 1 11 1 1 2 12 2 2 3 13 3 3 4 21 2 3 5 22 3 1 6 23 1 2 7 31 3 2 8 32 1 3 9 33 2 1
处理
1 2 3 4 5 6 7 8 9
表9.7 L9（34）肥料试验结果表
NPK
区组Ⅰ … x y…
区组Ⅳ xy
1 1 1 1 30.3 32.9 … 27.4 30.7
cards; 28 202 22 165 27 ...... 221 27 207 24 204 ;
proc glm; class corn block; model y=corn block
x/solution; lsmeans corn/stderr
pdiff; run;
其SAS输出结果见书 P164略
1 2 2 2 32.8 35.4 … 24.0 27.4
1 3 3 3 31.7 34.7 … 23.8 26.4
2 1 2 3 26.7 29.7 … 25.4 28.3
2 2 3 1 32.9 35.9 … 25.7 28.8
2 3 1 2 30.0 31.9 … 28.4 31.7
3 1 3 2 34.3 37.5 … 28.1 31.8
9.1 含一个协变数的协方差分析
1.完全随机化设计的协方差分析
协方差分析
协方差分析协方差分析（ANCOVA）是一种在统计学中常用的方法，用于比较两个或更多组之间的平均值是否存在差异，并控制一个或多个可能存在的共同协变量的影响。
在本文中，将介绍协方差分析的基本概念、假设前提、模型、效应检验、应用注意事项等内容。
一、基本概念协方差分析是一种结合了方差分析（ANOVA）和回归分析的技术，旨在研究组间的差异是否受到一个或多个协变量的影响。
协变量指的是可能影响因变量的其他变量，例如年龄、性别、智力水平等。
通过控制协变量的影响，协方差分析可以更准确地评估组间的差异是否真正存在。
二、假设前提三、模型在协方差分析中，需要估计各组的平均值（μ）和回归系数（β1和β2），以及误差项的方差（σ²）。
通过比较组间方差与误差项方差的比值，可以判断在控制协变量的情况下，组间的差异是否显著。
四、效应检验另外，还可以通过比较回归系数的显著性来判断协变量对因变量的影响。
如果协变量的回归系数显著，表示协变量对因变量的影响在各组之间存在差异。
五、应用注意事项在进行协方差分析时，需要注意以下几点：1.选择合适的协变量：选择与因变量相关的协变量，以减少协变量的影响，提高结果的准确性。
2.检验协变量与因变量之间的线性关系：协变量与因变量之间的关系应该是线性的，否则可能导致结果不准确。
3.选择适当的控制组：选择适当的控制组进行比较，以保证对组间差异的探究更有说服力。
4.检验方差齐次性假设：协方差分析要求各组之间的方差应该是齐次的，如果方差齐次性假设不成立，可能导致结果失真。
5.做出合理的解释：协方差分析仅能提供组间的比较结果，不能得出因果关系的结论。
因此，在解释结果时应谨慎，并结合实际情况进行合理解释。
总结：协方差分析是一种在统计学中常用的方法，用于比较组间平均值是否存在差异，并控制可能存在的共同协变量的影响。
通过协方差分析，可以更准确地评估组间差异的显著性，并提供合理的解释。
在进行协方差分析时，需要注意选择合适的协变量、检验线性关系、选择适当的控制组、检验方差齐次性假设，并做出合理的解释。
方差分析及协方差分析
方差分析及协方差分析方差分析和协方差分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系和差异。
本文将分别介绍方差分析和协方差分析的基本概念、原理和应用。
一、方差分析（Analysis of Variance）1.基本概念：方差分析是一种通过对不同组之间的差异进行分析，来揭示组间差异是否非随机的统计方法。
它可以用于比较两个或更多个组的均值是否有显著差异。
2.原理：方差分析的原理基于对总体变异的分解。
总体变异可以分解为组间变异和组内变异。
组间变异表示不同组之间的差异，而组内变异表示组内个体之间的差异。
方差分析通过计算组间变异与组内变异之间的比值来判断组间差异是否显著。
3.适用场景：方差分析适用于有一个自变量和一个或多个因变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果、比较不同教学方法对学生成绩的影响等。
4.步骤：方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的方差分析模型、计算方差分析统计量和p值、进行结果解释。
二、协方差分析（Analysis of Covariance）1.基本概念：协方差分析是一种结合方差分析和线性回归分析的方法。
它通过控制一个或多个连续变量（协变量）对组间差异进行调整，来比较不同组之间的差异。
协方差分析不仅考虑到组间差异，还考虑到了协变量的影响。
2.原理：协方差分析的基本原理是通过线性回归模型来估计组间均值的差异，同时考虑协变量的影响。
通过计算协方差矩阵和相关系数，可以得到组间差异的调整后的统计结果。
3.适用场景：协方差分析适用于有一个自变量、一个或多个因变量，以及一个或多个连续变量的情况。
常见的应用场景包括：比较不同药物对疾病影响的效果，并控制患者年龄和性别等协变量。
4.步骤：协方差分析的步骤包括：确定研究目的和假设、选择适当的协方差分析模型、建立回归模型、计算协方差分析统计量和p值、进行结果解释。
总结：方差分析和协方差分析都是常用的统计分析方法，用于研究组间差异和变量之间的关系。
应用统计学(第九章 协方差分析)
从而求得相应的均方； 两个变量的总乘积和与自由度也可按变异来源进行剖分
而获得相应的均积； 把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并
获得获得相应均积的方法称为协方差分析。
在随机模型的方差分析中，根据均方MS和期望均方的关 系，可以得到不同变异来源的方差组分的估计值；
b* SP / SP
e
ex
回归关系的显著性可用F检验或t检验，这时误差项目回
归自由度dfeU=1，回归平方和：
U SS b*SP SP2 / SP
e
ey
e
e
ex
误差项离回归平方和：
Q SS U SS SP2 / SS
e
ey
Байду номын сангаасey
ey
e
ex
离回归自由度：
df df df k(n 1) 1
矫正平均数的计算
yi.(xx..) yi . by / x ( xi . x..)
矫正平均数的多重比较
LSD0.05=0.8769， LSD0.01 =1.1718 食欲添加剂配方1、2、3号与对照比较， 其矫正50 日 龄平均重间均存在极显著的差异，配方1、2、3号的矫正50 日龄平均重均极显著高于对照。
回归关系的显著性检验：
变异来源 df 误 差回 归 1 误差离回归 43 误 差 总 和 44
SS 47.49 37.59 85.08
MS 47.49 0.87
F 54.32**
F0.01 7.255
F检验表明，误差项回归关系极显著，表明哺乳仔猪 50 日龄重与初生重间存在极显著的线性回归关系
协方差分析
肥料间（组间） 2 356.083 178.042 6.34** 60.750 30.376 <1
肥料内（组内） 21 589.750 28.083
830.875 39.565
总变异
23 945.833
891.625
注： F0.05（2，23）=3.47 F0.01 （2，23） =5.78
从上述方差分析看，施肥前，产量（x）存在显著差 异，说明24株树，三个组间存在极显著差异。
矫正平均数（y）间的差异
2 222.84 111.420
F 45.63**
注： F0.01 (2, 20) 5.85
结论：施不同肥料对果树的产量影响差异显著。这种 结论与前面的分析不同，前面不作协方差分析时，施不同 肥料间对果树产量影响差异不显著。
3）多重比较方法： ① 对观察值 y 的各处理平均数矫正
本例x-y变量间回归系数检验，回归关系 极显著，必须对反应量（y）进行矫正。
◆ 测定矫正后 yi (x x) 的差异性
① 计算总变异离回归平方和 （即对总变异
进行离回归分析）
QT
SST y
(SPT )2 SST x
765.752 891.625
945.833
271.67
VT n k 2 8 3 2 22
2.44281
1 8
50.875 51.8752
589.75
0.784
t 62.06 64.29 2.844* 0.784
B-C比较：
S d
2.442
1 8
1 8
59.5 51.8752
589.75
0.923
t 59.51 64.29 9.512** 0.923
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如果我们考虑试验开始前动物初始体重的影 响，这时一般方法是选初始重量相同的动 物作为一组，分别接受另一因素的不同水 平处理，此时用方差分析也无问题。 但若可供试验的动物很少，初始体重又有明 显差异，无法选到相同体重的动物，那就 只好认为初始体重X与最终体重Y有回归关 系，采用协方差分析的方法排除初始体重 的影响，再来比较因素, 例如饲料种类，对 增重的影响了。
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二、协方差分析的应用条件
各组观察指标服从正态分布和相互独立。 各组观察指标服从正态分布和相互独立。 各样本总体方差齐。 各样本总体方差齐。 各总体协变量X与观察变量 间存在线性关 各总体协变量 与观察变量Y间存在线性关 与观察变量 且斜率相同（回归线平行）。 系且斜率相同（回归线平行）。 协变量与处理因素之间不存在交互作用。 协变量与处理因素之间不存在交互作用。
协方差分析 （Analysis of Covariance，ANCOVA)
2011.04.20
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讲授提纲: 讲授提纲
协方差分析的意义 协方差分析的应用条件 协方差分析的基本原理 协方差分析的基本步骤 完全随机设计(CRD)协方差分析的应用
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一、协方差分析的意义
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三、协方差分析的基本原理
协方差分析是将回归分析和方差分析结合的一 种统计分析方法, 它利用协变量与观察指标间 的线性回归关系扣除协变量的影响, 再对观察 指标做方差分析。所比较的是处理因素各水 平的修正均数；修正均数指各组协变量相等 的情况下，各组应变量的均数，其公式：
Yk = yk −bxk +bx = yk −b(xk −x)
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data oyster; input trt rep initial final; cards; 1 1 27.2 32.6 1 2 32.0 36.6 1 3 33.0 37.7 1 4 26.8 31.0 2 1 28.6 33.8 2 2 26.8 31.7 2 3 26.5 30.7 2 4 26.8 30.4 3 1 28.6 35.2 3 2 22.4 29.1 3 3 23.2 28.9 3 4 24.4 30.2 4 1 29.3 35.0 4 2 21.8 27.0 4 3 30.3 36.4 4 4 24.3 30.5 5 1 20.4 24.6 5 2 19.6 23.4 5 3 25.1 30.3 5 4 18.1 21.8 ; Run;
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−ห้องสมุดไป่ตู้
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概念回顾
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最小二乘法拟合直线: Y = a+bX 残差: 自变量不能解释的部分，即模型误差 项。 计算 a 和 b的公式:
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协方差S(XY)：反应变量y与协变量x的离均 差积和与相应自由度（n-1）的比值称为协 方差（covariance）。 方差分析中Y值的调整。
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四、协方差分析的基本步骤
1. 确定协变量 确定协变量; 2. 各组正态性与方差齐性检验 各组正态性与方差齐性检验; 3. 建立因变量 随协变量 变化的线性回归 建立因变量Y随协变量 随协变量X变化的线性回归 关系; 关系 4. 利用回归关系把协变量 化为相等后再 利用回归关系把协变量X化为相等后再 进行各组Y的调整均数间比较的假设检验 的调整均数间比较的假设检验; 进行各组 的调整均数间比较的假设检验 5 . 协方差分析表和进行统计推断。 协方差分析表和进行统计推断。
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五、 CRD协方差分析举例
镉作业工人暴露于烟尘的年数与肺活量的 关系。
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● 完全随机设计的协方差分析 ● 配伍组设计的协方差分析 ● 拉丁方设计的协方差分析 ● 析因设计的协方差分析 多元协方差分析: 协变量多于1个。
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ANCOVA是把直线回归和方差分析方法结合 起来的一种统计分析方法。 把与y值呈直线关系的X值（协变量）化成相 等后，再来检验各组Y均数（修正均数） 间差别的统计意义。 能够消除由于对比各组X 值（协变量）不同 所产生的影响而对Y值的均数作比较; 所以， 所得结论更为合理。
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One-way ANOVA: proc GLM; class trt; model final= trt; run; ANCOVA: proc GLM; class trt; model final= trt initial; run;
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ANCOVA例子的图解：
Y3
Y2
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TRT2初始和最终体重分别为27.175 and 31.65; TRT3是24.65 and 30.85。 The distance between the initial weight averages of the oysters assigned to each treatment can contribute greatly to the difference between the final average weights. If the treatments means had been observed from some common average X, say X0, then they would be comparable. Thus the need for adjusting treatment means is apparent.
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调整 Y = Y-b (X-
)
每个Y用回归方程调整到一个共同的 。任何 值都可作为共同值，但X均数(4.98) 常用作 调整值。 90.02224的含义：如果第一个动物的初始体重 为4.98，它期望的食物消耗量为90.02224。
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ANCOVA 实例
牡蛎（Oysters）生长的数据。目的： (1) 暴露于人工加热的水是否影响牡蛎的生长； (2) 牡蛎的位置（表面或水底）是否影响牡蛎的 生长.
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在一个电厂的水池中的5个位置，随机放入装 有10只牡蛎的四个袋子。 每个位置作为一个处理: TRT1: cool-bottom, TRT2: cool-surface, TRT3: hot-bottom, TRT4: hot-surface, TRT5: control middepth and mid-temperature. 每个袋子为一个实验单位。在实验开始前， 每个袋子被称重，一个月以后再次称重。