天津市红桥区2014届高三第一次模拟数学(文)试题
数学理卷·2014届天津市红桥区高三第一次模拟考试(含答案解析)扫描版
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高三数学（理）答案（2014、04）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．
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题号 答案
1 D
2 B
3 C
4 D
5 C
6 D
7 B
8 C
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． 9． x 1 ≤ x ≤ 3
所以椭圆的方程为
（Ⅱ）由题意可得：A（﹣2，0） ，B（2，0） ． 设 P（x0，y0） ，由题意可得：﹣2＜x0＜2， 所以直线 AP 的方程为 y =
y0 ( x + 2) …………………………………6 x0 + 2
令
，则 y =
y0 y0 ……………………8 (2 2 + 2) ，即 DE = (2 2 + 2) x0 + 2 x0 + 2 y0 ( x − 2) ，令 x0 − 2
此时 f ( x) 在 ( −1, +∞ ) 上有唯一的极小值点 x2 = 当0 < b <
−1 + 1 − 2b …………………………10 2
1 时， x1 , x2 ∈ ( −1, +∞ ) , 2
f ' ( x) 在 ( −1, x1 ) , ( x2 , +∞ ) 都大于 0 ， f ' ( x) 在 ( x1 , x2 ) 上小于 0 ，
（3）当 b <
1 −1 − 1 − 2b −1 + 1 − 2b 时，解 f ' ( x) = 0 得两个不同解 x1 = ， x2 = ． 2 2 2 −1 − 1 − 2b −1 + 1 − 2b < −1 ， x2 = > −1 ， 2 2
2014年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2014年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．解答：解：复数==，故选A．点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=1+2×1=3，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．3．（5分）（2014•天津）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）e≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：据全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定．解答：解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，故选：B．点评：本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．4．（5分）（2014•天津）设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．解答：解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）（2014•天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D．﹣考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5分）（2014•天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④考点：与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用．专题：直线与圆．分析：本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．解答：解：∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故答案为D点评：本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．8．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据f（x）=2sin（ωx+），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，求得函数f（x）的周期T的值．解答：解：∵已知函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f （x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则=，∴T=π，故选：C．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，得到正好等于f（x）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．解答：解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，故答案为：60．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．故答案为：．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（5分）（2014•天津）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为﹣4．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．解答：解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查循环结构，判断框中n≤1退出循环是解题的关键，考查计算能力．12．（5分）（2014•天津）函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．解答：解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．点评：本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx2=2lg|x|中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出y=2lg|x|的图象，得到函数的递减区间．13．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．解答：解：∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为：2．点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2014•天津）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15个．（Ⅱ）用列举法求出事件M包含的结果有6个，而所有的结果共15个，由此求得事件M发生的概率．解答：解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z），共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=．点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．16．（13分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a ﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（13分）（2014•天津）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间角；空间向量及应用；立体几何．分析：（Ⅰ）要证明EF∥平面PAB，可以先证明平面EFH∥平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面ABCD即可；（ii）由（i）知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系B﹣DAP，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．解答：解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH∥平面PAB，∵EF⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，∴BD，BA，BP两两垂直，以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），∴=（0，，），∴===﹣，即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．点评：本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）分别用a，b，c表示出|AB|和|F1F2|，根据已知建立等式求得a和c的关系，进而求得离心率e．（Ⅱ）根据（1）中a和c的关系，用c表示出椭圆的方程，设出P点的坐标，根据PB为直径，推断出BF1⊥PF1，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sinθ和cosθ，表示出P点坐标，利用P，B求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出|OB|，|OF2|，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得．解答：解：（Ⅰ）依题意可知=•2c，∵b2=a2﹣c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣c，0）设P点坐标（csinθ，ccosθ），以线段PB为直径的圆的圆心为O，∵PB为直径，∴BF1⊥PF1，∴k BF1•k PF1=•=﹣1，求得sinθ=﹣或0（舍去），由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x轴上方时，cosθ==，∴P坐标为（﹣c，c），∴圆心O的坐标为（﹣c，c），∴r=|OB|==c，|OF2|==c，∵r2+|MF2|2=|OF2|2，∴+8=c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为+=1．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得a和c 的关系；第（2）问较难，利用参数法设出P点坐标是关键．19．（14分）（2014•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，求a 的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，分类讨论，即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令f′（x）=0，解得x=0或x=．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，0）0（0，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）递减0 递增递减所以，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅下面分三种情况讨论：①当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；②当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；③当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[]．点评：利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．20．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（Ⅱ）由于a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，可得a n﹣b n≤﹣1．由题意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴a n﹣b n≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=＜0．∴s＜t．点评：本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
【2014和平一模】天津市和平区2014届高三第一次模拟考试文科数学Word版含答案
温馨提示：本试卷包括第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利!第I 卷选择题（共40分）注意事项：1答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3本卷共8小题，每小题5分，共40分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的．(1)已知i 为虚数单位,则复数32i i+-等于 (A) 1i - (B) 1i -- (C) 1i + (D) 1i -- (2)设变量x,y 满足约束条件3,1,10,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≥⎩，则目标函数32z x y =+的最大值为(A)10 (B) 8 (C) 7 ( D)2(3)若集合{}42A x R x =∈-≤，非空集合{}|23x R a x a =∈≤≤+，若,B A ⊆,则实 数a 的取值范围是(A)()3,+∞ (B) [)1,-+∞ (C) ()1,3 (D) []1,3(4)某程序框图如图所示,当程序运行后，输出T 的值是(A) 30(B) 31(C) 55(D) 56(5)已知函数(2),0,()53,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩。
设2log 0.8a =，则(())f f a 的值等于(A) 1 (B)2 (C)-1(D) -2(6)将函数cos2y x =的图象向右平移6π个单位，得到(]cos(2),,y x ϕϕππ=+∈-的图象，则ϕ的值为(A)6π (B) 6π- (C)3π ( D) 3π- (7)己知定义在R 上的函数()y f x =满足()(2)f x f x =-，且当x ≠1时，其导函数'()f x 满足'()'()f x xf x >,若(1,2)a ∈,则(A)2(log )(2)(2)a f a f f << (B) 2(2)(2)(log )a f f f a <<(C)2(log )(2)(2)a f a f f << (D) 2(2)(log )(2)a f f a f <<(8)如果关于x 的不等式10ax x b ->+的解集为(-1,3)，则不等式2102ax x b +<-的解集是 (A)31(,)(,)22-∞-+∞ (B)31(,)22- (C)13(,)(,)22-∞-+∞ (D) 13,22⎛⎤- ⎥⎝⎦ 第Ⅱ卷非选择题（共110分）注意事项：1用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷卡上，答在本试卷上的无效。
数学_2014年天津市河北区高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2014年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项市符合题目要求的．1. 已知集合M ={x|−2<x <3}，N ={x|lg(x +2)≥0}，则M ∩N =( ) A (−2, +∞) B (−2, 3) C (−2, −1] D [−1, 3)2. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤1x +1≥0x −y ≤1，则目标函数z =2x +y 的最大值是（ ）A −4B 0C 2D 43. 执行如图的程序框图，输出k 的值是（ ）A 3B 4C 5D 64. “a >1”是“函数f(x)=a x −2，(a >0且a ≠1)在区间(0, +∞)上存在零点”的（ ） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（ ）A 56 B 103 C 53 D 26. 在△ABC 中，BC =3，AC =√13，B =π3，则△ABC 的面积是（ ）A 3√3B 6√13C 3√32D 3√347. 已知函数f(x)={log 3x ，x >0(13)x ，x ≤0，那么不等式f(x)≥1的解集为（ ）A {x|−3≤x ≤0}B {x|x ≤−3或x ≥0}C {x|0≤x ≤3}D {x|x ≤0或x ≥3} 8. 已知函数f(x)=4x −14x +1，若x 1>0，x 2>0，且f(x 1)+f(x 2)=1，则f(x 1+x 2)的最小值为（ ）A 14B 45C 2D 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 若复数z =1−i1+i ，则|z|=________．10. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个球的半径是________，三棱柱的体积是________．11. 设F 是抛物线C 1:y 2=2pr(p >0)的焦点，点A 是抛物线C 1与双曲线C 2:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为________．12. 如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD ．若PC =4，PB =2，则CD =________． 13. 已知x >0，y >0，若2yx +8x y >m 2+7m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．14. 已知a →、b →为非零向量，m →=a →+tb →(t ∈R)，若|a →|=1，|b →|=2，当且仅当t =14时，|m →|取得最小值，则向量a →、b →的夹角为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m →=(sinA,sinB)，n →=(cosB,cosA)，且m →⋅n →=sin2C ． （1）求角C 的大小；（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且CA →⋅CB →=18，求边c 的长． 16. 已知实数a ，b ∈{−2, −1, 1, 2}(I)求直线y =ax +b 不经过第四象限的概率；(II)求直线y =ax +b 与圆x 2+y 2=1有公共点的概率．17. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA =PD =√2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC // AD ，AB ⊥AD ，AC =√2，AB =BC=1，E为AD中点．（1）求证：PE⊥平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求平面PAB与平面PCD所成的二面角．18. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为B(0, 4)，离心率e=√55，直线l交椭圆于M、N两点．（1）若直线l的方程为y＝x−4，求弦MN的长；（2）如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．19. 已知函数f(x)=(13)x，等比数列{a n}的前n项和为f(n)−c，数列{b n}{b n>0}的首项为c，且前n项和S n满足S n−S n−1=√S n+√S n−1(n≥2)．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{1b n b n+1}前n项和为T n，问使T n>10052014的最小正整数n是多少？20. 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0, 5)，且f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是12．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在自然数m，使得方程f(x)+37x=0在区间(m, m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．2014年天津市河北区高考数学一模试卷（文科）答案1. D2. C3. A4. C5. B6. A7. D8. B9. 110. 2,48√311. √512. 12513. (−8, 1)14. 2π315. 解：（1）∵ m→=(sinA, sinB)，n→=(cosB, cosA)，∴ m→⋅n→=sin2C，即sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=sin2C=2sinCcosC，∵ sinC ≠0， ∴ cosC =12，∵ C 为三角形内角， ∴ C =π3；（2）∵ sinA ，sinC ，sinB 成等差数列， ∴ 2sinC =sinA +sinB ，利用正弦定理化简得：2c =a +b ， ∵ CA →⋅CB →=18，∴ abcosC =12ab =18，即ab =36，由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab ， 将a +b =2c ，ab =36代入得：c 2=4c 2−108，即c 2=36， 解得：c =6．16. 直线y =ax +b 不经过第四象限概率为14；y =ax +b 与圆x 2+y 2=1有公共点的概率为34．17. （1）证明：在△PAD 中PA =PD ，E 为AD 中点， ∴ PE ⊥AD又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ．（2）解：连结BE ，在直角梯形ABCD 中，BC // AD ，AD =2AB =2BC ，有ED // BC 且ED =BC ，∴ 四边形EBCD 是平行四边形， ∴ EB // DC由（1）知PE ⊥EB ，∠PBE 为锐角， ∴ ∠PBE 是异面直线PB 与CD 所成的角 ∵ AC =2，AB =BC =1，在Rt △AEB 中，AB =1，AE =1，∴ EB =√2，在Rt △PEA 中，AP =√2，AE =1，∴ EP =1，在Rt △PBE 中，PB =√EP 2+EB 2=√3， cos∠PBE =EB PB=√2√3=√63， ∴ 异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为√63．（3）解：以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EP 为z 轴， 建立空直角坐标系，A(0, −1, 0)，B(1, −1, 0)，P(0, 0, 1)， C(1, 0, 0)，D(0, 1, 0)， PA →=(0,1,1)，PB →=(−1,1,1)， PC →=(−1,0,1)，PD →=(0,−1,1)， 设平面PAB 的法向量n →=(x,y,z)，则{n →⋅PB →=−x +y +z =0˙，取y =1，得n →=(0,1,−1)， 设平面PCD 的法向量m →=(a,b,c)，则{m →⋅PD →=−b +c =0˙，取a =1，得m →=(1,1,1)， ∵ n →⋅m →=0，∴ 平面PAB 与平面PCD 所成的二面角为90∘．18. 由已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为B(0, 4)， ∴ b ＝4， 又∵ 离心率e =ca =√55， 即c 2a 2=15，∴a 2−b 2a 2=15，解得a 2＝20，∴ 椭圆方程为x 220+y 216=1；由4x 2+5y 2＝80与y ＝x −4联立， 消去y 得9x 2−40x ＝0， ∴ x 1＝0，x 2=409，∴ 所求弦长|MN|=√1+12|x 2−x 1|=40√29； 椭圆右焦点F 的坐标为(2, 0)，设线段MN 的中点为Q(x 0, y 0)，由三角形重心的性质知BF →=2FQ →，又B(0, 4)， ∴ (2．−4)＝2(x 0−2, y 0)， 故得x 0＝3，y 0＝−2， 求得Q 的坐标为(3, −2)；设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2＝6，y 1+y 2＝−4，且x 1220+y 1216=1,x 2220+y 2216=1，以上两式相减得(x 1+x 2)(x 1−x 2)20+(y 1+y 2)(y 1−y 2)16=0，∴ k MN =y 1−y2x 1−x 2=−45⋅x 1+x2y 1+y 2=−45⋅6−4=65，故直线MN 的方程为y +2=65(x −3)，即6x −5y −28＝0．19. 解：（1）∵ 函数f(x)=(13)x ，等比数列{a n }的前n 项和为f(n)−c ，∴ n ≥2时，a n =[f(n)−c]−[f(n −1)−c]=−23n ， ∴ 等比数列{a n }的公比为q =13，∴ c =1，a 1=−23，∴ a n =−23n ；∵ 数列{b n }{b n >0}的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n −S n−1=√S n +√S n−1(n ≥2)． ∴ b 1=1，√S n −√S n−1=1，∴ {√S n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴ √S n =n ，∴ S n =n 2，∴ n ≥2时，b n =S n −S n−1=2n −1， ∵ b 1=1，∴ b n =2n −1； （2）1b n b n+1=12(12n−1−12n+1)，∴ T n =12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1，由T n >10052014，得n2n+1>10052014，解得n >251.25 ∴ T n >10052014的最小正整数n 是252．20. 解：(1)∵ f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0, 5)， ∴ 可设f(x)=ax(x −5)(a >0)．∴ f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是f(−1)=6a ． 由已知得6a =12，∴ a =2，∴ f(x)=2x(x −5)=2x 2−10x(x ∈R)． (2)方程f(x)+37x=0等价于方程2x 3−10x 2+37=0．设ℎ(x)=2x 3−10x 2+37，则ℎ′(x)=6x 2−20x =2x(3x −10)． 在区间x ∈(0,103)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)是减函数；在区间(−∞, 0)，(103，+∞)上，ℎ′(x)>0，ℎ(x)是增函数， 故ℎ(0)是极大值，ℎ(103)是极小值．∵ ℎ(3)=1>0，ℎ(103)=−127<0，ℎ(4)=5>0，∴ 方程ℎ(x)=0在区间(3,103)，(103,4)内分别有唯一实数根， 故函数ℎ(x)在(3, 4)内有2个零点．而在区间(0, 3)，(4, +∞)内没有零点，在(−∞, 0)上有唯一的零点． 画出函数ℎ(x)的单调性和零点情况的简图，如图所示,∴ 存在惟一的自然数m =3，使得方程f(x)+37x=0在区间(m, m +1)内有且只有两个不同的实数根．。
【数学】天津市红桥区2014届高三模拟考试(理).docx
高三数学 ( 理)本试卷分为第 I 卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
参考公式：如果事件 A ， B 互斥，那么P(A B)= P(A)+ P(B)如果事件 A ， B 相互独立，那么P(AB)= P(A) P(B) ．棱柱的体积公式V=Sh．其中 S 表示棱柱的底面面积h 表示棱柱的高1圆锥的体积公式V= Sh．其中 S 表示圆锥的底面面积h 表示圆锥的高3一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．复数1i等于（）1 iA ．-i B． 1C．-l D ． 02．设a (1,cos) 与 b ( 1,2cos ) 垂直，则cos 2的值等于（）221D． -lA ．B．C．0223．设 m、 n 是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则（）A ．若 m// ， n// ，则 m//n B．若 m//， m//，则 //C．若 m//n ， m，则 n D ．若 m//，，则 m4．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于（）A ． 4 3 B．33 C．2 3 D．35．函数f ( x) sin 2x在区间 [0,] 上的最小值是（）4222A ． -lB．C． D ．0226．已知a2log3 4.1，b 2log3 2.7，c12log3 0.1则（）A ．a>b>cB ． b>a>c C． a>c>b D ． c>a>b7．设 r>0，那么直线x cos y sin r (x r cos是常数 )与圆( 是参数 )的位置关y r sin系是（）A ．相交B．相切C．相离D．视 r 的大小而定8．在区间[1,1]上随机取一个数x，cos x的值介于0 到1之间的概率为（）221212A ．B ．C． D ．323第II 卷二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
【2014蓟县一模】天津市蓟县2014届高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷的答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.3.考试结束，监考人员将本试题和答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,5}A =，{4,5,6}U C B =，则A B =A ．{1,2}B ．{5}C ．{1,2,3} Ｄ．{3,4,6}2．抛物线24x y =的焦点坐标是 A ．1(,0)16 B ．1(0,)16C ．(0,1)D ．(1,0) 3、已知定义在复数集C 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧∉-∈+=R x xi R x x x f )1(1)(，则()1f i +等于 A ．2- B ．0 C .2 D ．2i +4、已知两个平面α、β，直线α⊂a ，则“βα//”是“直线a β//”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为A ．)421sin(2)(π+=x x f B ．)4321sin(2)(π+=x x f C ．)421sin(2)(π-=x x f D ．)4321sin(2)(π-=x x f 6、下列命题中是假命题．．．的是 A ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ；B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．),0(,)1()(,342+∞⋅-=∈∃+-且在是幂函数使m m x m x f m R 上递减D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数7、已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为A ．15B ．25C ．35D ．458、已知点A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），O （0，0），若),0(,13||πα∈=+，则OC OB 与的夹角为（ ）A ．2πB ．4πC ．3πD ．6π 9、已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥0241y x y x x ,记目标函数y x z +=2的最大值为a ，最小值为b ，则=+b aＡ．1 Ｂ．2 C ．7 D ．810、定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当]5,3[∈x 时42)(--=x x f ，则A.(sin )(cos )66f f ππ< B.(sin1)(cos1)f f > 22C.(sin )(cos )33f f ππ< D.(sin 2)(cos 2)f f > 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11、已知双曲线的右焦点为），（05，一条渐近线方程为02=-y x ，则此双曲线的标准方程是 .12、有四条线段长度分别为4,3,2,1，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成三角形的概率为 .13、若过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为 .14、已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 3cm .15、设向量1e 和2e 是夹角为︒60的两个单位向量，则向量212e e +的模为 ▲ ．16、已知数组：,12,21,11⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛,13,22,31⎪⎭⎫ ⎝⎛,,14,23,32,41 ⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,1,21,,23,12,1⎪⎭⎫ ⎝⎛---n n n n n 记该数组为： ),,,(),,(),(654321a a a a a a , 则=2009a ．三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数()21f x ax bx =-+，设集合{}{}1,2,3,1,1,2,3,4,P Q ==-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b （I ）求函数()y f x =有零点的概率； （II ） 求函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率。
天津市南开区2014届高三第一次模拟考试文科数学试卷(带解析)
天津市南开区2014届高三第一次模拟考试文科数学试卷（带解析）1．若集合A={|10x x -≥}，B={|||2x x >}，则集合A B 等于( )．(A){|1x x ≥} (B){|21x x x <->或}(C){|22x x x <->或} (D){|21x x x <-≥或}【答案】D【解析】 试题分析：}1{≥=x x A ,}22{-<>=x x x B 或,}21{-<≥=∴x x x B A ,故选D. 考点：集合的交并补运算 2．已知实数x ，y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值是（ ）.(A)5 (B)-6 (C)10 (D)-l0【答案】B【解析】试题分析：当目标函数过C 点时，目标函数取得最小值，()33-，C ,代入y x Z 42+=,6min -=Z .考点：线性规划3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于( )．(A)7 (B)15 (C)31 (D)63【答案】D【解析】试题分析：循环前1,1A B ==，第一圈 32==B A ， 是;第二圈 73==B A ，;是第三圈 154==B A ， 是第四圈 315==B A ， ;是第三圈 636==B A ，; 否则输出的结果为63,故选D. 考点：循环结构4．已知a R ∈且0a ≠，则“11a<”是“1a >”的（ ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 试题分析：011<⇔<a a或1>a ,所以是1>a 的必要非充分条件.故选B. 考点：充分必要条件5．过点A （-1,0），斜率为k 的直线，被圆22(1)4x y -+=截得的弦长为k 的值为（ ）。
(A)3±(B)3(C)【答案】A【解析】试题分析：设直线为()1+=x k y ,根据弦长公式32222=-=d r l ,可得：1=d ,1122=+=k kd ,解得：33±=k ,故选A. 考点：直线与圆的位置关系6．函数2sin()(09)63x y x ππ=-≤≤的最大值与最小值之和为（ ）。
天津市蓟县2014届高三第一次模拟考试数学(文)试卷
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷的答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.3.考试结束，监考人员将本试题和答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,5}A =，{4,5,6}U C B =，则A B =A ．{1,2}B ．{5}C ．{1,2,3} Ｄ．{3,4,6}2．抛物线24x y =的焦点坐标是 A ．1(,0)16 B ．1(0,)16C ．(0,1)D ．(1,0) 3、已知定义在复数集C 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧∉-∈+=R x x i R x x x f )1(1)(，则()1f i +等于 A ．2- B ．0 C .2 D ．2i +4、已知两个平面α、β，直线α⊂a ，则“βα//”是“直线a β//”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)4321sin(2)(π+=x x f C ．)421sin(2)(π-=x x f D ．)4321sin(2)(π-=x x f 6、下列命题中是假命题．．．的是 A ．βαβαβαsin cos )cos(,,+=+∈∃使R ；B ．有零点函数a x x x f a -+=>∀ln ln )(,02C ．),0(,)1()(,342+∞⋅-=∈∃+-且在是幂函数使m m x m x f m R 上递减D ．,()sin(2)f x x ϕϕ∀∈=+R 函数都不是偶函数7、已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为A ．15B ．25C ．35D ．458、已知点A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），O （0，0），若),0(,13||πα∈=+OC OA ，则OC OB 与的夹角为（ ）A ．2πB ．4πC ．3πD ．6π 9、已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥0241y x y x x ,记目标函数y x z +=2的最大值为a ，最小值为b ，则=+b aＡ．1 Ｂ．2 C ．7 D ．810、定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当]5,3[∈x 时42)(--=x x f ，则A.(sin )(cos )66f f ππ< B.(sin1)(cos1)f f > 22C.(sin )(cos )33f f ππ< D.(sin 2)(cos 2)f f >第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11、已知双曲线的右焦点为），（05，一条渐近线方程为02=-y x ，则此双曲线的标准方程是 .12、有四条线段长度分别为4,3,2,1，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成三角形的概率为 .13、若过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为 .14、已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 3cm .15、设向量1e 和2e 是夹角为︒60的两个单位向量，则向量212e e +的模为 ▲ ．16、已知数组：,12,21,11⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛,13,22,31⎪⎭⎫ ⎝⎛,,14,23,32,41 ⎪⎭⎫ ⎝⎛ ,1,21,,23,12,1⎪⎭⎫ ⎝⎛---n n n n n 记该数组为： ),,,(),,(),(654321a a a a a a , 则=2009a ．三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）已知关于x 的一元二次函数()21f x ax bx =-+，设集合{}{}1,2,3,1,1,2,3,4,P Q ==-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b （I ）求函数()y f x =有零点的概率； （II ）求函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数的概率。
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天津市红桥区2014届高三第一次模拟考试
数学（文）试题
本试卷分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条
形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷
和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
P(AB)=P(A)+P(B)
如果事件A，B相互独立，那么
P(AB)=P(A)P(B)．
棱柱的体积公式V=Sh．其中S表示棱柱的底面面积 h表示棱柱的高
圆锥的体积公式V=13Sh． 其中S表示圆锥的底面面积 h表示圆锥的高
一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．复数11ii+i等于
A． -i B．1 C． -l D．0
2．设1(,cos)2a与(1,2cos)b垂直，则cos2的值等于
A．22 B．12 C．0 D．-l
3．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则
A．若m//，n//，则m//n B．若m//，m//，则//
C．若m//n，m，则n D．若m//，，则m
4．函数()sin24fxx在区间[0,]2上的最小值是
A．-l B．22 C．22 D．0
5．函数()2sin()(0,)22fxx的部分图象如图所示，则,的值分别
是
A．2，3 B．2，6 C．4，6 D．4，3
6．设双曲线221mxny的一个焦点与抛物线218yx的焦点相同，
离心率为2，则此双曲线的方程为
A．2213yx B．2213xy C．2211612yx D．2211612xy
7．已知3log4.12a，3log2.72b，3log0.112c则
A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b
8．在区间[1,1]上随机取一个数x，cos2x的值介于0到12之间的概率为
A．12 B．2 C．13 D．23
第II卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共l2小题。共110分．
二．填空题：本大题共6小愿．每小题5分．共30分．
9．设集合A={|||4xx}，B={2|430xxx}，则AB= 。
10．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥
的体积= ．
11．设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-2的距离为5，则点P到该抛物
线焦点的距离是 。
12．如图，AB是半圆O直径，BAC=30o。BC为半圆的切线，且
BC=43，则点O到AC的距离OD= ．
13．已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得
14mn
aaa
，则14mn的最小值为 .
14．14．定义某种运算Sab，运算原理如右图所示，则式子
151(2tan)lnlg10043e
的值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分l3分)
在ABC中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA．
(I)求AB的值；
(Ⅱ)求sin24A的值．
16．(本小题满分l3分)
爸爸和亮亮用4张扑克牌(方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5)玩游戏，他俩将扑克牌洗匀
后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出
的牌不放回．
(I)若爸爸恰好抽到了黑桃4．
①请把右面这种情况的树形图绘制完整；
②求亮亮抽出的牌的牌面数字比4大的概率．
(II)爸爸、亮亮约定，若爸爸抽到的牌的牌面数字比亮亮
的大，则爸爸胜；反之，则亮亮赢，你认为这个游戏是否
公平?如果公平，请说明理由，如果不公平，更换一张扑克牌使游戏公平．
17．(本小题满分13分)
如图①，已知ABC是边长为l的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，
F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图②所示的三棱锥A-BCF，
其中BC=22．
(I)证明：DE//平面BCF；
(II)证明：CF平面ABF；
(III)当AD=23时，求三棱锥F-DEG的体积FDEGV
18．(本小题满分13分)
己知a∈R，函数32()23(1)6fxxaxax
(I)若a=1，求曲线()yfx在点(2，f (2))处的切线方程；
(II)若|a|>1，求()fx在闭区间[0，|2a|]上的最小值．
19．(本小题满分14分)
已知椭圆C：22221xyab（a>b>0），过点(0，1)，且离心率为32．
(I)求椭圆C的方程；
(II)A，B为椭圆C的左右顶点，直线l：x=22与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，
B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，
|DE||DF|
恒为定值．
20．(本小题满分14分)
已知数列{na}的前n项和11()22nnnSa (n为正整数)。
(I)令2nnnba，求证数列{nb}是等差数列，并求数列{na}的通项公式；
(Ⅱ)令1nnncan，12...nnTccc，求nT并证明：nT<3．