初中数学巧用二次函数的性质比较数值大小
初中数学-----二次函数的最值问题
初中数学-----二次函数的最值问题二次函数是高中数学中的一种重要的函数形式，它在解决实际问题、优化问题等中起着非常重要的作用。
其中，二次函数的最值问题是一个常见的应用问题，在解决问题中发现函数的最值，可以帮助我们更好地理解函数的性质和应用。
二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于0。
它的图像是一个抛物线。
利用二次函数的图像特点，我们可以通过分析函数的开口方向和顶点坐标来求解二次函数的最值问题。
首先，我们来看一下二次函数的图像特点。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上，称为开口向上的抛物线；当a小于0时，二次函数的图像开口向下，称为开口向下的抛物线。
此外，抛物线在对称轴上有一个顶点，坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中b/2a是对称轴的x坐标，f(-b/2a)是对称轴上的y坐标。
对于二次函数的最值问题，可以分为两种情况进行讨论：一种是开口向上的抛物线，另一种是开口向下的抛物线。
对于开口向上的抛物线，抛物线的最小值就是顶点的y坐标。
为了求解最值，我们需要确定抛物线的开口方向和顶点坐标。
首先，判断a的值是大于0还是小于0，如果a大于0，说明抛物线的开口方向是向上的，需要求解最小值。
然后，通过计算顶点坐标来确定最小值的具体数值。
通过求解方程f'(x) = 0，即2ax + b = 0，可以得到对称轴的x坐标为-x= -b/2a，将该值代入原函数，即可求得对应的y坐标。
因此，开口向上的抛物线的最小值为顶点的y坐标。
对于开口向下的抛物线，抛物线的最大值就是顶点的y坐标。
同样的，为了求解最值，我们需要确定抛物线的开口方向和顶点坐标。
首先，判断a的值是大于0还是小于0，如果a小于0，说明抛物线的开口方向是向下的，需要求解最大值。
然后，通过计算顶点坐标来确定最大值的具体数值。
同样地，通过求解方程f'(x) = 0，即2ax + b = 0，可以得到对称轴的x坐标为-x = -b/2a，将该值代入原函数，即可求得对应的y坐标。
利用二次函数性质巧解比较大小问题
上海中学数学・２００９年第１２期３７利用二次函数性质巧解比较大小问题２２６４０６江苏省拼茶高级中学康小峰二次函数作为最简单的非线性函数的模型之一，具有许多优美的性质．笔者发现，利用二次函数的性质来解决不等式中比较大小的问题，往往能收到事半功倍的效果，并用二次函数的一个性质，结合３个实例加以说明．命题设二次函数厂（ｚ）一ａｘ２＋ｂｘ＋ｆ（口＞ｏ），若厂（ｚ）满足厂（７，ｚ）＞０，，（口）＝，（ｐ＝０（ａ＜ｐ，，（咒）＜０，则ｍ∈（一。
，口）Ｕ（卢，＋ｏｏ），ｎＥ（口，ｐ．例１已知实数ｎ、ｂ、Ｃ、ｄ满足以＜ｂ，ｃ＜ｄ，（ｎ—ｆ）（ｎ—ｄ）一１，（６一ｆ）（ｂ—ｄ）一１，则ｎ、ｂ、ｆ、ｄ的大小关系是——．（用“＜”连接）．解析该题的一般解法是将两个等式相减，然后变形得出结论，但其过程繁琐．观察两个等式的结构特征，发现结构相同，其统一形式为（ｚ—ｃ）（ｚ—ｄ）＝１（ｚ＝口、６），因此解析作出可行域（如图７中的阴影部分），该可行域是一个开放域，对于ｚ２＋ｙ２可以看成是可行域内的点（ｚ，ｙ）与点（ｏ，ｏ）（即原点）的距离／≯可的平方，在图像上以原点为圆心作圆，显然当圆周过Ａ点时，半径最短，求出点Ａ（１，２），代入Ｘ２＋ｙ２得最小值５，故答案为５．：民…．历—－垒’／礤ｙ乙丁Ⅵ啉一一图７３．逆向问题例８（２００６重庆）已知变量ｚ，Ｙ满足约束条件１４ｚ＋ｙ≤４，一２４ｚ—ｙ≤２．若目标函数ｚ一口ｚ＋ｙ（其中口＞ｏ）仅在点（３，１）处取得最大值，则口的取值范围为构造二次函数厂（ｚ）一（ｚ—ｆ）（ｚ—ｄ）一１，则口、ｂ为二次函数，（ｚ）一（ｚ—ｃ）（ｚ—ｄ）一１与ｚ轴交点的横坐标．同样Ｃ、ｄ为二次函数ｇ（Ｘ）一（ｚ—ｃ）（ｚ—ｄ）与ｚ轴交点的横坐标，显然ｇ（ｚ）一厂（ｚ）＋１，即ｇ（ｚ）的图像可由，（ｚ）的图像向上平移一个单位得到，观察２个函数图像（图１）得出ｎ＜ｆ＜ｄ＜ｂ．或者仅观察，（ｚ）一（ｚ—ｃ）（ｘ－－ｄ）一１的图像，由厂（ｃ）一，（ｄ）一一１＜ｏ，知ｎ＜ｃ＜ｄ＜ｂ．也可仅观察函数ｇ（ｚ）一（ｚ—ｃ）（ｚ—ｄ）的图像，方程ｇ（ｚ）一１的两个解为口和ｂ，如图２，有口＜ｃ＜ｄ＜ｂ．图１、辱∞，入∥“八√ｄｂＸ＼：渗＿．遵芦２＿ｔ／Ｎ）ｋ、令＼５６—７８９１０１１乡／３…一ｌ—未图８解析先作出约束条件的可行域（如图８中的阴影部分）．目标函数ｚ—日ｚ＋ｙ变化为ｙ一一ａｘ＋名．通过图像分析，最值有两种情况：①当斜率一ａ＞０且一口＞ｌ，即ａ＜一ｌ，ｚ为最小值；②当斜率一口＜０且一ｎ＜一１，即口＞１，２为最小值．因为口＞ｏ且要求最大值，故口＞１．在上述关于比值、距离等约束条件是非线性目标函数的最值或已知最值求目标函数中参量取值的逆向问题时，首先识别其几何意义，然后在图像上进行分析、求解．上海中学数学・２００９年第１２期极坐标法证一竞赛题及其推广２２５３００江苏省泰州实验学校黄萍高中数学新课程把“坐标系与参数方程”列入选修系列４，使得极坐标这一传统数学内容又回到了高中数学之中．为说明其应用，笔者应用极坐标法对一道美国数学竞赛题及其推广进行研究和探索．题目：已知Ｐ为正△Ａ．Ｅ；Ｃ的外接圆ＢＣ上任意一点，求证：ＰＡ—ＰＢ＋ＰＣ．证１：如图１，以。
比较二次函数值大小的方法
比较二次函数值大小的方法二次函数在我们的生活和数学学习中有着广泛的应用，而正确比较二次函数值的大小对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍几种比较二次函数值大小的方法，并对其进行深入的探讨。
一、图像比较法图像是比较二次函数大小最直观的方法，利用函数的图像可以清晰地看出两个函数的大小关系。
首先，画出需要比较的二次函数的图像，根据图像上点的位置关系来判断大小。
具体步骤如下：1. 确定开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的值，如果a>0，则开口向上；如果a<0，则开口向下。
2. 确定对称轴：二次函数的对称轴是其顶点坐标的横坐标，通过对称轴可以判断两个函数的大小关系。
3. 比较函数图像上的点：根据图像上点的位置关系，可以直观地判断两个函数的大小关系。
二、公式法除了图像比较法外，还可以使用公式法比较二次函数值的大小。
二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c(a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，y随x的增大而减小。
因此，可以通过比较a、b、c的值来判断两个二次函数的大小关系。
具体步骤如下：1. 确定系数a、b、c的值：根据需要比较的二次函数的表达式，求出a、b、c的值。
2. 比较系数的大小：根据系数a、b、c的绝对值大小，可以初步判断两个二次函数的大小关系。
一般来说，如果|a|>|b|，则y=ax^2+bx+c的值域大于y=bx^2+cx+d的值域；反之亦然。
3. 根据对称轴和函数值的关系进行比较：如果对称轴在y轴左侧还是右侧，以及对应的函数值的大小关系如何，就可以判断两个二次函数的大小关系。
三、求根公式法对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，可以使用求根公式法比较两个二次函数值的大小。
首先用配方法将一般形式的二次函数化成y=a(x-h)^2+k的形式，再使用求根公式求出x1和x2的值。
最后根据x1和x2的大小关系以及对应的函数值的大小关系来判断两个二次函数的大小关系。
九年级数学上册复习专题10二次函数比较大小和二次函数的平移(1)
专题10二次函数比较大小和二次函数的平移解题步骤：函数平移解题技巧：二次函数平移的具体方法如下：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位1．若点()()121,,2,A y B y 在抛物线()21112y x =-+-上，则12,y y 的大小关系是___________． 【答案】12y y > 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到函数图象的对称轴，根据函数的性质即可得到答案. 【详解】 ∵()21112y x =-+-， ∴函数图象的对称轴是直线x=-1，开口方向向下， ∵点()()121,,2,A y B y 在抛物线()21112y x =-+-上，且1<2, ∴由对称轴右侧y 随着x 的增大而减小得到12y y >， 故答案为：12y y >. 【点睛】此题考查二次函数的性质，根据顶点式解析式确定图象的开口方向，对称轴得到增减性，由此判定函数值的大小，正确掌握函数图象的性质是解题的关键.2．已知A （3，y 1）、B （4，y 2）都在抛物线y=x 2+1上，试比较y 1与y 2的大小：__________．【答案】y 1＜y 2【解析】把A（3（y 1（（B（4（y 2（代入抛物线y=x 2+1，可得y 1=10（y 2=17，所以y 1（y 2.3．点A （2，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+c 的图象上，则y 1与y 2的大小关系为y 1_____y 2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】〉 【解析】 【分析】先根据解析式求出对称轴x=b2a-=-1,再根据函数开口方向且321>>-，即可比较y 1与y 2的大小. 【详解】∵抛物线的对称轴为x=b2a-=-1，函数开口向下，又∵321>>-， ∴y 1>y 2. 【点睛】此题主要考察二次函数的图像，利用函数的对称性是解题的关键.4．已知点(2,)A a -，(1,)B b -，(3,)C c 均在抛物线2(1)y x k =++上，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】由y=（x+1）2+k 可知抛物线的对称轴为直线x=-1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵y=（x+1）2+k ，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∵抛物线开口向上，而点C （3，c ）到对称轴的距离最远，B （-1，b ）是顶点， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性． 5．已知(-3，y 1)，(-2，y 2)，(1，y 3)是抛物线y=-3x 2-12x+m 上的点，则( ) A ．y 3<y 2<y 1 B ．y 3<y 1<y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 2【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象性质计算即可； 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 ()12x 223-=-=-⨯- ，a 30=-< ，x 2∴=- 时，函数值最大，又3- 到 2- 的距离比1到 2- 的距离小，312y y y ∴<< ．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确计算是解题的关键．6．若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【答案】C【解析】试题分析：先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=3，然后比较三个点都直线x=3的远近得到y1、y2、y3的大小关系．解：∵二次函数的解析式为y=﹣x2+6x+c，∴抛物线的对称轴为直线x=3，∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3），∴点A离直线x=3最远，点C离直线x=3最近，而抛物线开口向下，∴y3＞y2＞y1；故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7．已知A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，比较y1、y2、y3的大小（）A．1y＞2y＞3y B．2y＞3y＞1y C．2y＞1y＞3y D．3y＞1y＞2y【答案】D【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据三点与对称轴的远近来判断函数值的大小.【详解】因为二次函数的解析式为y＝x2+2x+c，所以抛物线的对称轴为直线x=-1，因为A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（2，y3），所以点C离直线x=-1最远，点B离直线x=-1最近，而抛物线开口向上，离对称轴越远对应的y值越大所以y3＞y1＞y2.故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴及单调性，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.8．若二次函数26y x x c =-+的图象过()11,A y -（()22,B y （()35,C y ，则1y （2y （3y 的大小关系是（ （ A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 1>y 3>y 2 C ．y 2>y 1>y 3 D ．y 3>y 1>y 2【答案】B 【解析】y=x 2-6x+c=(x-3)2+c-9，从而可知抛物线开口向上，对称轴为x=3，A 、B 、C 三点离对称轴的距离为：3-（-1）=4，3-2=1，（），开口向上时离对称轴越远的点对应的y 值越大，所以y 1＞y 3＞y 2 ；故选D ． 点睛：在对同一抛物线上的点所对应 的y 值进行大小比较时，可采用这个方法：抛物线开口向上时，离对称轴越远的点对应的y 值就越大；开口向下时，离对称轴越近的点对应的y 值 越大.9．若二次函数y（（x -3（2（k 的图象过A(（1（y 1)（B(2（y 2（y 3)三点，则y 1（y 2（y 3的大小关系正确的是( ) A ．y 1（y 2（y 3 B ．y 2（y 1（y 3 C ．y 1（y 3（y 2 D ．y 3（y 1（y 2【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称轴为直线x=3（x（3时，y 随x 的增大而减小，x（3时，y 随x 的增大而增大进行判断，再根据二次函数的对称性确定出y 2（y 3（y 1（y 3（ 【详解】∵二次函数y =（x -3）2＋k 的对称轴为直线x =3（∴x <3时，y 随x 的增大而减小，x >3时，y 随x 的增大而增大， ∵−1<2<3（ ∴y 1＞y 2（∵x =2与x =4时的函数值相等>4（ ∴y 2（y 3（∵x =1与x =5时的函数值相等， ∴y 1（y 3（ ∴y 1＞y 3＞y 2. 故选C. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.10．已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1≤y2【答案】C【解析】【分析】将两点的x分别代入二次函数,求出y值比较大小即可.【详解】解：当x＝﹣2时，y1＝x2+2x+2＝4﹣4+2＝2，当x＝1时，y2＝x2+2x+2＝1+2+2＝5，所以y1＜y2．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的增减性,关键在于灵活运用代点求值的方法.11．若二次函数y＝（x-3）2＋k的图象过A（－1，y1）B（2，y2）C（3＋2，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得函数的对称轴为直线x=3，根据函数的性质可得离对称轴越远，则函数值越大．根据题意可得：．考点：二次函数的性质．12．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是________．【答案】y1＞y3＞y2．【解析】试题分析：根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2；于是y1＞y3＞y2．考点：二次函数的图象与性质13．若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1，y1)，B（2，y2），y3)三点，则y1，y2，y3大小关系正确的是（）A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2C．y 2>y1>y3D．y3>y1>y2【答案】B【解析】试题分析：根据题意，得 y 1=1+6+c=7+c ，即y 1=7+c ； y 2=4-12+c=-8+c ，即y 2=-8+c ；y 3-18-+c=-7+c ， 即y 3=-7+c ； ∵7＞-7＞-8， ∵7+c ＞-7+c ＞-8+c ， 即y 1＞y 3＞y 2． 故选B ．考点：二次函数图象上点的坐标特征． 14．若123135(,)(1,)(,)43A yB yC y --、、为二次函数y=-x 2-4x+5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 3<y 1<y 2 D ．y 2<y 1<y 3【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数y=-x 2-4x+5配方，求对称轴，再根据A（B（C 三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y l （y 2（y 3的大小． 【详解】解：∵y=-x 2-4x+5=-（x+2（2+9（ ∴抛物线开口向下，对称轴为x=-2（（A（B（C 三点中，B 点离对称轴最近，C 点离对称轴最远， （y 2（y 1（y 3（ 故选D（ 【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a（0时，开口向上，则离对称轴越近，函数值越小；当二次项系数a<0时，开口向下，则离对称轴越近，函数值越大（15．如果点()15,A y -与点()22,B y -都在抛物线()211y x =++上，那么1y ____2y （填“＞”、“＜”或“=”）【答案】＞． 【解析】 【分析】利用二次函数的性质得到当1x <-时，y 随x 的增大而减小，然后利用自变量的大小关系得到1y 与2y 的大小关系． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线1x =-， 而抛物线开口向上，所以当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∵-5＜-2，所以12y y >． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．（（A（（3（y 1（（B（0（y 2（（（（（（y=（2（x（1（2+3（（（（（（（（（y 1（y 2（（（（（（________（（y 1（y 2（y 1=y2（y 1（y 2（（【答案】y 1＜y 2 【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1，由a=-2，可知当x ＞1时，y 随 x 增大而减小，当x ＜1时，y 随x 增大而增大，因此由-3＜0＜1，可知y 1＜y 2. 故答案为y 1＜y 2.点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是求出其对称轴，然后根据对称轴和a 的值判断其增减性，然后可判断.1．抛物线231y x =--是由抛物线23(1)1y x =-++怎样平移得到的（ ） A ．左移1个单位上移2个单位 B ．右移1个单位上移2个单位 C ．左移1个单位下移2个单位 D ．右移1个单位下移2个单位【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数()2y a x h k =-+的性质即可判断. 【详解】抛物线()2311y x =-++经过右移1个单位下移2个单位，即()231112y x =-+-+-=231x --， 故选D.【点睛】此题主要考查抛物线顶点式()2y a x h k =-+的特点，熟知顶点式的性质特点是解题的关键.2．将抛物线()2y 2x 13=-++向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ） A ．()2y 2x 41=-++ B ．()2y 2x 21=--+ C ．()2y 2x 45=-++D ．()2y 2x 45=-+-【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】.解：抛物线 ()2y 2x 13=-++ 向右平移3个单位，得()2y 2x-23=-+，再向下平移2个单位，得：()2y 2x 21=--+．故答案为：B ． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 3．将抛物线22(3)2y x =-+向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A ．22(6)y x =- B ．22(6)4y x =-+ C ．22y x = D ．224y x =+【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可． 【详解】解：将抛物线22(3)2y x =-+向左平移3个单位长度，得到22(3+3)2y x =-+， 再向下平移2个单位长度，得到22(3+3)2-2y x =-+， 整理得22y x =， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．4．把抛物线y ＝－12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( ) A ．y ＝－12 (x ＋1)2＋1 B ．y ＝－12 (x ＋1)2－1 C ．y ＝－12 (x －1)2＋ 1 D ．y ＝－12(x －1)2－1 【答案】B 【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：21y x+112=-－（）.5．在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2﹣2x ﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( ) A ．y =(x +1)2+1 B ．y =(x ﹣3)2+1 C ．y =(x ﹣3)2﹣5 D ．y =(x +1)2+2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】抛物线y =x 2﹣2x ﹣1可化简为y =(x ﹣1)2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度， 所得的抛物线的解析式y =(x ﹣1+2)2﹣2+3=(x +1)2+1； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．．6．将抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝（x+1）2﹣13 B ．y ＝（x ﹣5）2﹣5 C ．y ＝（x ﹣5）2﹣13 D ．y ＝（x+1）2﹣5【答案】D 【解析】 【分析】先把抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x ﹣4＝（x ﹣2）2﹣8，∴将抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y ＝（x ﹣2+3）2﹣8+3，即y ＝（x+1）2﹣5．【点睛】此题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解决此题的关键．7．将二次函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣1B ．y ＝x 2+1C ．y ＝（x ﹣1）2D ．y ＝（x +1）2【答案】D【解析】【分析】根据图像的平移规律：左加右减，可得答案．【详解】解：由题意，得y ＝x 2的图像向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为y ＝（x+1）2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8．如果将抛物线241y x x =--平移，使它与抛物线21y x =-重合，那么平移的方式可以是（ ）A ．向左平移2个单位，向上平移4个单位B ．向左平移2个单位，向下平移4个单位C ．向右平移2个单位，向上平移4个单位D ．向右平移2个单位，向下平移4个单位【答案】A【解析】【分析】先把241y x x =--化为顶点式，然后根据平移的规律解答即可．【详解】∵241y x x =--=(x -2)2-5，∴把y=(x -2)2-5向左平移2个单位，向上平移4个单位，可得21y x =-．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本9．在平面直角坐标系中，将函数y=2x 2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为_____．【答案】y=2(x-1)2+5【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x 2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=2（x -1）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y=2（x -1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=2（x -1）2+5．故答案是：y=2（x -1）2+5．【点睛】考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．将抛物线y （2x 2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为_____（【答案】y （2（x （1（2+3【解析】【分析】用顶点式表达式（按照抛物线平移的公式即可求解（【详解】y （2x 2向右平移1个单位长度（再向上平移3个单位长度后（函数的表达式为（y （2（x （1（2+3（故答案为：y （2（x （1（2+3（【点睛】本题考查了函数图象的平移（抛物线与坐标轴的交点坐标的求法（要求熟练掌握平移的规律（左加右减（上加下减（11．把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象的顶点是__________．【答案】(－1，1)【解析】【分析】用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式,再利用平移规律求平移后的顶点坐标∵215322y x x =++ =2156)22x x ++（ =213)22x +-（∴图象向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位后,得出:y=12(x+1)2 +1; 得到顶点坐标为(-1,1).故答案为(-1,1)【点睛】 此题考查了二次函数图形与几何变换，解题关键在于用配方法将抛物线一般式转化为顶点式12．将函数y=5x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应函数的表达式为__________．【答案】y=5（x+2）2+3【解析】【分析】根据二次函数平移的法则求解即可.【详解】解：由二次函数平移的法则“左加右减”可知，二次函数y=5x 2的图象向左平移2个单位得到y=25(2)x +，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=25(2)x +的图象向上平移3个单位可得到函数y=25(2)3x ++，故答案是：y=25(2)3x ++．【点睛】本题主要考查二次函数平移的法则，其中口诀是：“左加右减”、 “上加下减”,注意数字加减的位置. 13．在平面直角坐标系中，将抛物线(5)(3)y x x =+-向左平移2个单位后顶点坐标为_______．【答案】()3,16--【解析】【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y=（x+5）（x -3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．所以，抛物线y=（x+5）（x -3）向左平移2个单位长度后的顶点坐标为（-1-2，-16），即（-3，-16），故答案为：（-3，-16）此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．14．如果将抛物线2251y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3),A 那么所得新抛物线的解析式为____________.【答案】2253y x x =++【解析】【分析】设平移后的抛物线解析式为2251y x x b =+-+，把点A 的坐标代入进行求值即可得到b 的值．【详解】解：设平移后的抛物线解析式为2251y x x b =+-+，把A （0，3）代入，得3＝−1＋b ，解得b ＝4，则该函数解析式为2253y x x =++．故答案为：2253y x x =++．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．。
函数值的大小比较
函数值的大小比较 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法：1、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。
2、利用函数的增减性：当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。
3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。
）（1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。
当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2【推理：由x 2-(a b 2-)＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞ab -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2-)＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜ab -，得221x x +＜ab 2-，即x 1离对称轴距离较远.】 （2）当抛物线开口向下时（即a ＜0时），离对称轴距离越远，函数值越小，反之越大。
当抛物线开口向下与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2，推理同（1）4、图象法：结合具体图象，利用y 轴“上大下小”的特点比较具体各点的函数值的大小。
（第一、二象限的函数值总是大于第三、四象限的函数值）5、移点法：利用抛物线的对称性将各点转化到对称轴的同一侧，再利用函数的增减性比较大小。
二、反比例函数的大小比较方法由于反比例函数图象为双曲线，所以比较大小时，首先应注意利用k 值弄清各点所处的象限。
利用二次函数性质-巧解比较大小问题
利用二次函数性质-巧解比较大小问题在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，通常表示为f（x）=ax² + bx + c，其中a，b和c是实数常数且a ≠ 0。
二次函数有很多独特的性质，可以帮助我们解决比较大小问题。
在本文中，我们将探讨如何利用二次函数性质巧解比较大小问题。
首先，我们来回顾一下二次函数的基本性质。
对于任何二次函数f(x) = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，它的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向（向上还是向下）由二次项的系数a决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。
其次，我们了解一些关于二次函数的特殊情况。
如果a>0，那么二次函数的最小值发生在抛物线的顶点上。
如果a<0，那么二次函数的最大值也发生在抛物线的顶点上。
这意味着我们可以通过找到二次函数的顶点来确定函数的最小值或最大值。
现在，让我们看一些具体的例子来展示如何利用二次函数性质巧解比较大小问题。
例1：比较两个二次函数的最小值假设我们要比较两个二次函数f(x)=x²+2x+1和g(x)=2x²-3x+4的最小值。
首先，我们可以找到这两个函数的顶点，因为最小值发生在顶点上。
对于f（x）=x²+2x+1，我们可以通过求导数找到x值，从而找到顶点。
f'(x)=2x+2，当f'(x)=0时，即2x+2=0，解得x=-1、将x=-1代入f(x)，得到f(-1)=(-1)²+2(-1)+1=0。
所以f(x)在x=-1处有一个最小值，最小值为0。
同样地，对于g(x)=2x²-3x+4，我们可以通过求导数找到顶点。
g'(x)=4x-3，当g'(x)=0时，即4x-3=0，解得x=3/4、将x=3/4代入g(x)，得到g(3/4)=2(3/4)²-3(3/4)+4=7/8、所以g(x)在x=3/4处有一个最小值，最小值为7/8由于0<7/8，所以f(x)的最小值小于g(x)的最小值。
二次函数值大小比较 对称轴
二次函数值大小比较对称轴二次函数是一种常见的数学函数形式，可以用公式y=ax^2+bx+c 表示，其中a、b、c是常数，且a不等于零。
二次函数图像通常是一个U形的曲线，也称为抛物线。
在这篇文章中，我们将探讨以下几个方面：1.二次函数值大小比较2.对称轴一、二次函数值大小比较在比较两个二次函数的值的大小时，我们可以通过观察二次函数的系数a的正负来判断。
1.当a大于0时，代表抛物线开口朝上。
因此，二次函数的值随着自变量增大而增大，值随着自变量减小而减小。
换句话说，函数的最小值出现在对称轴的上方。
例如，对于函数f(x) = 2x^2+3x+1，当x>0时，f(x)值逐渐增大；当x<0时，f(x)值逐渐减小。
2.当a小于0时，代表抛物线开口朝下。
因此，二次函数的值随着自变量增大而减小，值随着自变量减小而增大。
换句话说，函数的最大值出现在对称轴的上方。
例如，对于函数g(x) = -2x^2-3x+1，当x>0时，g(x)值逐渐减小；当x<0时，g(x)值逐渐增大。
二、对称轴对称轴是二次函数图像的一条直线，具有对称性质。
对称轴可以通过计算公式中x的值来确定。
1.对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，对称轴的x坐标可以通过公式x=-b/(2a)计算得到。
例如，对于函数h(x) = 2x^2+4x-3，对称轴的x坐标为x=-4/(2*2)=-1。
这意味着对称轴与y轴的交点为(-1, 0)，抛物线在该点上下对称。
2.当二次函数通过顶点时，可以简化计算对称轴的方法。
顶点的x 坐标即为对称轴的x坐标。
例如，对于上述的函数f(x) = 2x^2+3x+1，顶点的x坐标为(-b/2a)=-3/4，因此对称轴的x坐标也是-3/4。
另外，二次函数的对称轴还具有以下几个性质：1.对称轴将抛物线分为两个对称的部分，左侧和右侧。
这意味着对称轴有助于我们了解函数的对称性质和图像的形状。
2.对称轴上的点是抛物线上最高点（当a<0）或最低点（当a>0）。
利用二次函数性质巧解比较大小问题
图象向上平移一个单位得到 , 观察两个函数
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第 1 期 高中数学教与学
向量法魅力展示
邱邑峰
(江西省大余中学 , 341500 )
向量具有代数与几何形式的双重身份 , 它有着极其丰富的实际背景 , 在解题中具有 独特的功能 . 向量法的应用很广 , 也很巧妙 . 下面例举向量法在解决代数 、 几何等问题中 的应用 . 一、 在函数式求值问题中的应用 例 1 求 co s 5 °+ co s 77 °+ co s 149 °+
解 观察角的变化 , 前后相差 72 ° , 正好 是正五边形的一个外角 , 因此作一个边长为 1 的正五边形 A1 A2 A3 A4 A5 (如图 1 ) , 且 A1 A2 与 x
), 轴的夹角为 5 ° , 则 A1 A2 = ( co s 5 ° , sin 5 ° ), A2 A3 = ( co s 77 ° , sin 77 ° ), A3 A4 = ( co s 149 ° , sin 149 ° ), A4 A5 = ( co s 221 ° , sin 221 ° ). A5 A1 = ( co s 293 ° , sin 293 ° -
题 ) 对于非空集合 A, B , 定义运算 : A
| x ∈A ∪B ,且 x |
B = {x
A ∩ B }. 已知两个开区间 P 等于 ( )
M = ( a, b) , P = ( c, d ) , 其中 a, b, c, d满足 a + b < c + d, ab = cd < 0, 则 M
2 2 例 2 设 x1 , x2 ( x1 < x2 ) 是方程 a x + bx
二次函数函数值大小比较的方法
二次函数函数值大小比较的方法二次函数是一个非常重要的函数形式，在数学和实际应用中都经常出现。
如果我们要比较两个二次函数的函数值大小，可以通过以下几种方法来实现。
首先，我们可以通过图像的比较来判断二次函数函数值的大小。
对于给定的两个二次函数，我们可以首先画出它们的图像。
可以通过计算两个二次函数的顶点，以及求解二次函数和x轴的交点，来确定它们在坐标平面中的位置。
然后，我们可以观察二次函数在不同区间内的变化趋势。
比较这两个二次函数图像的高低，可以推断出它们的函数值大小关系。
其次，我们可以通过求解二次函数的零点来判断函数值的大小。
对于二次函数y=f(x)，我们可以通过将该函数等于0来求解它的零点。
设函数g(x)=f(x)-0，即g(x)=f(x)，然后我们可以求解g(x)=0对应的解x1，再将其带入原二次函数f(x)中可以得到对应的函数值f(x1)。
同样，对于另一个二次函数y=g(x)，我们可以求解g(x)=0对应的解x2，然后带入f(x)中可以得到对应的函数值f(x2)。
最后，比较f(x1)和f(x2)的大小即可判断二次函数函数值的大小关系。
第三，我们可以通过二次函数的求导来比较函数值的大小。
对于给定的两个二次函数f(x)和g(x)，我们可以分别求解它们的导数f'(x)和g'(x)。
然后，我们可以求解f'(x)=g'(x)对应的解x1，并通过将x1带入f(x)和g(x)中求解f(x1)和g(x1)。
最后，比较f(x1)和g(x1)的大小即可得到二次函数函数值的大小关系。
另外，我们还可以通过化简二次函数的标准形式来比较函数值的大小。
对于给定的两个二次函数f(x)=ax^2+bx+c和g(x)=px^2+qx+r，我们可以通过比较它们的系数a、b和c以及p、q和r的大小来判断二次函数的函数值大小。
首先，我们可以比较二次系数a和p的大小。
如果a>p，那么随着x的增大，f(x)的函数值会比g(x)的函数值大。
二次函数比较大小的方法
二次函数比较大小的方法二次函数是数学中的一种常见函数形式，它具有形如y=ax^2+bx+c的特点。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在二次函数中，通过比较a的大小可以判断二次函数的开口方向。
本文将介绍以二次函数比较大小的方法。
我们来研究二次函数的开口方向与a的关系。
当a大于0时，二次函数的抛物线开口朝上；当a小于0时，二次函数的抛物线开口朝下。
这是因为二次函数的一阶导数为2ax，二阶导数为2a，当a大于0时，一阶导数恒大于0，二阶导数恒大于0，说明函数在抛物线上是递增的，所以开口朝上；当a小于0时，一阶导数恒小于0，二阶导数恒小于0，说明函数在抛物线上是递减的，所以开口朝下。
对于开口方向相同的二次函数，我们可以比较二次函数的顶点位置来判断大小关系。
二次函数的顶点横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=-Δ/4a。
其中Δ=b^2-4ac称为二次函数的判别式。
当判别式大于0时，说明二次函数有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；当判别式等于0时，说明二次函数有一个实根，函数图像与x轴有一个交点；当判别式小于0时，说明二次函数没有实根，函数图像与x轴无交点。
对于开口方向相同且判别式相等的二次函数，我们可以通过比较a 的大小来判断二次函数的大小关系。
当a大于0时，二次函数的顶点纵坐标最小；当a小于0时，二次函数的顶点纵坐标最大。
这是因为当a大于0时，顶点在函数图像上方，纵坐标最小；当a小于0时，顶点在函数图像下方，纵坐标最大。
需要注意的是，判别式相等只能说明二次函数的实根情况相同，并不能说明二次函数的大小关系相同。
比如，f(x)=x^2和g(x)=x^2+1都是开口朝上，且判别式为0的二次函数，但f(x)的顶点为(0,0)，而g(x)的顶点为(0,1)，所以f(x)<g(x)。
以二次函数比较大小的方法有以下几步：1. 比较二次函数的a的大小，确定开口方向；2. 比较二次函数的判别式，确定实根情况；3. 比较二次函数的顶点位置，确定大小关系。
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初中数学巧用二次函数的性质比较数值
大小
姓名：__________
指导：__________
日期：__________
比较二次函数值的大小是二次函数图像与性质应用的重要题型之一，是中考的热点。
要熟练准确地解决这类问题，同学们要理解二次函数的增减性、能画出图像的大致位置，会确定对称轴，还要掌握解决这类问题的一般方法和解题步骤。
以下面这道题为例，豆姐帮同学们梳理一下此类题目的相关知识点。
知识点一判断二次函数的开口方向
①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；
②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点。
知识点二找到二次函数的对称轴
二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)2+k的形式，即二次函数的顶点式，通过顶点式我们可以得出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），因此，可以得出二次函数的对称轴为x=h
知识点三画示意图，确定点的位置大小
根据开口方向和对称轴，画出函数的示意图，不需要太精确。
根据对称轴，找到题目中所求点在x轴上的位置，对于有根号的数字，最好可以转化到小数形式，方便对比。
①对于开口向上的抛物线，离对称轴越近，点越低，y值越小；离对称轴越远，
点越高，y值越大
②对于开口向下的抛物线，离对称轴越近，点越高，y值越大；离对称轴越远，点越低，y值越小。