有理指数幂及运算(1)资料
指数、对数、幂函数总结归纳
指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1).【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为防止讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1n na a =()m n m m n na a a ==-1m nm naa=3．运算法则当a ＞0,b ＞0时有：〔1〕nm nma a a +=⋅；〔2〕()mn nma a =；〔3〕()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；〔4〕()mm m b a ab =.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.要点二、根式的概念和运算法则1．n 次方根的定义：假设x n=y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y .n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，00n =. 2．两个等式〔1〕当1n >且*n N ∈时，nnaa =；〔2〕⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能防止出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数〔如15/4〕，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式： a 2－b 2＝〔a －b 〕〔a ＋b 〕，a 3－b 3＝〔a －b 〕〔a 2＋ab ＋b 2〕，a 3＋b 3＝〔a ＋b 〕〔a 2－ab ＋b 2〕， 〔a ±b 〕2＝a 2±2ab ＋b 2，〔a ±b 〕3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：〔1〕形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．〔2〕为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a <，则对于一些函数，比方(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在． ②如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了。
高中新课程数学(新课标人教B)必修1《有理指数幂及其运算》课件
• MATHEMATICS n数学第三章基本初等函数（I）3. 1指数与指数函数3. 1.1实数指数幕及其运算【课标要求】1.理解有理指数幕的含义，会用幕的运算法则进行有关运算.2.了解实数指数幕的意义.【核心扫描】1-根式与分数指数幕的互化.（重点）2.根式的性质.（易混点）3.有理指数幕运算性质的应用.（难点）KEQIANTANJIUXUEXI》课前探究学习挑战自我［点点落实自学导引1."次方根的概念（1）如果存在实数兀，使得心,则X叫做。
的〃次方根.（2）当紡有意义的时候，式子黑叫做根式,这里"叫做根指数,a叫做被开方数.2.根式的性质（1）（般）"=丄（卅＞1 且〃UN+）；（卅为奇数且〃＞1, 〃WN+）（〃为偶数且卅＞1, 〃UN+）\a\3.分数指数幕的定义:(1)规定正数的正分数指数幕的意义是：in _Q 去二(Q〉() 9 "、m w N 9 且刃〉1 )；(2)规定正数的负分数指数幕的意义是(°〉()山、m. e N * ,且几 > 1)；(3)0的正分数指数幕为(),0的负分数指数幕4.有理数指数幕的运算性质(l}aa=ar+s(a>0,厂、泻Q)；(2)@丫= _(a>0,厂、$WQ)；(3YabY=arbr(a>0, b>0,胆Q)・试一试：分数指数幕血及（乙（nN,且叫"互质）的底数有何取值范围？提不（帀='Q,当m为奇数时，底数a e R,当m为偶数时,dM（）;_2l_ ["〃‘二石亍当尬为奇数时，HO且＜/ e R，当肌为偶数时，a > 0.想一想：防（〃WN+）与（裁）"（”WN+）对任意实数a都有意义吗？提示式子勺刁（“WN+）对任意实数a都有意义；而式子（第）"（〃WN+）,当n为奇数时，对任意实数a都有意义；当n 为偶数时，对负数a没有意义.名师点睛1.根式紡的符号：根式紡的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数Q的符号共同确定；当〃为偶数时，。
有理数指数幂的运算
有理数指数幂的运算有理数指数幂是数学中的一个重要概念，它涉及到数的运算、指数、幂等基本概念。
在本文中，我们将讨论有理数指数幂的基本运算法则以及一些应用。
定义：有理数指数幂是指一个有理数作为底数，一个有理数作为指数，两者运算所得的结果。
有理数指数幂的基本运算法则如下：1. 同底数幂相乘，指数相加对于同一有理数a的幂am和an，当底数相同时，指数相加得到新的指数，即 am × an = am+n。
2. 同底数幂相除，指数相减对于同一有理数a的幂am和an，当底数相同时，指数相减得到新的指数，即 am ÷ an = am-n。
3. 幂的幂，指数相乘对于同一有理数a的幂am，当将其作为指数时，指数相乘得到新的指数，即 (am)n = amn。
4. 乘方与开方互为逆运算对于有理数a，m和n为任意整数，(am)n = amn。
5. 0的指数为1，1的任何指数为1任何有理数a的0次方都等于1，即 a^0 = 1；而1的任何指数都等于1，即 1^n = 1。
有理数指数幂的运算法则在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。
应用一：科学计数法科学计数法是一种用于表示过大或过小数的方法。
它由两个因子组成，一个是大于等于1且小于10的实数，另一个是10的整数次方。
科学计数法可以简化大数或小数的书写和运算，并方便进行数字间的比较。
应用二：利息计算在金融领域，利息计算通常涉及有理数指数幂的运算。
例如，计算复利时，每年的利息是本金的一定比例，当利息再次投资时，利息也会得到增加。
这种增加的过程可以用有理数指数幂来表示和计算。
应用三：导数和微分在微积分中，导数和微分等运算都涉及到有理数指数幂的计算。
导数表示了函数在某一点处的变化率，微分则是对函数进行近似线性的变换。
这些运算常常会用到有理数指数幂的法则来简化计算过程。
总结：有理数指数幂运算是数学中一个重要的概念，它应用广泛，并且有着严格的运算法则。
通过熟悉和掌握这些运算法则，我们可以更加方便地处理数学问题，以及在实际生活中应用数学知识。
4.1.1有理数指数幂(教学课件)——高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
有理数指数幂
教学课件
1
新 课 导 入
新课引入
在初中，我们学习过整数指数幂的概念，并知道以下运算法则：
∙ = +
( ) =
() =
接下来，我们要将整数指数幂推广到有理数指数幂、直到实数指数幂
为此，需要引入根式与分数指数幂两个概念。
3
典 型 例 题
新知探究| 根式
新知探究| 根式
典型例题
典型例题
典型例题
典型例题
4
课堂练习
课堂练习
5
课 堂 小 结课堂小结6源自作 业 布 置作业布置
书面作业：
习题4.1 2、4、5
补充作业：
预习作业：
无理数指数幂
2
新 知 探 究
新知探究| 根式
新知探究| 根式
根指数
根式
被开方数
新知探究| 根式
新知探究| 有理数指数幂
根式运算比较复杂，常常要先把根式化为同次根式再按运算法则进行
分数指数幂可
计算，引入分数指数幂的概念就可以大大简化根式运算：
不表示多个相
同的数的乘积
当a > 0，m, n ∈ N且n ≥ 2时，规定：
=
，
1
=
−
新知探究| 有理数指数幂
新知探究| 有理数指数幂
每一次扩充都
在 > 0时，对于任意有理数, 仍有以下运算法则：
要保证原有的
∙ = +
性质成立
( ) =
() = ( > 0)
由此，便可以将整数指数幂推广到有理数指数幂
3.2.1_指数幂及其运算法则(1)
am m－n 如果取消 an ＝a (m＞n，a≠0)中m＞n的 限制，如何通过指数的运算来表示？ 计算： 3 1 1 3 2 2 （1） 4 ＝ 2 ； （2） 6 ＝ 8 2 2 ＝23－4 ＝23－6 ＝2－1 1 2－ 1 ＝ 2 规 定 a－n＝ 1n （a≠0，nN＋） a ＝2－3 2－3 ＝ 1 23
底数
规定： a 1＝ a ．
练习1
（ 1） 2
3× 2 4 ＝ 3) 4＝ m a n＝ a ； m) n＝ ( a ；
； ； ( m ＞ n，a ≠ 0 )； ．
（ 2） ( 2 24 （3） 23 ＝
am ； an ＝ ； ( a b ) m＝
（ 4） ( x y ) 3 ＝
计算：
23 23 ＝ ＝20
；
Hale Waihona Puke a－1＝ 1（a≠0） a
三、负整数指数幂 a－1 ＝ 1 （ a ≠ 0） a a－n ＝ 1n （a ≠ 0，n N＋ ) a 练习3 （1）8－2 ＝ （2）0.2－3 ＝ ； ； 1 是否恒成立？为什么？ 4 (a－b)
（3）式子(a－b)－4 ＝
练习4
（1）( 2 x )－2 ＝ ；（2）0.001－3 ＝ ；
1
；
20＝1
＝23－3
规
定
a 0＝ 1 ( a ≠ 0 ) am 如果取消 an ＝am － n(m＞n，a≠0)中 m ＞ n 的 限制，如何通过指数的运算来表示？
二、零指数幂 a 0 ＝ 1（a ≠ 0 ） 练习2
（1）8 0 ＝
；
；
（2）(－0.8 ) 0 ＝
（3）式子 ( a－b ) 0 ＝1 是否恒成立？为什么？
有理指数幂及其运算
有理指数幂及其运算⑤负分数指数幂：n a-＝1a m n＝1n a m （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）。
⑥0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
（2）有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝sr a+（a ＞0，r 、s ∈Q ）。
②（a r ）s ＝rsa （a ＞0，r 、s ∈Q ）。
③（ab ）r ＝rr b a （a ＞0，b ＞0，r ∈Q ）。
【典例精析】例题1 计算：131.5-×0)67(-＋80.25×42＋（32×3）6；思路导航：先化为分数指数幂，再进行运算。
3124134162131312（答题时间：15分钟）2. 下列各等式中，正确的是（ ） A.44a ＝a B. 62)2(-＝32-C. a 0＝1D.105)12(-＝（2－1）213. 计算下列各式。
（1）432981⨯；（2）（253）0＋2－2·（241）21-－（0.01）0.5。
4. 计算：（1）（27125）32-； （2）0.00832-；（3）（240181）43-；1. A 解析：考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为－2×（a －b ）－52＝－2（a －b ）－52，故选A 。
2. D 解析：要想判断等式是否正确，首先要使等式两边都有意义，然后计算两边的值，如果相等则正确，如果不等，则不正确，在计算时要充分应用幂的运算法则。
44a ＝|a|，由于不知道a 的符号，因此A 不正确；273323-2525（2）0.00832-＝（0.2 3）32-＝0.2－2＝（51）－2＝52＝25。
（3）（240181）3-＝（4473）－3＝3373--＝3337＝27343。
（4）当21-≠a 时，（2a ＋1）0＝1；当21-=a 时，无意义。
（5）［65－（53）－1］－1＝（65－35）－1＝（－65）－1＝－6。
有理数幂的运算性质及应用
有理数幂的运算性质及应用有理数幂的运算性质及应用一、有理数幂的定义和基本性质有理数幂是指一个有理数的指数幂，它的定义如下：设a是非零有理数，m和n是整数，且n≠0，那么a的n次幂（记作aⁿ）定义为：aⁿ= a ×a ×…×a（共n个a的乘积）。
有理数幂有以下几个基本性质：1. 有理数幂的乘法法则：aⁿ×aᵐ = aⁿ⁺ᵐ这个乘法法则的意义是：幂相乘就是底数不变，指数相加。
例如，2²×2³= 2⁵.2. 有理数幂的除法法则：aⁿ÷aᵐ = aⁿ⁻ᵐ这个除法法则的意义是：幂相除就是底数不变，指数相减。
例如，2⁵÷2³= 2².3. 有理数幂的乘方法则：(aⁿ)ᵐ = aⁿᵐ这个乘方法则的意义是：幂的幂就是幂的指数相乘。
例如，(2²)³= 2⁶.4. 有理数幂的乘幂法则：(a ×b)ⁿ= aⁿ×bⁿ这个乘幂法则的意义是：多个底数相乘的幂等于各个底数先分别取幂再相乘。
例如，(2 ×3)²= 2²×3².二、有理数幂的应用有理数幂的应用非常广泛，涵盖了数学、物理、工程等多个领域。
以下是一些典型的应用：1. 对数函数对数函数实际上是幂函数的逆运算，所以对数函数的研究离不开对幂函数的研究。
通过研究和应用有理数幂，可以推导出对数函数的性质，如对数函数的等式、不等式和图像等。
2. 指数函数指数函数是幂函数的一种特殊形式，它的底数是常数e（自然对数的底数）。
通过研究和应用有理数幂，可以推导出指数函数的性质，如指数函数的等式、不等式和图像等。
3. 计算器和电子表计算器和电子表上的指数运算就是利用了有理数幂的性质。
通过输入底数和指数，计算器和电子表就能准确地计算出幂的结果。
4. 科学计算在科学计算中，大量的物理、化学和生物等问题都涉及到幂的运算。
有理数指数幂的运算性质
(1) lg1002
(2) ln e
(1) loga (M N ) loga M loga N M (2) log a log a M log a N N (3) loga M n n loga M (n R)
课堂小结
对数的运算性质：
如果a 0,且a 1, M 0, N 0, 那么：
(1) log a
(2) log a
(2) a a a
mn
xy z
x2 y
3
(3) (a ) a (a 0, m, n Q)
mn
z
对数的运算性质：
如果a 0,且a 1, M 0, N 0, 那么：
例4：求下列各式的值：
(1) log2 (47 25 ) (2) lg 5 100
(1) loga (M N ) loga M loga N M (2) log a log a M log a N N (3) loga M n n loga M (n R)
课本P74
习题2.2
、4
(1) lg( xyz)
xy3 (2) log a z
(2) a m a n a mn (a 0, m, n Q) (3) (a m ) n a mn (a 0, m, n Q)
对数的运算性质：
2. 求下列各式的值：
如果a 0,且a 1, M 0, N 0, 那么：
2.2.1 对数的运算（1）
执教者： 魏苏珊 执教班级：高二（1）班 执教时间：2012.11.13
把下列指数式化成对数式：
(1) a M
m
(2) a
m n
MN
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a n a a aa(n N *)
n个 a
a 1( a 0 ) 0
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奎屯
a n 1 (a 0, n N*) an
2、运算性质：
：
a m a n a mn (m, n Z )
(a m )n a mn (m, n Z )
(ab)n a n b n (n Z )
通过以上练习，我们得到这样的结论： 性质： ①当 n 为奇数时：正数的 n 次方根为正数， 负数的 n 次方根为负数记作： x n a
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②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个 （互为相反数）。记作： x n a ③负数没有偶次方根， ④ 0 的任何次方根为 0
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(1)a 2 a
(2)a 3 3 a 2
(3) a a (式中 a 0 )
例 4：计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3 b 2 )(6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6 );
13
(2)(m 4 n 8 )8 .
(3)(2x)2 (x)3
例 3、化简：
1
1
1
1
（1） ( x 2 y 2 ) ( x 4 y 4 ) ；
②0 的正分数指数幂等于 0.
③0 的负分数指数幂无意义.
（3）有理指数幂的运算性质:
am an amn(m,n Q) (a m )n a mn (m, n Q) (ab)n a n bn (n Q)
例 2：求值：
2
8 3 ,100
1
2
,(
1
)3
, ( 16
4
81
3
)4
.
例 3：用分数指数幂的形式表示下列各式：
m m 1 2
1
1
（2）
m 2 m2
例 4：已知 x x 1 3 ,求下列各式的值：
1
1
(1)x 2 x 2 ,
(2)x 2 x 2 ；
(3)x 2 x 2 ；
3
3
(4)x 2 x 2
奎屯
定；② (10)2 ；
③ 4 (3 )4 ；
④ (a b)2 (a b) .
2、分数指数幂 （1）正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n a m ( a 0, m, n N )
m
an
(2)规定：①
1
m
an
( a 0, m, n N ) 新疆 王新敞 奎屯