第二章条件概率与独立性
高中数学第二章概率2.2条件概率与事件的独立性2.2.1-2.2.2条件概率与事件的独立性课堂导学案
-2.2.2 条件概率与事件独立性课堂导学三点剖析一、条件概率【例1】一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能，这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩概率是多少？解析：一个家庭两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩子}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这4个根本领件发生是等可能.根据题意，设根本领件空间为Ω，A=“其中一个是女孩〞，B=“其中一个是男孩〞，那么Ω={〔男，男〕，〔男，女〕，〔女，男〕，〔女，女〕}， A={〔男，女〕，〔女，男〕，〔女，女〕}，B={〔男，男〕，〔男，女〕，〔女，男〕}，AB={〔男，女〕，〔女，男〕}，问题是求在事件A 发生情况下，事件B 发生概率，即求P 〔B|A 〕.由上面分析可知P 〔A 〕=43，P 〔AB 〕=42. 由公式②可得P 〔B|A 〕=, 因此所求条件概率为32. 温馨提示关键是弄清楚P 〔A·B〕及P 〔A 〕.二、事件独立性应用【例2】甲、乙两名篮球运发动分别进展一次投篮，如果两人投中概率都是0.6，计算： 〔1〕两人都投中概率；〔2〕其中恰有一人投中概率；〔3〕至少有一人投中概率.思路分析：甲、乙两人各投篮一次，甲〔或乙〕是否投中，对乙〔或甲〕投中概率是没有影响，也就是说，“甲投篮一次，投中〞与“乙投篮一次，投中〞是相互独立事件.因此，可以求出这两个事件同时发生概率.同理可以分别求出，甲投中与乙未投中，甲未投中与乙投中，甲未投中与乙未投中同时发生概率，从而可以得到所求各个事件概率.解：〔1〕设A=“甲投篮一次，投中〞，B=“乙投篮一次，投中〞，那么AB=“两人各投篮一次，都投中〞.由题意知，事件A 与B 相互独立，根据公式③所求概率为 P 〔AB 〕=P 〔A 〕·P(B)=0.6×0.6=0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一人投中〞包括两种情况：一种是甲投中、乙未投中〔事件A∩B 发生〕，另一种是甲未投中、乙投中〔事件A∩B 发生〕。
李贤平概率论基础 2.2
点构成:(正,红)，(正,白)，(正,黑)，(
反 , 红 )， ( 反 ,白 )， ( 反 ,黑 )。
定义：
“与第k次试验有关的事件”：这种事 件发生与否仅与第k次试验的结果有关。
因此判断某一样本点是否属于这个事 件，只需察看它的第k个分量。 必然事件与不可能事件可以认为与所 有的试验有关。
定义 Ak ——与第k次实验有关的事件全体。 若对于任意的
练习：某型号火炮的命中率为0.8, 现有一架 敌机即将入侵，如果欲以 99.9 % 的概率击 中它，则需配备此型号火炮多少门？ 解 设需配备 n 门此型号火炮 设事件 Ai 表示第 i 门火炮击中敌机
P( Ai ) 1 1 P( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
例4 甲、乙两人进行乒乓球 比赛, 每局甲胜的 概率为 p ( p 1 2) , 问对甲而言 , 采用三局二胜制 有利, 还是采用五局三胜制有 利. 设各局胜负相 互独立.
解 采用三局二胜制 , 甲最终获胜,
胜局情况可能是 :
“甲甲”, “乙甲甲”,
“甲乙甲”;
由于这三种情况互不相容,
于是由独立性得甲最终 获胜的概率为 :
p1 p2 2 p2 (1 p).
采用五局三胜制 ,甲最终获胜, 至少需比赛 3 局,
且最后一局必需是甲胜 , 而前面甲需胜二局.
例如, 比赛四局, 则甲的胜局情况可能是:
“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”; 由于这三种情况互不相容, 于是由独立性得 :
在五局三胜制下 ,甲最终获胜的概率为:
则称 A1 , A2 ,, An 为相互独立的事件.
n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立
定义：称无穷多个事件相互独立，如果其中任意 有限多个事件都相互独立。
浙大概率论第五版习题答案
浙大概率论第五版习题答案浙大概率论第五版习题答案概率论是数学中的一门重要学科，它研究的是随机现象的规律和性质。
在浙江大学的概率论教材中，第五版是最新的版本，它包含了许多习题供学生练习和巩固知识。
本文将为大家提供浙大概率论第五版习题的答案，帮助大家更好地理解和掌握概率论的知识。
第一章：概率论的基本概念和基本原理1.1 概率的基本概念1. 掷一颗骰子，出现1的概率是多少？答案：由于骰子有6个面，每个面出现的概率是相等的，所以出现1的概率是1/6。
2. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，从中随机取出一个球，取到红球的概率是多少？答案：袋子中一共有8个球，其中5个是红球，所以取到红球的概率是5/8。
1.2 随机事件及其概率1. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌，取到红桃的概率是多少？答案：一副扑克牌中有52张牌，其中有13张红桃牌，所以取到红桃的概率是13/52，即1/4。
2. 一箱中有6个红球和4个蓝球，从中不放回地抽取2个球，取到两个红球的概率是多少？答案：第一次抽取红球的概率是6/10，第二次抽取红球的概率是5/9，所以取到两个红球的概率是(6/10)*(5/9)=30/90，即1/3。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率及其性质1. 一批产品中有10%的次品，现从中随机抽取一个产品，如果抽到的产品是次品，那么它是A型产品的概率是30%，那么这批产品中A型产品的比例是多少？答案：设A为抽到的产品是A型产品的事件，B为抽到的产品是次品的事件。
根据条件概率的定义，P(A|B)=0.3，P(B)=0.1，所以P(A∩B)=P(B)*P(A|B)=0.1*0.3=0.03。
又因为P(A∩B)=P(A)*P(B)，所以P(A)=P(A∩B)/P(B)=0.03/0.1=0.3。
2. 一批产品中有20%的次品，现从中随机抽取两个产品，如果第一个产品是次品，那么第二个产品也是次品的概率是多少？答案：设A为第一个产品是次品的事件，B为第二个产品是次品的事件。
概率论中的独立性与条件概率研究
概率论中的独立性与条件概率研究概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的可能性。
在概率论中，独立性和条件概率是两个基本概念，它们在解决实际问题和推导数学公式中起着重要的作用。
独立性是指两个或多个事件之间的关系，当一个事件的发生与另一个事件的发生无关时，我们称这两个事件是独立的。
例如，投掷一枚硬币的结果与掷骰子的结果无关，这两个事件是独立的。
独立性在概率计算中非常重要，它使我们能够简化问题的复杂度，从而更容易计算概率。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率可以用符号P(A|B)表示，其中A和B分别代表两个事件。
例如，已知某个人患有某种疾病的概率是1%，而在患有该疾病的人中，某种检测方法的准确率为90%。
那么，对于一个随机选取的人，他患有该疾病且检测结果为阳性的概率是多少？在解决这个问题时，我们可以使用条件概率的定义。
设事件A表示一个人患有该疾病，事件B表示检测结果为阳性。
我们需要求解的是P(A|B)，即在已知检测结果为阳性的条件下，一个人患有该疾病的概率。
根据条件概率的定义，我们有：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
根据已知条件，我们可以得到P(A∩B) = P(A) * P(B|A)，即一个人患有该疾病且检测结果为阳性的概率等于一个人患有该疾病的概率乘以检测结果为阳性的准确率。
代入上述公式，我们可以得到：P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)代入已知条件，我们可以计算出P(A|B) = (0.01 * 0.9) / (0.01 * 0.9 + 0.99 * 0.1) ≈ 0.083。
也就是说，一个随机选取的人患有该疾病且检测结果为阳性的概率约为8.3%。
通过这个简单的例子，我们可以看到条件概率在解决实际问题中的重要性。
它能够帮助我们计算出在已知某些条件下的概率，从而更好地理解和分析问题。
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结
条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。
理解并掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
其定义为：设 A、B 是两个事件，且 P(A) ＞ 0，在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率记为 P(B|A)，且 P(B|A) ＝ P(AB) ／P(A) 。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
从中随机取出一个球，已知取出的是红球，那么这个红球是第一次取出的球的概率是多少？首先，总的取球情况有 8 种。
取出红球的情况有 5 种。
第一次取出红球的情况有 5 种。
所以，P(第一次取出红球|取出的是红球) ＝ 5 ／ 5 ＝ 1 。
二、事件的独立性如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
即如果 P(B|A) ＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，则事件 A 和事件 B 相互独立。
例如，有两个独立的事件 A 和 B，P(A) ＝ 04 ，P(B) ＝ 05 ，那么P(AB) ＝ P(A) × P(B) ＝ 04 × 05 ＝ 02 。
再来看一个例子，一个家庭有两个孩子，已知第一个孩子是男孩，那么第二个孩子是女孩的概率是多少？假设生男生女的概率相等，都是 05 。
因为这两个孩子的性别是相互独立的事件，所以第二个孩子是女孩的概率仍然是 05 。
三、条件概率与事件独立性的关系事件的独立性与条件概率有着密切的关系。
如果事件 A 和事件 B相互独立，那么 P(B|A) ＝ P(B) ，P(A|B) ＝ P(A) 。
反之，如果 P(B|A)＝ P(B) 且 P(A|B) ＝ P(A) ，则事件 A 和事件 B 相互独立。
事件的独立性与条件概率
事件的独立性与条件概率事件的独立性与条件概率是概率论中非常重要的概念，它们的理解与应用在各个领域都具有广泛的意义。
在本文中，我将探讨事件的独立性和条件概率的概念及其关系。
一、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生与否互不影响。
换句话说，当两个或多个事件独立发生时，它们的概率乘积等于它们各自发生的概率之积。
以掷硬币为例，假设我们掷两枚硬币，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示第二枚硬币为正面。
如果两个事件相互独立，那么P(A∩B) = P(A)×P(B)。
也就是说，第一枚硬币为正面的概率与第二枚硬币为正面的概率乘积等于两枚硬币都为正面的概率。
二、条件概率条件概率是在已知一个或多个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常表示为P(A|B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
仍以掷硬币为例，事件A表示第一枚硬币为正面，事件B表示两枚硬币都为正面。
如果已知第一枚硬币为正面，即事件A已经发生，那么事件B的概率会发生变化，变成了P(B|A)。
这时，我们可以用条件概率的公式计算出P(B|A)。
三、事件的独立性与条件概率的关系事件的独立性与条件概率有着密切的关系。
当两个事件A和B是相互独立的时候，P(A|B) = P(A)，也就是说，当事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率与事件B未发生时的概率相等。
反过来讲，如果已知事件B发生，且P(A|B) = P(A)，那么事件A 与事件B就是相互独立的。
因此，可以通过条件概率的计算来判断事件之间的独立性。
四、应用举例事件的独立性与条件概率在实际应用中有许多重要的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 疾病诊断：在医学领域，独立性与条件概率可以用于判断多个疾病的共同发生概率。
例如，根据患者的症状，通过条件概率可以计算出某种疾病的患病概率。
2. 金融风险评估：在金融领域，独立性与条件概率可以用于评估投资组合的风险。
通过将不同资产之间的独立性与条件概率应用到投资组合的构建中，可以更准确地评估风险和收益。
条件概率与独立事件
条件概率与独立事件条件概率和独立事件是概率论中的重要概念，它们在许多实际问题的建模和分析中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍条件概率和独立事件，探讨它们的定义、性质和应用。
一、条件概率的定义和性质条件概率是指在一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A、B为两个事件，且P(B)>0，则事件A在事件B发生的条件下发生的概率记作P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
针对条件概率，有以下两个重要性质：1. 乘法公式：对于两个事件A、B，有P(A∩B)=P(B)×P(A|B)。
这个公式可以从条件概率的定义中推导出来，对于事件A同时发生且B发生的概率，等于B先发生的概率乘以在B发生的条件下A发生的概率。
2. 全概率公式：对于一组互斥事件B1、B2、...、Bn，它们构成了一个样本空间的划分，即B1∪B2∪...∪Bn=Ω（Ω表示样本空间）。
则对于事件A，有P(A)=P(A|B1)×P(B1)+P(A|B2)×P(B2)+...+P(A|Bn)×P(Bn)。
全概率公式的作用在于利用条件概率进行事件概率的计算。
二、独立事件的定义和性质独立事件是指两个事件发生与否互不影响的事件。
设A、B为两个事件，如果P(A|B)=P(A)，则称事件A与事件B相互独立。
同理，如果P(B|A)=P(B)，也可以认为事件A与事件B相互独立。
独立事件有以下重要性质：1. 事件的独立性是一个对称的概念，即A与B独立等价于B与A独立。
2. 如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与事件B的补集A'与B的补集B'也相互独立。
3. 如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与B的并集A∪B的概率等于事件A的概率与事件B的概率之和减去事件A与B的交集的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
三、条件概率和独立事件的应用条件概率和独立事件在实际问题中有着广泛的应用，例如医学诊断、网络安全、金融风险评估等领域。
概率论和数理统计(第三学期)第2章条件概率与独立性
PA1PA2 A1PA3 A1A2
(1 p) p p p p 1 p p p p p 1 p p p p p
2
2
2
1 5 3 pp3
2
§2.2 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
定理 设B1，B2，…，Bn 是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
(3)P( A3 B) 1 P( A3 B)
1
0.2 0.2
0.93
0.5 0.6 0.3 0.9 0.2 0.2
解法二：
(3)P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) 0.49 0.44 0.93
a a 1 b
a
a b a b 1 a b a b 1
a ab
例2 一商店出售的某型号的晶体管是甲、乙、
丙三家工厂生产的，其中乙厂产品占总数的５０％， 另两家工厂的产品各占２５％。已知甲、乙、丙各 厂产品合格率分别为0.9、0.8、0.7，试求随意取出 一只晶体管是合格品的概率（也就是本商店出售货 的合格率）。
pk
1 4
(
pk
pk 1 )
pn p1 ( p2 p1 ) ( p3 p2 ) ( pn pn1 )
1 1 n1
p1
4 1 1
( p2 p1 )
4
即
pn
3 5
(1)n 10
1 4n 1
贝叶斯公式
定理 设B1，B2，…，Bn是一组两两互斥的事件，且
n
(1) Bi i 1
而p1
m 1 m
pn
1 2
1
m2 m
n
当n
时，pn
1 2
例4 连续做某项试验，每次试验只有成功和失败
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P( A1 A2 An )
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例 1 设某种动物由出生算起活 20 岁以上的概率为 0.8 ，活 25 岁以上的概率为 0.4. 现有一个 20 岁的这 种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设 A=“能活20岁以上”，B=“能活25岁以上”， 则 P(A)=0.8，P(B)=0.4， 而所求的概率为 P(B|A)=P(AB)/P(A).
由于BA，故AB=B，于是 P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.4/0.8=0.5.
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例2 包装了的玻璃器皿第一次扔下被打破的概率为 0.4，若未破，第二次扔下被打破的概率为0.6，若 又未破，第三次扔下被打破的概率为 0.9 ，今将这 种包装了的器皿连续扔三次，求器皿打破的概率？
2
例1 两台机床加工同一种零件共100个，结果如下： 实验者 合格品数 次品数 总 计
第一台机床加工数
第二台机床加工数 总 计
35
50 85
5
10 15
40
60 100
3
设
A=“从100个零件中任取一个为合格品”， B=“从100个零件中任取一个是第一台机床加工的”， 求(a)P(A)和P(B)； (b)P(AB)； (c)P(A|B)和P(B|Ac). 解:(a)P(A)=85/100=0.85，
解 设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、 丙车间生产的产品；事件B表示抽到的一个产品是 次品，则问题即为求P(A1|B)，P(A2|B)，P(A3|B).
由条件概率的定义，并利用乘法定理和全概率公式 得
P( A1 B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A1 | B) 3 P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
P( B) P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
22
n
证 因A1+A2+…+AnB，故 B=B(A1+A2+…+An)=BA1+ BA2+…+BAn.
由于A1,A2,…,An互不相容，故BA1,BA2,…,BAn也 互不相容. 由概率加法公式和乘法定理得
P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
概率论与数理统 计
第二章 条件概率与独立性
1
第二章
条件概率与独立性
2.1 条件概率、乘法定理 在实际问题中，除了要考虑事件A的概率P(A)而外， 还要考虑事件A在“某事件B已经发生”这一附加条 件下的概率.这样的概率，人们称之为条件概率， 记为P(A|B).相应地，将P(A)称为无条件概率. 严格说来，概率都是有条件的，因为试验都是在一 组固定的条件下进行的. 我们这里所说的条件，无非是指在原有的一组固定 条件外再增加一个附加条件:“B发生”.
由此在前面1.3.2古典概率一节中证明过的7条概率 性质都适用于条件概率.
11
由条件概率的定义式立即可得 P(AB)=P(B)P(A|B)，P(B)>0. 类似地有 P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)>0.
这就是所谓的概率乘法公式，这个结论可以写成下 面的定理. 定理2.2(乘法定理)两个事件积的概率等于其中一 个事件的概率与另一事件在前一事件发生条件下的 条件概率的乘积，即 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).
8
定理2.1 条件概率P(AB)/P(B)(P(B)>0)满足概率 公理化定义中的公理1~3.
证明 (ⅰ)P(A|B)=P(AB)/P(B)≥0. (ⅱ)P(S|B)=P(SB)/P(B)=P(B)/P(B)=1.
(ⅲ)设事件A1,A2,…,An ,…是互不相容的，则 A1B,A2B,…,AnB,… 也互不相容. 因此 P{(A1+A2+…+An +…)|B} =P(A1|B)+P(A2|B)+…+P(An|B)+….
这就证明了条件概率的完全可加性.
9
P{( A1 A2 An ) | B} P{( A1 A2 An ) B} P( B) P( A1 B A2 B An B ) P( B) P( A1 B) P( A2 B) P( An B) P( B)
0.4 0.6 0.6 0.6 0.4 0.9 0.976
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第二章
条件概率与独立性
2.2 全概率公式
在概率的计算中，人们是希望通过已知的简单事件 的概率去求未知的较复杂事件的概率. 在这里，全概率公式起了很重要的作用，先看一个 例子.
例1 设袋中装有十个阄，其中8个是白阄，两个是 有物之阄.甲、乙二人依次抓取一个，求每人抓得 有物之阄的概率？
P( A1 | B) P( A2 | B) P( An | B)
这就证明了条件概率的完全可加性.
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由于条件概率满足概率公理化定义中的三条公理， 所以由这些公理推得的一切结果对于条件概率同样 成立. 即 推论1 P(Φ |B)=0.
推论2 设A1,A2,…,An是互不相容的事件，则 P {(A1+A2+…+An +…)|B} =P(A1|B)+P(A2|B)+…+P(An|B). 推论3 0≤P(A|B)≤1.
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解 设A、B分别为甲、乙抓得有物之阄的事件. 显然，P(A)= 2/10，下面求P(B). 因为B只有当A发生或Ac发生时才能发生，即 BA+Ac， 所以 B=B(A+Ac)=BA+BAc. 因 A与Ac 互不相容，故 BA与BAc 也互不相容，
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由概率加法公式和乘法定理得
5
而式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) 即
P( AB) P( A | B) ( P( B) 0) P( B)
注意式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)>0) 的成立不是偶然的，是普遍规律，下面就古典概率 的情况证明之.
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设样本空间S={e1,e2,…,en}，其中导致A，B和AB 发生的基本事件分别为m ，k ，r个(r≤m，r≤k).
P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
23
n
P( An ) P( B | An )
例2 一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产 品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%， 40%，而产品中的次品率分别为5%，4%，2%.今将这 些产品混在一起，并随机地抽取一个产品，问它是 次品的概率为多少？ 解 设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、 丙车间生产的产品；事件B表示抽到的一个产品是 次品. 由于BA1+A2+A3，且A1,A2,A3互不相容，故由全 概率公式 3
故
P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )P( An | A1 A2 An1 )
P( A1 A2 An ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A1 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 An1 )
P( B) P( BA) P( BA ) P( A) P( B | A) P( A ) P( B | A ) 2 1 8 2 2 1 10 9 10 9 10 5
此结果说明，抓到有物之阄的概率与抓阄的次序无 关，它的一般情况已在古典概率的例题中进行了介 绍.
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从例1求P(B)的过程看，关键是利用互不相容的事 件A与Ac，A+AcB，把B分解为BA与BAc之和，然 后利用概率加法公式和乘法定理求得P(B). 一般有下面的定理. 定理2.4 (全概率公式)设A1,A2,…,An是互不相容 的事件，且P(Ai )>0(i=1,2,…,n)，若对任一事件B， 有A1+A2+…+AnB，则
P(B)=40/100=0.40；
(b)P(AB)=35/100=0.35；
(c)P(A|B)=35/40=0.875， P(B|Ac)=5/15≈0.333.
4
比较(a)与(c)中的结果 P(A)=0.85，P(A|B)=0.875 ； P(B)=0.40 ，P(B|Ac)= 1/3≈0.333； 可见 P(A|B)>P(A)，而P(B|Ac)<P(B). 这说明条件概率与无条件概率一般是不等的，且谁 大谁小也不能肯定. 由例1的结果 P(A|B)=0.875，P(AB)=0.35， P(B)=0.40 还可以验证下面的式子成立： P(A|B)= P(AB)/P(B)(P(B)>0)
如果B发生，则导致B发生的k个基本事件中有一个 出现，在这个条件下导致A发生的基本事件仅有r个. 故
r r / n P( AB) P( A | B) k k/n P( B)
同理可证
P( AB) P( B | A) ( P( A) 0) P( A)
7
但是，这个普遍规律不能在一般的情况下用纯数学 的方法推导出来，下面就将它作为条件概率的定义， 叙述如下： 定义2.1 设A和B为任意两个事件，且P(B)>0，则 称比值 P(AB)/P(B) 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作 P(A|B)=P(AB)/P(B).