导数与圆锥曲线内容总结

高二下学期期中复习一、导数1．导数的概念：f ′（x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.2．导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. ⑴函数f(x)在点x 0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x 0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。

如f(x)=x 在x=0有切线，但不可导。

⑵函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0),切线方程为y －f(x 0)=f ′(x 0)(x －x 0)如：①（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.（2x －y +4=0）.②点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）. 当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）； 当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）.∴α∈［0，2π）∪［43π，π）.3.求导公式：C ′=0（C 为常数）；（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x）′=e x; （a x）′=a xln a ;（ln x ）′=x 1;（log a x ）′=x1log a e.. 4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'=c f '（x ）. ;（uv ）′=u ′v +uv ′;（v u ）′=2vv u v u '-' （v ≠0）. 5．导数的应用：（一）.用导数求函数单调区间的一般步骤. ⑴确定函数f(x)的定义区间； ⑵求函数f(x)的导数f ′(x)；⑶令f ′(x)>0，或者“0≥”所得x 的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间； 令f ′(x)<0，或者“0≤”得单调减区间.特别注意：已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。

如：1.已知a >0，函数f （x ）=x 3－ax 在［1，+∞）上是单调增函数，则a 的最大值是A.0B.1C.2D.3 解析：f '（x ）=3x 2－a 在［1，+∞ ）上，f '（x ）≥0恒成立，即a ≤3x 2在［1，+∞）上恒成立，∴a ≤3. 答案：D ，评述：f （x ）在该区间上为增（减）函数⇒f '（x ）≥0（≤0）在该区间上恒成立，. 2．.若函数y =－34x 3+bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________.解析：y ′=－4x 2+b ，若y ′值有正、有负，则b >0. 答案：b >03.设f （x ）=x 3－22x －2x +5.（1）求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈［1，2］时，f （x ）<m 恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）f '（x ）=3x 2－x －2=0，得x =1，－32.在（－∞，－32）和［1，+∞)上'()f x >0，f （x ）为增函数；在［－32，1］上f '（x ）<0，f （x ）为减函数.所以所求f （x ）的单调增区间为（－∞，－32]和［1，+∞)，单调减区间为［－32，1］.（2）当x ∈［1，2］时，显然f '（x ）>0，f （x ）为增函数，f （x ）≤f （2）=7.∴m >7.（二）.用导数求函数极值与最值的一般步骤.1.若函数f （x ）有导数，它的极值可在方程f '（x ）=0的根处来考查，求函数y =f （x ）的极值方法如下： ①求函数的定义域②求导数f '（x ）；③求方程f '（x ）=0的根；④检查f '（x ）在方程f '（x ）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y =f （x ）在这个根处取得极小值；如果左正右负，那么函数y =f （x ）在这个根处取得极大值.2.比较函数在闭区间［a ，b ］内所有的极值，以及f （a ）和f （b ），最大者为最大值，最小者为最小值.如：.直线y =a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有三个互不相同的公共点，求a 的取值范围. 解：先求函数f （x ）的单调区间，由f '（x ）=3x 2－3=0，得x =±1.当x <－1或x >1时，f '（x ）>0；当－1<x <1时，f '（x ）<0. ∴在（－∞，－1）和（1，+∞）上，f （x ）=x 3－3x 是增函数；在（－1，1）上，f （x ）=x 3－3x 是减函数，由此可以作出f （x ）=x 3－3x 的草图（如图）.由图可知，当且仅当－2<a <2时，直线y =a 与函数f （x ）=x 3－3x 的图象有三个互不相同的公共点.（06.山东卷）设函数f (x )=a x －(a +1)ln(x +1)，其中a ≥-1，求f (x )的单调区间。

解：由已知得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，且'1()(1),1ax f x a x -=≥-+ （1）当10a -≤≤时，'()0,f x <函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减，（2）当0a >时，由'()0,f x =解得1.x a ='()f x 、()f x 随x 的变化情况如下表从上表可知当1(1,)x a ∈-时，'()0,f x <函数()f x 在1(1,)a-上单调递减. 当1(,)x a ∈+∞时，'()0,f x >函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增. 综上所述：当10a -≤≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递减.当0a >时，函数()f x 在1(1,)a -上单调递减，函数()f x 在1(,)a+∞上单调递增. 点评：分类讨论是高考的热点之一，要揣摩其分类的原因和标准。

四、定积分： 1.定积分定义:⎰∑=-=bai ni f nab dx x f )(lim )(1ξ,(一般了解即可) 2.定积分的几何意义: 当f(x)在[]b a ,上大于0时,⎰badx x f )(表示由直线0),(,=≠==y b a b x a x ,和曲线f(x)y =所围成曲边梯形的面积; 当f(x)在[]b a ,上小于0时,⎰badx x f )(表示由直线0),(,=≠==yb a b x a x ,和曲线f(x)y =所围成曲边梯形的面积的相反数.注意:有些定积分可通过几何意义求出,如求0-⎰,因为0-⎰表示41圆的面积,故-⎰=π.3.定积分的性质:①=⎰ba dx x kf )(k ⎰badx x f )(;②⎰±b a dx x f x f ])(21）（［=⎰badx x f )(1±⎰badx x f )(2③⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )( (其中b c a <<)4.微积分基本定理:⎰badx x f )(=)()()(a F b F x F b a -=(其中)()(x f x F =').如：计算由直线4y x =-与曲线22y x =所围成的平面图形的面积（先求出交点坐标A （2，－2）B （8，4），法一对x 积分需要分段积分，法二对y 积分不需要分段积分，答案为：18）二、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如(1)已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 抛物线的定义：平面上到定点的距离等于到定直线的距离的动点的轨迹。

特别要注意：解题时要尽量多的考虑使用定义。

如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）；焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。

如：已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆，则k 的取值范围为（答：11(3,)(,2)22---）；（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。

如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）； （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。