实数综合应用(讲义及答案)

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初中数学第六章实数(讲义及答案)及答案

A．①②③④B．①②④C．②④D．②
8．已知|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，则x+y的值为（）
A．1或﹣1B．-5或5C．11或7D．-11或﹣7
9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+ B．2+ C．2 ﹣1D．2 +1
24．定义：若两个有理数a，b满足a＋b＝ab，则称a，b互为特征数．
（1）3与互为特征数；
（2）正整数n(n＞1)的特征数为；（用含n的式子表示）
（3）若m，n互为特征数，且m＋mn＝－2，n＋mn＝3，求m＋n的值．
25．在已有运算的基础上定义一种新运算：，的运算级别高于加减乘除运算，即的运算顺序要优先于运算，试根据条件回答下列问题．
10．若a、b为实数，且满足|a－2|＋＝0，则b－a的值为( )
A．2B．0C．－2D．以上都不对
二、填空题
11．[x)表示小于x的最大整数，如[2.3)=2，[ 4)= 5，则下列判断：①[ )= ；②[x) x有最大值是0；③[x) x有最小值是 1；④x [x) x，其中正确的是__________（填编号）．
12．a是的整数部分，b的立方根为-2，则a+b的值为________．
13．若，则mn的值为____.
14．若实数a、b满足，则 =_____．
15．对于有理数a，b，规定一种新运算：a※b=ab+b，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a※b=b※a，则a=b；③方程（x﹣4）※3=6的解为x=5；④（a※b）※c=a※（b※c）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．

7年级上册数学第三章《实数的运算综合》讲义

【3.1 平方根】1、平方根的含义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

即a x =2，x 叫做a 的平方根。

2、平方根的性质与表示 ⑴ 表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。

⑵ 1、一个正数有两个平方根：a ± （根指数２省略）2、０有一个平方根，为０，记作00=3、负数没有平方根⑶ 平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a 的平方根的运算。

a a =2=⎩⎨⎧-a a 00<≥a a ()a a =2（0≥a ）⑷ a 的双重非负性 0≥a 且0≥a （应用较广） Eg ：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸ 如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

拓展：两次根式的运算区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4= ４开平方后，得____【典型例题】1、 25的平方根是，算术平方根是．=+412_________ ． 2、已知2x =100，则x= ．已知2+x =2，则2)2(+x =______．3、如果一个非负数的平方根是2a-1和a-5,则这个数是________．4、下列说法中，正确的个数是（）① ±5是25的平方根 ② 49的平方根是－7 ③ 8是16的算术平方根 ④ －3是9的平方根A ．1B ．2C ．3D ．45、已知实数a 、b 、c 满足，2|a-1|+2b c ++2)21(-c =0,,求a+b+c 的值.6、若12112--+-=x x y ，求x ，y 的值。

7、已知325y 2+--=x ,求x 取何值时，y 有最大值。

【学生练习1】1、522y 2++-+-=x x x ，求x y 的平方根和算术平方根。

2、若0|2|1=-++y x ，求x+y 的值。

中考数学第六章实数(讲义及答案)含答案

中考数学第六章实数(讲义及答案)含答案一、选择题 1．如图将1、2、3、6按下列方式排列．若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则(5,4)与(15,8)表示的两数之积是（）．A ．1B ．2C ．3D ．62．已知x 、y 为实数，且34x ++（y ﹣3）2＝0．若axy ﹣3x ＝y ，则实数a 的值是（）A ．14B ．﹣14C ．74D ．﹣743．下列选项中的计算，不正确的是( )A ．42=±B ．382-=-C ．93±=±D ．164= 4．下列数中π、227，﹣3，3343，3.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），0.3中，无理数的个数是（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（）A ．3B ．-3C ．±3D ．±9 6．下列计算正确的是（） A ．21155⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B ．()239-= C ．42=± D ．()515-=- 7．下列命题中，真命题的个数有（）①带根号的数都是无理数； ②立方根等于它本身的数有两个，是0和1；③0.01是0.1的算术平方根； ④有且只有一条直线与已知直线垂直A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．如图，数轴上的点E ，F ，M ，N 表示的实数分别为﹣2，2，x ，y ，下列四个式子中结果一定为负数是（）A ．x +yB ．2+yC ．x ﹣2D ．2+x 9．在实数：3.14159364，1.010010001....，4.21••，π，227中，无理数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．比较552、443、334的大小( ) A ．554433234<< B ．334455432<< C ．553344243<<D ．443355342<< 二、填空题11．已知a n ＝()211n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)．12．将1,2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则（20，9）表示的数的相反数是___13．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．14．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则 315746454=，请根据上面的材料可得359319=_________．15．实a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()2a b b a ++-=___________.16．已知，a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+＝_____． 17．3是______的立方根；81的平方根是________32=__________．18．将2π93-272这三个数按从小到大的顺序用“<”连接________． 19．34330035.12=30.3512x =-，则x =_____________．20．如果36a =b 7的整数部分，那么ab =_______．三、解答题21．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：(1)线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程)(2)这个图形的目的是为了说明什么?(3)这种研究和解决问题的方式体现了的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)A ．数形结合B ．代入C ．换元D ．归纳22．已知32x y --的算术平方根是3，26x y +-的立方根是2,37的整数部分是z ，求42x y z ++的平方根．23．定义：若两个有理数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则称a ，b 互为特征数．（1）3与互为特征数；（2）正整数n (n ＞1)的特征数为；（用含n 的式子表示）（3）若m ，n 互为特征数，且m ＋mn ＝－2，n ＋mn ＝3，求m ＋n 的值．24．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOA ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．25．已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且2110|2|02ab a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，点P 是数轴上的一个动点．（1）求出A 、B 之间的距离；（2）若P 到点A 和点B 的距离相等，求出此时点P 所对应的数；（3）数轴上一点C 距A 点36c 满足||ac ac =-．当P 点满足2PB PC =时，求P 点对应的数．26．阅读下列解题过程：为了求23501222...2+++++的值，可设23501222...2S =+++++，则2345122222...2S =+++++，所以得51221S S -=-，所以5123505121:1222...221S =-+++++=-，即；仿照以上方法计算：（1）2320191222...2+++++= .（2）计算：2320191333...3+++++（3）计算：101102103200555...5++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】首先从排列图中可知：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，然后抽象出第5排第4个数，第15排第8个数，然后可以得到答案．【详解】解：(5,4)表示第5排从左往右第4，(15,8) 表示第15排第8个数，从上面排列图中可以看出奇数行1排在最中间，所以第15行最中间是1，且为第8个，所以1和．故本题选B ．【点睛】本题是规律题的呈现，考查学生的从具体情境中抽象出一般规律，考查学生观察与归纳能力．2．A解析：A【分析】()230y -=可得：34030x y +=⎧⎨-=⎩，据此求出x 、y 的值，然后把求出的x 、y 的值代入axy-3x=y ，求出实数a 的值即可．【详解】()230y -=，∴34030xy+=⎧⎨-=⎩，解得433xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∵axy-3x=y，∴a(﹣43)·3-3×(﹣43)＝3，∴﹣4a+4＝3，解得a＝14．故选：A．【点睛】本题考查了算数平方根平方数的非负性，利用非负数性质求x、y的值是解决问题的关键．3．A解析：A【分析】根据平方根与立方根的意义判断即可．【详解】解：2=2=±错误，本选项符合题意；2=-，本选项不符合题意；C. 3=±，本选项不符合题意；D. 4=，本选项不符合题意.故选：A.【点睛】本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．4．C解析：C【解析】【分析】根据无理数的概念解答即可.【详解】解:在π、2273.1416，3.2121121112…（每两个2之间多一个1），0.3中,无理数是: π3.2121121112…（每两个2之间多一个1），共3个，故选C.【点睛】本题考查了无理数的定义.注意带根号的数与无理数的区别:带根号的数不一定是无理数,带根号且开方开不尽的数一定是无理数.是有理数中的整数.5．C解析：C【分析】根据操作步骤列出方程，然后根据平方根的定义计算即可得解.【详解】由题意得：23522x -=，∴29x =，∵2(39)±=，∴3x =±，故选：C .【点睛】此题考查平方根的定义，求一个数的平方根，利用平方根的定义解方程，正确理解计算的操作步骤得到方程是解题的关键. 6．B解析：B【分析】根据有理数的乘方以及算术平方根的意义即可求出答案．【详解】解：A.211525⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，选项A 运算错误，不符合题意； B.()239-=，正确，符合题意；2=，所以，选项C 运算错误，不符合题意；D.()511-=-，所以，选项D 运算错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的运算以及求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． 7．A解析：A【分析】开方开不尽的数为无理数；立方根等于本身的有±1和0；算术平方根指的是正数；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直.【详解】仅当开方开不尽时，这个数才是无理数，①错误；立方根等于本身的有：±1和0，②错误；0.1是0.01的算术平方根，③错误；在同一平面内，过定点有且只有一条直线与已知直线垂直，④错误故选：A【点睛】本题考查概念的理解，解题关键是注意概念的限定性，如④中，必须有限定条件：在同一平面内，过定点，才有且只有一条直线与已知直线垂直.8．C解析：C【分析】根据点E，F，M，N表示的实数的位置，计算个代数式即可得到结论．【详解】解：∵﹣2＜0＜x＜2＜y，∴x+y＞0，2+y＞0，x﹣2＜0，2+x＞0，故选：C．【点睛】本题考查了实数，以及实数与数轴，弄清题意是解本题的关键．9．B解析：B【分析】有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判断出无理数有哪些即可．【详解】解：因为3.14159，227是有限小数，4.21是无限循环小数，所以它们都是有理数；=4，4是有理数；因为1.010010001…，π=3.14159265…，所以1.010010001…，π，都是无理数．综上，可得无理数有2个：1.010010001…，π．故选：B．【点睛】本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．10．C解析：C【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可【详解】解：255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，∵32＜64＜81，∴255＜433＜344．故选：C ．【点睛】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．二、填空题11．．【解析】【详解】根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=．解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an ）=．“ 解析：12++n n ．【解析】【详解】根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=131221-4211+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=314221-29321+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，…，所以可得：b n =12++n n ．解：根据以上分析b n =2（1-a 1）（1-a 2）…（1-a n ）=12++n n ． “点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a 的值，要注意a 中n 的取值．12．【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列解析：【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【详解】（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，÷=……，即1中第三个数∵1994493故答案为．【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．13．5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：5【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.故答案为：5．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．【分析】首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.【详解】由103＝1000，1003＝1000000，就能确定是2位数．由解析：39【分析】首先根据一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，然后一次确定十位数，即可求得立方根.【详解】由103＝1000，1003＝10000002位数．由59319的个位上的数是99，如果划去59319后面的三位319得到数59，而33＝27、43＝64339．故答案为：39【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键．15．【解析】由数轴得，a+b<0,b-a>0,|a+b|+=-a-b+b-a=-2a.故答案为-2a.点睛：根据，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小解析：2a-【解析】由数轴得，a+b<0,b-a>0,=-a-b+b-a=-2a.故答案为-2a.点睛：根据,0,0a aaa a≥⎧=⎨-<⎩，推广此时a可以看做是一个式子，式子整体大于等于0,把绝对值变为括号;式子整体小于0，把绝对值变为括号，前面再加负号.最后去括号，化简. 16．【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∵c、d互为相反数，∴c+d＝0，∴＝﹣1+0+1＝0．解析：【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【详解】∵a、b互为倒数，∴ab＝1，∵c、d互为相反数，∴c+d＝0，∴1＝﹣1+0+1＝0．故答案为：0．【点睛】此题考查倒数以及相反数的定义，正确把握相关定义是解题关键．17．±9 2-【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；解：∵ ，∴3是27的立方根；∵ ，∴81的平方根是；∵ ，∴；故答案为：2解析：【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵3327= ，∴3是27的立方根；∵2(9)81±= ，∴81的平方根是9± ；2< ，22=故答案为：27，9±，；【点睛】本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．18．＜＜【分析】先根据数的开方法则计算出和的值，再比较各数大小即可．【详解】==，==，∵＞3＞2，∴＜＜，即＜＜，故答案为：＜＜【点睛】本题考查实数的大小比较，正确化简得出和的值是解解析：3＜2π先根据数的开方法则计算出3的值，再比较各数大小即可．【详解】33=22=32-=32， ∵π＞3＞2，∴22＜32＜2π＜2π，＜2π 【点睛】的值是解题关键． 19．－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添解析：－0.0433【分析】三次根式变化规律为：三次根号内的式子扩大或缩小1000倍，则得到的结果扩大或缩小10倍，根据规律可得x 的值．【详解】从35.12变为－0.3512，缩小了100倍，且添加了“－”∴根据规律，三次根式内的式子应该缩小1000000倍，且添加“－”故答案为：－0.0433【点睛】本题考查三次根式的规律，二次根式规律类似：二次根号内的式子扩大或缩小100倍，则得到的结果扩大或缩小10倍．20．12【分析】先根据算术平方根的定义求出a 的值，再根据无理数的估算得出b 的值，然后计算有理数的乘法即可．，即的整数部分是2，即则故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的解析：12【分析】先根据算术平方根的定义求出a的值，再根据无理数的估算得出b的值，然后计算有理数的乘法即可．【详解】a==6<<479<<<<23∴的整数部分是2，即2b=ab=⨯=则6212故答案为：12．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、无理数的估算，根据无理数的估算方法得出b的值是解题关键．三、解答题21．；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.【分析】（1）首先根据勾股定理求出线段OB的长度，然后结合数轴的知识即可求解；（2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．【详解】解：(1)OB2＝12+12＝2，∴OB，∴OA＝(2)数轴上的点和实数是一一对应关系(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．故选A.【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．22．6±【分析】根据算术平方根、立方根的定义列出二元一次方程组，之后对方程组进行求解，得到x 和y 的值，再根据题意得到z 的值，即可求解本题．【详解】解：由题意可得3x 29268y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得54x y =⎧⎨=⎩，36<<67∴<<， 6z ∴=，424542636∴++=⨯++⨯=x y z ，故42x y z ++的平方根是6±．【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义． 23．（1）32；（2）1n n -；（3）13 【分析】（1）设3的特征数为b ，根据特征数的定义列式求解即可；（2）设n 的特征数为m ，根据特征数的定义列式求解即可；（3）根据m ，n 互为特征数得出m ＋n ＝mn ，结合已知的两个等式进行求解即可．【详解】解：（1）设3的特征数为b ，由题意知，33b b +=，解得，32b =， ∴3与32互为特征数，故答案为：32 （2）设n 的特征数为m ，由题意知，n ＋m ＝nm ，解得，1n m n =-， ∴正整数n (n ＞1)的特征数为1n n -，故答案为：1n n - （3）∵ m ，n 互为特征数，∴ m ＋n ＝mn ，又m ＋mn ＝－2 ①，n ＋mn ＝3 ②，①＋②得，m ＋n ＋2mn ＝1，∴ m ＋n ＋2(m ＋n )＝1，∴ m ＋n ＝13．【点睛】本题考查了新定义的运算，正确理解特征数的定义是解题的关键．24．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由见解析．【分析】（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；（2）根据运动速度得到OQ=t ，OP=8-2t ，根据△ODP 与△ODQ 的面积相等列方程求解即可；（3）由∠AOC=90°，y 轴平分∠GOD 证得OG ∥AC ，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，得到∠FHC=∠ACE ，∠FHO=∠GOD ，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC ，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC.【详解】（180b -=，∴a-b+2=0，b-8=0，∴a=6，b=8，∴A （0，6），C （8，0）；故答案为：（0，6），（8，0）；（2）由（1）知，A （0，6），C （8，0），∴OA=6，OB=8，由运动知，OQ=t ，PC=2t ，∴OP=8-2t ，∵D （4，3）， ∴114222ODQ D S OQ x t t =⨯=⨯=△， 1182312322ODP D S OP y t t =⨯=-⨯=-△（），∵△ODP与△ODQ的面积相等，∴2t=12-3t，∴t=2.4，∴存在t=2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：∵x轴⊥y轴，∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°，∴∠OAC+∠ACO=90°.又∵∠DOC=∠DCO，∴∠OAC=∠AOD.∵x轴平分∠GOD，∴∠GOA=∠AOD.∴∠GOA=∠OAC.∴OG∥AC，如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，∴HF∥AC，∴∠FHC=∠ACE.∵OG∥FH，∴∠GOD=∠FHO，∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC，即∠GOD+∠ACE=∠OHC，∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，坐标系中的动点问题，平行线的判定及性质定理，是一道较为综合的题型.25．（1）12；（2）-4；（3）226--或1466-【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）根据A和B所对应的数，可得AB中点所表示的数，即为点P所表示的数；（3）根据题意可以得到c的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P对应的数.【详解】解：（1）∵2110|2|0 2ab a⎛⎫++-=⎪⎝⎭，∴11002ab +=，20a -=，解得：a=2，b=-10， ∴A 、B 之间的距离为：2-（-10）=12；（2）∵P 到A 和B 的距离相等，∴此时点P 所对应的数为：()21042+-=-；（3）∵|ac|=-ac ，a=2＞0，∴c ＜0，又|AC|=∴c=2-BC=12-∵2PB PC =，①P 在BC 之间时，点P 表示(2101223-+⨯-=--②P 在C 点右边时，点P 表示(1021214-+⨯-=-∴点P 表示的数为：2--或14-【点睛】本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别．26．（1）202021-；（2）2020312-；（3）201101554-. 【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【详解】解：（1）根据2350511222...221+++++=-得：2320191222...2+++++=202021-（2）设2320191333...3S =+++++，则234202033333...3S =+++++，∴2020331S S -=-， ∴2020312S -= 即：2020232019311333 (32)-+++++= （3）设232001555...5S =+++++，则23420155555...5S =+++++，∴201551S S -=-， ∴201514S -=即：20123200511555 (5)4-+++++= 同理可求⸫10123100511555 (5)4-+++++= ∵1011021032002320023100555...51555...5)(1555...5)++++=+++++-+++++（ 201101201101101102103200515155555 (5444)---∴++++=-= 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．。

中考数学专题复习第2讲实数的运算(含详细参考答案)

20XX 年中考数学专题复习第二讲：实数的运算【基础知识回顾】一、实数的运算。

1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有、、、、、和共六种，运算顺序是先算，再算，最后算，有括号时要先算，同一级运算，按照的顺序依次进行。

2、运算法则：加法：同号两数相加，取的符号，并把相加，异号两数相加，取的符号，并用较大的减去较小的，任何数同零相加仍得。

减法，减去一个数等于。

乘法：两数相乘，同号得，异号得，并把相乘。

除法：除以一个数等于乘以这个数的。

乘方：(-a ) 2n +1 =(-a ) 2n =3、运算定律：加法交换律：a+b=加法结合律：(a+b)+c=乘法交换律：ab=乘法结合律：（ab ）c=分配律：（a+b ）c=二、零指数、负整数指数幂。

0a = （a ≠0） a -p=（a ≠0）【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。

2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（31）-1=】三、实数的大小比较：1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照的原则进行比较以外，，还有比较法、比较法等，两个负数大的反而小。

2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为。

【名师提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可的大小，可以先确定10和65以式灵活选用。

如：比较的取值范围，然后得结论：10+265-2。

】【重点考点例析】考点一：实数的大小比较。

例1 a ，小数部分为b ，则代数式a 2-a-b 的值为．例2 已知甲、乙、丙三数，甲=5=3+，丙=1+小关系，下列何者正确？（）A ．丙＜乙＜甲B ．乙＜甲＜丙C ．甲＜乙＜丙D ．甲=乙=丙对应训练1．12的负的平方根介于（）A ．-5与-4之间B ．-4与-3之间C ．-3与-2之间D ．-2与-1之间2．已知a 、b 为两个连续的整数，且a ＜b ，则a+b=．考点二：实数的混合运算。

中考数学一轮复习第六章实数知识归纳总结及答案

中考数学一轮复习第六章实数知识归纳总结及答案一、选择题1．对于实数a ，我们规定，用符号a ⎡⎤⎣⎦表示不大于a 的最大整数，称a ⎡⎤⎣⎦为a 的根整数，例如：93⎡⎤=⎣⎦，103⎡⎤=⎣⎦．我们可以对一个数连续求根整数，如对5连续两次求根整数：5221．若对x 连续求两次根整数后的结果为1，则满足条件的整数x 的最大值为( ) A ．5B ．10C ．15D ．162．下列结论正确的是（） A ．无限小数都是无理数 B ．无理数都是无限小数 C ．带根号的数都是无理数 D ．实数包括正实数、负实数 3．下列结论正确的是（） A ．64的立方根是±4 B ．﹣18没有立方根 C ．立方根等于本身的数是0 D ．327-＝﹣34．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A ＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m 、n ，再取这两个数的相反数，那么，所有A 的和为（） A ．4mB ．4m +4nC ．4nD ．4m ﹣4n5．有理数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论成立的是（）A ．a+b> 0B ．a －b> 0C ．ab>0D ．0ab> 6．下列各式的值一定为正数的是（） A ．aB ．2aC ．2(100)a -D ．20.01a +7．下列各式正确的是( ) A 164=±B 1116493= C 164-=- D 164=8．下面说法错误的个数是（）①a -一定是负数；②若||||a b =，则a b =；③一个有理数不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．在实数227，0，﹣4，2中，是无理数的是（） A ．227B ．0C ．﹣4D ．210．如图，数轴上的点E ，F ，M ，N 表示的实数分别为﹣2，2，x ，y ，下列四个式子中结果一定为负数是（）A ．x +yB ．2+yC ．x ﹣2D ．2+x二、填空题11．已知a n ＝()211n +(n ＝1，2，3，…)，记b 1＝2(1－a 1)，b 2＝2(1－a 1)(1－a 2)，…，b n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，则通过计算推测出表达式b n ＝________ (用含n 的代数式表示)． 12．符号“f ”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f （1）＝0，f （2）＝1，f （3）＝2，f （4）＝3，…；（2）f （12）＝2，f （13）＝3，f （14）＝4，f （15）＝5，… 利用以上规律计算：1(2019)()2019f f ____． 13．如果一个有理数a 的平方等于9，那么a 的立方等于_____． 14．若实数a 、b 满足240a b +-=，则ab=_____． 15．对于这样的等式：若（x +1）5＝a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x +a 5，则﹣32a 0+16a 1﹣8a 2+4a 3﹣2a 4+a 5的值为_____．16．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab +b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）． 17．23(2)0y x --=，则y x -的平方根_________．18．3是______的立方根；81的平方根是________32=__________．19．设a ，b 都是有理数，规定 3*=a b a b ()()48964***-⎡⎤⎣⎦=__________．20．若一个正数的平方根是21a +和2a +，则这个正数是____________．三、解答题21．读一读，式子“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示从1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1＋3＋5＋7＋9＋…＋99，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为501(21)n n =-∑，又知13＋23＋33＋43＋53＋63＋73＋83＋93＋103可表示为1031n n=∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．（1）2＋4＋6＋8＋10＋…＋100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符合可表示为_________．（2）1＋12＋13＋…＋110用求和符号可表示为_________．（3）计算6211n n =-∑()＝_________．(填写最后的计算结果)22．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果a x =N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x =log a N ，例如：32=9，则log 39=2，其中a =10的对数叫做常用对数，此时log 10N 可记为lgN ．当a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0时，log a (M •N )=log a M +log a N ． (I )解方程：log x 4=2； (Ⅱ)log 28=(Ⅲ)计算：(lg 2)2+lg 2•1g 5+1g 5﹣2018= (直接写答案) 23．阅读理解：计算1111234⎛⎫+++ ⎪⎝⎭×11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭﹣111112345⎛⎫++++ ⎪⎝⎭×111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭时，若把11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭与111234⎛⎫++ ⎪⎝⎭分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：解：设111234⎛⎫++⎪⎝⎭为A ，11112345⎛⎫+++ ⎪⎝⎭为B ，则原式=B （1+A ）﹣A （1+B ）=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=15．请用上面方法计算： ①11111123456⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭×111111234567⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭-1111111234567⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭×1111123456⎛⎫++++ ⎪⎝⎭②111123n ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭111231n ⎛⎫+++⎪+⎝⎭-1111231n ⎛⎫++++⎪+⎝⎭11123n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭． 24．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n aa a a a ÷÷÷÷个（a≠0）记作a ，读作“a 的圈n 次方”．初步探究（1）直接写出计算结果：2③=________，1)2-（⑤=________；（2）关于除方，下列说法错误的是________A ．任何非零数的圈2次方都等于1；B ．对于任何正整数n ，1=1；C ．3④=4③D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．（﹣3）④=________；5⑥=________；1)2-（⑩=________．（2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于________；（3）算一算：()3242162÷+-⨯④．25．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：操作一：（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： 3表示的点与数表示的点重合；②若数轴上A 、B 两点之间距离为8（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 、B 两点表示的数分别是__________________；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.26．观察下列解题过程：计算231001555...5+++++ 解：设231001555...5S =+++++① 则23410155555....5S =+++++② 由-②①得101451S =-101514S -∴= 即10123100511555 (5)4-+++++= 用学到的方法计算：2320191222...2+++++【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】对各选项中的数分别连续求根整数即可判断得出答案．【详解】解：当x=5时，5221，满足条件；当x=10时，10331，满足条件；当x=15时，15331，满足条件；当x=16时，16442，不满足条件；∴满足条件的整数x 的最大值为15，故答案为：C ．【点睛】本题考查了无理数估算的应用，主要考查学生的阅读能力和理解能力，解题的关键是读懂题意．2．B解析：B利用无理数，实数的性质判断即可．【详解】A、无限小数不一定是无理数，错误；B、无理数都是无限小数，正确；C、带根号的数不一定是无理数，错误；D、实数包括正实数，0，负实数，错误，故选：B．【点睛】考核知识点：实数.理解实数的分类是关键.3．D解析：D【分析】利用立方根的定义及求法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、64的立方根是4，原说法错误，故这个选项不符合题意；B、﹣18的立方根为﹣12，原说法错误，故这个选项不符合题意；C、立方根等于本身的数是0和±1，原说法错误，故这个选项不符合题意；D＝﹣3，原说法正确，故这个选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了立方根的应用，注意：一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根．4．C解析：C【分析】根据题意得到m，n的相反数，分成三种情况⑴m，n；-m，-n ⑵m，-m；n，-n⑶m，-n；n，-m 分别计算，最后相加即可.【详解】解：依题意，m，n（m＜n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2nm，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n故选：C．【点睛】本题主要考查了新定义的理解，注意分类讨论是解题的关键.5．B【解析】根据数轴的意义，由图示可知b＜0＜a，且|a|＜|b|，因此根据有理数的加减乘除的法则，可知a+b＜0，a-b＞0，ab＜0，ab＜0.故选B.6．D解析：D【分析】任何数的绝对值都是一个非负数.非负数(正数和0)的绝对值是它本身，非正数(负数和0)的绝对值是它的相反数.任何数的平方都是大于等于0的.【详解】选项A中，当a=0，则a=0；选项B中，当a=0，则a²=0；选项C中，当a=100，则(a-100)²=0；选项D中，无论a取何值，a²+0.01始终大于0.故选：D.【点睛】此题考查绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题关键在于掌握其性质.7．D解析：D【分析】根据算术平方根的定义逐一判断即可得解.【详解】4=，故原选项错误；=，故原选项错误；D. 4=，计算正确，故此选项正确.故选D.【点睛】此题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义.8．C解析：C【分析】①举例说明命题错误；②举例说明命题错误；③根据有理数的概念判断即可；④根据有理数的概念判断即可.①当a≤0时，-a≥0，故-a 一定是负数错误；②当a=2，b=-2时， ||||a b = ,但是a≠b ，故②的说法错误； ③一个有理数不是整数就是分数，此选项正确；④一个有理数不是正数就是负数还有可能是0，故④的说法错误. 所以错误的个数是3个. 故答案为C 【点睛】本题考查了有理数的概念，熟练掌握概念是解题的关键.9．D解析：D 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：227是分数，属于有理数，故选项A 不合题意； 0是整数，属于有理数，故选项B 不合题意；2=-，是整数，属于有理数，故选项C 不合题意；是无理数，故选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是关键．10．C解析：C 【分析】根据点E ，F ，M ，N 表示的实数的位置，计算个代数式即可得到结论．【详解】解：∵﹣2＜0＜x ＜2＜y ，∴x +y ＞0，2+y ＞0，x ﹣2＜0，2+x ＞0，故选：C ．【点睛】本题考查了实数，以及实数与数轴，弄清题意是解本题的关键．二、填空题 11．．【详解】根据题意按规律求解：b1=2(1-a1)=，b2=2(1-a1)(1-a2)=，…，所以可得：bn=．解：根据以上分析bn=2（1-a1）（1-a2）…（1-an ）=． “解析：12++n n ．【解析】【详解】根据题意按规律求解：b 1=2(1-a 1)=131221-4211+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，b 2=2(1-a 1)(1-a 2)=314221-29321+⎛⎫⨯== ⎪+⎝⎭，…，所以可得：b n =12++n n ．解：根据以上分析b n =2（1-a 1）（1-a 2）…（1-a n ）=12++n n ． “点睛”本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b 值时要先算出a 的值，要注意a 中n 的取值．12．-1 【分析】根据新定义中的运算方法求解即可．【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…， ∴f(2019)＝2018．∵f()＝2，f()＝3，f()＝4，f()解析：-1 【分析】根据新定义中的运算方法求解即可．【详解】∵f(1)＝0，f(2)＝1，f(3)＝2，f(4)＝3，…， ∴f(2019)＝2018． ∵f(12)＝2，f(13)＝3，f(14)＝4，f(15)＝5，…， ∴1()2019f 2019，∴1(2019)()2019f f2018-2019=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了新定义运算，明确新定义的运算方法是解答本题的关键．13．±27【分析】根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．【详解】∵（±3）2=9，∴平方等于9的数为±3，又∵33=27，（-3）3=-27．故答案为±27．【点睛】本题考查了解析：±27【分析】根据a的平方等于9，先求出a，再计算a3即可．【详解】∵（±3）2=9，∴平方等于9的数为±3，又∵33=27，（-3）3=-27．故答案为±27．【点睛】本题考查了平方根及有理数的乘方．解题的关键是掌握平方根的概念及有理数乘方的法则. 14．﹣【解析】根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则=﹣．故答案是﹣．解析：﹣12【解析】根据题意得：a+2=0，b-4=0，解得：a=-2，b=4，则ab=﹣12．故答案是﹣12．15．-1．【分析】根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．【详解】解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+解析：-1．【分析】根据多项式的乘法得出字母的值，进而代入解答即可．【详解】解：（x+1）5＝x5+5x4+10x3+10x2+5x+1，∵（x+1）5＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，∴a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1，把a0＝1，a1＝5，a2＝10，a3＝10，a4＝5，a5＝1代入﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5中，可得：﹣32a0+16a1﹣8a2+4a3﹣2a4+a5＝﹣32+80﹣80+40﹣10+1＝﹣1，故答案为：﹣1【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是根据题意求得a0，a1，a2，a3，a4，a5的值. 16．①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b ，两式解析：①③【解析】【分析】题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．【详解】(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；a※b=ab+b，b※a=ab+a，若a=b，两式相等，若a≠b，则两式不相等，所以②错误；方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6，解得x=5，所以③正确；左边=(a※b)※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c右边=a※（b※c）=a※(b×c+c)=a(b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c2两式不相等，所以④错误．综上所述，正确的说法有①③．故答案为①③.【点睛】有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．17．【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.【详解】解：，且，∴y-3=0，x-2=0，．．的平方根是．故答案为：.【点睛】此题考查算术平解析：±1【分析】根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.【详解】解：23(2)0y x -+-=20,(2)0x -≥，∴y-3=0，x-2=0，3,2y x ∴==．1y x ∴-=．y x ∴-的平方根是±1．故答案为：±1.【点睛】此题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x 与y 的值是解题的关键.18．±9 2-【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵ ，∴3是27的立方根；∵ ，∴81的平方根是；∵ ， ∴；故答案为：2解析：【分析】根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；【详解】解：∵3327= ，∴3是27的立方根；∵2(9)81±= ，∴81的平方根是9± ；2< ，22=故答案为：27，9±，；【点睛】本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．19．1【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】∵，∴=（）（）=（2+2）（3-4）=4（-1）==2-1=1．故答案为：1【点睛】本题考查平方解析：1【分析】根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案．【详解】∵*=a b∴()()48964***-⎡⎤⎣⎦=*）=（2+2）*（3-4）=4*（-1）==2-1=1．故答案为：1【点睛】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 20．1【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.【详解】由题意得2a+1+a+2=0，解得a=-1,∴a+2=1解析：1【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数，由此即可列式2a+1+a+2=0，求出a 再代回一个根再平方即可得到该正数.【详解】由题意得2a+1+a+2=0，解得a=-1,∴a+2=1,∴这个正数是22(2)11a +==，故答案为：1.【点睛】此题考查平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 三、解答题21．（1）5012n n =∑；（2）1011n n =∑；（3）50【分析】（1）根据题中的新定义得出结果即可；（2）根据题中的新定义得出结果即可；（3）利用题中的新定义将原式变形，计算即可得到结果．【详解】解：解：（1）根据题意得：2+4+6+8+10+ (100)5012nn =∑；（2）1＋12＋13＋…＋110=1011nn=∑；（3）原式=1-1+4-1+9-1+16-1+25-1+36-1=85．故答案为：（1）5012nn =∑；（2）1011nn =∑；（3）85．【点睛】此题考查了有理数的加法和减法运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．22．(I) x=2；(Ⅱ) 3； (Ⅲ) -2017.【分析】(I)根据对数的定义，得出x2=4，求解即可；(Ⅱ)根据对数的定义求解即；；(Ⅲ)根据log a(M•N)=log a M+log a N求解即可．【详解】(I)解：∵log x4=2，∴x2=4,∴x=2或x=-2(舍去)(Ⅱ)解：∵8=23，∴log28=3,故答案为3；(Ⅲ)解：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018= lg2•( lg2+1g5) +1g5﹣2018= lg2 +1g5﹣2018=1-2018=-2017故答案为-2017.【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，是一道关于新定义运算的题目，解答本题的关键是理解给出的对数的定义．23．（1）17；（2）11n+.【解析】【分析】①根据发现的规律得出结果即可；②根据发现的规律将所求式子变形，约分即可得到结果．【详解】（1）设1111123456⎛⎫++++ ⎪⎝⎭为A ，111111234567⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭为B ，原式=（1+A ）B ﹣（1+B ）A=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=17；（2）设11123n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭为A ，111231n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭为B ，原式=（1+A ）B ﹣（1+B ）A=B+AB ﹣A ﹣AB=B ﹣A=11n +．【点睛】考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．初步探究（1）12；—8；（2）C ；深入思考（1）213；415；28；（2）21n a-；（3）—1．【解析】试题分析：理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果．试题解析：概念学习（1）2③=2÷2÷2=，（﹣）⑤=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=1÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=（﹣2）÷（﹣）÷（﹣）=﹣8故答案为，﹣8；（2）A 、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A 正确； B 、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1；所以选项B 正确；C 、3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，则 3④≠4③；所以选项C 错误；D 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D 正确；本题选择说法错误的，故选C ；深入思考：（1）（﹣3）④=（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=1×（）2=；5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=1×（）4=；（﹣）⑩=（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）=1×2×2×2×2×2×2×2×2=28；故答案为，，28．（2）a ⓝ=a ÷a ÷a…÷a=1÷a n ﹣2=．（3）：24÷23+（﹣8）×2③=24÷8+（﹣8）×=3﹣4=﹣1．【点睛】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．25．（1）2 (2)①23--5，3（3）71937,,288 【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O ，可以得出-2与2重合；（2）根据对称性找到折痕的点为-1， 3a 表示的点重合，根据对称性列式求出a 的值；②因为AB=8，所以A 到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A 、B 两点表示的数；（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x ，如图1，当AB ：BC ：CD=1：1：2时，所以设AB=a ，BC=a ，CD=2a ，得a+a+2a=9，a=94，得出AB 、BC 、CD 的值，计算也x 的值，同理可得出如图2、3对应的x 的值．【详解】操作一，（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，∴折痕为原点O ，则-2表示的点与2表示的点重合，操作二：（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，则折痕表示的点为-1，3表示的点与数a 表示的点重合，则3-（-1）=-1-a，a=-2-3；②∵数轴上A、B两点之间距离为8，∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，∵A在B的左侧，则A、B两点表示的数分别是-5和3；操作三：（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，设AB=a，BC=a，CD=2a，a+a+2a=9，a=94，∴AB=94，BC=94，CD=92，x=-1+94+98=198，如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，设AB=a，BC=2a，CD=a，a+a+2a=9，a=94，∴AB=94，BC=92，CD=94，x=-1+94+94=72，如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，设AB=2a，BC=a，CD=a，a+a+2a=9，a=94， ∴AB=92，BC=CD=94， x=-1+92+98=378，综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是198或72或378． 26．22020−1【分析】根据题目提供的求解方法进行计算即可得解．【详解】设S ＝2320191222...2+++++①则2S ＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020，② ②−①得，S ＝（2＋22＋23＋…＋22019＋22020）-（2320191222...2+++++）=22020−1 即2320191222...2+++++=22020−1．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，读懂题目信息，理解并掌握求解方法是解题的关键．。

1.实数及其运算的知识点习题和答案

初中数学实数及其运算的知识点主要包括以下内容：1.实数的定义：①实数包括有理数和无理数。

②有理数是可以表示为两个整数之比的数（整数、小数、分数）。

③无理数是不能表示为两个整数之比的数（如π、√2等）。

2.实数在数轴上的表示：①实数可以在数轴上直观地表示，正数在原点右侧，负数在原点左侧，零在原点。

3.实数的性质：①实数的顺序性：实数可以比较大小。

②实数的封闭性：实数在加减、乘除（除数不为零）运算后仍然得到实数。

③实数的分配律、结合律和交换律：这些性质使得实数的运算符合代数的规则。

4.实数的运算：加法：①同号相加，取相同符号，和的绝对值为两个绝对值之和。

②异号相加，取绝对值较大的数的符号，和的绝对值为两数绝对值的差。

③加法结合律和交换律。

减法：①减去一个数等于加上这个数的相反数。

乘法：①同号相乘得正，异号相乘得负。

②乘法结合律和交换律。

除法：①除以一个数等于乘以这个数的倒数（除数不为零）。

②除法的除数不为零。

5.实数的乘方和开方：①乘方：a^n表示n个a相乘。

②开方：√a表示找到一个数，使得它的平方等于a（非负实数）。

6.实数的乘方根：①立方根：∛a表示找到一个数，使得它的三次方等于a。

②四次方根：∜a表示找到一个数，使得它的四次方等于a。

7.实数的绝对值：①实数a的绝对值记为|a|，表示a与0的距离，总是非负的。

8.实数的运算顺序：①先乘除，后加减。

②如果有括号，先计算括号内的表达式。

9.实数的有理数和无理数的性质：①有理数可以表示为分数，无理数不能。

②无理数包括无限不循环小数。

10.实数的应用：①实数在几何、物理、经济等领域的应用。

练习题知识点1：实数的定义和分类填空题1.实数1.5可以表示为分数______。

2.√9的平方是______。

算数题1.计算：(-2) + 32.计算：2 ×(-4)3.计算：(-3) ÷64.计算：√(16) + √(25)5.计算：(-3)^26.计算：(√2)^27.计算：(-5)^3知识点2：实数在数轴上的表示选择题1.在数轴上，0的右边是______。

实数综合应用(讲义及答案).

2 2 2 5 5 2 31 实数综合应用（讲义）➢ 课前预习1. 在数轴上把下列各数表示出来：2， -， 1 ， 3 ，-3， 1.5，-21． 2请根据以上结果写出- ，分别介于哪两个连续整数之间：＜ -＜；＜＜．➢ 知识点睛 1. 估值2. 无理数的整数部分与小数部分若 a 是一个无理数，m 为整数，且 a 在 m 和m +1这两个连续整数之间，即m < a < m +1，则 a 的整数部分为 m ，小数部分为 a -m ．例：求解：∵2＜ ∴1＜ ∴ -1的整数部分与小数部分．＜3，-1＜2，-1的整数部分为 1，小数部分为( -1) -1 = - 2 ．3. 实数比较大小的方法：估值法、作差法、乘方法．➢ 精讲精练 1.若 10 在两个连续整数 a 和 b 之间，即 a ＜ a +b =．＜b ，则2. 满足- ＜x ＜的整数 x 是．3.- 2 的值（）A ．在 1 和 2 之间B ．在 2 和 3 之间C ．在 3 和 4 之间D ．在 4 和 5 之间5 5 5 5 5 5 5 10 5 背记：2 ≈ 1.4143 ≈ 1.732 5 ≈ 2.23627 12 5 10 3 13 13 2 3 5 3 4.- 的值在（）2.1 和 2 之间 B ．2 和 3 之间 C ．3 和 4 之间D ．0 和 1 之间5.+ 2 ⨯ 的值在（）A ．5 和 6 之间B ．6 和 7 之间C ．7 和 8 之间D ．8 和 9 之间6. 若2 + 的整数部分是 a ，小数部分是 b ，则 a = ，b =． 7. 若4 + 和4 - 的小数部分分别是 a 和 b ，则 a +b =．8. 用适当的方法比较大小．（1） + 3 与 - 3 ；（2）7- 与 + 3 ；（3）5 -1 与 1；（4） 2 - 与3 -1； 2 22（5） -7 - 289 与-8 ；（6） 3与2 ；（7）与 2.5；（8）与 3 25 ；（9） -5 与-4 ；（10） -4 与-5 ；7 87 10 2 3 98 2 3 57 5 2 13 7 2 2 2 2 3 3 3 83 （11） + 与 + ；（12） + 与 + 3．9. ，，12的大小关系是（） 5A ．＜＜12 5B ．12 ＜＜ 5C ．＜12 ＜ 5D ． 33 ＜12 ＜ 510. ， 37 ， 7 的大小关系是（）47A ．＜ 7 ＜4 B. 7 ＜ 4 ＜ 3 7 C ．＜ 7 ＜ 3 7 D ． 37 ＜ 7 ＜ 4 411. 下列说法正确的是（）A ．无限小数都是无理数B ．-125 没有立方根C. 正数的两个平方根互为相反数 D ．算术平方根等于它本身的数只有 0 12. 下列说法正确的是（）A ．一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B ．一个有理数的立方根，不是正数就是负数C . 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是-1， 0，1 中的一个D .如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数一定是 1或者 013. 下列说法：①-1 是 1 的平方根；② 的立方根 2；③(-2)2的算术平方根是 2；④无理数分为正无理数、0、负无理数； ⑤两个无理数的和还是无理数．其中正确的有．（填序号）10 11 3 3 3 3 3 3 3 3 23 3 32 8 2 29 418- n 2 14. 下列说法：① -1的相反数是- +1；②数轴上的每个点都表示一个有理数；③不带根号的数都是有理数；④无理数就是开方开不尽的数；⑤若 a ，b 都是无理数，则|a |+|b |一定是无理数．其中不正确的有 15. 下列计算正确的是（）．（填序号）A ． - =B ．27 + 3 12 = + = 5C ． (2 +5)(2 -5) = -3D ． 6 - 2 = 3 216. 有一个数值转换器，原理如下：当输入的 x 为 64 时，输出的y 是．17. 用教材中的计算器进行计算，开机后依次按果输入如图的程序中，则输出的结果是．把显示结18. 若 19. 若是正整数，则 n 的最小整数值为．是正整数，则 n 的最大整数值为．20. 如图，大正方形的面积为 8，则它的边长为，小正方形的面积为 2，则它的边长为，借助这个图形，可以得到大正方形的边长是小正方形边长的 2 倍，即 = 2 ．请你设计一个图形解释= 2 ． 22 224n 8 2 8 1 2 3 x 2 =3 【参考答案】 ➢ 课前预习1. 数轴表示略；-2，-1；2，3.➢ 精讲精练1. 72. -1，0，1，23. C4. A5.B6. 3， 17. 18. （1）＜（2）＜（3）＞（4）＜（5）＜（6）＜（7）＜（8）＜（9）＜（10）＜（11）＞（12）＜9. B10. C 11. C 12. C 13. ①③ 14. ②③④⑤ 15. A 16. 2 17. 7 18. 6 19. 17 20. 略2。

第3讲实数的运算及分数指数幂(讲义)解析版

第3讲实数的运算及分数指数幂模块一：近似数的精确度.知识精讲知识点：有关概念1．准确数概念：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．2．近似数概念：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）3．精确度概念：近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．☆近似数的精确度通常有两种表示方法：（1）精确到哪一个数位；（2）保留几个有效数字．4．有效数字概念：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．例题解析例1.一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______．【难度】★1.732；四； 1、7、3、2．≈，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2．1.732【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.例2.写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?1)2000； 2）4.523亿；3）5⨯；4）0.00125．7.3310【难度】★【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；3)有效数字：7、3、3，精确到千位；4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．例3.用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________；（2）12.975(精确到百分位) ≈_________；（3）548203(精确到千位) ≈_________；（4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________．【难度】★【答案】（1）0.00844；（2）12.98；（3）55.4810⨯；（4）65.36610⨯．【解析】（1）0.00844；（2）12.98；（3）55.4810⨯；（4）65.36610⨯．【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．例4.已知 3.1415926π=，按四舍五入法取近似值．（1）π≈__________（保留五个有效数字）；（2）π≈_________（保留三个有效数字）；（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．【难度】★★【答案】（1）3.1416；（2）3.14；（3）0.0453或24.5310-⨯．【解析】（1）3.1416；（2）3.14；（3）0.0453或24.5310-⨯．【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．例5.用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别? 【难度】★★【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位.【总结】本题主要考查了精确度的概念．例6.下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？（1）2000 （2）0.6180（3）7.20万（4）51010.5⨯ 解：（1）精确到个位，有4个有效数字：2、0、0、0；（2）精确到万分位，有4个有效数字：6、1、8、0；（3）精确到百位，有3个有效数字：7、2、0；（4）精确到千位，有3个有效数字：5、1、0．例7：地球表面积约为81011.5⨯平方千米，平均每平方千米的地球表面上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧8103.1⨯千克煤所产生的能量．一年内，地球从太阳得到的能量约相当于燃烧_______________千克煤产生的能量（保留3个有效数字）．解：一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1616881064.610643.6103.11011.5⨯≈⨯=⨯⨯⨯例8.废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米．【难度】★★ 【答案】4310⨯．【解析】45060030000310⨯==⨯．【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．模块二：分数指数幂知识精讲1、有理数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)mna a =≥(0)m naa -=>，其中、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么（1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=；（2）()p q pq a a =；（3）()pppab a b =，()pp p a a b b=．例题解析例1.把下列方根化为幂的形式：（1；（2）（3；（4）（5；（6．【难度】★【答案】（1）132；（2）1310-；（3）145；（4）137；（5）13a -；（6）12()a -．【解析】（1132=；（2）1310-；（3）218455=；（4）137=；（513a ==-；（612()a =-．【总结】本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算．例2.把下列分数指数幂化为方根形式：（1）131()27-；（2）238()27；（3）121()16-；（4）1132(64)．【难度】★【答案】（1）（2（3）（4【解析】（1）13127⎛⎫-=⎪⎝⎭；（2）23827⎛⎫=⎪⎝⎭（3）12116⎛⎫-=⎪⎝⎭（4）111362(64)64=【总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换．例3.化简：（1）111362a a a÷⋅；（2）8【难度】★【答案】（1）13a；（2）71338x y．【解析】（1）11111113623632a a a a a-+÷==；（2）1211111171 44233333366338888x y x y x y x y x y x y===．【总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算．例4.计算下列各值：（1（2）201713(4aa+．【难度】★★【答案】（1）565；（2）1-．【解析】（1151362555⨯=；（2）因为3030a a-≥-≥，，所以3a=，所以3a=或3-，因为30a-≠，所以3a=-．故当3a=-时，原式()2017133143⎛⎫⨯-⎪==-⎪-⎪⎪⎝⎭．【总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算．例5.计算下列各值：（1）1225232---（2）11222[(2(2]-++．【难度】★★【答案】（1）12-；（2）16．【解析】（1）1225232---4923=---+12=-；（2）()()21122 22-⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=16=．【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用公式进行．例6.计算：（1；（2）1112444111()()()242a a a-⋅++；（3）1521216636333(2)(4)x y x y x y÷-⨯．【难度】★★【答案】（1）a；（2）144116a⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）166x y-．【解析】（111113342341211121212a a a a aa aa a++===；（2）1114442111242a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114442241114416a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）231521166363324x y x y x y ⎛⎫⎛⎫÷-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1225111633663666x y x y -+-+=-=-．例7.已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+. 【难度】★★★【答案】（1；（2）【解析】（1）13x x -+=， 21112225x x x x --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，又11220x x-+>， 1122x x-∴+=（2）()3311122221x xx x x x ---⎛⎫+=++-= ⎪⎝⎭【总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值．例8.若11112333342133a a a a ---=⨯⨯++，求的值．【难度】★★★ 【答案】198．【解析】()111133334214212a =⨯⨯=⨯⨯=， 1231111933332488a a a ---∴++=⨯+⨯+=．【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算．例9.已知122a =，132b =，123c =，133d =，试用a b c d 、、、的代数式表示下列各数值．（1；（2 （3；（4【难度】★★★【答案】（1）20a ；（2）10d；（3）23b ；（4）【解析】（11220220a =⨯=；（213131010d=⨯=；（312112333334323223b =⨯=⨯=⨯⨯=；（411114222232(3)22c c ⨯=⨯==．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题．例10.已知：210(0)x xxxxa a a a a a --+=>-，求的值．【难度】★★★ 【答案】119．【解析】222112121021010x x x x a a a a --+=++=++=（），又0x x a a -+>，x x a a -∴+=， 222181 21021010x x x x a a a a ---=+-=+-=（），又0x xa a-->， x xa a-∴-， 119x x x x a a a a --+∴=-．【总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用．例11.材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n a aa 个记为n a ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若n a b =（0a >且 1a ≠，0b >），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）；（1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______；（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?log log a a M N +=______；（且1a ≠，M ＞0，N ＞0）．【难度】★★★【答案】（1）2，4，6；（2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=；（3）log ()a MN ．【解析】（1）2log 42=，2log 16=4，2log 646=；（2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=；（3）log log log ()a a a M N MN +=．【总结】本题考查学生对新概念的理解及运用．模块三：实数的运算知识精讲在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：a =(0,0)ab a b =≥≥0,0)a b =≥>；2(0)a a =≥．例题解析例的整数部分为a ，小数部分为b ，则ab =_________．【难度】★【答案】9-．【解析】253<<，2a ∴=，5b =22)9a b ∴==-【总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用．例2计算：（1）1230.1)3(2)-⎡⨯---+⎣；（2）20152014(76)(67)+-；（3）3．【难度】★★【答案】（1）19；（2；（3）【解析】（1）1233(2)-⎡⨯---⎣）221410982(6)1339=-÷-⨯++=-÷-⨯=（）（-）；（2）2015201420152014=()201476=-=（3）3=⎤⎤⎦⎦22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()235-+=．【总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算．例3.-．【难度】★★【答案】2===【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简．例4.计算：（1）11032238[1(0.2)]4271000π--+--⨯-÷（2112133211127883---⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）7208-；（2）32．【解析】（1）原式2111111()3125125167⎡⎤=+--⨯-÷⎢⎥⎣⎦11723721201688=⨯-⨯=-=-；（2）原式()9382296922=----=+-=．【总结】本题主要考查了实数的混合运算．例5.已知实数x 、y 满足1142(3)(5)0x y x y -+++-=，求51238x y -+的值．【难度】★★ 【答案】5．【解析】14(3)0x y -+≥，12(5)0x y +-≥， 3050x y x y -+=⎧∴⎨+-=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩， 51238325x y -∴+=+=．【总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用．例6.已知实数a 、b 、x 、y 满足21y a +=-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．【难度】★★★ 【答案】17．【解析】21y x a +-=-，21y a ∴=-，231x y b -=--，2222311x a b a b ∴-=---=--，223+0x a b ∴-=，0a ∴=，0b =，3x =， 1y ∴=，40222+217x y a b ++∴+==．【总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用．例7.先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +====()a b >，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=即227+=2=（12；（3．【难度】★★★【答案】（1；（2）3-；（3）．【解析】（113m=，42n=，6713+=，6742⨯=，即2213+===（211m=，24n=，3811+=，3824⨯=，即2211+==3；（3=59m=，864n=，322759+=，3227864⨯=，即2259+===．【总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值．例8.已知111333421a=++，求12333a a a---++的值．【难度】★★★【答案】1．【解析】设132b=，则3211111ba b bb b-=++==--，11a b -∴=-， 11b a -∴=+，3131231=33+1b a a a a ----∴=+++（），12333211a a a ---∴++=-=．【总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用．随堂检测1.下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）A ．BC ．D ．【难度】★ 【答案】C【解析】12(0)x x =->，故选项A 错误；13(0)y y -<，故选项B 错误；13x-=D 错误．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化． 2.下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字? （1）2015；（2）0.6180；（3）7.20万；（4）55.1010⨯．【难度】★【答案】（1）精确到个位，有四个有效数字；（2）精确到万分位，有四个有效数字；（3）精确到百位，有三个有效数字；（4）精确到千位，有三个有效数字．【解析】（1）精确到个位，有四个有效数字为2、0、1、5；12()(0)x x =->13(0)y y =<340)xx -=>130)x x -=≠（2）精确到万分位，有四个有效数字为6、1、8、0；（3）精确到百位，有三个有效数字为7、2、0；（4）精确到千位，有三个有效数字为5、1、0．【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．3.把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：4，，7，322-，343，324-，237．【难度】★【答案】432；123--；754；356；【解析】4432=；1212133-=-=-；7754=；356=；3232122-=；343=3232144-=；237【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．4.比较大小：（1）与；（22【难度】★★【答案】（1（22>【解析】（1）22-8=-0=，（2）22(2+-1110=+-10=>，2 62+53+【总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小．5.把下列方根化为幂的形式．（1（2；（3）．【难度】★★【答案】（1）582；（2）5766a b；（3）111144a b．【解析】（1582==；（25766a b==；（3）311111124444a a a a ab a b=⋅=．【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．6.计算：（1）2334(9)；（2）113339⨯；（3）1442(35)÷；（4）11632(32)-⨯；（5）833324(25)⨯；（6）7511266323(2)x y x y÷．【难度】★★【答案】（1）3；（2）3；（3）925；（4）98；（5）400；（6）116634x y．【解析】（1）231342(9)93==；（2）1112333339333⨯=⨯=；（3）1442229 (35)3525÷=÷=；（4）11623329 (32)328--⨯=⨯=；（5）83342324(25)251625400⨯=⨯=⨯=；a（6）751752111266366366233(2)344x y x y x y xy x y ÷=÷=．【总结】本题主要考查了分数指数幂的运算，注意法则的准确运用．7.利用幂的性质运算：（1）111222133()()()5525-⨯⨯；（2；（3）【难度】★★【答案】（1）15；（2）4；（3）18．【解析】（1）1111122222111222 1331331 ()()()552555525---⨯⨯=⨯⨯=；（2213236222224 =⨯÷==；（3）1211333362332239218⨯⨯⨯⨯=⨯=．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．8.计算：（1（2）111111332222113113⎛⎫⎛⎫-⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）20142015⋅；（4）)11-+-．【难度】★★【答案】（1）763；（2）2；（3（4）1-【解析】（1763 =；（2）111 1111333 2222113113(113)2⎛⎫⎛⎫-⋅+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）201420152014(32)⋅=-=（4）)11-+11=．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．9. 计算：10.7513(0.027)16(3)-+++-+解：原式=10.38113++-+=29730+0221)(1-÷⨯解：原式2111(12+⨯⨯312-+=1211. 解方程：()()3291216-=--x答案：123123,88x x ==- 12.解方程：38(21)125x -=答案：7413. 已知a 、b为整数，且满足)(136a b +-=+a b +的值。

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实数综合应用（讲义）
课前预习
1. 在数轴上把下列各数表示出来，并按从小到大的顺序进行排列：
2
，13
-3，1.5，1
2
2-
-3-2-10123
请根据以上结果写出
_____<
． 2. 去绝对值：
①看____，定____；②依法则，留_____；③去括号，合并．按照去绝对值的操作要领处理下列问题：已知有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，化简：
1a b a b b +---+-．
精讲精练
1.
2的值（） A ．在1和2之间
B ．在2和3之间
C ．在3和4之间
D ．在4和5之间
2. a 和b
之间，即a b ，则a +b = ．
3.
） A ．1和2之间
B ．2和3之间
C ．3和4之间
D ．0和1之间
4. a
，小数部分是b b -=________．
5. 若7a ，小数部分是b ，则a =_____， b =_____．
6. 若
9的小数部分分别是a 和b ，则a +b =____．
7. 设7，5的小数部分分别为a ，b ，则22
44b a b a -+-的值为______________．
8. 若a
，b
2a =+a
b =________．
9. 用适当的方法比较大小．
（1）37+与387- （2
）7
3
（3）与0.5
（4）72-与8-
（5
与（6
（7）53与35
（8
（9 （10（113
（12 （13）671-与251- （14）132-与121
-
10. 521的大小关系是（）
A 521
B ．52152
1
D 521
11. 现有四个无理数5，6，7，8，其中在实数2+1和3+1之间的有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12.
a c b
++-．
13. 已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，
c
a
b
14. 当x ≤01x --
15. 已知a ，b ，c 为△ABC 2c a b
--
16. 0
=，则x 的取值范围是__________．
实数综合应用（习题）
巩固练习
1. 下列判断正确的是（）
A ．若
x y
=，则x =y
B ．若x<y ，则x <y
C ．若x
=2
，则x=y D ．若x =y ，则3
x =3y
2. 下列说法正确的是（）
A ．2是最小的正无理数
B ．绝对值最小的实数不存在
C ．两个无理数的和不一定是无理数
D ．有理数与数轴上的点一一对应 3.
估算6 ）
A ．在1和2之间
B ．在2和3之间
C ．在3和4之间
D ．在4和5之间
4.
满足x
x 是__________________． 5.
_________，小数部分为________．
6.
已知8x ，小数部分为y ，则2xy -y 2=_____． 7. 比较大小：3
10____5；6____2.35．（填“>”或“<”） 8. 若实数a ，b 在数轴上所对应的点的位置如图所示，
a
b
则-2b______0，a -b _____0；-a b ______0；
化简：
3b =____________．
9. 已知25a -≤≤
．
10. 比较大小
（1
（2
2
和1 （3
（4
）72-和6-
（5
2
（6
）
（7
11. 比较下列各数的大小：2
12. 已知实数a ，b ，c 在数轴上所对应的点的位置如图所示，
a c ++．
13. 当m >3
14. 当1<x <44x -+
思考小结
1. 阅读下列材料（二分法求值），回答问题．
0.1的近似值，他想到一个办法：
1和2之间；
②取1和2中间的数1.5，把1到2以1.5为界分为两部分，通过乘方法比较大小，因为1.52=2.25，
2
3=，2.25<3 1.5和2之间；
③取1.5和2中间的数1.75，把1.5到2以1.75为界分为两部分，通过乘方法比较大小，因为
1.752
=3.062 5，
2
3=，3<3.062 5 1.5和1.75之间； ④取1.5和1.75中间的数1.625，把1.5到1.75以1.625为界分为两部分，通过乘方法比较大小，因为
1.6252
=2.640 625，
2
3=，2.640 625<3 1.625和1.75之间；
⑤按照这种方法不断地取中间数，分为两部分，然后通过乘方比较大小，可以确定1.7．
0.1）．。