初中数学-《三角形的初步认识》单元测试卷

初中数学:《三角形的初步认识》单元测试卷一、选择题（每小题3分,共30分）1．下列各组线段中,能组成三角形的是( )A．4,6,10 B．3,6,7 C．5,6,12 D．2,3,62．在△ABC中,∠A﹣∠C=∠B,那么△ABC是( )A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形3．如图所示,是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA4．如图AB⊥AD,AB⊥BC,则以AB为一条高线的三角形共有( )个．A．1 B．2 C．3 D．45．如图所示,△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的,图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形( )对．A．2 B．3 C．4 D．56．下列是命题的是( )A．作两条相交直线B．∠α和∠β相等吗？C．全等三角形对应边相等D．若a2=4,求a的值7．下列命题中,真命题是( )A．垂直于同一直线的两条直线平行B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C．三角形三个内角中,至少有2个锐角D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等8．如图,对任意的五角星,结论正确的是( )A．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=90°B．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°C．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=270°D．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=360°9．如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E．若AB=6cm,则△DEB的周长为( )A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm10．如图,BF是∠ABD的平分线,CE是∠ACD的平分线,BF与CE交于G,若∠BDC=130°,∠BGC=100°,则∠A的度数为( )A．60°B．70°C．80°D．90°二、填空题（每题3分,共30分）11．工人师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB,CD两根木条）,这样做的依据是__________．12．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：__________．13．如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE为∠BAC的平分线,且∠DAE=15°,∠B=35°,则∠C=__________°．14．如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是__________（添加一个条件即可）．15．命题“若x（1﹣x）=0,则x=0”是__________命题（填“真”、假）,证明时可举出的反例是__________．16．已知三角形的三边长分别是3、x、9,则化简|x﹣5|+|x﹣13|=__________．17．如图,在△ABC中,AB=AC,AB的中垂线DE交AC于点D,交AB于点E,如果BC=10,△DBC 的周长为22,那么AB=__________．18．如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是__________．（将你认为正确的结论的序号都填上）19．已知,∠α=50°,且∠α的两边与∠β的两边互相垂直,则∠β=__________．20．若三角形的周长为13,且三边均为整数,则满足条件的三角形有__________种．三、解答题（共40分）21．如图,已知△ABC,请按下列要求作图：（1）用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG．（2）作BC边上的高线（本小题作图工具不限）．（3）用直尺和圆规作△DEF,使△DEF≌△ABC．22．阅读填空：如图,已知∠AOB．要画出∠AOB的平分线,可分别在OA,OB上截取OC=OD,OE=OF,连结CF,DE,交于P点,那么射线OP就是∠AOB的平分线．要证明这个作法是正确的,可先证明△EOD≌△__________,判定依据是__________,由此得到∠OED=∠__________；再证明△PEC≌△__________,判定依据是__________,由此又得到PE=__________；最后证明△EOP≌△__________,判定依据是__________,从而便可证明出∠AOP=∠BOP,即OP平分∠AOB．23．证明命题“全等三角形对应边上的高相等”．24．已知：如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,MN是经过点A的直线,BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分别为D、E．（1）求证：①∠BAD=∠ACE；②BD=AE；（2）请写出BD,DE,CE三者间的数量关系式,并证明．一、选择题（每小题3分,共30分）1．下列各组线段中,能组成三角形的是( )A．4,6,10 B．3,6,7 C．5,6,12 D．2,3,6【考点】三角形三边关系．【分析】三角形的任意两边之和都大于第三边,根据以上定理逐个判断即可．【解答】解：A、∵4+6=10,不符合三角形三边关系定理,∴以4、6、10为三角形的三边,不能组成三角形,故本选项错误；B、∵3+6＞7,6+7＜3,3+7＞6,符合三角形三边关系定理,∴以3、6、7为三角形的三边,能组成三角形,故本选项正确；C、∵5+6＜12,不符合三角形三边关系定理,∴以5、6、12为三角形的三边,不能组成三角形,故本选项错误；D、∵2+3＜6,不符合三角形三边关系定理,∴以2、3、6为三角形的三边,不能组成三角形,故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了对三角形三边关系定理的应用,能熟记三角形三边关系定理的内容是解此题的关键．2．在△ABC中,∠A﹣∠C=∠B,那么△ABC是( )A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】根据三角形内角和定理得到∠A+∠B+∠C=180°,则∠A+∠B=180°﹣∠C,由∠A=∠B ﹣∠C变形得∠A+∠B=∠C,则180°﹣∠C=∠C,解得∠C=90°,即可判断△ABC的形状．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C+∠B=180°﹣∠A,而∠A﹣∠C=∠B,∴∠C+∠B=∠A,∴180°﹣∠A=∠A,解得∠A=90°,∴△ABC为直角三角形．故选D．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°,直角三角形的判定,熟记掌握三角形的内角和是解题的关键．3．如图所示,是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．【分析】由作法易得OD=O′D′,OC=O′C′,CD=C′D′,根据SSS可得到三角形全等．【解答】解：由作法易得OD=O′D′,OC=O′C′,CD=C′D′,依据SSS可判定△COD≌△C'O'D',故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定,关键是掌握全等三角形的判定定理．4．如图AB⊥AD,AB⊥BC,则以AB为一条高线的三角形共有( )个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角形的角平分线、中线和高．【分析】由于AB⊥AD,AB⊥BC,根据三角形的高的定义,可确定以AB为一条高线的三角形的个数．【解答】解：∵AB⊥AD,AB⊥BC,∴以AB为一条高线的三角形有△ABD,△ABE,△ABC,△ACE,一共4个．故选D．【点评】此题主要考查了三角形的高,三角形的高可以在三角形外,也可以在三角形内,所以确定三角形的高比较灵活．5．如图所示,△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的,图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形( )对．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】全等三角形的判定．【分析】从最简单的开始找,因为图形对折,所以首先△CDB≌△C′DB,由于四边形是长方形所以,△ABD≌△CDB．进而可得另有2对,分别为：△ABE≌△C′DE,△ABD≌△C′DB,如此答案可得．【解答】解：∵△BDC′是将长方形纸片ABCD沿BD折叠得到的,∴C′D=CD,BC′=BC,∵BD=BD,∴△CDB≌△C′DB（SSS）,同理可证明：△ABE≌△C′DE,△ABD≌△C′DB,△ABD≌△CDB三对全等．所以,共有4对全等三角形．故选C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．做题时要由易到难,循序渐进．6．下列是命题的是( )A．作两条相交直线B．∠α和∠β相等吗？C．全等三角形对应边相等D．若a2=4,求a的值【考点】命题与定理．【分析】根据命题的定义对各选项进行判断．【解答】解：A、“作两条相交直线”为描叙性语言,它不是命题,所以A选项错误；B、“∠α和∠β相等吗？”为疑问句,它不是命题,所以A选项错误；C、全等三角形对应边相等,它是命题,所以C选项正确；D、“若a2=4,求a的值”为描叙性语言,它不是命题,所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句,叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理．7．下列命题中,真命题是( )A．垂直于同一直线的两条直线平行B．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C．三角形三个内角中,至少有2个锐角D．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等【考点】命题与定理．【分析】利用垂线的性质、全等三角形的判定、锐角的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行,故错误,为假命题；B、有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等,故错误,为假命题；C、三角形的三个角中,至少有两个锐角,故正确,为真命题；D、有两边和其中一个角对应相等的两个三角形全等,错误,为假命题,故选C．【点评】本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解垂线的性质、全等三角形的判定、锐角的性质,难度不大．8．如图,对任意的五角星,结论正确的是( )A．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=90°B．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°C．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=270°D．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=360°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得到∠1=∠2+∠D,∠2=∠A+∠C,根据三角形内角和定理得到答案．【解答】解：∵∠1=∠2+∠D,∠2=∠A+∠C,∴∠1=∠A+∠C+∠D,∵∠1+∠B+∠E=180°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,故选：B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质,掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．9．如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E．若AB=6cm,则△DEB的周长为( )A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE,然后求出△DEB的周长=AB 即可得解．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,∴CD=DE,∴△DEB的周长=BD+DE+BE,=BD+CD+BE,=BC+BE,=AC+BE,=AE+BE,=AB,∵AB=6cm,∴△DEB的周长=6cm．故选B．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,等腰直角三角形的性质,熟记性质是解题的关键．10．如图,BF是∠ABD的平分线,CE是∠ACD的平分线,BF与CE交于G,若∠BDC=130°,∠BGC=100°,则∠A的度数为( )A．60°B．70°C．80°D．90°【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．【专题】探究型．【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC+∠DCB的度数,再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC+∠ACB的度数,从而不难求得∠A的度数．【解答】解：连接BC．∵∠BDC=130°,∴∠DBC+∠DCB=180°﹣130°=50°,∵∠BGC=100°,∴∠GBC+∠GCB=180°﹣100°=80°,∵BF是∠ABD的平分线,CE是∠ACD的平分线,∴∠GBD+∠GCD=∠ABD+∠ACD=30°,∴∠ABC+∠ACB=110°,∴∠A=180°﹣110°=70°．故选B．【点评】本题考查的是三角形内角和定理,根据题意作出辅助线,构造出三角形是解答此题的关键．二、填空题（每题3分,共30分）11．工人师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的AB,CD两根木条）,这样做的依据是三角形的稳定性．【考点】三角形的稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．【解答】解：这样做的依据是三角形的稳定性,故答案为：三角形的稳定性．【点评】此题主要考查了三角形的稳定性,关键是掌握当三角形三边的长度确定后,三角形的形状和大小就能唯一确定下来,故三角形具有稳定性．12．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角,那么它们相等．【考点】命题与定理．【分析】命题中的条件是两个角相等,放在“如果”的后面,结论是这两个角的补角相等,应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：对顶角,结论为：相等,故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角,那么它们相等,故答案为：如果两个角是对顶角,那么它们相等．【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式,“如果”后面是命题的条件,“那么”后面是条件的结论,解决本题的关键是找到相应的条件和结论,比较简单．13．如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE为∠BAC的平分线,且∠DAE=15°,∠B=35°,则∠C=65°．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．【分析】利用三角形内角和定理求得∠AED=75°；然后根据已知条件和三角形外角定理可以求得∠BAE的度数；最后结合三角形角平分线的定义和三角形内角和定理进行解答．【解答】解：如图,∵AD⊥BC,∴∠ADE=90°．又∵∠DAE=15°,∴∠AED=75°．∵∠B=35°,∴∠BAE=∠AED﹣∠B=40°．又∵AE为∠BAC的平分线,∴∠BAC=2∠BAE=80°,∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=65°．故答案是：65．【点评】本题主要考查三角形内角和定理,垂直的性质,角平分线的性质,关键在于熟练运用个性质定理推出相关角之间的关系．14．如图,AB=AC,要使△ABE≌△ACD,应添加的条件是∠B=∠C或AE=AD（添加一个条件即可）．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】要使△ABE≌△ACD,已知AB=AC,∠A=∠A,则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等,或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案为：∠B=∠C或AE=AD．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．15．命题“若x（1﹣x）=0,则x=0”是假命题（填“真”、假）,证明时可举出的反例是x=1．【考点】命题与定理．【分析】要证明一个命题是假命题只要举一个反例即可．【解答】解：当x=1时,x（1﹣x）=0也成立,所以证明命题“若x（1﹣x）=0,则x=0”是假命题的反例是：x=1,故答案为：假,x=1．【点评】考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解学生对反例证法的掌握情况,属于基础题,比较简单．16．已知三角形的三边长分别是3、x、9,则化简|x﹣5|+|x﹣13|=8．【考点】三角形三边关系．【分析】首先确定第三边的取值范围,从而确定x﹣5和x﹣13的值,然后去绝对值符号求解即可．【解答】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9,∴6＜x＜12,∴x﹣5＞0,x﹣13＜0,∴|x﹣5|+|x﹣13|=x﹣5+13﹣x=8,故答案为：8．【点评】本题考查了三角形的三边关系,解题的关键是能够根据三边关系确定x的取值范围,从而确定绝对值内的代数式的符号,难度不大．17．如图,在△ABC中,AB=AC,AB的中垂线DE交AC于点D,交AB于点E,如果BC=10,△DBC 的周长为22,那么AB=12．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】由AB的中垂线DE交AC于点D,交AB于点E,可得AD=BD,又由BC=10,△DBC的周长为22,可求得AC的长,继而求得答案．【解答】解：∵AB的中垂线DE交AC于点D,交AB于点E,∴AD=BD,∵△DBC的周长为22,∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=22,∵BC=10,∴AC=12．∵AB=AC,∴AB=12．故答案为：12．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用．18．如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF．给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是①②③．（将你认为正确的结论的序号都填上）【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用,只要先找出图中的全等三角形就可判断题中结论是否正确．【解答】解：∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,∴△ABE≌△ACF,∴AC=AB,BE=CF,即结论②正确；∵AC=AB,∠B=∠C,∠CAN=∠BAM,∴ACN≌△ABM,即结论③正确；∵∠BAE=∠CAF,∵∠1=∠BAE﹣∠BAC,∠2=∠CAF﹣∠BAC,∴∠1=∠2,即结论①正确；∴△AEM≌△AFN,∴AM=AN,∴CM=BN,∴△CDM≌△BDN,∴CD=BD,∴题中正确的结论应该是①②③．故答案为：①②③．【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质；对图中的全等三角形作出正确判断是正确解答本题的关键．19．已知,∠α=50°,且∠α的两边与∠β的两边互相垂直,则∠β=140°或50°．【考点】垂线．【专题】分类讨论．【分析】根据题意画出图形,然后分情况进行讨论分析即可．【解答】解：①如图1,∵∠a+∠β=180°﹣90°﹣90°=180°,∠α=50°,∴∠β=140°,②如图2,若∠a的两边分别与∠β的两边在同一条直线上,∴∠a=∠β=50°,综上所述,∠β=140°或50°．故答案是：140°或50°．【点评】本题主要考查角的计算,垂线的性质,关键在于根据题意画出图形,分情况进行讨论分析．20．若三角形的周长为13,且三边均为整数,则满足条件的三角形有4种．【考点】三角形三边关系．【分析】三角形的三边中,等边三角形三边相等；除此外,必有一边是最长边；然后首先确定第三边的取值范围,从而确定答案．【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c,则a+b=13﹣c＞c≥,∴≤c＜,故c=5,或6；分类讨论如下：①当c=5时,b=4,a=4或b=3,a=5；②当c=6时,b=5,a=2或b=4,a=3；∴满足条件的三角形的个数为4,故答案为：4．【点评】本题考查了三角形的三边关系,属竞赛题型,且涉及分类讨论的思想．解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边的理解把握．三、解答题（共40分）21．如图,已知△ABC,请按下列要求作图：（1）用直尺和圆规作△ABC的角平分线CG．（2）作BC边上的高线（本小题作图工具不限）．（3）用直尺和圆规作△DEF,使△DEF≌△ABC．【考点】作图—复杂作图．【专题】作图题．【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）画∠ACB的平分线OG；（2）过点A作AH⊥BC于H,则AH为BC边上的高；（3）先作线段EF=BC,然后分别以E、F为圆心,BA和CA为半径画弧,两弧交于点D,则△DEF 与△ABC全等．【解答】解：（1）如图1,CG为所作；（2）如图1,AH为所作；（3）如图2,△DEF为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作．22．阅读填空：如图,已知∠AOB．要画出∠AOB的平分线,可分别在OA,OB上截取OC=OD,OE=OF,连结CF,DE,交于P点,那么射线OP就是∠AOB的平分线．要证明这个作法是正确的,可先证明△EOD≌△FOC,判定依据是SAS,由此得到∠OED=∠OFC；再证明△PEC≌△PFD,判定依据是AAS,由此又得到PE=PF；最后证明△EOP≌△FOP,判定依据是SSS,从而便可证明出∠AOP=∠BOP,即OP平分∠AOB．【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．【分析】求∠AOB的平分线可利用三角形全等的性质作图．【解答】解：作法：（1）分别在OA,OB上截取OC=OD,OE=OF,连接CF,DE,交于P点,（2）连接OP即可,在△EOD与△FOC中,,∴△EOD≌△FOC（SAS）,∴∠OED=∠OFC,在△PEC与△PFD中,,∴△PEC≌△PFD（AAS）,∴PE=PF．在△EOP与△FOP中,,∴△EOP≌△FOP（SSS）,∴∠AOP=∠BOP,即OP平分∠AOB．故答案为：FOC,SAS,OFC；PFD,AAS,PF；△FOP,SSS,【点评】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的作法及全等三角形的判定定理是解答此题的关键．23．证明命题“全等三角形对应边上的高相等”．【考点】全等三角形的性质．【专题】证明题．【分析】根据图形写出已知,求证,根据全等三角形的性质求出AB=EF,∠B=∠F,根据全等三角形的判定求出△ABD≌△EFH即可．【解答】解：已知：如图,△ABC≌△EFC,AD、EH分别是△ABC和△EFC的对应边BC、FG 上的高．求证：AD=EH．证明：∵△ABC≌△EFC,∴AB=EF,∠B=∠F,∵AD、EH分别是△ABC和△EFC的对应边BC、FG上的高,∴∠ADB=∠EHF=90°,在△ABD和△EFH中,∴△ABD≌△EFH（AAS）,∴AD=EH．【点评】此题主要考查学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用能力．注意命题的证明的格式、步骤．24．已知：如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,MN是经过点A的直线,BD⊥MN,CE⊥MN,垂足分别为D、E．（1）求证：①∠BAD=∠ACE；②BD=AE；（2）请写出BD,DE,CE三者间的数量关系式,并证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）①根据∠BAD+∠CAE=90°,∠ACE+∠CAE=90°,即可得出∠BAD=∠ACE；②根据全等三角形的判定方法（AAS）得出△ABD≌△CAE,从而得出BD=AE；（2）根据△ABD≌△CAE,得出BD=AE,AD=CE,再根据AE=AD+DE,即可得出BD,DE,CE三者间的数量关系．【解答】解：（1）①∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAE=90°,∵CE⊥MN,∴∠ACE+∠CAE=90°,∴∠BAD=∠ACE；②∵BD⊥MN,∴∠BDA=∠AEC=90°,在△ABD和△CAE中,,∴△ABD≌△CAE,∴BD=AE；（2）∵△ABD≌△CAE,∴BD=AE,AD=CE,∵AE=AD+DE,∴BD=CE+DE．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,用到的知识点是AAS、直角三角形的性质,关键是通过证明两个三角形全等得出相等的线段．。