管理运筹学讲义 第5章 目标规划

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例3 某电视机厂装配彩色和黑白两种电视机，每装 配一台电视机需占用装配线1小时，装配线每周计划 开动40小时。预计市场每周彩色电视机的销量是24台， 每台可获利80元；黑白电视机的销量是30台，每台可 获利40元。该厂确定的目标为：
• 第一优先级：装配线每周开动时间不低于40小时； • 第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量 不超过10小时； • 第三优先级：装配电视机的数量尽量满足市场需要。 因彩色电视机的利润高，取其权系数为2。 • 试建立这问题的目标规划模型，并求解彩色和黑白电 视机的产量。
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例2 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基 础上考虑：首先是产品Ⅰ的产量不超过产品Ⅱ的 产量；其次是充分利用设备有效台时；再次是利 润额不小于56元。求决策方案 。
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解 按决策者所要求的，分别赋予这三个目标P1，P2， P3优先因子。这问题的数学模型是：
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3.优先因子(优先等级)与权系数
一个规划问题常常有若干目标，要求第一位达到的 目标赋予优先因子P1，次位的目标赋予优先因子P2…， 并规定Pk>>Pk+1,k=1,2,…，K。 若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这 时可分别赋予它们不同的权系数ωj。
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2 x1 x2 11 x x d d 1 0 1 2 1 x 2 x d d 1 2 2 2 10 8 x 10 x d d 2 3 3 56 1 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
第一节 多目标规划问题
二、多目标规划的提出
多目标线性规划模型的原始一般形式如下：
max(min) G1 c11 x1 c12 x2 c1n xn max(min) G2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn max(min) Gl cl1 x1 cl 2 x2 cln xn a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a x a x a x (, )b 21 1 22 2 2n n 2 s.t. a x a x a x (, )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , xn 0
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注意目标规划问题求解时，把绝对约束作最高 优先级考虑。在本例中能依先后次序都满足d1+=0， d2++d2-=0，d-3=0，因而z*=0。但在大多数问题中并 非如此，会出现某些约束得不到满足，故将目标规 划问题的最优解称为满意解。
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用图解法求得最优决策方案为：x1*=4, x2*=3, z*=62(元)。
目标函数： max z 8 x1 10 x2 2 x1 x2 11 满足约束条件： x1 2 x2 10 x , x 0 1 2
(4,3)
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4.目标规划的目标函数
当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩 小偏离目标值。因此目标规划的目标函数只能是 min z=f(d+,d-)。
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其基本形式有三种：
• (1) 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可 能地小，这时 min z=f(d++d-) • (2) 要求不超过目标值，但允许达不到目标值。这时不 希望决策值超过目标值。这时min z=f(d+) • (3) 要求不低于目标值，但允许超过目标值。这时，不 希望决策值低于目标值。这时min z=f(d-) • 对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求和赋 予各目标的优先因子来构造目标函数，以下用例子说明。
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解 设x1，x2分别表示彩色和黑白电视机的产量。 这个问题的目标规划模型为
目标函数： min z P d P d P ( 2 d d 1 1 2 2 3 3 4 )
x1 x2 d1 d1 40 x x d d 1 2 2 2 50 满足约束条件： x1 d 3 d 3 24 x d d 2 4 4 30 x1 , x2 , d i , d i 0, i 1,2,3,4
这些目标之间 相互矛盾，一 般的线性规划 方法不能求解
• 根据市场需求：
希望尽量扩大甲产品 减少乙产品产量。
maxZ1=3x1+5x2
maxZ2=x1 minZ3=x2
2x1
• 又增加二个目标：
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≤16 2x2 ≤10 3x1+4x2 ≤32 x1，x2 ≥0
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n个决策变量，m个约束条件，L个目标函数。 当L=1时，即为我们熟悉的单目标线性规划模型。
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第二节 目标规划的数学模型
为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别， 先通过例子来介绍目标规划的有关概念及数学模型。 例1 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知有关数据见下表。 试求获利最大的生产方案。
第5章 目标规划
学习要点 Sub title
了解目标规划与线性规划的异同 理解目标约束中的正负偏差变量 思考目标约束与系统约束的差异 理解目标的优先级和目标权系数 了解目标规划图解法和单纯形法
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第一节 多目标规划问题
一、线性规划的局限性
•
线性规划的局限性
只能解决一组线性约束条件下，某一目标而且只能是一个目标 的最大或最小值的问题
•
实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标
生产计划决策，通常考虑产值、利润、满足市场需求等 生产布局决策，考虑运费、投资、供应、市场、污染等
•
•
这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大的，有最小的； 有定量的，有定性的；有互相补充的，有互相对立的，LP则 无能为力。 目标规划（Goal Programming）： 多目标线性规划，含有多 个优化目标的线性规划。
目标函数： min z P d P ( d d ) P d 1 1 2 2 3 3 2
2 x1 x2 11 x x d d 2 1 1 0 1 满足约束条件： x1 2 x2 d 2 d2 10 8 x1 10 x2 d3 d3 56 x , x , d , d 0, i 1,2,3 1 2 i i
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2.绝对约束和目标约束
绝对约束是指必须严格满足的约束条件，不能满足这 些约束条件的解称为非可行解，它们是硬约束。
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目标约束是目标规划特有的，可把约束右端项看 作要追求的目标值，在达到此目标值时允许发生 偏差，因此是软约束。 8x1+10x2+d1--d1+=56 2x1+x2+d2- -d2+=11。
x1 d 2 d2 5000
x2 d 3 d 3 18000
0.0848 x1 0.0848 x2 d 4 d4 1950
x1 , x2 , d i , d i 0(i 1,2,3,4,5)
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第三节 目标规划的图解法
原材料(kg) 设备(hr) 利润(元/件)
Ⅰ 2 1 8
Ⅱ 1 2 10
拥有量 11 10
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解： 这是求获利最大的单目标的规划问题，用 x1，x2分别表示Ⅰ、Ⅱ产品的产量，其线性规划 模型表述为：
目标函数： max z 8 x1 10 x2 2 x1 x2 11 满足约束条件： x1 2 x2 10 x , x 0 1 2
lk , lk
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为权系数。
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课堂练习：
某公司经销两种货物，售出每吨甲货物可盈利202元， 乙货物可盈利175元，各种货物每吨所占用的流动资 金为683元，公司现有流动资金1200万元，货物经销中 有8.48%的损耗。公司的决策者希望下月能达到以下 目标。 （1）第一目标：盈利5030000元以上； （2）第二目标：经销甲货物5000吨以上； （3）第三目标：经销乙货物18000吨以上； （4）第四目标：经销损耗在1950吨以下。 试问应怎样决策？Βιβλιοθήκη 18石家庄经济学院
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解: 设 x1 , x 2 分别表示下月经销甲、乙货物的吨数。
min Z P1 d1 P2 d 2 P3 d 3 P4 d 4
s.t. 683x 683x 12000000 1 2
202 x1 175 x2 d1 d1 5030000
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对于例一，计划人员被要求考虑以下意见：
• （1）超过计划供应原材料时，需用高价采购，会使成本大幅 度增加。因此，原材料供应受严格限制。 • （2）根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，故考虑 产品Ⅰ的产量不超过产品Ⅱ的产量。 • （3）应尽可能充分利用设备台时。 • （4）应尽可能实现利润总额不小于56元。