精选上海市建平中学2018-2019学年高三上学期期中考试数学试题

上海市2018-2019学年建平中学高三上学期数学期中考试一.填空题1.设函数，则f（f（2））=_____【答案】-1【解析】【分析】先计算f(2)=,然后将代入解析式即可得结果.【详解】，f(2)=f（f（2））=f()=cos()=cos.故答案为：-1.【点睛】本题考查分段函数值的求法，注意需将自变量代入相应的解析式即可.2.在各项为实数的等比数列{a n}中，a5+8a2=0，则公比q的值为_____【答案】-2【解析】【分析】由等比数列的通项可得a5=-8a2=a2，计算可得公比q的值.【详解】在等比数列{a n}中，∵a5=-8a2，∴=q3=-8，∴q=-2,即公比q的值为-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用.3.若，则tanα=_____【答案】7【解析】【分析】由向量的数量积坐标公式计算整理即可得到答案.【详解】由数量积公式得=+2，=-2+，即+2=3（-2+），整理得7=，即tanα=7，故答案为：7.【点睛】本题考查向量数量积坐标公式的应用.4.设集合A={x|x2﹣2x≥0}，B={x|2x﹣1≤1}，则（∁R A）∩B=_____【答案】（0，1]【解析】【分析】解出集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【详解】集合A={x|x2﹣2x≥0}={x|x≤0或x≥2}，集合B={x|2x﹣1≤1}={x|x﹣1≤0}={x|x≤1}，∴∁R A={x|0＜x＜2}，∴（∁R A）∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．故答案为：（0，1]．【点睛】本题考查集合的交集并集的运算.5.某校邀请5位同学的父母共10人中的4位来学校介绍经验，如果这4位来自4个不同的家庭，那么不同的邀请方案的种数是_____【答案】80【解析】【分析】用分步计数原理①从5个家庭中选4个家庭；②从每个家庭中选出1个,然后相乘可得．【详解】分步进行：第一步：从5个家庭中选出4个家庭，有=5种；第二步：从选出的4个家庭的每个家庭的父母亲中选出1位来，有×××=16；根据分步计数原理得：不同的邀请方案的种数数：5×16=80．故答案为：80．【点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于简单题.有关计数原理的综合问题，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.6.从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为__________．【答案】【解析】把圆的方程化为标准方程为，得到圆心的坐标为，圆的半径，由圆切线的性质可知，，且，则，，该圆夹在两条切线间的劣弧长，故答案为.7.已知数列{a n}的前n项和S n满足：对于任意m，n∈N*，都有S n+S m=S n+m+2mn，若a1=1，则a2018=_____【答案】﹣4033【解析】【分析】根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，用特殊值法分析：令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，变形可得S n+1﹣S n=1﹣2n，再令n=2018计算可得答案．【详解】根据题意，在S n+S m=S n+m+2mn中，令m=1可得：S n+S1=S n+1+2n，又由a1=1，即S1=a1=1，则有S n+1=S n+1+2n，变形可得：S n+1﹣S n=1﹣2n，则a2018=S2018﹣S2017=1﹣2×2017=﹣4033；故答案为：﹣4033．【点睛】本题考查数列的递推公式，注意特殊值法分析数列的递推公式，属于中档题．8.已知函数的定义域为，当时，;当时，；当时，．则__________．【答案】【解析】当时，，所以当时，，故；当时，，所以；当时，，所以，故．故填.9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，若实数a满足f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2），则a的取值范围是_____【答案】【解析】【分析】由题可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合函数的奇偶性可将f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）转化为﹣2＜log2|a ﹣1|＜2，解不等式可得a的取值范围.【详解】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，∴f（log2|a﹣1|）＞f（﹣2）⇒f（|log2|a﹣1||）＞f（2）⇒|log2|a﹣1||＜2⇒﹣2＜log2|a﹣1|＜2，得＜|a﹣1|＜4，解得：﹣3＜a＜或＜x＜5，即不等式的解集为（﹣3，）∪（，5）；故答案为：（﹣3，）∪（，5）．【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题，其中利用函数的基本性质，将不等式转化f（|log2|a﹣1||）＞f（2）是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.10.在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，a2+b2=6abcosC，则 =_____【答案】4【解析】【分析】由题意利用余弦定理可得c2=（a2+b2），再利用行列式的运算、同角三角函数的基本关系，正弦定理即可求得答案．【详解】在锐角三角形ABC中，∵a2+b2=6abcosC=6ab•，∴c2=（a2+b2），则=+=tanC（+）=•（+）=====4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理、同角三角函数的基本关系，行列式的运算，属于中档题．11.已知关于x的一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，则（其中a+c≠0）的取值范围为_____．【答案】（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b将转为（a﹣b）+，利用基本不等式求得它的范围．【详解】因为一元二次不等式ax2+2x+b＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a＞0，二次函数的对称轴为x==c，△=4﹣4ab=0，∴ac=﹣1，ab=1，∴c=，b=，即c=-b,则==（a﹣b）+，当a﹣b＞0时，由基本不等式求得（a﹣b）+≥6，当a﹣b＜0时，由基本不等式求得﹣（a﹣b）﹣≥6，即（a﹣b）+≤﹣6,故（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）．【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.12.若定义域均为D的三个函数f（x），g（x），h（x）满足条件：对任意x∈D，点（x，g（x）与点（x，h（x）都关于点（x，f（x）对称，则称h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）关于f（x）的“对称函数”，且h（x）≥g（x）恒成立，则实数b的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据对称函数的定义，结合h（x）≥g（x）恒成立，转化为点到直线的距离d≥1，利用点到直线的距离公式进行求解即可【详解】∵x∈D，点（x，g（x））与点（x，h（x））都关于点（x，f（x））对称，∴g（x）+h（x）=2f（x），∵h（x）≥g（x）恒成立，∴2f（x）=g（x）+h（x）≥g（x）+g（x）=2g（x），即f（x）≥g（x）恒成立，作出g（x）和f（x）的图象，则g（x）在直线f（x）的下方或重合，则直线f（x）的截距b＞0，且原点到直线y=2x+b的距离d≥1，d=⇒b≥或（舍去）即实数b的取值范围是[，+∞），故答案为：.【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，根据对称函数的定义转化为点到直线的距离关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二.选择题13.已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A. ＞B. ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）C. sin x＞sin yD. x3＞y3【答案】D【解析】试题分析：由得:若令满足但有:所以选项A、B、C均不正确，故选D．考点：函数的单调性．14.已知点A（﹣2，0）、B（3，0），动点P（x，y）满足，则点P的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D【解析】【分析】利用向量的数量积坐标公式计算化简可得点P的轨迹．【详解】∵动点P（x，y）满足，∴（﹣2﹣x，﹣y）•（3﹣x，﹣y）=x2，∴（﹣2﹣x）（3﹣x）+y2=x2，解得y2=x+6，∴点P的轨迹是抛物线．故选：D．【点睛】本题考查利用直接法求动点的轨迹问题.15.已知数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则数列：①{2an}；②{a n2}；③；④{a n a n+1}；⑤{a n+a n+1}；等比数列的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的定义和通项公式逐项进行检验即可得出．【详解】数列{a n}是公比为q（q≠1）的等比数列，则①，不是等比数列；②=q2，故{a n2}是等比数列；③是公比为的等比数列；④{a n a n+1}是公比为q2的等比数列；⑤{a n+a n+1}不一定是等比数列，例如a n=（﹣1）n，综上等比数列的个数为3．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的定义和通项公式的应用.16.设函数f1（x）=x2，f2（x）=2（x﹣x2），，i=0，1，2，…，99．记I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，k=1，2，3，则（）A. I1＜I2＜I3B. I2＜I1＜I3C. I1＜I3＜I2D. I3＜I2＜I1【答案】B【解析】【分析】根据I k=|f k（a1）﹣f k（a0）|+|f k（a2）﹣f k（a1）丨+…+|f k（a99）﹣f k（a98）|，分别求出I1，I2，I3与1的关系，继而得到答案.【详解】由，故==1，由，故=<1，=>1，故I2＜I1＜I3，故选：B．【点睛】本题主要考查了函数的性质，关键是求出这三个数与1的关系，属于难题．三.解答题17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC=45°，PA⊥平面ABCD，AB=AP=1，AD=3．（1）求异面直线PB与CD所成角的大小；（2）求点D到平面PBC的距离．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线PB与CD所成角大小．（2）求出平面PBC的一个法向量，利用向量法的距离公式求点D到平面PBC的距离．【详解】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0）D（0，3，0），∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，1，0），设异面直线PB与CD所成角为θ，则cosθ=,所以异面直线PB与CD所成角大小为．（2）设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），=（1，0，﹣1），=（0，2，0），=（﹣1，1，0），则，取x=1，得=（1，0，1），∴点D到平面PBC的距离d=．【点睛】本题主要考查了空间向量在求解角和距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：①求平面的法向量；②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解．求线线角的步骤：①确定空间两条直线的方向向量；②求两个向量夹角的余弦值；③比较余弦值与0的大小，确定向量夹角的范围；④确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时即为两直线的夹角，当向量夹角为钝角时两直线的夹角为向量夹角的补角．18.设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而.根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.19.某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段．为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数图象的一段，点M到l1、l2的距离分别为8千米和1千米，点N到l2的距离为10千米，以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P 的横坐标为p．（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得M（1，8），则a=8，即得曲线段的函数关系式，可得其定义域；（2）由函数关系式设点P坐标，设直线AB方程，将直线方程与曲线方程联立求出A，B坐标，即可求出最短长度p的取值范围【详解】（1）由题意得M（1，8），则a=8，故曲线段MPN的函数关系式为，又得，所以定义域为[1，10]．（2），设AB:由得kpx2+（8﹣kp2）x﹣8p=0，△=（8﹣kp2）2+32kp2=（kp2+8）2=0，∴kp2+8=0，∴，得直线AB方程为，得,B(2p,0)，故点P为AB线段的中点，由即p2﹣8＞0,得时，OA＜OB，所以，当时，经点A至P路程最近．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．20.对于函数，定义f1（x）=f（x），f n+1（x）=f[f n（x）]（n∈N*），已知偶函数g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0，当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）．（1）求f2（x），f3（x），f4（x），f2018（x）；（2）求出函数y=g（x）的解析式；（3）若存在实数a、b（a＜b），使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）g（x）=；（3）（﹣，0）.【解析】【分析】（1）根据函数关系代入计算进行求解即可；（2）由偶函数的定义，计算可得所求解析式；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．【详解】（1）因为函数定义f1（x）=f（x），f n+1（x）=f[f n（x）]（n∈N*），f1（x）=，f2（x）=f[f1（x）]= =，（x≠0且x≠1），f3（x）=f[f2（x）]= =x，（x≠0且x≠1），f4（x）=f[f3（x）]= ，（x≠0且x≠1），故对任意的n∈N•，有f3n+i（x）=f i（x）（i=2，3，4），于是f2018（x）=f3×672+2=f2（x）=1﹣，（x≠0且x≠1）；（2）当x＞0且x≠1时，g（x）=f2018（x）=1﹣，又g（1）=0，由g（x）为偶函数，当x＜0时，﹣x＞0，g（x）=g（﹣x）=1+，可得g（x）=；（3）由于y=g（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又a＜b，mb＜ma，可知a与b同号，且m＜0，进而g（x）在[a，b]递减，且a＜b＜0，当a，b∈（0，1）时，g（x）=1﹣为增函数，故，即m==，得a﹣1=b﹣1，即a=b，与a＜b矛盾，∴此时a，b不存在；函数y=g（x）的图象，如图所示．由题意，有，故a，b是方程1+=mx的两个不相等的负实数根，即方程mx2﹣x﹣1=0在（﹣∞，0）上有两个不相等的实根，于是，解得﹣＜m＜0．综合上述，得实数m的取值范围为（﹣，0）．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查分类讨论思想方法、运算和推理能力，属于中档题．21.对于无穷数列{a n}，记T={x|x=a j﹣a i，i＜j}，若数列{a n}满足：“存在t∈T，使得只要a m﹣a k=t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1=t”，则称数列具有性质P（t）．（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有性质P（2）？是否具有性质P（4）？说明理由；（2）求证：“T是有限集”是“数列{a n}具有性质P（0）”的必要不充分条件；（3）已知{b n}是各项均为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在正整数N，使得a N，a N+1，a N+2，…，a N+K，…是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）由，可得a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可判断数列{a n}具有性质P（4）；（2）举例“周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，利用新定义可证数列{a n}不具有性质P（0），即不充分性成立；再证明其必要性即可；（3）依题意，数列{b n}是各项为正整数的数列，且{b n}既具有性质P（2），又具有性质P（5），可证得存在整数N，使得b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是等差数列．【详解】（1）∵，a2﹣a1=2，但a3﹣a2=﹣1≠2，数列{a n}不具有性质P（2）；同理可得，数列{a n}具有性质P（4）．（2）证明：（不充分性）对于周期数列1，1，2，2，1，1，2，2，…，T={﹣1，0，1}是有限集，但是由于a2﹣a1=0，a3﹣a2=1，所以不具有性质P（0）；（必要性）因为数列{a n}具有性质P（0），所以一定存在一组最小的且m＞k，满足a m﹣a k=0，即a m=a k由性质P（0）的含义可得a m+1=a k+1，a m+2=a k+2，…，a2m﹣k﹣1=a m﹣1，a2m﹣k=a m，…所以数列{a n}中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：a k，a k+1，…，a m﹣1为一个周期中的各项，所以数列{a n}中最多有m﹣1个不同的项，所以T最多有个元素，即T是有限集；（3）证明：因为数列{b n}具有性质P（2），数列{b n}具有性质P（5），所以存在M′、N′，使得b M'+p﹣b M'=2，b N'+q﹣b N'=5，其中p，q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P（2），P（5）的含义可得，b M'+p+k﹣b M'+k=2，b N'+q+k﹣b N'+k=5，若M'＜N'，则取k=N'﹣M'，可得b N'+p﹣b N'=2；若M'＞N'，则取k=M'﹣N'，可得b M'+q﹣b M'=5．记M=max{M'，N'}，则对于b M，有b M+p﹣b M=2，b M+q﹣b M=5，显然p≠q，由性质P（2），P（5）的含义可得，b M+p+k﹣b M+k=2，b N+q+k﹣b N+k=5，所以b M+qp﹣b M=（b M+qp﹣b M+（q﹣1）p）+（b M+（q﹣1）p﹣b M+（q﹣2）p）+…+（b M+p﹣b M）=2qb M+qp﹣b M=（b M+pq﹣b M+（p﹣1）q）+（b M+（p﹣1）q﹣b M+（p﹣2）q）+…+（b M+q﹣b M）=5p所以b M+qp=b M+2q=b M+5p．所以2q=5p，又p，q是满足b M+p﹣b M=2，b M+q﹣b M=5的最小的正整数，所以q=5，p=2，b M+2﹣b M=2，b M+5﹣b M=5，所以，b M+2+k﹣b M+k=2，b M+5+k﹣b M+k=5，所以，b M+2k=b M+2（k﹣1）+2=…=b M+2k，b M+5k=b M+5（k﹣1）+5=…=b M+5k，取N=M+5，若k是偶数，则b N+k=b N+k；若k是奇数，则b N+k=b N+5+（k﹣5）=b N+5+（k﹣5）=b N+5+（k﹣5）=b N+k，所以，b N+k=b N+k，所以b N，b N+1，b N+2，…，b N+k，…是公差为1的等差数列【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查充分、必要条件的判定，考查推理与论证能力，属于难题．。