高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用(课件+讲义)：第一章 集合与常用逻辑用语 第3节

资料正文内容下拉开始>>第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识梳理1.简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.3.全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)[常用结论与微点提醒]1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p 与綈p→真假相反.2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题.()(2)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.(2)错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.(3)错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.(选修2－1P27A组T3改编)命题p：∃x0∈R，x0>1的否定是()A.綈p：∀x∈R，x≤1B.綈p：∃x∈R，x≤1C.綈p：∀x∈R，x<1D.綈p：∃x∈R，x<1解析特称命题的否定为全称命题.∴綈p：∀x∈R，x≤1.答案 A3.(2018·贵阳调研)下列命题中的假命题是()A.∃x0∈R，lg x0＝1B.∃x0∈R，sin x0＝0C.∀x∈R，x3＞0D.∀x∈R，2x＞0解析当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题.答案 C4.(2017·山东卷)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( ) A.p ∧q B.p ∧綈q C.綈p ∧qD.綈p ∧綈q解析 ∵一元二次方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1<0，∴x 2－x ＋1>0恒成立，∴p 是真命题，綈p 为假命题.∵当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2<(－2)2，但－1>－2， ∴q 为假命题，綈q 为真命题.根据真值表可知p ∧綈q 为真命题，p ∧q ，綈p ∧q ，綈p ∧綈q 为假命题. 答案 B5.若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1，依题意，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1. 答案 1考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p: 若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A.p ∨qB.p ∧qC.(綈p )∧(綈q )D.p ∧(綈q )(2)(2018·深圳联考)已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( ) A.p ∧qB.p ∧(綈q )C.(綈p )∧(綈q )D.(綈p )∧q解析 (1)取a ＝c ＝(1，0)，b ＝(0，1)，显然a ·b ＝0，b ·c ＝0，但a ·c ＝1≠0，∴p 是假命题.又a ，b ，c 是非零向量，由a ∥b 知a ＝x b ，由b ∥c 知b ＝y c ， ∴a ＝xy c ，∴a ∥c ，∴q 是真命题. 综上知p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题. 又∵綈p 为真命题，綈q 为假命题. ∴(綈p )∧(綈q )，p ∧(綈q )都是假命题. (2)命题p ：当a ＝0时，有1>0恒成立； 当a ≠0时 ，得⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解之得0<a <4. ∴实数a ∈[0，4)，因此p 假，綈p 是真命题. 命题q ：由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，q 为真命题.故(綈p )∧q 为真命题.答案 (1)A (2)D规律方法 1.“p ∨q ”、“p ∧q ”、“綈p ”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式； (2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”形式命题的真假.2.p 且q 形式是“一假必假，全真才真”，p 或q 形式是“一真必真，全假才假”，非p 则是“与p 的真假相反”.【训练1】 (2018·郑州调研)命题p ：函数y ＝log 2(x －2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝13x ＋1的值域为(0，1).下列命题是真命题的为( ) A.p ∧qB.p ∨qC.p ∧(綈q )D.綈q解析 由于y ＝log 2(x －2)在(2，＋∞)上是增函数， ∴命题p 是假命题.由3x>0，得3x＋1>1，所以0<13x＋1<1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0，1)，故命题q为真命题.所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题. 答案 B考点二含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】(1)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0(2)(2018·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20＞x30，则下列命题中为真命题的是()A.(綈p)∧qB.p∧(綈q)C.(綈p)∧(綈q)D.p∧q解析(1)全称命题的否定为特称命题，∴命题的否定是：∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0.(2)对于p：当x＝－1时，x＋1x＝－2，∴p为假命题.取x0∈(0，1)，此时x2＞x30，∴q为真命题.从而綈p为真命题，(綈p)∧q为真命题.答案(1)D(2)A规律方法 1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立.【训练2】 命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题： (綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题.则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题.∴四个命题中正确的有2个命题. 答案 B考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例3】 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.(4，＋∞)B.[1，4]C.[e ，4]D.(－∞，－1)(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.综上可知e ≤a ≤4.(2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14. 答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤： (1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围； (2)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围. 2.全称命题可转化为恒成立问题.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决. 【训练3】 本例(2)中，若将“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是____________.解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ， ∴m ≥12. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞基础巩固题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1.命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A.∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B.∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C.∃x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12D.∃x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12解析 命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12”.答案 D2.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A.∀n ∈N ，n 2>2n B.∃n ∈N ，n 2≤2n C.∀n ∈N ，n 2≤2nD.∃n ∈N ，n 2＝2n解析 命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，∴綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n . 答案 C3.(2016·江西师大附中模拟)若命题p ：∀x ∈R ，log 2x ＞0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0＜0，则下列命题为真命题的是( ) A.p ∨(綈q ) B.p ∧q C.(綈p )∧qD.p ∨q解析 命题p 和命题q 都是假命题，则命题綈p 和命题綈q 都是真命题，故选A. 答案 A4.第十三届全运会于2017年8月27日在天津市隆重开幕，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为( ) A.(綈p )∨(綈q ) B.p ∨(綈q ) C.(綈p )∧(綈q )D.p ∨q解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p )∨(綈q ).或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p ∧q ”的否定选A. 答案 A5.(2018·成都调研)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根.则下列命题为真命题的是( ) A.p ∧(綈q )B.(綈p )∧qC.(綈p )∧(綈q )D.p ∧q解析 由题意知命题p 是真命题，命题q 是假命题，故綈p 是假命题，綈q 是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧(綈q )是真命题. 答案 A6.命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，4]B.[0，4]C.(－∞，0]∪[4，＋∞)D.(－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以命题綈p ：∃x 0∈R ，ax 20＋ax 0＋1<0， 则a <0或⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4.答案 D7.以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2>2x －1＋3x 2，其中真命题的个数为( ) A.0B.1C.2D.4解析 ∵Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立， ∴①为假命题；当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题； 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题； ④中，当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2； 则④为假命题. 答案 A8.(2018·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝a 2x －2a ＋1.若命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞) 解析 ∵函数f (x )＝a 2x －2a ＋1， 命题“∀x ∈(0，1)，f (x )≠0”是假命题，∴原命题的否定是：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题， ∴f (1)f (0)<0，即(a 2－2a ＋1)(－2a ＋1)<0， ∴(a －1)2(2a －1)>0，解得a >12，且a ≠1， ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).答案 D 二、填空题9.(2018·河北“五个一”名校联考改编)命题“∃x 0∈R ，1<f (x 0)≤2”的否定是________.答案 ∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>210.若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵“∃x 0∈R ，使得x 20＋(a －1)x 0＋1＜0”是真命题， ∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4， ∴a －1＞2或a －1＜－2，∴a ＞3或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)11.(2018·石家庄调研)已知下列四个命题：①“若x 2－x ＝0，则x ＝0或x ＝1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠1，则x 2－x ≠0”； ②“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件；③命题p ：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0；④若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题. 其中为真命题的是________(填序号). 解析 显然①③正确；②中，x 2－3x ＋2>0⇔x >2或x <1.∴“x <1”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件，②正确； ④中，若p ∧q 为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，④错误. 答案 ①②③12.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x ＞1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________.解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎨⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1<x ≤2或x <－3，所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1<x ≤2或x <－3}. 答案 (－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)能力提升题组 (建议用时：10分钟)13.命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A.∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2B.∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2C.∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2D.∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20解析 改变量词，否定结论.∴綈p 应为：∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20.答案 D14.(2018·江西红色七校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A.p ∧qB.(綈p )∧qC.p ∧(綈q )D.(綈p )∧(綈q )解析 因为3x >0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0， 所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(綈p )∧q 为真命题.答案 B15.(2018·安徽江南十校联考)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为________. 解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1；由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，即Δ＝m 2－4<0，可得－2<m <2.因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)16.(2018·郑州质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________. 解析 依题意知f (x )max ≤g (x )max . ∵f (x )＝x ＋4x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝172.又g (x )＝2x ＋a 在[2，3]上是增函数， ∴g (x )max ＝8＋a ，因此172≤8＋a ，则a ≥12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞。