江西省百所重点中学2014届下学期高三模拟考试数学试卷(理科,有答案)

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江西省重点高中2014届下学期高三年级模拟考试数学试卷(理科) 有答案

江西省重点高中2014届下学期高三年级模拟考试数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数31()1i i+-的共轭复数为 A. 1B. －1C. iD. i -2.函数ln y x=的定义域为 A. (0,2]B. (0,2)C. (0,1)(1,2) D. (0,1)(1,2]3. 在正项等比数列{}n a 中，1a 和19a 为方程210160x x -+=的两根，则81012a a a 等于 A. 16B. 32C. 64D. 2564. 物价部门对九江市的5家商场的某商品的一天销售量与价格进行调查，5家商场的价格x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：是 3.240y x =-+，且20m n +=，则其中的n 等于A. 9B. 10C. 11D. 125. 设2,[0,1]()1,(1,]x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，则0()e f x dx ⎰的值为A. 1B. 2C.43D.236. 函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A. 4x π=-B. 2x π=-C. 8x π=D. 4x π=7. 已知正整数对按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是A. （5，7）B. （6，7）C. （7，6）D. （7，5）8. 下列各命题中正确的命题是①命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题；②命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”；③“函数22()cos sin f x ax ax =-最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”。

江西省百所重点中学高三数学模拟考试理(扫描版)

江西省百所重点中学2014届高三数学模拟考试理（扫描版）江西省百所重点中学高三模拟考试数学试卷参考答案(理科)1． C z ＝5－3i1－i ＋2i ＝4＋3i ，则||z ＝5.2． AM ＝{}x |x <－3或x >1，N ＝{}x |1<x <2，则(RM )∪N ＝[－3，2)．3.B 由题意得第3组的频率为0.2，所以第3组的频数等于100×0.2＝20. 4．C ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝14，a 1＋8＋a 3＋6＝6a 2， ∴7a 2＝28，即a 2＝4， ∴a 1·a 3＝a 22＝16.5．A 作出不等式对应的可行域如图，当取点D (m ，2－2m )时，z 取最大值为7m －4，由7m －4≥5得m ≥97，故选A.6．D 在△APF 中，|PA |＝|PF |，|AF |sin 60°＝4，∴|AF |＝83，又∠PAF ＝∠PFA ＝30°，过P 作PB ⊥AF 于B ，则|PF |＝|BF |cos 30°＝12|AF |cos 30°＝83.7．A k ＝2，S ＝4；k ＝3，S ＝11；k ＝4，S ＝26；k ＝5，S ＝57，输出结果，判断框内填“k ＞4”．8．B 若甲、乙两人只有一人参加时，不同的发言顺序有C 12C 35A 44种；若甲、乙同时参加时，不同的发言顺序有A 24A 23种．共C 12C 35A 44＋A 24A 23＝552种．9．C 根据面面平行的性质定理可得AC ∥GD ，EF ∥GD ，∴EF ∥AC ，∵AC ⊥平面AE ，∴EF ⊥平面AE ，故①正确；取DG 的中点O ，连结AO 、EO ，则AO ∥CG ，EO ∥FG ，∴平面AEO ∥平面CF ，即AE ∥平面CF ，故②正确；连结CO 、FO ，则CO ⊥平面DEFG ，∴∠CFO 为所求线面角，∵CO ＝FO ＝2，∴∠CFO ＝π4，故③正确；该多面体的体积V ＝V ADO －BEF ＋V ABC －OFG ＝4，故④错误．10．B ∵AP 0＝2, P 0B=1，则P 1B ＝tan θ＝x ，P 1C ＝2－x ，P 2C ＝P 1C tan θ＝2x－1，P 2D ＝4－2x ，P 3D ＝P 2D tan θ＝4tan θ－2，P 3A ＝4－4x ，P 4A ＝4x －4.∵P 4落在A 、P 0之间，∴0＜4x－4＜2，即23＜x ＜1.∵y ＝S矩形ABCD－S △P 0BP 1-S △P 1C P 2－S △P 2D P 3－S △P 3AP 4＝6－12x －12(2－x )(2x －1)－12(4－2x)(4x －2)－12(4－4x )(4x －4)＝32－12(34x ＋24x )＝32－(17x ＋12x )≤32－451，当且仅当x ＝25117时等号成立，又当x ＝23时，y ＝83；x ＝1时，y ＝3，故选B.11.55 点(tan 5π4，sin(－π6))可化为点(1，－12)，则sin θ＝－55， ∴cos(5π2＋θ)＝－sin θ＝55.12. 213e -11()(2)21,x x x f x ex ae e ae e a =='=+=+=⇒=-则1231012()()1.33x x ex e dx ex e e -=-=-⎰13.1 依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝2×2cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，则|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝2×2cos ∠BAC ＝1.14. 5 由题意可知点P 在双曲线的左支上且b >a ，设PF 的中点为M ，双曲线的右焦点为F ′(c ，0)，连结OM 、PF ′(O 为坐标原点)，则|PF ′|＝2|OM |＝2b 且PF ⊥PF ′，∴PF ＝PF ′－2a ＝2b －2a ，|PF |2＋|PF ′|2＝|FF ′|2，即(2b －2a )2＋(2b )2＝(2c )2，得b＝2a ，则该双曲线的离心率e ＝a 2＋4a 2a＝ 5.15．(1)± 2 ⊙C 1的方程化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2－4x －4y ＝0，其圆心C 1坐标为(2，2)，半径r 1＝22；圆C 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ的普通方程是(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，所以C 2的坐标是(－1，－1)，r 2＝|a |，因为两圆外切，所以|a |＋22＝|C 1C 2|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，所以a ＝± 2.(2)3 不等式|x ＋1|－|x －2|＜a 的解集为(－∞，2)，说明解的区间端点2是方程|x ＋1|－|x －2|＝a 的一个根，∴有|2＋1|－|2－2|＝a ，解得a ＝3.16．解：(1)在△ABC 中，根据余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，且a 2＋c 2－b 2＝233ac sinB ，∴2ac cos B ＝233ac sin B ，∴tan B ＝ 3.又∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.(6分)(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－A －B ＝2π3－A .由正弦定理，得c sin C ＝b sin B ＝3sinπ3＝2，∴c ＝2sin C ＝2sin (2π3－A )．∵π6＜A ＜π2，∴π6＜2π3－A ＜π2. ∴12＜sin (2π3－A )＜1.∴c ∈(1，2).(12分) 17．解：(1)∵6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2， ①∴6a 1＝a 21＋3a 1＋2，解得a 1＝1或a 1＝2.又6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2(n ≥2)， ②由①－②，得6a n ＝(a 2n －a 2n －1)＋3(a n －a n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0.∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝3(n ≥2)．当a 1＝2时，a 2＝5，a 6＝17，此时a 1，a 2，a 6不成等比数列，∴a 1≠2；∴a n ＝3n －2，b n ＝4n －1.(6分)(2)由(1)得T n ＝1×4n －1＋4×4n －2＋…＋(3n －5)×41＋(3n －2)×40， ③∴4T n ＝1×4n ＋4×4n －1＋7×4n －2＋…＋(3n －2)×41. ④由④－③得3T n ＝4n＋3×(4n －1＋4n －2＋…＋41)－(3n －2)＝4n＋12×（1－4n －1）1－4－(3n －2)＝2×4n－(3n ＋1)－1＝2b n ＋1－a n ＋1－1， ∴3T n ＋1＝2b n ＋1－a n ＋1，n ∈N ＋.(12分) 18．解：(1)若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格，记A ＝{前四项均合格，且第五项合格}，B ＝{前四项中仅有一项不合格，且第五项合格}，则P (A )＝(12)4·(1－23)＝148，P (B )＝C 14×12×(1－12)3×(1－23)＝112. 又A 、B 互斥，故所求概率为P ＝P (A )＋P (B )＝148＋112＝548.(2)该生参加考试的项数X 可以是2，3，4，5.P (X ＝2)＝12×12＝14，P (X ＝3)＝C 12(1－12)×12×12＝14，P (X ＝4)＝C 13(1－12)×(12)2×12＝316，P (X ＝5)＝1－14－14－316＝516，则X 的分布列为X 2 3 4 5 P14 14316516EX ＝2×14＋3×14＋4×316＋5×516＝5716.(12分)19．解：(1)CM 与BN 交于F ，连结EF . 由已知可得四边形BCNM 是平行四边形， ∴F 是BN 的中点．∵E 是AB 的中点，∴AN ∥EF ，又EF平面MEC ，AN平面MEC ，∴AN ∥平面MEC .(5分)(2)连结DE .由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB .如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D (0，0，0)，E (3，0，0), C (0，2，0)，M (3，－1，377).CE →＝(3，－2，0)，EM →＝(0，－1，377)．设平面MEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n ＝0，EM →·n ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，y －377z ＝0.令x ＝2，所以n ＝(2，3，213)，又平面CDE 的法向量m ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12.所以二面角M —EC —D 的大小是60°.(12分) 20．解：(1)∵CD ＝4105，∴点E (2105，2105)，又∵PQ ＝2105，∴点G (4105，105)，则⎩⎪⎨⎪⎧85a 2＋85b 2＝1，325a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2，∴椭圆方程x 28＋y 22＝1.（4分）(2)设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1＋k 2＝0即可，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，直线l 方程为y ＝12x ＋m ，代入椭圆方程x 28＋y 22＝1消去y ，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0可得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.（9分）而k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝（12x 1＋m －1）（x 2－2）＋（12x 2＋m －1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4＋（m －2）（－2m ）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0，（12分）∴k 1＋k 2＝0，故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.（13分） 21．解：(1)因为f (x )在(1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )＝ln x －1（ln x ）2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立．所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )max ≤0.又f ′(x )＝ln x －1（ln x ）2－a ＝－(1ln x )2＋1ln x －a ＝－(1ln x －12)2＋14－a ，故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a .所以14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14.(4分)(2)命题“若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”．由(1)，当x ∈[e ，e 2]时，有f ′(x )max ＝14－a ，∴f ′(x )max ＋a ＝14.问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤14”.(6分)10当a ≥14时，由(1)，f (x )在[e ，e 2]上为减函数，则f (x )min ＝f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e2.(8分)20当a ＜14时，由于f ′(x )＝－(1ln x －12)2＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数，故f ′(x )的值域为[f ′(e)，f ′(e 2)]，即[－a ，14－a ]．① 若－a ≥0，即a ≤0，f ′(x )≥0在[e ，e 2]上恒成立，故f (x )在[e ，e 2]上为增函数，于是，f (x )min ＝f (e)＝e －a e ≥e ＞14，不合题意.(10分)②若－a ＜0，即0＜a ＜14，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f ′(x 0)＝0，且满足：当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数.(12分)所以，f (x )min ＝f (x 0)＝x 0ln x 0－ax 0≤14，x 0∈(e ，e 2)．所以，a ≥1ln x 0－14x 0＞1ln e 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合题意．综上，得a ≥12－14e 2.(14分)。

江西省2014届高三下学期4月联考测试数学(理)试题(word版)

江西省高中2014届下学期毕业班4月联考诊断测试数学（理科类） 2014.4.10本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。

第一部分1至2页，第二部分3至4页，共150分。

考试时间120分钟。

第一部分（选择题共50分）注意事项：用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在草稿纸、试题卷上。

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数2)21(i +（其中i 为虚数单位）的虚部为A.i 4B.i 4-C.4D.-4 2. 函数)2lg(2x x y -∙+=的定义域为A.)0,2(-B.)2,0(C.)2,2(-D.[)2,2- 3. “α是第二象限角”是“0tan sin ＜αα”的A.充分不必要条件B.必要不充分C.充分条件D.既不充分也不必要 4. 设dx x )21(20-=⎰α，则二项式62)(xax +的常数项是A.-240B.240C.-160D.160 5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.323 B.322C.320D.3146. 已知定义域在R 上的函数)(x f 图像关于直线2-=x 对称且当2-≥x 时，43)(-=xx f , 若函数)(x f 在区间),1(k k -上有零点，则符合条件的k 的值是A.-8B.-7C.-6D.-5 7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为A.81-B.81C.161D.321 8. 若X 是一个集合，集合υ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）υ∈X ，空集∅∈υ；（2）υ中任意多个元素的并集属于υ；（3）υ中任意多个元素的交集属于υ；称υ是集合X 上的一个拓扑.已知集合{}c b a X ,,=，对于下列给出的四个集合υ：9. 如图正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11B A 上移动,θ=∠EAB ，)2,0(πθ∈，过直线AD AE ,的平面ADFE 将正方体分为两部分，记棱BC 所在部分的体积为)(θV ，则函数)(θV V =，)2,0(πθ∈的大致图像是10.已知椭圆)0(1:2222＞＞b a bya x C =+的左右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，△21PF F 的重心为G ，内心为I ，且有21F F IG λ=（λ为实数），斜率为1的直线l 经过点1F ，且与圆122=+y x 相切，则椭圆的方程为A.16822=+y xB.14622=+y xC.17922=+y xD.181022=+y x第二部分（非选择题共100分）注意事项：必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。

江西省九所重点中学2014届高三数学联合考试试题理新人教A版

江西省九所重点中学2014届高三下学期3月联合考试数学理试题须知事项：1、本试卷分第1卷(选择题)和第2卷(非选择题)两部勿＼．总分为150允考试时间为120分钟．2、本试卷分试题卷和答题卷，第1卷(选择题)的答案应填在答题卷卷首相应的空格内，做在第1卷的无纯一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．函数()ln(1)f x x =-的定义域是A ．(1，+∞)B ．(2，+∞)C ．【2，+∞)D ．〔1,2)2．集合，i 为虚数单位，复数z=的实部，虚部，模分别为a ，b ，t ，如此如下选项正确的答案是A ．a+b ∈MB ．t ∈MC ．b ∈MD ．a ∈M3．月底，某商场想通过抽取发票的10％估计该月的销售总额．先将该月的全部销售发票存根进展了编号：1,2，3，…，然后拟采用系统抽样的方法获取一个样本．假设从编号为1，2，…，10的前10张发票存根中随机抽取一张，然后再按系统抽样的方法依编号顺序逐次产生第二张、第三张、第四张、…，如此抽样中产生的第二张已编号的发票存根，其编号不可能是A ．13B ．17C ．19D ．234．二项式6223(3,a ax x dx --⎰的展开式第二项系数为则的值为A ．73B ． 3C ．3或73D ．3或—1035．阅读下面的程序框图，输出的结果是A ．9B ．10C ．11D ．126．数列{n a }，假设点〔n ，a n )(n ∈N*)均在直线y 一2=k(x 一5)上，如此数列{a n )的前9项和S 9等于A ．18B ．20C ．22D ．247．如果函数y|x|—2的图像与曲线C ：x 2+y 2=λ恰好有两个不同的公共点，如此实数力的取值范围是 A ．{2}(4，+∞) B ．(2，+∞)C ．{2，4}D ．(4，+∞)8．如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，△PQR 是圆O 的内接正三角形，当△PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是9．假设两曲线在交点P 处的切线互相垂亭，如此称呼两曲线在点P 处正交。

数学_2014年江西省百所重点中学高考数学模拟试卷(理科)(含答案)

2014年江西省百所重点中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 复数z =5−3i 1−i+2i 的模为（）A 3B 4C 5D 4√22. 已知集合M ={x|x 2+2x −3>0}，N ={x|y =√x−1ln(2x−x 2)}，则(∁R M)∪N 为（） A [−3, 2) B (−2, 3] C [−3, 1)∪(1, 2) D [−1, 2)3. 在样本的频率分布直方图中，一共有m(m ≥3)个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m −1个小矩形面积之和的14，且样本容量为100，则第3组的频数是（）A 0.2B 25C 20D 以上都不正确4. 设等比数列{a n }，S n 是数列{a n }的前n 项和，S 3=14，且a 1+8，3a 2，a 3+6依次成等差数列，则a 1⋅a 3等于( )A 4B 9C 16D 255. 设变量x ，y 满足约束条件{2x +y −2≥0x −2y +4≥0x −m ≤0，则“m ≥2”是“目标函数z =3x −2y 的最大值不小于5”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 6. 设抛物线x 2＝8y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的倾斜角等于60∘，那么|PF|等于（） A 2√3 B 4√3 C 83 D 47. 某程序框图如图所示，若输出的S =57，则判断框内为( )A k >4？B k >5？C k >6？D k >7？8. 某班班会准备从含有甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加时，丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）A 484种B 552种C 560种D 612种9. 如图，已知多面体ABC −DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，平面ABC // 平面DEFG ，平面BEF // 平面ADGC ，AB =AD =DG =2，AC =EF =1，则下列说法中正确的个数为（） ①EF ⊥平面AE ； ②AE // 平面CF ；③在棱CG 上存在点M ，使得FM 与平面DEFG 所成的角为π4； ④多面体ABC −DEFG 的体积为5． A 1 B 2 C 3 D 410.如图，矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，一质点从AB 边上的点P 0出发，沿与AB 的夹角为θ的方向射到边BC 上点P 1后，依次反射到边CD ，DA 和AB 上的点P 2，P 3，P 4处．若P 4落在A 、P 0之间，且AP 0=2，设tanθ=x ，五边形P 0P 1P 2P 3P 4的面积为y ，则函数y =f(x)的图象大致是（）A B C D二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知点（tan5π4, sin(−π6)）是叫θ终边上一点，则cos(5π2+θ)=________．12. 已知在函数f(x)=ex 2+ae x 图象上点（1, f(1)）处切线的斜率为e ，则∫f 10(x)dx =________．13. 在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个项点为O(0, 0)，A(1, 1)，且OA →⋅OC →=1，则AB →⋅AC →等于________．14. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点为F ，若该双曲线上存在点P ，满足以双曲线虚轴为直径的圆与线段PF 相切与线段PF 的中点，则该双曲线的离心率为________．选做题：请在下列两题中任选一题作答，本题5分.15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ=4√2cos(θ−π4)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程是{x =−1+acosθy =−1+asinθ（θ为参数），若圆C 1与圆C 2外切，则实数a =________．16. （不等式选做题）已知不等式|x +1|−|x −2|<a 的解集为(−∞, 2)，则a 的值为________．三、解答题（共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a 2+c 2−b 2=2√33acsinB ．（1）求角B 的大小；（2）若b =√3，且A ∈(π6, π2)，求边长c 的取值范围．18. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n ，满足6S n =a n 2+3a n +2，又a 1，a 2，a 6是等比数列{b n }的前三项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）记T n =a 1b n +a 2b n−1+...+a n b 1，n ∈N +，证明3T n +1=2b n+1−a n+1(n ∈N +)． 19. 某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A 、B 、C 、D 四项考试不合格的概率均为12，参加第五项不合格的概率为23，（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X ，求X 的分布列和期望．20. 如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60∘，E 是AB 的中点，MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，AD =2，AM =3√77．（1）求证：AC ⊥BN ；（2）求证：AN // 平面MEC ；（3）求二面角M −EC −D 的大小．21. 如图，正方形CDEF 内接于椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ 的顶点G ，H 在椭圆上，顶点P ，Q 在正方形的边EF 上．且CD =2PQ =4√105．（1）求椭圆的方程；（2）已知点M(2, 1)，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m(m ≠0)，l 交椭圆于A ，B 两个不同点，求证：直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 22. 已知函数f(x)=xlnx −ax(x >0且x ≠1)．（1）若函数f(x)在(1, +∞)上为减函数，求实数a的最小值；（2）若∃x1，x2∈[e, e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求实数a的取值范围．2014年江西省百所重点中学高考数学模拟试卷（理科）答案1. C2. A3. C4. C5. A6. C7. A8. B9. C10. B11. √5512. 1−23e13. 114. √515. ±√216. 317. 解：（1）在△ABC中，根据余弦定理a2+c2−b2=2accosB，且a2+c2−b2=2√33acsinB，∴ 2accosB=2√33acsinB，∴ tanB=√3，又∵ 0<B<π，∴ B=π3；（2）∵ A+B+C=π，∴ C=π−A−B=2π3−A，由正弦定理，得csinC =bsinB=√3sinπ3=2，∴ c=2sinC=2sin(2π3−A)，∵ π6<A<π2，∴ π6<2π3−A<π2．∴ 12<sin(2π3−A)<1，∴ c∈(1, 2)．18. 解：（1）∵ 6S n=a n2+3a n+2，①∴ 6a1=a12+3a1+2，解得a1=1或a1=2．又6S n−1=a n−12+3a n−1+2(n≥2)，②由①-②，得6a n=(a n2−a n−12)+3(a n−a n−1)，即(a n+a n−1)(a n−a n−1−3)=0．∵ a n+a n−1>0，∴ a n−a n−1=3(n≥2)．当a1=2时，a2=5，a6=17，此时a1，a2，a6不成等比数列，∴ a1≠2；∴ a n=3n−2，b n=4n−1．（2）由（1）得T n=1×4n−1+4×4n−2+...+(3n−5)×41+(3n−2)×40，③∴ 4T n=1×4n+4×4n−1+7×4n−2+...+(3n−2)×41．④由④-③得3T n=4n+3×(4n−1+4n−2+...+41)−(3n−2)=4n+12×(1−4n−1)1−4−(3n−2) =2×4n−(3n+1)−1=2b n+1−a n+1−1，∴ 3T n+1=2b n+1−a n+1，n∈N+．19. 该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项．所以该生被录取的概率为P=13[( 12)4+C43(12)3⋅12]=548，该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5．P(X＝2)=12×12=14；P(X＝3)=C21⋅12⋅12⋅12=14；P(X＝4)=C31⋅12⋅( 12)2⋅12=316；P(X＝5)＝1−14−14−316=516．该生参加考试的项数ξ的分布列为：EX＝2×14+3×14+4×316+5×516=5716．20. （共14分）解：（1）证明：连接BD，则AC⊥BD．由已知DN⊥平面ABCD，因为DN∩DB=D，所以AC ⊥平面NDB ．… 又因为BN ⊂平面NDB ，所以AC ⊥BN ．…（2）CM 与BN 交于F ，连接EF ．由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，所以F 是BN 的中点．因为E 是AB 的中点，所以AN // EF ．…又EF ⊂平面MEC ，AN ⊄平面MEC ，所以AN // 平面MEC ．…（3）由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ．如图建立空间直角坐标系D −xyz ，则D(0, 0, 0)，E(√3，0，0)，C(0, 2, 0)， M(√3，−1，3√77).CE →=(√3,−2.0)，EM →=(0,−1,3√77)．… EM →=(0,−1,3√77)，设平面MEC 的法向量为n →=(x, y, z)．则{CE →⋅n =0EM →⋅n =0. 所以{√3x −2y =0y −3√77z =0.令x =2．所以n →=(2,√3,√213)．…，又平面ADE 的法向量m →=(0, 0, 1)，所以．cos <m →，n →>=|m →||n →|˙=12．所以二面角M −EC −D 的大小是60∘．… 21. （1）解：∵ CD =4√105，∴ 点E(2√105, 2√105)，又∵ PQ =2√105，∴ 点G(4√105, √105)， ∴ {85a 2+85b 2=1325a 2+25b2=1解得{a 2=8b 2=2， ∴ 椭圆方程x 28+y 22=1．（2）证明：设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则直线l 方程为y =12x +m ，代入椭圆方程x 28+y 22=1，消去y ，x 2+2mx +2m 2−4=0可得x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4．而k 1+k 2=y 1−1x 1−2+y 2−1x 2−1=x 1x 2+(m−2)(x 1+x 2)−4(m−1)(x 1−2)(x 2−2)=2m 2−4−2m 2+4m−4m+4(x 1−2)(x 2−2)=0，∴ k 1+k 2=0，故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形． 22. 解：（1）因f(x)在(1, +∞)上为减函数，故f′(x)=lnx−1(lnx)2−a ≤0在(1, +∞)上恒成立，又f′(x)=lnx−1(lnx)2−a =−(1lnx)2+1lnx−a =−(1lnx−12)2+14−a ，故当1lnx =12，即x =e 2时，f′(x)max =14−a ，所以14−a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14．（2）命题“若∃x 1，x 2∈[e, e 2]，使f(x 1)≤f ′(x 2)+a 成立”等价于“当x ∈[e, e 2]时，有f(x)min ≤f′(x)max +a”，由（1），当x ∈[e, e 2]时，f′(x)max =14−a ，所以f′(x)max +a =14，问题等价于：“当x ∈[e, e 2]时，有f(x)min ≤14”，①当a ≥14时，由（1），f(x)在[e, e 2]上为减函数，则f(x)min =f(e 2)=e 22−ae 2≤14，故a ≥12−14e 2，；②当a <14时，由于f′(x)=−(1lnx −12)2+14−a 在[e, e 2]上为增函数，故f′(x)的值域为[f′(e), f′(e 2)]，即[−a, 14−a]．(I)若−a ≥0，即a ≤0，f′(x)≥0在[e, e 2]上恒成立，故f(x)在[e, e 2]上为增函数，于是，f(x)min =f(e)=e −ae ≥e >14，不合题意；(II)若−a <0，即0<a <14，由f′(x)的单调性和值域知，∃唯一x 0∈(e,e 2)，使f′(x 0)=0，且满足：当x ∈(e, x 0)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；所以，f(x)min =f(x 0)=x 0lnx 0−ax 0≤14，x 0∈(e,e 2)，所以a ≥1lnx 0−14x 0>1lne 2−14e >12−14=14，与0<a <14矛盾，不合题意；综上，得a ≥12−14e 2．。

2014年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2014•江西）是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=﹣=2）==223．（5分）（2014•江西）已知函数f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），若f[g（1）]=1，则4．（5分）（2014•江西）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a ﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）B5．（5分）（2014•江西）一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（）B6．（5分）（2014•江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是（）=7．（5分）（2014•江西）阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）S=0+lg+lg+lg++lg+lg+lg++lgS=lg+lg+lg=lg+lg++lg=lg8．（5分）（2014•江西）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）f（（﹣，则：，=x（﹣（）﹣，则：，=x（+）=x）+9．（5分）（2014•江西）在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以ABπBπ2π=，）．10．（5分）（2014•江西）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=11，AD=7，AA 1=12．一质点从顶点A 射向点E （4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i ﹣1次到第i 次反射点之间的线段记为l i （i=2，3，4），l 1=AE ，将线段l 1，l 2，l 3，l 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）．B ．．=|EF|=于是：向量与向量共线；=λ=；，，＞=，，=，二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题记分，本题共5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不等式选做题]坐标系与参数方程选做题12．（2014•江西）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则=≤θ≤，≤θ≤≤θ≤≤θ≤．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2014•江西）10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是．3=故答案为：14．（5分）（2014•江西）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．15．（5分）（2014•江西）已知单位向量与的夹角为α，且cosα=，向量=3﹣2与=3﹣的夹角为β，则cosβ=．单位向量与=不妨，==32（，﹣=）=故答案为：16．（5分）（2014•江西）过点M（1，1）作斜率为﹣的直线与椭圆C：+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于．的中点，斜率为﹣，则①②，（（）作斜率为﹣：+=1两式相减可得，即b=故答案为：五、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈（﹣，）（1）当a=，θ=时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；（2）若f（）=0，f（π）=1，求a，θ的值．）（﹣，，=））sinx+cosx sinx=﹣sinx+cosx （﹣∈，），）．，），由=﹣﹣，可得﹣﹣=1×，，．﹣18．（12分）（2014•江西）已知首项是1的两个数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足a n b n+1﹣a n+1b n+2b n+1b n=0．（1）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（2）若b n=3n﹣1，求数列{a n}的前n项和S n．，可得数列，，19．（12分）（2014•江西）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．，得到，）恒成立．由单调性求出的范围得答案．）=x ．时，）上为减函数．））上单调递增，）恒成立．，对任意）恒成立．．．的取值范围是20．（12分）（2014•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠BPC=90°，PB=，PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．，，设，故当PB=，=BM=PO=，××=，（﹣（﹣，，，的法向量为=||=||=21．（13分）（2014•江西）如图，已知双曲线C：﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）．（1）求双曲线C的方程；（2）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：﹣y0y=1与直线AF相交于点M，与直线x=相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．，，﹣a=，﹣相交于点，（，是化简=可得其值为，﹣）•=，t=，，的方程为﹣的方程为：：x=）（，∴==22．（14分）（2014•江西）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A、B两组，每组n个数，A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2；记ξ=a2﹣a1，η=b2﹣b1．（1）当n=3时，求ξ的分布列和数学期望；（2）C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；（3）对（2）中的事件C，表示C的对立事件，判断P（C）和P（）的大小关系，并说明理由．）的大小关系，即判断）和=，===××××=××=（）＜）＜×，此时）＞；）＞。

江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考数学(理)试卷有答案

江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考数学（理科）试卷有答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =,集合2{|log (1)},{|||,}A x y x B x x a a R ==-=<∈,()U C A B =∅,则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,1)D ．(0,1] 2.函数ln(1)11x y xx -=++的定义域是（） A.[1,0)(0,1)- B.[1,0)(0,1]- C.(1,0)(0,1]- D.(1,0)(0,1)-3.已知i 为虚数单位,若复数z 满足(2)12z i i -=+,则z 的共轭复数是( )A ．iB ．i -C ．35iD ．35i-4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（）①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化； ②在线性回归分析中，相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；③已知随机变量ξ服从正态分布(5,1)N ，且(46)0.6826,P ξ≤≤=则(6)0.1587;P ξ>= ④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人.A ．1B ．2C ．3D ．4 5.已知锐角βα,满足：1sin cos ,6αα-=3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则βα,的大小关系是（）A ．βα<B ．αβ>C ．βαπ<<4D.αβπ<<46.程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值是（）1n = 开始结束否是输出S3S = 1+=n n 2014n ≤ 11S S S +=-A ．3B ．12C ．13-D ．2-7.等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项积为n T ，若1284T T =，则813a a ⋅=( )A ．1±B ．2±C ．1D ．2 8.已知在二项式32()nx x-的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 9. 已知函数2()2f x x x =-，(1,0)Q ，过点(1,0)P -的直线l 与()f x 的图像交于,A B 两点，则QAB S ∆的最大值为（）A. 1B.12C. 13D. 2210.如图，过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点P 在第一象限，将x 轴下方的图形沿x 轴折起，使之与x 轴上方的图形成直二面角，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长度记为()f x ，则函数()y f x =的图像大致是( )二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅记分，本题共5分.11（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.3sin ρθ=B.3cos ρθ=C.sin 3ρθ=D.cos 3ρθ=yxoQP11（2）．（不等式选讲选做题））若存在,R x ∈,使|2|2|3|1x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是( ) A. [2,4] B. (5,7) C. [5,7] D. (,5][7,)-∞+∞第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上. 12.已知2,=a e 为单位向量，当,a e 的夹角为32π时，+a e 在-a e 上的投影为 . 13.若一组数据1,2,0,,8,7,6,5a 的中位数为4，则直线ax y =与曲线2x y =围成图形的面积为 .14.已知双曲线22122:1x y C a b -=和双曲线22222:1y x C a b-=，其中0,b a >>，且双曲线1C 与2C 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线1C 的离心率是 .15.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出下列函数：①1()f x x =；②()sin f x x =；③2()1f x x =-；④ln ()x f x x= 其中在区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有 (写出所有正确的序号).四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ．（1）求32S =的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．17.(本小题满分12分）5P 6P2P3P4POP 1在ABC ∆中，2sin 2cos sin 33cos 3A A A A -+=. (1)求角A 的大小；(2)已知,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若1a =且sin sin()2sin 2,A B C C +-= 求ABC ∆的面积.18．（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若10,c =且对任意正整数n 都有112log n n n c c a +-=,求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++<都有.19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，1,2==AB AD ， 60=∠ABC ， ⊥PA 面ABCD ，设E 为PC 中点，点F 在线段PD 上且FD PF 2=．（1）求证：//BE 平面ACF ；（2）设二面角D CF A --的大小为θ，若1442|cos |=θ，求PA 的长．20.（本小题满分13分）已知椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>的左焦点F 与抛物线24y x =-的焦点重合，直线202x y -+=与以原点O 为圆心,以椭圆的离心率e 为半径的圆相切.（1）求该椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记∆GFD 的面积为1S ，∆OED 的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数xa x x f ln )()(2-=（其中a 为常数）.(1)当0=a 时，求函数的单调区间；（2）当1a =时，对于任意大于1的实数x ，恒有()f x k ≥成立，求实数k 的取值范围； (3)当10<<a 时，设函数)(x f 的3个极值点为321x x x ，，，且321x x x <<. 求证：31x x +＞e2三、填空题：12.377【解析】+a e 在-a e 上的投影为：222()()4137.||7412()+⋅---===-++-a e a e a e a e a e13.92【解析】由中位数的定义可得54,2a +=3a ∴=，∴直线ax y =与曲线2x y =围成图形的面积332230031(3)()23S x x dx x x =-=-⎰92=. 14.512+【解析】由题意,可得两双曲线在第一象限的交点为所以，()36312325C P S ===． (4分) （2）S 的所有可能取值为34，32，334．34S =的为顶角是120的等腰三角形（如△123PP P ），共6种，所以，()36363410C P S ===． (6分)334S =的为等边三角形（如△135PP P ），共2种，所以，()363321410C P S ===， ( 8分)(2)sin sin()2sin 2,A B C C +-= ∴sin()sin()4sin cos ,B C B C C C ++-=2sin cos 4sin cos ,B C C C ∴=,cos 0sin 2sin C B C ∴==或， (8分)①当cos 0C =时,3,,tan ,263C B b a B ππ=∴=∴==11331;2236ABC S ab ∆∴==⨯⨯= (10分)②当sin 2sin B C =时,由正弦定理可得2b c =, 又由余弦定理2222cos ,a b c bc A =+-可得分)∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n c c c c c c c c ---=-+-+⋅⋅⋅+-+2(21)(23)301n n n =-+-+⋅⋅⋅++=- ， (9分)∴11111()(1)(1)211n c n n n n ==--+-+ (10分) 231111*********(1)232435211n c c c n n n n ∴++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-+---+ 111131113(1)()2214214n n n n =+--=-+<++ . (12分)),3,1(c PD --=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-0303cz y x cz y ，取(0,,3)c =m ．(9分)由1442|cos |=⋅=mn m n θ，得1442343222=++c c ．044724=-+c c ，2=c ，所以2=PA . (12分)20. 【解析】(1) 依题意，得1c =,2|00|12,22e -+==即1,2,1,2c a b a =∴=∴= ∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=. (5分) △GFD ∽△OED ，∴2||||||||||,(),||||||||||GF DG GF DG DG OE OD OE OD OD =∴⋅= 即12S S 2||(),||DG OD =又12,||||S S GD OD =∴=, (11分)所以22222222243()()43434343k k k k k k k k ----+=++++，整理得 2890k +=,因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． (13分)21．【解析】(1) xx x x f 2ln )1ln 2()('-=当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ，∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ，此时，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=xax x h 的两个零点，]1,0(e上单调递增, ()01=⎪⎪⎭⎫⎝⎛<'∴e F x F ∴当10<<a 时，ex x 231>+. (14分)。

2014年江西高三数学理科模拟试题

精心整理2014年江西高三数学理科模拟试题以下是为大家整理的关于《2014年江西高三数学理科模拟试题》，供1.2.3.4.5.已知数列是等比数列，且，则的值为()A.B.C.D.6.从编号为001,002,……,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中的编号应该为()A.480B.481C.482D.4837.A.8.9.度为10.角形，其中千米，(),若游客在路线上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映与的函数关系的是() 二、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分.11.(1)(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为的直线与曲线(为参数)相交于两点,则=()()12.13.14.15.2行是3、2第题共6小题，共75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知向量,..(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的值域.17.(本小题满分12分)已知A箱装有编号为的五个小球(小球除编号不同之外，其他完全相同)，B箱装有编号为的两个小球(小球除编号不同之外，其他完全相同),甲从A箱中任取一个小球，乙从B箱中任取一个小球，用分别表(1)18.((1)(2)19.(且，.(1)(2)20.(不变(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线相交于不同的两点，且在之间，设，求的取值范围21.(本小题满分14分)已知函数(1)若,求在点处的切线方程.(2)令，求证：在区间上，存在极值点.(3)令,定义数列:.当且时,求证:对于任意的,恒有.数列(2)则，，，由将,(3),,。

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江西省百所重点中学2014届下学期高三年级模拟考试数学试卷（理科）有答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数i iiz 2135+--=的模为A. 3B. 4C. 5D. 242. 已知集合{}()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==>-+=222ln 1|,032|x x x y x N x x x M ，则()N M C R ⋃为A. )2,3[-B. ]3,2(-C. ()2,1)1,3[⋃-D. )2,1[-3. 在样本的频率分布直方图中，一共有()3≥n n 个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余1-n 个小矩形面积和的0.25，且样本容量为100，则第3组的频数为A. 15B. 20C. 24D. 304. 设等比数列{}n a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，143=S ，且6,3,8321++a a a 依次成等差数列，则31a a ⋅等于A. 4B. 9C. 16D. 255. 设变量y x ,满足约束条件2202400x y x y x m +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则“2≥m ”是“目标函数y x z 23-=的最大值不小于5”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设抛物线y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的倾斜角等于60°，那么|PF|等于A. 32B. 34C. 4D.38 7. 某程序框图如下图所示，若输出的57=S ，则判断框内填A. 4>kB. 5>kC. 6>kD. 7>k8. 某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加时丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有A. 484种B. 552种C. 560种D. 612种9. 如图，已知多面体ABC-DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则下列说法中正确的个数为①EF ⊥平面AE ； ②AE ∥平面CF ；③在棱CG 中存在点M ，使得FM 与平面DEFG 所成的角为4π； ④多面体ABC-DEFG 的体积为5。

A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，矩形ABCD 中，AB=3，AD=2，一质点从AB 边上的点0P 出发，沿与AB 的夹角为θ的方向射到边BC 上点1P 后，依次反射到边CD 、DA 和AB 上的2P 、3P 、4P 处，若4P 落在A 、0P 之间，且20=AP ，设x =θtan ，五边形43210P P P P P 的面积为y ，则函数()x f y =的图像大致是第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11. 已知点⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin ,45tanππ是角θ终边上一点，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπ25cos =__________。

12. 已知在函数()x ae ex x f +=2图像上点()()1,1f 处切线的斜率为e ，则()⎰=1dx x f __________。

13. 在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为O （0，0），A （1，1），且1=⋅，则=⋅__________。

14. 已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点为F ，若该双曲线上存在点P ，满足以双曲线虚轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该双曲线的离心率为__________。

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分。

15. （1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆1C 的方程为⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 34πθρ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程是⎩⎨⎧+-=+-=θθsin 1,cos 1a y a x （θ为参数），若圆1C 与圆2C 外切，则实数=a __________。

（2）（不等式选做题）已知不等式a x x <--+|2||1|的解集为()2,∞-，则a 的值为__________。

四、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且332222=-+b c a B ac sin 。

（1）求角B 的大小；（2）若3=b ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,6ππA ，求边长c 的取值范围。

17. （本小题满分12分）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足2362++=n n n a a S ，又621,,a a a 是等比数列{}n b 的前三项。

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记+-∈+++=N n b a b a b a T n n n n ,...1121，证明：()+++∈-=+N n a b T n n n 11213。

18. （本小题满分12分）某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。

已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A 、B 、C 、D 四项考试不合格的概率均为21，参加第五项不合格的概率为32。

（1）求该生被录取的概率；（2）记该生参加考试的项数为X ，求X 的分布列和期望。

19. （本小题满分12分）如图，在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，E 是AB 的中点，MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM 中，AD=2，AM=773。

（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）求二面角M-EC-D 的大小。

20. （本小题满分13分）如图，正方形CDEF 内接于椭圆()012222>>=+b a by a x ，且它的四条边与坐标轴平行，正方形GHPQ 的顶点G ，H 在椭圆上，顶点P ，Q 在正方形的边EF 上，且CD=2PQ=5104。

（1）求椭圆的方程；（2）已知点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为()0≠m m ，l 交椭圆于A 、B 两个不同点，求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。

21. （本小题满分14分）已知函数()()x f ax xxx f '-=,ln 是()x f 的导数。

（1）若函数()x f 在()∞+,1上是减函数，求实数a 的最小值。

（2）若存在[]221,,e e x x ∈，使()()a x f x f +'≤21成立，求实数a 的取值范围。

参考答案：1. C z ＝5－3i 1－i＋2i ＝4＋3i ，则||z ＝5。

2. A M ＝{}x |x<－3或x>1，N ＝{}x |1<x<2，则（R M ）∪N ＝[－3，2）.3. B 由题意得第3组的频率为0.2，所以第3组的频数等于100×0.2＝20.4. C ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝14，a 1＋8＋a 3＋6＝6a 2， ∴7a 2＝28，即a 2＝4，∴a 1·a 3＝a 22＝16.5. A 作出不等式对应的可行域如图，当取点D （m ，2－2m ）时，z 取最大值为7m －4，由7m －4≥5得m≥97，故选A.6. D 在△APF 中，|PA|＝|PF|，|AF|sin 60°＝4，∴|AF|＝83，又∠PAF ＝∠PFA ＝30°，过P 点作PB ⊥AF 于点B ，则|PF|＝|BF|cos 30°＝12|AF|cos 30°＝83.7. A k ＝2，S ＝4；k ＝3，S ＝11；k ＝4，S ＝26；k ＝5，S ＝57，输出结果，则判断框内填“k ＞4”.8. B 若甲、乙两人只有一人参加时，不同的发言顺序有C 12C 35A 44种；若甲、乙同时参加时，不同的发言顺序有A 24A 23种，共C 12C 35A 44＋A 24A 23＝552种.9. C 根据面面平行的性质定理可得AC ∥GD ，EF ∥GD ，∴EF ∥AC ，∵AC ⊥平面AE ，∴EF ⊥平面AE ，故①正确；取DG 的中点O ，连接AO 、EO ，则AO ∥CG ，EO ∥FG ， ∴平面AEO ∥平面CF ，即AE ∥平面CF ，故②正确；连接CO 、FO ，则CO ⊥平面DEFG ，∴∠CFO 为所求线面角，∵CO ＝FO ＝2，∴∠CFO ＝π4，故③正确；该多面体的体积V ＝V ADO－BEF＋V ABC －OFG ＝4，故④错误.10. B ∵AP 0＝2, P 0B=1，则P 1B ＝tan θ＝x ，P 1C ＝2－x ，P 2C ＝P 1C tan θ＝2x －1，P 2D ＝4－2x ，P 3D ＝P 2Dtan θ＝4tan θ－2，P 3A ＝4－4x ，P 4A ＝4x －4.∵P 4落在A 、P 0之间，∴0＜4x －4＜2，即23＜x ＜1. ∵y ＝S矩形ABCD －S △P0BP1-S △P1CP2－S △P2DP3－S △P3AP4＝6－12x －12（2－x ）（2x －1）－12（4－2x ）（4x －2）－12（4－4x ）（4x －4）＝32－12（34x ＋24x ）＝32－（17x ＋12x ）≤32－451，当且仅当x ＝25117时等号成立，又当x ＝23时，y ＝83；x ＝1时，y ＝3，故选B.11.55 点（tan 5π4，sin （－π6））可化为点（1，－12），则sin θ＝－55，∴c os （5π2＋θ）＝－sin θ＝55.12. 213e -11()(2)21,x x x f x ex ae e ae e a =='=+=+=⇒=-则1231012()()1.33x x ex e dx ex e e -=-=-⎰13. 1 依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝2×2cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，则|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝2×2cos ∠BAC ＝1.14. 5 由题意可知点P 在双曲线的左支上且b>a ，设PF 的中点为M ，双曲线的右焦点为F′（c ，0），连接OM 、PF′（O 为坐标原点），则|PF′|＝2|OM|＝2b 且PF ⊥PF′，∴PF ＝PF′－2a ＝2b －2a ，|PF|2＋|PF′|2＝|FF′|2，即（2b －2a ）2＋（2b ）2＝（2c ）2，得b ＝2a ，则该双曲线的离心率e ＝a 2＋4a 2a＝ 5.15. （1）±2 ⊙C 1的方程化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，由ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2－4x －4y ＝0，其圆心C 1坐标为（2，2），半径r 1＝22；圆C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋acos θ，y ＝－1＋asin θ的普通方程是（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝a 2，所以C 2的坐标是（－1，－1），r 2＝|a|，因为两圆外切，所以|a|＋22＝|C 1C 2|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，所以a ＝±2.（2）3 不等式|x ＋1|－|x －2|＜a 的解集为（－∞，2），说明解的区间端点2是方程|x ＋1|－|x －2|＝a 的一个根，∴有|2＋1|－|2－2|＝a ，解得a ＝3.16. 解：（1）在△ABC 中，根据余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2accos B ，且a 2＋c 2－b 2＝233acsin B ，∴2accos B ＝233acsin B ，∴tan B ＝ 3.又∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.（6分）（2）∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－A －B ＝2π3－A.由正弦定理，得c sin C ＝b sin B ＝3sinπ3＝2， ∴c ＝2sin C ＝2sin （2π3－A ）.∵π6＜A ＜π2，∴π6＜2π3－A ＜π2. ∴12＜sin （2π3－A ）＜1.∴c ∈（1，2）.（12分） 17. 解：（1）∵6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2， ① ∴6a 1＝a 21＋3a 1＋2，解得a 1＝1或a 1＝2. 又6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2（n≥2）， ② 由①－②，得6a n ＝（a 2n －a 2n －1）＋3（a n －a n －1），即（a n ＋a n －1）（a n －a n －1－3）＝0. ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝3（n≥2）.当a 1＝2时，a 2＝5，a 6＝17，此时a 1，a 2，a 6不成等比数列，∴a 1≠2；∴a n ＝3n －2，b n＝4n －1.（6分）（2）由（1）得T n ＝1×4n －1＋4×4n －2＋…＋（3n －5）×41＋（3n －2）×40， ③∴4T n ＝1×4n ＋4×4n －1＋7×4n －2＋…＋（3n －2）×41. ④由④－③得3T n ＝4n ＋3×（4n －1＋4n －2＋…＋41）－（3n －2）＝4n＋12×（1－4n －1）1－4－（3n－2）＝2×4n －（3n ＋1）－1＝2b n ＋1－a n ＋1－1， ∴3T n ＋1＝2b n ＋1－a n ＋1，n ∈N ＋.（12分）18. 解：（1）若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格，记A ＝{前四项均合格，且第五项合格}，B ＝{前四项中仅有一项不合格，且第五项合格}，则P （A ）＝41()2·（1－23）＝148，P （B ）＝C 14×12×（1－12）3×（1－23）＝112. 又A 、B 互斥，故所求概率为 P ＝P （A ）＋P （B ）＝148＋112＝548.（2）该生参加考试的项数X 可以是2，3，4，5. P （X ＝2）＝12×12＝14，P （X ＝3）＝C 12（1－12）×12×12＝14， P （X ＝4）＝C 13（1－12）×（12）2×12＝316，P （X ＝5）＝1－14－14－316＝516，则X 的分布列为EX ＝2×14＋3×14＋4×316＋5×516＝5716.（12分）19. 解：（1）CM 与BN 交于F ，连接EF. 由已知可得四边形BCNM 是平行四边形， ∴F 是BN 的中点.∵E 是AB 的中点，∴AN ∥EF ，又EF平面MEC ，AN平面MEC ，∴AN ∥平面MEC.（5分）（2）连接DE ，由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB.如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，则D （0，0，0），E （3，0，0）, C （0，2，0），M （3，－1，377）.CE →＝（3，－2，0），EM →＝（0，－1，377）.设平面MEC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n ＝0，EM →·n ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，y －377z ＝0.令x ＝2，所以n ＝（2，3，213），又平面CDE 的法向量m ＝（0，0，1），所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12.所以二面角M —EC —D 的大小是60°.（12分） 20. 解：（1）∵CD ＝4105，∴点E （2105，2105），又∵PQ ＝2105，∴点G （4105，105），则⎩⎨⎧85a 2＋85b 2＝1，325a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2，∴椭圆方程x 28＋y 22＝1.（4分）（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只须证明k 1＋k 2＝0即可，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，直线l 的方程为y ＝12x ＋m ，代入椭圆方程x 28＋y 22＝1消去y ，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，可得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.（9分）而k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝（12x 1＋m －1）（x 2－2）＋（12x 2＋m －1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4＋（m －2）（－2m ）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0，（12分）∴k 1＋k 2＝0，故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.（13分） 21. 解：（1）因为f （x ）在（1，＋∞）上为减函数，故f′（x ）＝ln x －1（ln x ）2－a≤0在（1，＋∞）上恒成立.所以当x ∈（1，＋∞）时，f′（x ）max ≤0.又f′（x ）＝ln x －1（ln x ）2－a ＝－（1ln x ）2＋1ln x －a ＝－（1ln x －12）2＋14－a ，故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f′（x ）max ＝14－a.所以14－a≤0，于是a≥14，故a 的最小值为14.（4分）（2）命题“若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f （x 1）≤f′（x 2）＋a 成立”等价于 “当x ∈[e ，e 2]时，有f （x ）min ≤f′（x ）max ＋a”.由（1）知，当x ∈[e ，e 2]时，有f′（x ）max ＝14－a ，∴f′（x ）max ＋a ＝14.11 问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f （x ）min ≤14”.（6分） 10当a≥14时，由（1），f （x ）在[e ，e 2]上为减函数，则f （x ）min ＝f （e 2）＝e 22－ae 2≤14，故a≥12－14e 2.（8分） 20当a ＜14时，由于f′（x ）＝－（1ln x －12）2＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数，故f′（x ）的值域为[f′（e ），f′（e 2）]，即[－a ，14－a]. ①若－a≥0，即a≤0，f′（x ）≥0在[e ，e 2]上恒成立，故f （x ）在[e ，e 2]上为增函数，于是，f （x ）min ＝f （e ）＝e －ae≥e ＞14，不合题意.（10分） ②若－a ＜0，即0＜a ＜14，由f′（x ）的单调性和值域知，存在唯一x 0∈（e ，e 2），使f′（x 0）＝0，且满足：当x ∈（e ，x 0）时，f′（x ）＜0，f （x ）为减函数；当x ∈（x 0，e 2）时，f′（x ）＞0，f （x ）为增函数.（12分）所以，f （x ）min ＝f （x 0）＝x 0ln x 0－ax 0≤14，x 0∈（e ，e 2）. 所以，a≥1ln x 0－14x 0＞1ln e 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合题意. 综上，得a≥12－14e 2.（14分）。