1_九年级数学复习专题(一)
2021年九年级中考数学第三轮冲刺：列方程或方程组解应用题 综合性专题复习(一)
2021年中考数学第三轮冲刺：列方程或方程组解应用题综合性专题复习（一）1、某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B 型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A 型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．2、新冠肺炎疫情期间，部分小区出现防疫物资紧缺，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种防疫物品共2000件送往各小区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同（1）求甲、乙两种防疫物品每件的价格各是多少元？（2）经调查，各小区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这2000件物品，需筹集资金多少元？3、某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万千克. 如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？4、某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元．（1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？（2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍．如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？5、从甲市到乙市乘坐高铁列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米，高铁列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍，高铁列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．（1）求高铁列车的平均速度是每小时多少千米；（2）某日王老师要去距离甲市大约405m的某地参加14：00召开的会议，如果他买到当日10：40从甲市至该地的高铁票，而且从该地高铁站到会议地点最多需要1.5h，试问在高铁列车准点到达的情况下他能在开会之前到达吗？6、端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？7、某学校举行“青春心向党建功新时代”演讲比赛活动，准备购买甲、乙两种奖品，小昆发现用480元购买甲种奖品的数目恰好与用360元购买乙种奖品的数目相等，已知甲种奖品的单价比乙种奖品的单价多10元．（1）求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？（2）如果需要购买甲乙两种奖品共100个，且甲种奖品的数目不低于乙种奖品数目的2倍，问购买多少个甲种奖品，才使得总购买费用最少？8、某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同．（1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？（2）由于需求量大，A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？9、同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？10、新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A 种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？11、某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？12、某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．13、某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．①求乙车间需临时招聘的工人数；②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．14、某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b．②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．15、清明时节“雨后绿初见，择艾作青团”．“元祖“推出一款鲜花青团和一款芒果青团，鲜花青团每个售价是芒果青团的54倍，4月份鲜花青团和芒果青团总计销售6000个．鲜花青团销售额为250000元，芒果青团销售额为280000元．（1）求鲜花青团和芒果青团的售价？（2）5月份正值“元祖”店庆，计划再生产12000个青团回馈新老顾客，但考虑到芒果青团较受欢迎，同时也考虑受机器设备限制，因此芒果青团的个数不少于鲜花青团个数的32，且不多于鲜花青团的2倍，其中，鲜花青团每个让利3元销售，芒果青团售价不变，问：“元祖”如何设计生产方案？可使总销售额最大，并求出总销售额的最大值．16、2020年全民抗疫期间，抗疫志士莫小贝购进一条生产线生产抗疫物质. 已知该生产线的三个操作平台分别排列在同一直线上，顺次是甲、乙、丙，其中甲乙平台之间的距离为40米，乙丙平台之间的距离为60米，操作甲、乙、丙平台分别需要20人、70人、60人. 由于时间仓促无法做到完全自动化，需要在三个平台之间建立一个原材料供给站让工人自取，有如下两个方案：方案一：让所有工人到供给站的距离总和最小；方案二：让甲、丙平台所有工人到供给站的距离之和等于乙平台所有工人到供给站的距离之和.(1)若按照方案一建站，供给站距离甲平台多少米？(2)若按照方案二建站，供给站距离甲平台多少米？(3)在(2)的条件下，若甲平台的工人数增加a 人(22 a )，那么随着a 的增大，供给站将距离甲平台将越来越远，还是越来越近？请说明理由.17、国务院新闻办公室举行新闻发布会，经过7年多的精准扶贫，4年多的脱贫攻坚战，全国现行标准下的贫困人口减少了9348万人。
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用(一)
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用（一）一．选择题1．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB＝BC＝3，则PA的长是（）A．9 B．3 C．D．182．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA＝2，BC＝2PB，那么PB 的长为（）A．2 B．C．4 D．3．如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC＝5，则CD＝（）A．B．C．7 D．244．如图，已知P为⊙O外一点，PO交⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，且PB ＝BC，若OA＝7，PA＝4，则PB的长等于（）A．B．C．6 D．5．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝8，那么PA的长为（）A．2 B．4 C．6 D．6．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（）A．3 B．4 C．D．7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY＝4，则图中圆环的面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π8．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．99．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（）A．B．C．D．410．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（）A．16 B．C．D．二．填空题11．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB 延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝．12．如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连接AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你认为成立的比例式的序号都填上）．13．如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA＝PC，PB＝3cm，则PD＝cm．14．如图，过⊙O外一点P作两条割线，分别交⊙O于A，B和C，D．已知PA＝2，PB ＝5，PD＝8，则PC的长是．15．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC 的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E．若AB＝CD＝2，求CE的长．17．如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．解答下列问题：（1）若BC＝10，BE＝8，求CD的值；（2）求证：DF•DB＝EG•EF．18．如图1，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线（1）求证：BE＝DE；（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF＝，求△ABC的面积；（3）从图1中，显然可知BC＜AC．试分别讨论在其它条件不变，当BC＝AC（图2）和BC＞AC（图3）时，直线DE与直线AC还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F'且DF'＝，请再求出△ABC的面积．19．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．20．如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．（1）如图甲，若PA＝8，PC＝10，CD＝6．①求sin∠APC的值；②sin∠BOD＝；（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD＝BD；②若，试求cos∠BAD的值．参考答案一．选择题1．解：∵PB＝BC＝3，∴PC＝6，∵PA2＝PB•PC＝18，∴PA＝3，故选：C．2．解：设PB＝x，则PC＝3x，∵PA2＝PB•PC，PA＝2，BC＝2PB，∴x•3x＝12，∴x＝2．故选：A．3．解：由于PAB、PCD都是⊙O的割线，根据切割线定理可得：PA•PB＝PC•PD，即PA•（PA+PB）＝PC•PD，∵PA＝6，AB＝4，PC＝5，∴PD＝12，即CD＝PD﹣PC＝7；故选：C．4．解：延长PO交圆于D；设PB＝BC＝x，∵PB•PC＝PA•PD，PB＝BC，OA＝7，PA＝4，∴x•2x＝72，∴x＝6．故选：C．5．解：∵PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB•PC＝16，即PA＝4；故选：B．6．解：连接CE；∵，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5；由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，故选：D．7．解：过点A作圆的切线AD，切点是D，∵AD2＝AX•AY，AX•AY＝4，∴AD＝2，∴圆环的面积＝πAD2＝4π．故选：C．8．解：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选：D．9．解：如图，若，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40．则A′C2＝20，又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝4．故选：A．10．解：连接OA，OP∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴∠OPA＝∠APB＝30°，OA⊥OP，∴OP＝＝＝，∴点P与O间的距离是．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：连接OQ交AB于M，则OQ⊥AB，连接OA，则OA⊥AQ．∵∠QMP＝∠QSP＝90°，∴S，P，Q，M四点共圆，故OS•OP＝OM•OQ．又∵OM•OQ＝OA2＝2，∴OS•OP＝2．故答案为：2．12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD＝∠C，∠PAD＝∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等，得到②③是正确的．13．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝PC，PB＝3cm∴PB＝PD＝3cm．14．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝2，PB＝5，PD＝8∴PC＝＝．15．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．三．解答题（共5小题）16．解：如图，由切割线定理，得CD2＝CB•CA，（2分）CD2＝CB（AB+CB），CB2+2CB﹣4＝0，解得CB＝（负数舍去）连接OD，则OD⊥CD，又EB与⊙O相切，∴EB⊥OC，∴Rt△ODC∽Rt△EBC，（6分）于是，即∴CE＝．17．（1）解：∵AB为直径，BD⊥CD∴∠ABC+∠A＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD＝∠A∴∠ABC＝∠BCD∵CD⊥BD，CE⊥BE∴CE＝CD∴CE＝＝6∴CD＝6（2）证明：∵CD为切线，BD为割线∴CD2＝DF•DB①∵∠ACB＝90°，CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2＝EA•EB②∵EG•EF＝EA•EB③由①②③及CD＝CE得DF•DB＝EG•EF．18．（1）证明：连接OD，∴OD⊥DE，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE；（2）解：在直角三角形ODF中，OD＝1，DF＝，∴∠OFD＝30°，∴OF＝2，AF＝3．∴tan∠A＝，∴BC＝AC•tan∠A＝2×tan30°＝．S△ABC＝AC•BC＝×2×＝；（3）解：如图，当BC＝AC时，直线DE与直线AC平行；当BC＞AC时，在直角三角形ODF′中，OD＝1，DF′＝，∴∠OF′D＝30°，∴OF′＝2，AF＝1，∴CF′＝3，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan∠BAC＝2×tan60°＝2．S△ABC＝AC•BC＝×2×2＝2．19．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．20．解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．①根据垂径定理，得CE＝3．设圆的半径是r．根据勾股定理，得OP2﹣PE2＝OC2﹣CE2，（8+r）2﹣169＝r2﹣9，解得r＝6．则OE＝3．则sin∠APC＝＝；②设OF＝x．根据勾股定理，得PD2﹣PF2＝OD2﹣OF2，256﹣（14+x）2＝36﹣x2，解得x＝．所以DF＝．所以sin∠BOD＝＝＝．（2）①∵AC∥OD，∴∠1＝∠2．又OA＝OD，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．所以弧CD＝弧BD，所以CD＝BD；②∵AC∥OD，∴＝．又CD＝BD，AB＝2OA，∴＝．∴cos∠BAD＝＝．。
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（一）1．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．7．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．8．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ＝，求点K的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．10．如图1，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB ＝2CO．（1）求二次函数解析式；（2）在二次函数图象（如图2）位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3），∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，此时，点P（2，﹣1），综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．2．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵点B（3，0），点C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，∵S△PBC有最大值，∴当m＝时，S△PBC∴点P（，）；（3）存在N满足条件，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，∴点A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M为（1，4），∵点M为（1，4），点C（0，3），∴直线MC的解析式为：y＝x+3，如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，∴DE＝4＝MD，∴∠NMQ＝45°，∵NQ⊥MC，∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，∴MQ＝NQ，∴MQ＝NQ＝MN，设点N（1，n），∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，∴NQ＝AN，∴NQ2＝AN2，∴（MN）2＝AN2，∴（|4﹣n|）2＝4+n2，∴n2+8n﹣8＝0，∴n＝﹣4±2，∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，∵S ＝S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC ＝×AO ×y P +×OC ×|x P |﹣×CO ×OD ＝4，∴×3×（﹣x 2﹣x +2）+×2×（﹣x ）﹣×1×2＝4，∴x 1＝﹣1，x 2＝﹣2， ∴点P （﹣1，）或（﹣2，2）；（3）①如图2，若点M 在CD 左侧，连接AM ，∵∠MDC ＝90°，∴∠MDA +∠CDO ＝90°，且∠CDO +∠DCO ＝90°， ∴∠MDA ＝∠DCO ，且AD ＝CO ＝2，MD ＝CD ， ∴△MAD ≌△DOC （SAS ）∴AM ＝DO ，∠MAD ＝∠DOC ＝90°， ∴点M 坐标（﹣3，1），若点M 在CD 右侧，同理可求点M '（1，﹣1）； ②如图3，∵抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +1）2+；∴对称轴为：直线x ＝﹣1，∴点D在对称轴上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴点D是MM'的中点，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，∵点C（0，2），点D（﹣1，0）∴DC＝，∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣）延长M'C交对称轴与N''，∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，∴当x＝﹣1时，y＝5，∴点N''的坐标（﹣1，5），∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴点N''（﹣1，5）符合题意，综上所述：点N的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．4．解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴，∵BC＝CD，BO＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，∴点C（0，），∴OC＝，∵tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK＝AB＝2，∴DK＝＝＝2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，∴PN＝，BP＝，当△BAD∽△BPQ，∴，∴BQ＝＝2+，∴点Q（1﹣，0）；当△BAD∽△BQP，∴，∴BQ＝＝4﹣，∴点Q（﹣1+，0）；若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，当△DAB∽△BPQ，∴，∴，∴BQ＝2+2∴点Q（1﹣2，0）；当△BAD∽△PQB，∴，∴BQ＝＝2﹣2，∴点Q（5﹣2，0）；综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．5．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0）∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S△PCD＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，易求直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，联立，解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．7．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于点A （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，＝AE×OC＝AC×EF，∵S△AEC∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．8．解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC＝＝4，设直线BP解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+，∵∠BMC＝90°∴点M在以BC为直径的圆上，∴设点M（c，﹣c+），∵点Q是Rt△BCM的中点，∴MQ＝BC＝2，∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（﹣c+﹣2）2＝8，∴c＝4或﹣，当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，∴c＝﹣，则点M坐标（﹣，），故线段PB上存在点M（﹣，），使得∠BMC＝90°；（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE＝＝，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4＝，∴n＝，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE＝＝＝，①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴＝（4﹣m）﹣，∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴＝﹣（4﹣m），∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（，）或（，），综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．9．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴顶点D坐标（﹣1，）；（3）①∵抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于B（﹣3，0）、C两点，∴点C（1，0）设点E（m，m2﹣m+2），则点P（m，0），∵PE＝PC，∴m2﹣m+2＝1﹣m，∴m＝1（舍去），m＝﹣，∴点E（﹣，）②如图，连接AE交对称轴于点N，连接DE，作EH⊥DN于H，交y轴于点F，∵点A（0，2），点E（﹣，），∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，∴点N坐标（﹣1，）∴DH＝＝，HN＝＝，∴DH＝NH，且EH⊥DN，∴∠DEH＝∠NEH，∴点F到AE，DE的距离相等，∴DN∥y轴，EH⊥DN，∴EH⊥y轴，∴EF＝；③在x轴正半轴取点H，使OH＝OA＝2，∵OH＝OA，∠AOP＝∠QOH＝90°，OP＝OQ，∴△AOP≌△HOQ（SAS）∴AP＝QH，∴AP+DQ＝DQ+QH≥DH，∴点Q在DH上时，DQ+AP有最小值，最小值为DH的长，∴AP+DQ的最小值＝＝．10．解：（1）对于抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，得到a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣1或3，∴C（﹣1，0），A（3，0），∴OC＝1，∵OB＝2OC＝2，∴B（0，2），把B（0，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）中得：2＝﹣3a，a＝﹣∴二次函数解析式为＝；（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2﹣m，），MN＝m﹣2+m＝2m﹣2，GM＝矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2m﹣2）+2（）＝＝∴当时，C有最大值，最大值为；（3）∵A（3，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，由对称得：抛物线的对称轴是：x＝1，∴AE＝3﹣1＝2，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：①如图1，当∠BAP＝90°时，点P在AB的下方，∵∠PAE+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠PAE＝∠ABO，∵∠AOB＝∠AEP，∴△ABO∽△PAE，∴，即，∴PE＝3，∴P（1，﹣3）；②如图2，当∠PBA＝90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，同理得：△PFB∽△BOA，∴，即，∴BF＝，∴OF＝2+＝，∴P（1，）；③如图3，以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B＝∠AP2B＝90°，设P1（1，y），∵AB2＝22+32＝13，由勾股定理得：AB2＝P1B2+P1A2，∴12+（y﹣2）2+（3﹣1）2+y2＝13，解得：y＝1±，∴P（1，1+）或（1，1﹣），综上所述，点P的坐标为（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣）。
人教版初中数学-学年九年级上学期期末专题复习 专题1：一元二次方程 解析版
人教版初中数学2019-2020学年九年级上学期期末专题复习专题1：一元二次方程一、单选题1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A. x2+2y=1B. ﹣2=0C. ax2+bx+c=0D. x2+2x=12.一元二次方程x2-x-4=0的一次项系数和常数项分别是（）A. 1，-1B. 1，-4C. -1，-4D. -1，43.将一元二次方程化为一般形式，正确的是（）A. B. C. D.4.方程的解是（）A. B. C. ， D.5.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根,则k的取值范围是( )A. k>-1或k≠0B. k≥-1C. k≤-1或k≠0D. k≥-1且k≠06.一元二次方程x2+4x+2=0的根的判别式的值为（）A. 8B. 24C.D.7.已知x1、x2、是一元二次方程x2+x-2=0的两个根，则x1+x2+x1x2的值为（）A. 1B. -3C. 3D. -2二、填空题8.方程x2-2ax+3=0有一个根是1，a的值是________。
9.若代数式可化为，则=________，=________.10.定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a，如：min{1，-2）=-2，min{-3，-2）=-3，则方程min{x，-x}=x2-1的解是________.三、计算题11.解下列方程。
（1）x2-5x+6=0（2）(2x＋1)(x－4)＝5.12.（1）先化简，再求值：（x-2y）2-x（x+3y）-4y2，其中x=-4，y= .（2）已知：x+y=6，xy=4，求下列各式的值x2+y213.按要求解一元二次方程（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0．（5）(6x－1)2＝25；四、解答题14.如图，在宽为20m，长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ，求道路的宽．15.要组织一次篮球邀请比赛，参赛的队伍每两个队都要比赛一场.赛程安排7天,每天比赛4场,问组织者应该邀请多少个队参赛?五、综合题16.已知关于x的一元二次方程x2+x+m﹣1＝0．（1）当m＝0时，求方程的实数根．（2）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．17.在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．（1）若参加聚会的人数为3，则共握手________次；若参加聚会的人数为5，则共握手________次；（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手________次；（3）若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．（4）嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．答案解析部分一、单选题1. D解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符合题意；C、当a=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故答案为：D．【分析】一元二次方程是指含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，根据定义判断即可．2. C解：一元二次方程x2-x-4=0的一次项系数时-1，常数项是-4，故C正确。
专题01 一元二次方程(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练
2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题01 一元二次方程【典型例题】1．（2020·青浦区实验中学期中）下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A ．3(x ＋1)2＝2(x ＋1)B ．21x ＋1x－2＝0 C ．ax 2＋bx ＋c ＝0 D ．x 2＋2x ＝x 2－1 【答案】A2．（2020·山东泗水初三期中）若()11620m m x mx +++-=是关于x 的一元二次方程，则m =________．【答案】1【专题训练】一、选择题1．（2020·湖南湘潭初三期末）已知关于x 的一元二次方程2240x ax -+=的一个根是2，则a 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-2D ．2 【答案】D2．（2020·山东东平期末）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）A ．22731x y -=+B ．25620x y --= C ．22x x x x -=+ D ．()2320ax b x c +-++=【答案】C3．（2020·安徽安庆期末）若x =2是关于x 的一元二次方程x 2-mx +8=0的一个解．则m 的值是( )A ．6B ．5C ．2D ．-6【答案】A4．（2019·四川雁江初三期末）如果关于x 的方程27(3)30m m x x ---+=是一元二次方程，那么m 的值为：（ ） A ．3± B ．3 C ．-3 D ．都不是【答案】C5．（2020·安徽蚌埠期末）一元二次方程4x 2﹣1=5x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．4，﹣1，5 B ．4，﹣5，﹣1 C ．4，5，﹣1 D ．4，﹣1，﹣5【答案】B6．（2020·四川米易初三期末）已知a 是方程22430x x --=的一个根，则代数式224a a -的值等于（ ）A ．3B ．2C ．0D ．1 【答案】A7．（2020·安徽铜陵初三期末）已知关于 x 的方程20x ax b ++=有一个根是(0)b b ≠，则a b +的值是（ ） A ．－1 B ．0 C ．12 D ．1 【答案】A8．（2020·全国初三课时练习）已知m 是方程23220x x --=的值（ ）A ．2BC D【答案】C9．（2019·贵州印江初三期末）将一元二次方程22(1)1(1)2x x x +-=+-写成一般形式_____．【答案】2330x x ++=10．（2020·湖南雨花期末）已知方程ax 2+bx +c ＝0的一个根是﹣1，则a ﹣b +c ＝_____．【答案】011．（2020·银川市第十五中学初三一模）关于x 的一元二次方程(m －1)x 2+6x +m 2－m =0的一个根x =0，则m 的值是_____．【答案】012．（2020·贵州印江初三期末）若关于x 的方程||(m 2)m 20m x x --+=为一元二次方程，则m =__________．【答案】－213．（2020·全国初三课时练习）下列方程中，①7x 2+6＝3x ；②212x ＝7；③x 2﹣x ＝0；④2x 2﹣5y ＝0；⑤﹣x 2＝0中是一元二次方程的有_____． 【答案】①③⑤．14．（2020·全国初三课时练习）把一元二次方程（x ﹣2）2﹣x ＝7x +6化为一般形式是_____，二次项系数是_____，一次项是_____，常数项是_____．【答案】x 2﹣12x ﹣2＝0 1 ﹣12x ﹣215．（2020·河北初三二模）若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m +2020的值为_____．【答案】202316．（2020·南宁市新民中学初三期中）若关于x 的一元二次方程22(1)410a x x a --+-=的一根是0，则a ＝___________． 【答案】-117．（2019·全国初二单元测试）把关于x 的方程()()()23x x x -=化成一元二次方程的一般形式，并写出方程中各项与各项的系数. 【答案】解：原方程整理得226918x x x -+=-∴22690x x∴各项与各项的系数分别为：二次项22x ，二次项系数2；一次项-6x ，一次项系数-6；常数项-9.18．（2020·安徽天长龙集九年制学校期中）关于x 的方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程，求m 的值．【答案】解：关于x 的方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程，依题意有，27230m m ⎧-=⎨-≠⎩∴m =-3∴当m =-3时方程27(3)5m m x x ---=是一元二次方程．19．（2018·陕西洛南）如果关于x 的方程（m ﹣3）x |m ﹣1|﹣x +3＝0是一元二次方程，求m 的值．【答案】由题意，得|m ﹣1|＝2且m ﹣3≠0．解得m ＝﹣3．即m 的值是﹣3．20．（2020·全国初三课时练习）已知m 是方程x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式()221m m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】解：∵m 是方程x 2-x -2=0的根，∴m 2-m -2=0，即m 2-m =2,m 2-2=m .∴()()222221121224m m m m m m m m m m ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--+=-+=+=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21．（2020·全国初三课时练习）若m 是一元二次方程||120a x x ---=的一个实数根． （1）求a 的值；（2）不解方程，求代数式()221m m m m ⎛⎫-⋅-+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）由于||120a x x ---=是关于x 的一元二次方程， 所以||12a -=，解得3a =±；（2）由（1）知，该方程为220x x --=， 把x =m 代入，得220m m --=，所以22m m -=，①由220m m --=，得210m m --=， 所以21m m-=，② 把①和②代入()221m m m m ⎛⎫-⋅-+ ⎪⎝⎭， 得()2212(11)4m m m m ⎛⎫-⋅-+=⨯+= ⎪⎝⎭， 即()2214m m m m ⎛⎫-⋅-+= ⎪⎝⎭．。
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切线长定理综合运用(一)
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切线长定理综合运用（一）一．选择题1．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．42．如图，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（）A．B．C．2 D．33．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（）A．AB＞CE＞CD B．AB＝CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB＝CD＝CE4．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°5．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC＝2，DA＝3，则AB的长（）A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定6．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（）A．4 B．8 C．4D．87．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（）A．PA＝PB B．∠APO＝20°C．∠OBP＝70°D．∠AOP＝70°8．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．169．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若AB＝10，BC＝4，则AD的长（）A．4 B．5 C．6 D．710．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N．下列结论：①S四边形ABCD＝AB•CD；②AD＝AB；③AD＝ON；④AB为过O、C、D三点的圆的切线．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是．12．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是cm．13．如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝．14．如图，已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA＝10cm，那么△PEF周长是cm．若∠P＝35°，那么∠AOB＝，∠EOF＝．15．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，若△PDE的周长是10，则PA＝．三．解答题16．已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA＝12cm，求△PEF的周长．17．如图，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，分别过A、B作圆O的切线，两切线交于点P，若已知⊙O的半径为1，求△PAB的周长．18．如图，点B在⊙O外，以B点为圆心，OB长为半径画弧与⊙O相交于两点C，D，与直线OB相交A点．当AC＝5时，求AD的长．19．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．20．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．（1）若PA＝4，求△PED的周长；（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．参考答案一．选择题1．解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，∴PA＝PB，∵DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EB＝EC，∵△PDE的周长为12，即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12，∴PA＝6．故选：B．2．解：在直角△BCM中，tan60°＝＝，得到BC＝＝2，∵AB为圆O的直径，且AB⊥BC，∴BC为圆O的切线，又CD也为圆O的切线，∴CD＝BC＝2．故选：C．3．解：∵∠1＝60°，∠2＝65°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣65°＝55°，∴∠2＞∠1＞∠ABC，∴AB＞BC＞AC，∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，∴AC＝CD，BC＝CE，∴AB＞CE＞CD．故选：A．4．解：如图，连接OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切线，∴∠OBA＝∠OCA＝90°，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝130°，∵∠BOC＝2∠P，∴∠BPC＝65°；故选：C．5．解：如图，连接OC，OD，设⊙O的半径为r，∵BC、CD、DA与半⊙O相切，∴AD边上的高和AO边上的高都为r，∴AO＝AD，同理BO＝BC，∴AB＝AO+BO＝AD+BC＝2+3＝5．故选：B．6．解：∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，∴PA＝PB，又∠P＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝8．故选：B．7．解：∵PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，∠A＝∠B＝90°，∴∠OBP＝∠OAP，∴C是错误的．故选：C．8．解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH．∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9，∴C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7．故选：A．9．解：连接OC，OD，设⊙O的半径为r，∵BC、CD、DA与半⊙O相切，∴AD和AO的高为r，∴AO＝AD，同理BO＝BC，∴AB＝AO+BO＝AD+BC，又知AB＝10，BC＝4，故知AD＝6，故选：C．10．解：连接OD、AP，∵DA、DP、BC分别是圆的切线，切点分别是A、P、B，∴DA＝DP，CP＝CB，∠A＝90°＝∠B＝∠DPO，∴AD+BC＝DP+CP＝CD，∴S四边形ABCD＝（AD+BC）•AB＝AB•CD，∴①正确；∵AD＝DP＜OD，∵四边形ODPN是平行四边形，得到OD＝NP＜BP＜AB，则AD＜AB，∴②错误；∵AB是圆的直径，∴∠APB＝90°，∵DP＝AD，AO＝OP，∴D、O在AP的垂直平分线上，∴OD⊥AP，∵∠DPO＝∠APB＝90°，∴∠OPB＝∠DPA＝∠DOP，∵OM∥CD，∴∠POM＝∠DPO＝90°，在△DPO和△NOP中∠PON＝∠DPO，OP＝OP，∠DOP＝∠OPN，∴△DPO≌△NOP，∴ON＝DP＝AD，∴③正确；∵AP⊥OD，OA＝OP，∴∠AOD＝∠POD，同理∠BOC＝∠POC，∴∠DOC＝×180°＝90°，∴△CDO的外接圆的直径是CD，∵∠A＝∠B＝90°，取CD的中点Q，连接OQ，∵OA＝OB，∴AD∥OQ∥BC，∴∠AOQ＝90°，∴④正确．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．故答案为：72°．12．解：如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，设AB与圆相切于点E，可得OE⊥AB，∵一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，∴AB＝5cm，设BO＝4x，则AO＝3x，故（4x）2+（3x）2＝25，解得：x＝1，则AO＝3，BO＝4，故EO•AB＝AO•BO，解得：EO＝．故答案为：．13．解：∵PA＝6，⊙O的半径为2，∴PB＝PA﹣AB＝6﹣4＝2，∴OP＝4，∵PC、PD切⊙O于点C、D．∴∠OPC＝∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin∠OPC＝＝，∴∠OPC＝30°，∴∠CPD＝60°，故答案为：60°．14．解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D．∴AE＝ED，DF＝FR∴△PEF周长是PE+PF+EF＝PE+EA+PF+FR＝PA+PR＝2PA＝20cm；∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B∴∠PAO＝∠PRO＝90°∴∠AOB＝360°＝90°﹣90°﹣35°＝145°；∴∠EOF＝∠AOB＝72.5°故答案是：20，145°，72.5°．15．解：∵DA，DC都是圆O的切线，∴DC＝DA，同理EC＝EB，PA＝PB，∴△PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝10，∴PA＝5；故答案为5．三．解答题（共5小题）16．解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∴PA＝PB＝12，∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，∴EB＝EQ，FQ＝FA，∴△PEF的周长是：PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF，＝PE+EB+PF+FA＝PB+PA＝12+12＝24，答：△PEF的周长是24．17．解：∵PA，PB是圆O的切线．∴PA＝PB，∠PAB＝60°∴△PAB是等边三角形．在直角△ABC中，AB＝AC•sin60°＝2×＝∴△PAB的周长为PA+PB+AB＝3．18．解：连接OC、OD．∵OA是⊙B的直径，∴∠OCA＝∠ODA＝90°，∴AC、AD都是⊙O的切线．∴AD＝AC＝5．19．解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC﹣AD＝6，∴DC2＝62+82＝100，即DC＝10．（1分）设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，∴x+（x+6）＝10．∴x＝2．∴AD＝2，BC＝2+6＝8．（4分）方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE，设AD＝x，则BC＝x+6，由射影定理可得：OE2＝DE•EC．（2分）即：x（x+6）＝16，解得x1＝2，x2＝﹣8，（舍去）∴AD＝2，BC＝2+6＝8．（4分）（2）存在符合条件的P点．设AP＝y，则BP＝8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，∴y＝；（6分）②△ADP∽△BPC时，∴y＝4．（7分）故存在符合条件的点P，此时AP＝或4．（8分）20．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，∴DC＝DA，同理EC＝EB，∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B∴PA＝PB，∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，即三角形PDE的周长是8；（2）连接AB，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠P＝40°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，∵BF⊥PB，BF为圆直径∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．。
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用(一)
2021年九年级数学中考复习专题之圆：切割线定理综合运用（一）一．选择题1．P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PB＝BC＝3，则PA的长是（）A．9 B．3 C．D．182．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的一条割线，且PA＝2，BC＝2PB，那么PB 的长为（）A．2 B．C．4 D．3．如图，⊙O的两条割线PAB，PCD分别交⊙O于点A，B和点C，D．已知PA＝6，AB＝4，PC＝5，则CD＝（）A．B．C．7 D．244．如图，已知P为⊙O外一点，PO交⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，且PB ＝BC，若OA＝7，PA＝4，则PB的长等于（）A．B．C．6 D．5．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB＝2，PC＝8，那么PA的长为（）A．2 B．4 C．6 D．6．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（）A．3 B．4 C．D．7．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY＝4，则图中圆环的面积为（）A．16πB．8πC．4πD．2π8．如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA＝2，PC＝CD＝3，则PB＝（）A．6 B．7 C．8 D．99．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（）A．B．C．D．410．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB ＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（）A．16 B．C．D．二．填空题11．如图，⊙O的半径为，A、B两点在⊙O上，切线AQ和BQ相交于Q，P是AB 延长线上任一点，QS⊥OP于S，则OP•OS＝．12．如图，过点P引圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆于点A，B和C，D，连接AC，BD，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你认为成立的比例式的序号都填上）．13．如图，割线PAB与⊙O交于点A、B，割线PCD与⊙O交于点C、D，PA＝PC，PB＝3cm，则PD＝cm．14．如图，过⊙O外一点P作两条割线，分别交⊙O于A，B和C，D．已知PA＝2，PB ＝5，PD＝8，则PC的长是．15．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC 的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．三．解答题16．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点E．若AB＝CD＝2，求CE的长．17．如图所示，⊙O的内接△ABC的AB边过圆心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于点E，FE交⊙O于G．解答下列问题：（1）若BC＝10，BE＝8，求CD的值；（2）求证：DF•DB＝EG•EF．18．如图1，已知Rt△ABC的直角边AC的长为2，以AC为直径的⊙O与斜边AB交于点D，过D点作⊙O的切线（1）求证：BE＝DE；（2）延长DE与AC的延长线交于点F，若DF＝，求△ABC的面积；（3）从图1中，显然可知BC＜AC．试分别讨论在其它条件不变，当BC＝AC（图2）和BC＞AC（图3）时，直线DE与直线AC还会相交吗？若不能相交，请简要说明理由；若能相交，设交点为F'且DF'＝，请再求出△ABC的面积．19．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．20．如图PAB、PCD是⊙O的两条割线，AB是⊙O的直径．（1）如图甲，若PA＝8，PC＝10，CD＝6．①求sin∠APC的值；②sin∠BOD＝；（2）如图乙，若AC∥OD．①求证：CD＝BD；②若，试求cos∠BAD的值．参考答案一．选择题1．解：∵PB＝BC＝3，∴PC＝6，∵PA2＝PB•PC＝18，∴PA＝3，故选：C．2．解：设PB＝x，则PC＝3x，∵PA2＝PB•PC，PA＝2，BC＝2PB，∴x•3x＝12，∴x＝2．故选：A．3．解：由于PAB、PCD都是⊙O的割线，根据切割线定理可得：PA•PB＝PC•PD，即PA•（PA+PB）＝PC•PD，∵PA＝6，AB＝4，PC＝5，∴PD＝12，即CD＝PD﹣PC＝7；故选：C．4．解：延长PO交圆于D；设PB＝BC＝x，∵PB•PC＝PA•PD，PB＝BC，OA＝7，PA＝4，∴x•2x＝72，∴x＝6．故选：C．5．解：∵PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，∴PA2＝PB•PC＝16，即PA＝4；故选：B．6．解：连接CE；∵，∴∠BAE＝∠EBC+∠BEC；∵∠DCB＝∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE＝∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB＝∠BAE，∴∠BEC＝∠BCE，即BC＝BE＝5，∴AD＝5；由切割线定理知：DE＝DC2÷DA＝，故选：D．7．解：过点A作圆的切线AD，切点是D，∵AD2＝AX•AY，AX•AY＝4，∴AD＝2，∴圆环的面积＝πAD2＝4π．故选：C．8．解：∵PB，PD是⊙O的割线，∴PA•PB＝PC•PD，∵PA＝2，PC＝CD＝3，∴2PB＝3×6解得：PB＝9．故选：D．9．解：如图，若，且AB＝10，∴AD＝4，BD＝6，作AB关于直线BC的对称线段A′B，交半圆于D′，连接AC、CA′，可得A、C、A′三点共线，∵线段A′B与线段AB关于直线BC对称，∴AB＝A′B，∴AC＝A′C，AD＝A′D′＝4，A′B＝AB＝10．而A′C•A′A＝A′D′•A′B，即A′C•2A′C＝4×10＝40．则A′C2＝20，又∵A′C2＝A′B2﹣CB2，∴20＝100﹣CB2，∴CB＝4．故选：A．10．解：连接OA，OP∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB＝60°，∴∠OPA＝∠APB＝30°，OA⊥OP，∴OP＝＝＝，∴点P与O间的距离是．故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：连接OQ交AB于M，则OQ⊥AB，连接OA，则OA⊥AQ．∵∠QMP＝∠QSP＝90°，∴S，P，Q，M四点共圆，故OS•OP＝OM•OQ．又∵OM•OQ＝OA2＝2，∴OS•OP＝2．故答案为：2．12．解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠PAD＝∠C，∠PAD＝∠B∴△PAD∽△PCB根据相似三角形的对应边的比相等，得到②③是正确的．13．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝PC，PB＝3cm∴PB＝PD＝3cm．14．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝2，PB＝5，PD＝8∴PC＝＝．15．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．三．解答题（共5小题）16．解：如图，由切割线定理，得CD2＝CB•CA，（2分）CD2＝CB（AB+CB），CB2+2CB﹣4＝0，解得CB＝（负数舍去）连接OD，则OD⊥CD，又EB与⊙O相切，∴EB⊥OC，∴Rt△ODC∽Rt△EBC，（6分）于是，即∴CE＝．17．（1）解：∵AB为直径，BD⊥CD∴∠ABC+∠A＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°∵CD为⊙O切线∴∠BCD＝∠A∴∠ABC＝∠BCD∵CD⊥BD，CE⊥BE∴CE＝CD∴CE＝＝6∴CD＝6（2）证明：∵CD为切线，BD为割线∴CD2＝DF•DB①∵∠ACB＝90°，CE⊥AB∴RT△ACE∽RT△CBE∴CE2＝EA•EB②∵EG•EF＝EA•EB③由①②③及CD＝CE得DF•DB＝EG•EF．18．（1）证明：连接OD，∴OD⊥DE，∴∠ADO+∠BDE＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE；（2）解：在直角三角形ODF中，OD＝1，DF＝，∴∠OFD＝30°，∴OF＝2，AF＝3．∴tan∠A＝，∴BC＝AC•tan∠A＝2×tan30°＝．S△ABC＝AC•BC＝×2×＝；（3）解：如图，当BC＝AC时，直线DE与直线AC平行；当BC＞AC时，在直角三角形ODF′中，OD＝1，DF′＝，∴∠OF′D＝30°，∴OF′＝2，AF＝1，∴CF′＝3，∠BAC＝60°，∴tan∠BAC＝，∴BC＝AC•tan∠BAC＝2×tan60°＝2．S △ABC＝AC•BC＝×2×2＝2．19．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．20．解：（1）作OE⊥CD于E，连接OC，作DF⊥PB于F．①根据垂径定理，得CE＝3．设圆的半径是r．根据勾股定理，得OP2﹣PE2＝OC2﹣CE2，（8+r）2﹣169＝r2﹣9，解得r＝6．则OE＝3．则sin∠APC＝＝；②设OF＝x．根据勾股定理，得PD2﹣PF2＝OD2﹣OF2，256﹣（14+x）2＝36﹣x2，解得x＝．所以DF＝．所以sin∠BOD＝＝＝．（2）①∵AC∥OD，∴∠1＝∠2．又OA＝OD，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．所以弧CD＝弧BD，所以CD＝BD；②∵AC∥OD，∴＝．又CD＝BD，AB＝2OA，∴＝．∴cos∠BAD＝＝．。
人教版九年级上册数学专题复习(九个专题)
人教版九年级上册数学专题复习(九个专题)专题一：解一元二次方程1、直接开方解法1）$x-6+\sqrt{3}=2\sqrt{2}$解：移项得$x=6-2\sqrt{2}-\sqrt{3}$2）$(x-3)^2=2$解：两边开方得$x-3=\pm\sqrt{2}$，即$x=3\pm\sqrt{2}$ 2、用配方法解方程1）$x+2x-1=0$解：合并同类项得$3x-1=0$，移项得$x=\frac{1}{3}$2）$x-4x+3=0$解：合并同类项得$-3x+3=0$，移项得$x=1$3、用公式法解方程1）$2x^2-7x+3=0$解：根据一元二次方程的求根公式，$x=\frac{7\pm\sqrt{7^2-4\times2\times3}}{4}$，即$x=\frac{1}{2}$或$x=3$2）$x^2-x-1=0$解：同样根据求根公式，$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，即$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$4、用因式分解法解方程1）$3x(x-2)=2x-4$解：移项得$3x^2-6x-2x+4=0$，合并同类项得$3x^2-8x+4=0$，将其因式分解为$3(x-2)(x-\frac{2}{3})=0$，即$x=2$或$x=\frac{2}{3}$2）$2x-4=x+5$解：移项得$x=3$5、用十字相乘法解方程1）$x^2-x-90=0$解：将其因式分解为$(x-10)(x+9)=0$，即$x=10$或$x=-9$ 2）$2x^2+x-10=0$解：将其因式分解为$(2x-5)(x+2)=0$，即$x=\frac{5}{2}$或$x=-2$专题二：化简求值1、$\frac{x^2+y^2-2xy}{x-y}$，其中$x=2+1$，$y=2-1$解：将$x$和$y$的值代入得$\frac{(2+1)^2+(2-1)^2-2(2+1)(2-1)}{2+1-(2-1)}=\frac{3}{2}$2、$\frac{4x-6}{x-1}\cdot\frac{x-2}{x-1}$，任选一个数$x$代入求值解：将$x$代入得$\frac{4x-6}{x-1}\cdot\frac{x-2}{x-1}=\frac{4x^2-14x+12}{(x-1)^2}$专题三：根与系数的关系1、已知关于$x$的一元二次方程$x-4x-2k+8=0$有两个实数根$x_1$，$x_2$。
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九年级数学复习专题一：(数与式)
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列各组数中互为相反数的是( )
A.5和
B.-|-|和-(-)
C.-和
D.-5和
2.(2019·梧州中考)下列计算正确的是( )
A.3x-x=3
B.2x+3x=5x2
C.(2x)2=4x2
D.(x+y)2=x2+y2
3.(2019·桂林中考)将数47 300 000用科学记数法表示为( )
A.473×105
B.47.3×106
C.4.73×107
D.4.73×105
4.计算--的结果是( )
A.1
B.-1
C.--
D.-
5.下列计算正确的是( )
A.(x+y)2=x2+y2
B.(x-y)2=x2-2xy-y2
C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2
D.(-x+y)2=x2-2xy+y2
6.(2019·攀枝花中考)用四舍五入法将130 542精确到千位,正确的是( )
A.131 000
B.0.131×106
C.1.31×105
D.13.1×104
7.已知=1,y2=4,且x<y,则x-y的值为 ( )
A.±3
B.±5
C.+1或+3
D.-1或-3
8.若-3a2m+1b3与a5b n+1是同类项,则mn的值为 ( )
A.4
B.3
C.
D.
9.已知分式的值为0,那么x的值是( )
A.-1
B.-2
C.1
D.1或-2
10.实数a,b在数轴上的位置如图,化简|a-b|+-的值为( )
A.2a-c
B.-2a+c
C.-2b+c
D.-2b-c
11.(2019·益阳中考)下列运算正确的是 ( )
A.=-2
B.(2)2=6
C.+=
D.×=
12.若将代数式中的任意两个字母互相替换,代数式不变,则称这个代数式为完全对称式.如在代数式a+b+c中,把a和b互相替换,得b+a+c;把a和c互相替换,得c+b+a;把b和c…;a+b+c就是完全对称式.下列三个代数
式:①(a-b)2;②ab+bc+ca;③a2b+b2c+c2a,其中为完全对称式的是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
二、填空题(本大题共6小题,满分18分,只要求填写最后结果,每小题填对得3分)
13.若分式有意义,则_ .
14.(2019·烟台模拟)若a+b=5,ab=3,则a2+b2=___.
15.(2019·梧州模拟)分解因式:x3-xy2=_ .
16.(2019·柳州模拟)已知(x-2y+3)2+=0,则x+y=___ .
17.若a2n=5,b2n=16,则(ab)n=___ .
18.一列单项式:-x2,3x3,-5x4,7x5,…,按此规律排列,则第7个单项式为
___ .
三、解答题(本大题共8小题,满分共66分.解答应写出证明过程或计算步骤(含相应的文字证明))
19.(5分)(1)(2019·深圳中考)计算:-2cos 60°++(π-3.14)0.
(2)(2019·巴中中考)计算:+(3-π)0+|-2|+2sin 60°-.
20.(6分)分解因式:(1)x2-2x+(x-2). (2)(2a+b)2-(a+2b)2.
21.(7分)(2019·重庆模拟)先化简,再求
值:[(x+3y)2-(x-3y)2-(3y+x)(x-3y)-9y2]÷(2x),其中x,y满足x2-4x+y2+2y+5=0.
22.(8分)(2019·黄石中考)先化简,再求值:÷,其中|x|=2.
23.(8分)如图,边长为a,b的矩形,它的周长为14,面积为10,求a2+b2的值.
24.(10分)已知A=(x-3)÷-1.
(1)化简A.
(2)若x满足不等式组且x为整数时,求A的值.
25.(10分)(2019·昭平县期中)王老师给学生出了一道题:
求(2a+b)(2a-b)+2(2a-b)2+(2ab2-16a2b)÷(-2a)的值,其中a=,b=-1,同学们看了题目后发表不同的看法.小张说:“条件b=-1是多余的.”小李说:“不给这个条件,就不能求出结果,所以不多余.”
(1)你认为他们谁说的有道理?为什么?
(2)若x m等于本题计算的结果,试求x2m的值.
26.(12分)小乐发明了一个魔术盒,当任意有理数对(a,b)放入盒中时,会得到一个新的有理数:a3+3a2b+3ab2+b3.
例如把(3,-2)放入其中,就会得到33+3×32×(-2)+3×3×(-2)2+(-2)3=1.
(1)现将有理数对(-2,3)放入盒中得到有理数m,再将有理数对(m,-7)放入盒中后,得到的有理数是多少?
有位老师认为这样难度不够,建议修改如下:
(2)小乐先放入有理数对(2 018,-2 019),如果再放入有理数对(-2 019,2 018),那么两次得到的有理数会相等吗?请你说明理由.
(3)在(2)中,你还能放入有理数对(-2 017,______),(________,-2 017)使两次得到的有理数相等.
(4)小乐先放入有理数对(m,n),请你放入有理数对(________,________),让得到的有理数与小乐得到的有理数相等.。