离散数学中的图的连通度与割点
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
图的代数连通度
图的代数连通度图代数，又称为离散数学（discrete mathematics），是数学的一个分支，主要研究由一组节点和联系这些节点的边组成的网络，也称为图。
其中图的一种重要性质是连通性，它表明图中节点之间是否都可以相互访问。
因此，如何检测图中节点之间的联系，以及如何衡量图中节点之间的联系强度，成为离散数学研究的重要内容。
在此背景下，图的代数连通度受到了广泛关注。
图的代数连通度是指图中节点之间的联系强度，它可以通过图的邻接矩阵（adjacency matrix）来衡量。
例如，当图中有 n 个节点时，可以建立一个 nxn的二元矩阵，它的每一个元素 aij示节点 i 节点 j 之间的边的权重，如果这条边存在，则 aij 为 1，反之为 0。
图的代数连通度是一种度量图节点间联系强度的量化指标。
有一种常用的方法，称为^1度量，它表示图中任何两个节点之间的联系强度。
在具体的计算中，它可以使用图的邻接矩阵来求解，其计算公式为：A1(i,j)=aij其中，aij为节点i到节点j之间的边的权重，如果节点i与节点j存在边，则aij的值为1，反之aij的值为0。
这一度量的计算，可以直接表示节点之间的联系强度，这样就可以度量图中任意两个节点之间的联系强度。
除此之外，还有其他度量方法，包括特征值度量、最大边度量等。
特征值度量是利用图的邻接矩阵，求解图的连通特征值而得到的。
而最大边度量则是利用最大边权重来衡量图的连通性。
这些度量方法都可以有效地量化图的连通性，但也存在一定的局限性。
特征值度量只能度量图中任意两个节点之间的联系强度，而无法衡量图中不同节点组合的联系强度；而最大边度量又因为不能有效的衡量图的连通性，因此，可以说这些度量方法都有其局限性。
另一方面，图的代数连通度可以有效地提供图中节点间联系强度的量化指标。
它可以通过一组不同的系数和一系列矩阵运算来实现，并且可以有效地衡量图中任意几个节点之间的联系强度，而不受两个节点之间的边的数量的限制。
算法学习：图论之图的割点,桥,双连通分支
图的割点、桥与双连通分支[点连通度与边连通度]在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。
一个图的点连通度的定义为，最小割点集合中的顶点数。
类似的，如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。
一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。
注：以上定义的意思是，即有可能删除两个或两个以上点的时候才能形成多个连通块！[双连通图、割点与桥]如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的(point biconnected)，简称双连通或重连通。
一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为1，则割点集合的唯一元素被称为割点(cut point)，又叫关节点(articulation point)。
如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的(edge biconnected)，简称双连通或重连通。
一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为1，则割边集合的唯一元素被称为桥(bridge)，又叫关节边(articulation edge)。
可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，它们之间是有着某种联系的，下文中提到的双连通，均既可指点双连通，又可指边双连通。
[双连通分支]在图G的所有子图G’中，如果G’是双连通的，则称G’为双连通子图。
如果一个双连通子图G’它不是任何一个双连通子图的真子集，则G’为极大双连通子图。
双连通分支(biconnected component)，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。
特殊的，点双连通分支又叫做块。
[求割点与桥]该算法是R.Tarjan发明的。
对图深度优先搜索，定义DFS(u)为u在搜索树（以下简称为树）中被遍历到的次序号。
定义Low(u)为u或u的子树中能通过非父子边追溯到的最早的节点，即DFS序号最小的节点。
离散数学第七章图的基本概念
三.图的同构
设G1=<V1,E1>,G2=<V2,E2>为两个无向图,若存在双射函数
f:V1->V2,使得对于任意的e=(v1,v2)∈E1当且仅当 e’=(f(v1),f(v2))∈E2,且e与e’的重数相同,则称G1与G2同构.
记作G1≌G2.
a e
b c
(1)
d (2)
V4 V1
V5
V3 V2
i1 j1
i1
i1 j1
i1
3.有向图的邻接矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},|E|=m 令a(1)ij为vi邻接到vj的边的条数,
(a ) 则称 (1) 为D的邻接矩阵,记为A(D). ij nn
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
若v0=vk,则通路称为回路.
若Γ 中各边互不相同,则称Γ 为简单通路,若v0=vk,则称Γ 为简单回路.
G
1
1
1
5
5
2
5
2
2
3
4
3
4
(1)
(1)与(2)互为补图
(2)
3
4
5 阶完全图
1
1
1
2
3
2
3
(1)
(1)与(2)互为补图
(2)
2
3
3 阶有向完全图
二.握手定理(图论基本定理)
任何图G中各顶点的度数之和等于边数的2倍.
若G为有向图,则各顶点的入度之和等于各顶点的出度之和. 都等于边数.
图论+第3章+图的连通性
直观上看，右边的比左边的图连通“程度”
要好。
(点)连通度
图的(点)连通度我们常常省略“点”字称连
通度。 树是具有最小连通度的图。 若κ (G ) ≥ k ，则称G是k-连通的。 若G是平凡图或非连通图，则κ (G ) = 0 。 所有非平凡连通图都是1连通的。
边连通度
边连通度λ (G )=min{ S | S是G的边割集} 完全图的边连通度定义为 λ ( K v ) = v − 1。 空图的边连通度定义为0。 边连通度λ (G ) 有时又记作 κ ′(G ) 。
2-连通图的性质
定理 3.2.4：若G是 p ≥ 3的2-连通图，则G的
任意两条边都在同一个圈上。
证明：(板书)
2-连通图的性质
对于一个无环且无孤立点的图G，下面的条
件是等价的：
(1)图是不可分的； (2)图是2-连通的； (3)过任意两个顶点总有一个圈； (4)过任意两条边总有一个圈。
不可分图
没有割点的非平凡的连通图称为不可分图 (non separable graph)。
定理3.1.5 不可分图的任一边至少在一个圈中。 证明：设e是不可分图G的任意边，e=(x,y)，x和y都 不是割点，所以图G-e是连通的，故G-e必有一条(x,y) 道路P。于是P+e就是构成G中的一个圈。
e相连接。于是u和v在G-e中成为连通的。故矛盾。
(2)假设e=(x,y)不是割边，那么G-e和G的分支数
相同。由于G中存在一条(x,y)道路，所以x和y均 在G的同一分支。于是x和y在G-e的同一分支中， 故在G-e中存在一条(x,y)道路P，这样边e就在G的 圈P+e中。
割点定理(1)
定理3.1.2 当且仅当在G中存在与顶点v 不同
离散数学第十四章图论基本概念
握手定理
定理14.1 设G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
n
d(vi ) 2m
i 1
证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点 度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.
定理14.2 设D=<V,E>为任意有向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
(3) 初级通路(路径)与初级回路(圈)： 中所有顶点各异，则 称 为初级通路(路径)，又若除v0=vl，所有的顶点各不相 同且所有的边各异，则称 为初级回路(圈)
(4) 复杂通路与回路：有边重复出现
20
几点说明
表示法 ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法（在简单图中） ④ 混合表示法
3
有向图
定义14.2 有向图D=<V,E>, 只需注意E是VV 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E
注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的
4
相关概念
1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图
定义14.17 G=<V,E>, EE E是边割集——p(GE)>p(G)且有极小性 e是割边（桥）——{e}为边割集
25
点割集与割点
例3 {v1,v4}，{v6}是点 割集，v6是割点. {v2,v5} 是点割集吗？ {e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}， {e8}等是边割集，e8是 桥，{e7,e9,e5,e6} 是边割 集吗？
3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的.
第八章图论
3. 图的结点与边之间的关系 定义 如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。 没有与边关联的结点称为孤立点。 关联于同一结点的相异边称为邻接的。 不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重 图。 最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义 图G中关联于结点vi的边的总数称为 结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数 的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图 的非连通图。 结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了 图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通 的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义 定义 设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中 若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条 不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集 定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图， 则称S是G的一个边割集。 注：割边是边割集的一个特例。
《离散数学》图论中的各种名词的解释表格整理版
给定图G，若存在一条路经过图中的每个结点恰好一次
汉密尔顿回路
若存在一条回路，经过图中的每个结点恰好一次
汉密尔顿图
具有汉密尔顿回路的图
W(G-S)
G-S中连通分支数
平面图
设G=<V,E>是一个无向图,如果能够把G的所有结点和边画在平面上,且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点。
面
设G是一连通平面图,由图中的边所包围的区域,在区域内不包含图的结点,也不包含图的边,这样的区域称为G的一个面。
λ(G)连通度
(非平凡图)
min{|E1| | E1是G的边割集}
单侧连通
有向图:任何一对结点间,至少有一个结点到另一个结点是可达的
强连通
有向图:任何一对结点,两者之间是相互可达的
弱连通
有向图:看成无向图后图是连通的
强分图
有向图:具有强连通性质的最大子图
单侧分图
有向图:具有单侧连通性质的最大子图
弱分图
完全图Kp
简单图G=<V,E>,每一对结点间都有边相连
Kn
有n个结点的无向完全图
补图
给定一个图G,由G中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图,称为G的相对于完全图的补图。
生成子图
若G的子图包含G的所有结点,该子图成为G的生成子图。
相对补图
设G’=<V’,E’>是G=<V,E>的子图,若给定另外一个图G’’=<V’’,E’’>使得E’’=E-E’,且V’’中仅包含E’’的边所关联的结点。则称G’’是子图G’的相对于图G的补图。
连通,但删去任一边后便不连通
每一对结点之间有一条且仅有一条路
树叶
点割集、边割集、割点、桥、连通度、双连通分支
对于一个无向图G：
定义一：删除一个点v是指删除点v以及所有与点v关联的边。
定义二：删除一条边e是指删除这条边，但是保留e的两个顶点。
点割集：V是一些顶点的集合，如果删除V中的所有顶点之后，G不在连通，但是对于V的任何真子集V1，删除V1后G仍然连通，则称V是点割集。
割点：如果点割集里只有一个顶点，那么这个顶点叫做割点。
点连通度：最小的点割集的大小。
边割集：E是一些边的集合，如果删除E里的所有边之后G不在连通，但是对于E的任何真子集E1,删除E1之后G仍然连通，则称E是边割集。
桥：如果边割集里只有一条边，该边称为桥。
边连通度：最小的边割集的大小。
双连通：如果一个图没有割点，那么这个图称为2-连通的，或者双连通的。
一个图的极大双连通子图称为双连通分量。
注意是极大而不是最大，即意味双连通子图不一定只有一个。
图论课件第三章 图的连通性
(Gv)(G)
证明：“必要性” 设v是G的割点。则E(G)可划分为两个非空边子集E1与 E2,使G[E1],G[E2]恰好以v为公共点。由于G没有环，所
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以，G[E1],G[E2]分别至少包含异于v的G的点，这样，Gv的分支数比G的分支数至少多1，所以：
(Gv)(G)
“充分性” 由割点定义结论显然。 定理7 v是树T的顶点，则v是割点，当且仅当v是树的 分支点。
定理1 边 e 是图G的割边当且仅当 e 不在G的任何圈中。
证明：可以假设G连通。 “必要性” 若不然。设 e 在图G的某圈 C 中，且令e = u v.
考虑P = C- e,则P是一条u v路。下面证明G-e连通。
对任意 x, y V(G-e) 由于G连通，所以存在x ---y路
Q.若Q不含e，则x与y在G-e里连通；若Q含有e，则可选 择路：x ---u P v --- y,说明x与y在G-e里也连通。所以,若 边e在G的某圈中，则G-e连通。
定义6 设G是连通图，T是G的一棵生成树。如果G的 一个割集S恰好包含T的一条树枝，称S是G的对于T的一 个基本割集。
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第14页，本讲稿共29页
例如：在图G中
f a
bc
e
d
图G
G的相对于T的基本割集为： ｛a , e｝, ｛f , c｝, ｛f, b , e｝, ｛d｝.
关于基本割集，有如下重要结论：
证明：(必要性）设G是块。因G没有割点，所以，它 不能有环。对任意u, v ∈V(G),下面证明u, v位于某一圈上 。
对d (u, v) 作数学归纳法证明。 当d (u, v) =1时，由于G是至少3个点的块，所以，边 uv不能为割边，否则，u或v为割点，矛盾。由割边性质 ，uv必然在某圈中。 设当d (u, v) <k时结论成立。
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在离散数学中，图是一种重要的数据结构，它能够描述事物之间的关系和连接性。
图由顶点和边组成，顶点表示事物，而边表示两个事物之间的连接。
图的相关概念包括连通度和割点，它们在图的理论中起着重要的作用。
连通度是指图中任意两个顶点之间，存在一条路径相连。
如果一个图的连通度为1，那么这个图是连通的；如果连通度大于1，就代表这个图是非连通的。
连通度可以用来衡量图的强度和与外部环境的联系程度。
例如，在社交网络中，某个用户是否能够和其他用户通过共同的朋友连接在一起，就与图的连通度相关。
割点是指删除一个顶点及其相连的边后，图变为非连通的点。
换句话说，如果一个顶点是一个图中唯一的桥，那么这个顶点就是一个割点。
割点的存在会影响图的连通性和强度。
当我们删除一个割点时，原本连通的图会变得不连通。
因此，割点常常用来识别图中的脆弱点和瓶颈。
考虑一个简单的例子：一个城市的地图可以用图来表示，每个交叉路口是一个顶点，而街道则是相连的边。
在这个图中，连通度可以描述这个城市的整体交通情况。
如果城市的连通度较高，那么无论从哪个交叉路口出发，都能方便地到达其他任意交叉路口；而如果城市的连通度较低，那么有些交叉路口可能只有一条街道与之相连，这样就会导致交通流量堵塞和不便利。
割点则可以识别出城市中的环形路口或者重要的交通枢纽，当这些关键节点被破坏或者发生故障时，城市的交通系统可能会受到严重影响。
除了城市地图以外，连通度和割点还可以应用于其他领域。
例如，在计算机网络中，一台计算机与其他计算机之间的连通度可以用来评估网络的稳定性和传输速度。
在电力网络中，连通度可以用来研究电力供应的鲁棒性和可靠性。
在社会网络中，连通度和割点的概念可以揭示人际关系的紧密程度和信息传递的效率。
总结来说，离散数学中的图的连通度和割点是图的关键概念。
连通度可以衡量图的强度和连接程度，割点可以识别图中的脆弱点和瓶颈。
在不同领域中，这些概念都有着重要的应用。
通过研究和理解连通度和割点，我们能够更好地分析和优化图及相关问题。