立体角、空间角及发光角计算公式
立体角、空间角及发光角计算公式
摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。
关键词：立体角，发光角。
0引言
光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”，一般以I 表示。
若在某微小立体角d Ω内的光通量为d Φ（ψ，θ），则该方向上的光强为：
I （ψ，θ）=d Φ（ψ，θ）/d Ω。
式中，d Ω的单位为sr （球面度），光强的单位为cd （坎德拉，烛光）。
1 cd=1 lm/sr 。
但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。
这给从事照明工程的专业技术人员带来很大的困惑。
1立体角的定义
将弧度表示平面角度大小的定义（弧长除以半径）推广到三维空间中，定义“立体角”为：球面面积与半径平方的比值。
即：Ω=
2r
A
图1平面角（单位：弧度rad ） 图2立体角（单位：球面度sr ）
2立体角的计算
设灯具在两个相互垂直方向上的发光角为2α和2β，求其所对应的立体角的大小。
设0<2α<π，0<2β<π
不失一般性，设球体半径为单位长度1，坐标原点在球心，坐标轴方向如图。
根据定义，只须求出两角所夹球面的面积，即是立体角的大小。
由于对称性，只需求出第一卦限内的面积再乘以4即可。
图3 计算示意图
曲面面积计算公式为： A=
⎰⎰
∂∂+∂∂+D
y
z x z 2
2)()(
1dxdy （1） 上半球球面方程为：
Z=2
2
1y x -- （2）
由 x z ∂∂=221y
x x --- （3）
221y
x y y z ---=
∂∂ （4） 得 222211)()(
1y
x y z x z --=∂∂+∂∂+ （5）
代入（1）式得： A=
⎰⎰
--D
y
x dxdy 2
2
1 (6)
利用极坐标，得： A=
⎰⎰
-D
r
rdrd 2
1θ (7)
易知，积分区域在xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：
α
2
2sin x +y 2
=1 (8) x 2
+β
22sin y =1 (9)
交点坐标（
βαβα2
2
sin sin 1cos sin -,
β
αα
β2
2sin sin 1cos sin -)
φ1=arctg αβ
tg tg (10)
φ2=arctg β
α
tg tg (11)
将x=rcos Φ，y=rsin Φ带入（8）、（9）式，得极坐标表示的边界方程为： α22
2sin cos sin 11Φ+
Φ=
r (12)
β
22
2sin sin cos 12Φ+
Φ=
r (13)
图4 xy 面投影
X
Y
1
2
D
r1
r2
根据对称性，有：
A=4(A1+A2) (14) A1=⎰
⎰
-ΦΦ1
02
1
01r r rdr d A2=
⎰
⎰
Φ-Φ2
2
2
1r r
rdr
d
于是， A1=10
1
2
1(r r d ⎰
Φ--Φ
=
⎰
ΦΦ+
Φ-
-1
22
2sin cos sin 111(α
）dΦ
=Φ1-⎰
ΦΦ+Φ-1
0222
2cos sin sin sin 1αα
dΦ =Φ1-
⎰
ΦΦ+Φ-Φ
Φ1
02
22sin sin sin 1cos cos ααd
设t=sinΦ，则cosΦdΦ=dt A1=Φ1-⎰Φ-1
sin 02
2cos 1cos t
dt αα =Φ1-
⎰
Φ-1
sin 0
2
2
cos /1t
dt
α =Φ1-arcsin(cos α·t)
1sin 0
Φ
=Φ1-arcsin(cos αsinΦ1) (15) 同理，
A2=Φ2-arcsin(cosβsinΦ2) (16)
带入（14）式,得出最终结果：
A=4(arctg
αβtg tg -arcsin(cos αsin(arctg αβ
tg tg )) +arctg βαtg tg -arcsin(cosβsin(arctg β
α
tg tg ))) (17)
特别地，当α=β时，Φ1=Φ2=π/4， A1=A2=π/4-arcsin(cos α/2)
3数值结果
参考文献
⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11
⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12
⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1
注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海。
空间角总结
空间角总结什么是空间角？空间角是几何学中的一个重要概念，用来描述两个向量之间的夹角。
空间角通常用希腊字母θ（theta）表示，其单位是弧度（rad）。
空间角的概念可以扩展到三维空间中，帮助我们描述物体之间的方向关系和位置关系。
空间角的特征空间角具有以下几个重要特征：1.空间角是无向角：空间角没有方向之分，只关注两个向量之间夹角的大小，与向量的起点和终点无关。
2.空间角的大小范围：空间角的取值范围是0到π（也就是0到180度）。
3.水平角和垂直角：当两个向量在同一平面内，夹角为水平角；当两个向量互相垂直，夹角为垂直角。
4.空间角的计算方法：可以使用余弦定理或向量的点积来计算空间角的大小。
空间角的计算方法余弦定理余弦定理是计算空间角的常用方法之一。
设有两个向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：cos(θ) = (A·B) / (|A| * |B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|表示向量A和向量B的模。
通过余弦定理，我们可以根据向量的数值计算出它们之间的夹角。
向量的点积另一种计算空间角的方法是使用向量的点积。
向量A·B的点积可以通过以下公式计算得到：A·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，θ表示向量A和向量B的夹角。
通过这个公式，我们可以根据两个向量的点积来计算它们之间的夹角。
球面角与立体角除了空间角之外，还有两个相关概念：球面角和立体角。
球面角球面角是指由球心发出的射线与球面上两个端点所夹的角。
球面角的单位是球面度（sr），1球面度是球面上的一个单位面积所占的立体角。
球面角可以通过球面面积和球半径来计算。
立体角立体角用来描述三维空间中的角度，是由空间中一点发出的射线与空间中的两个向量所夹的角。
立体角的单位是立体度（steradian，sr），1立体度表示空间中的一个单位面积所占的立体角。
立体角可以通过空间角和距离来计算。
多维空间的立体角
多维空间的立体角立体角的概念在几何学、电动力学、光学、天文学等领域应用十分广泛。
本文从二维空间的平面角开始对n 维空间的立体角进行探讨。
1. 平面角我们先来分析平面角的单位元，如图所示，单位元dφ可以表示为：dφ=CD ̂r其中，CD̂的长度近似为CD ̂，设C →D 的任意曲线微元（即为直线微元）为dl ，dl 与半径r 的夹角为θ，则：CD̂=dl ∙sin θ 对上述微元进行积分，则从A 到B 的曲线对应的角为：φ=∫dlrBAsin θ 设dl 的法线方向的单位向量为e 0，设e 0与r 的夹角为ψ则：ψ=π2−θφ=∫dl r B A cos ψ=∫e 0dl ∙rr B A2. 立体角对于三维空间的立体角，通常将某一曲面投影至球面，计算其与半径平方的商的曲面积分。
设曲面的面积微元为dS（其大小代表曲面大小，方向为外法线方向）；设r为观测点指向面积微元的向量，则dS在以r为半径的球上的投影面积为：dS⊥=dS∙r r立体角微元dΩ为：dΩ=dS∙r r3曲面对空间的立体角为：Ω=∫dS∙r r3S不难得到，全空间的立体角Ω=4π下面再给出几个特殊空间图形所张的立体角计算公式及值：顶角为2θ的圆锥：Ω=2π(1−cosθ)半球：2π球面三角形：A+B+C−π四面体：对于任意四面体OABC，设α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB，θ=12(α+β+γ)，则：tan Ω4=√tanθ2tanθ−α2tanθ−β2tanθ−γ2正方体的一个顶角的立体角为π2，正四面体的一个顶角为arctan 10√223（或者arccos 2327）3. n 维空间的立体角设n 维立体角Ω的顶点位于n 维球的球心，设n 维球的表面积为S ，半径为R ，则：Ω(n )=S(n)R n−1则问题的关键在于求出n 维球体的表面积： 由Gauss 公式：∫∇∙r dV V=∮r ∙dS ðV由于r 代表n 维球径向矢量，设：r =x 1i 1+x 2i 2+x 3i 3+⋯+x n i n则：∇∙r =nr ∙dS =x 12+x 22+⋯x n2R=R故：nV (n )=RS(n) S (n )=nRV(n) 通过换元易得：V (n )=R n β(n)其中，β(n)为单位球体的体积：β(n )=∫dx 1dx 2⋯dx n V n 0V n 0:x 12+x 22+⋯+x n 2≤1β(n )=∫dx n 1−1∫dx 1dx 2⋯dx n−1V n−1V n−1: x 12+x 22+⋯+x n−12≤1−x n 2故：V n−1=βn−1∙(1−x n 2)n−12βn =βn−1∫(1−x 2)n−12dx1−1=2βn−1∫(1−x 2)n−12dx 1换元，令x =cos tβn =2βn−1∫sin n t dt π2=√πβn−1Γ(n +12)Γ(n 2+1)由于β1=2，可得：βn =πn2Γ(n 2+1)最终可得：V (n )=R nπn 2Γ(n2+1) S (n )=nR n−1πn 2Γ(n2+1) Ω(n )=n nπn 2Γ(n2+1)列表如下：图像如下：附源代码：n=1:10;V=n.*pi.^(n/2)./gamma(1+n/2); plot(n,V,'black+');xlabel('n')ylabel('\Omega(n)')title('空间维数与立体角')。
立体角计算题目
立体角计算题目
立体角是三维空间中与立体图形相关的一个概念，它用于描述一个点所在的空间角度范围。
立体角的单位是立体弧度（sr）。
以下是一个简单的立体角计算题目：
一个正方体的一个顶点被连接到它的对角面上的一个点。
计算这个顶点所在的立体角。
解答：
首先，可以利用正方体的几何特征来确定这个所在点的立体角。
这个顶点在正方体中与另一个对角顶点相对，它的连接点在正方体的另一面上。
因此，可以将正方体视为由两个完全相同的四面体组成的结构，这些四面体的顶点分别为正方体的两个对角顶点和两个中心点。
接下来，可以计算其中一个四面体的立体角，然后将结果乘以2来得到整个正方体的立体角。
使用三角函数和几何关系，可以计算每个四面体的立体角为：立体角= 2 * arctan(√2) ≈ 3.14 sr
因此，正方体一个顶点所在的立体角为：
立体角= 2 * 3.14 ≈ 6.28 sr
注意：这只是一个简单的例子，实际的立体角计算可能需要更复杂的数学和几何技能。
立体角
立体角
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Steradian
立体角，Ω，是一个物体对特定点的三维空间的角度。
它是站在那一点的观察者测量物体大小的尺度。
例如，一个附近的小物体可以与一个远处的大物体对于一个点有相同的立体角。
立体角是物体在一个以观测点为圆心的球的投影面积与球半径的比。
（Ω =S/r）这正像平面角是圆的弧长与半径的比。
立体角的国际制单位是steradian(球面度)。
更严密的，立体角是面S对点P的面积分：
[编辑]圆锥，球冠
Section of cone (1) and spherical cap (2) inside a sphere. In this figure θ = a/2 and r = 1.
顶角为2θ的圆锥的立体角为一个单位球的球冠。
（上面结果由下式得到，参见surface element in spherical polars）
应该注意阿基米德在2200年前不用微积分证明了球冠的表面积与半径为球冠边沿到球冠最低点的距离的圆的面积相等。
球冠边沿到球冠最低点的距离为
显然，在单位圆中球冠立体角为
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立体角
当θ = π/2, 球冠变为有着立体角 2π的半球.
当θ = π, 立体角涵盖整个球体，球冠变为有着立体角 4π的球，我们将4π称为全方位立体角。
立体角的单位
立体角的单位一、引言立体角是空间中一个重要的数学概念，用于描述在三维空间中的角度大小。
本文将介绍立体角的基本概念、表示方法和计算方式，并探讨其单位。
二、立体角的基本概念1.立体角是指以某一点为顶点，其余两条射线为边界所夹的空间区域。
2.立体角的大小与边界上的两条射线的夹角和两条射线的长度有关。
3.立体角的大小可以表示为实数，也可以表示为平面角的度量单位。
三、立体角的表示方法1.立体角常用字母表示，如常用的有α，β，γ等。
2.立体角也可以用弧度制表示，以弧度为单位的立体角常用符号为sr。
3.若以平面角的度量单位表示，立体角的单位为平方角度（square degrees）。
四、立体角的计算方式1.若已知两条边界射线的长度和夹角，可以通过计算公式求解立体角的大小。
2.计算公式为：立体角 = 射线1长度 * 射线2长度 * sin(夹角) / (射线1长度 * 射线2长度)。
3.在实际计算中，可以利用三角函数的性质简化计算过程，例如利用正弦定理等。
五、立体角的单位1.立体角的国际单位制（SI）单位为立体弧度（steradian，简写为sr）。
2. 1 steradian等于一个球体表面上的一个面积等于球心角为1弧度的球形面片的面积。
3. 1 steradian等于4π平方弧度，约等于57.3平方度，即1 steradian大约等于3282.8平方角度。
六、立体角的应用1.立体角在物理学、光学、工程学等领域有广泛的应用。
2.在物理学中，立体角常用于描述辐射物体发出的光线包围的空间。
3.在光学中，立体角可用于描述从一个点光源发出的光线在空间中的分布情况。
4.在工程学中，立体角可用于描述声音的衰减、辐射场等。
七、总结立体角作为描述空间角度大小的概念，在数学和应用学科中都有重要的意义。
本文介绍了立体角的基本概念、表示方法和计算方式，并详细探讨了其单位。
立体角的单位为立体弧度（steradian），是国际单位制中常用的角度单位之一。
光学单位sr-概述说明以及解释
光学单位sr-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下几个方面进行展开：光学单位sr（Steradian）是国际单位制中用于描述空间角的单位。
空间角是指立体角，用来衡量来自某个点源的辐射或光线在空间中的分布。
sr是国际单位制中的基本单位，它的定义基于二维球面部分。
当位于球心的点源发出的光线或辐射在距离球心1米处的球面上的投影面积为1平方米时，所对应的立体角为1sr。
换句话说，1sr的立体角涵盖了球面上的单位面积。
与平面角不同，立体角不仅考虑了光线或辐射的分布角度，还考虑了其在空间中的传播范围。
通过引入光学单位sr，我们可以更准确地描述和计算光线的辐射强度或光通量以及接收器的感知范围。
光学单位sr在许多领域中都有广泛的应用，特别是在光学、光电子学和辐射传输领域。
例如，在照明工程中，我们可以使用sr来描述灯具的光束角度，以确定其辐射范围和照明强度分布。
在摄影和摄像领域，sr可以被用来衡量镜头的视角和视野范围。
在激光工程中，sr可以用来描述激光束的扩散角度和光束发散性能。
总之，光学单位sr是国际单位制中用于描述空间角的重要单位。
通过使用sr，我们可以更准确地描述和计算光线的辐射强度和分布，从而在光学应用和相关领域中提供更精确和可靠的计量基础。
1.2 文章结构文章结构:本文旨在介绍光学单位sr的相关知识。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将对本文的主题进行概述，说明本文介绍的是什么，以及为什么选择这个主题进行研究。
同时，我们还将介绍文章的结构和目的，以便读者能够更好地理解和阅读本文。
在正文部分，我们将展开论述，分为两个要点进行介绍。
第一个要点中，我们将详细介绍光学单位sr的定义、起源和应用领域。
我们将从历史角度出发，追溯光学单位sr的提出和发展过程，以及在光学研究中的重要意义。
同时，我们也将介绍在不同领域中如何使用光学单位sr进行测量和计算，以及其在实际应用中的优势和局限性。
光强中什么是立体角及它的计算公式
摘要：本文应用数学工具，推导出灯具在两个相互垂直方向上的发光角同立体角之间的关系。 关键词：立体角，发光角。 0 引言 光强度是照明工程中的一个重要术语，其定义是“光源在给定方向的单位立体角中发射的光通量”， 一般以 I 表示。若在某微小立体角 dΩ内的光通量为 dΦ（ψ，θ），则该方向上的光强为： I（ψ，θ）=dΦ（ψ，θ）/dΩ。 式中，dΩ的单位为 sr（球面度），光强的单位为 cd（坎德拉，烛光）。 1 cd=1 lm/sr。 但关于立体角的计算方法，照明教材及各类文献中却没有述及。这给从事照明工程的专业技术人员 带来很大的困惑。
1
∂x ∂y
1− x2 − y2
（3） （4） （5）
代入（1）式得：
∫∫ A=
dxdy
D 1− x2 − y2
(6)
利用极坐标，得：
rdrdθ
∫∫ A=
D 1− r2
(7)
易知，积分区域在 xy 平面上的投影是由两条椭圆曲线围成，方程分别为：
x 2 +y2=1
(8)
sin 2 α
x2 + y2 =1
参考文献 ⑴周太明等，电气照明设计，复旦大学出版社，2001，11 ⑵同济大学数学教研室，高等数学，高等教育出版社，1998，12 ⑶陈大华等译，光源与照明（第四版），复旦大学出版社，2000，1
注：本文发表于《中国照明学会（2005）学术年会论文集》，2005.9·上海
150° 0.506 1.011 1.515 2.016 2.514 3.008 3.492 3.964 4.411 4.811
165° 0.519 1.038 1.557 2.075 2.592 3.108 3.621 4.130 4.632 5.115 5.544
立体角理解及应用
立体角在国家法定计量单位所采用的国际单位制(SI)中，除了7个基本单位外，还有两个辅助单位，一个是平面角(一般简称角度)，一般记为希腊小写字母α等，单位为弧度，记为rad，另一个是立体角，记为大写希腊字母Ω，单位为球面度，记为sr。
立体角涉及光度学、电磁辐射、球面天文学等许多领域的基本概念，如(热、光或其它电磁波、声音或其它机械波的)辐射通量、星座所占天球区域的“面积”(实际为立体角)大小等等，因此立体角概念本身的重要意义和实用价值不言而喻，可谓理解客观世界的空间形式和许多科学原理的一把钥匙。
通常的初等数学教育对平面角讲得很详尽，但对立体角的介绍则远不充足。
对三维空间、立体几何有兴趣者，不妨读读本文，希望您有所获益。
您斧正拙文之谬误、拓展和深化拙文所涵盖的内容，尤为笔者所企冀。
平面上，多边形内角和可表为(n-2)π，那么相应地，多面体内立体角之和如何？答曰：它在一定区间内变化，关于这一点，以后再展开叙述。
1、立体角定义与量度1.1立体角的概念当我们看到远处的两个物体，欲表达其相对方位时，用从这两个物体到眼睛的视线之间的夹角这个概念。
例如，可以选择月亮的上边缘顶点与下边缘顶点，由人眼到这两个点的视线之间的夹角较为稳定，可以称为月亮的“视直径”。
而当形容“挂在树梢上的月亮像月饼这么大”时，人们就一面犯了错误，一面已经在冥冥之中与立体角概念的幽灵相接近。
月亮、月饼当然不一样大，而且大小相差悬殊，但是当月饼与人眼之间为一定距离时，看起来它的确跟月亮“差不多一般大”。
月饼比月亮小得多，但当把月饼放在眼前时，它却能完全挡住月亮，这样就清楚了，随着距离变远，形象就变小。
这不仅是“视直径”的变化，其实也是另一个量，“立体角”的变化。
假设制作一个代表立体直角坐标系的三维“十字架”，使之穿过两个半径相差一倍的同心球面，球心在坐标系原点，自球心发出无数条射线，这些射线在球面上的投影点形成一条连续的闭合的曲线，那么这样的一条曲线在小球面上所限定的面积为在大球面上所限定面积的1/4。
应用光学第五章光度学
光在同一介质中传播，忽略散射及吸收，则在传播中的任 一截面上，光通量与亮度不变。光束的亮度就是光源的亮度
d1 d2
L1 L2
折射情形 dA位于n1介质内。入射光束的光亮度L1，在O点附近 取一微元dA，则过dA输出的光通量：
d1 L1dAcos I1d1 L1dAcos I1 sin I1dI1d
Ω
r dΦ
光出射度－光源上不同位置的发光特性
• 用单位面积所发射的光通量描写光源上某点的发光本领 • M＝dΦ/ds，面光源上A附近的面积元ds辐射的光通量 • 单位：勒克斯，1lx=1lm/m2 dΦ A ds
透射面或反射面接受光通量，又可作为二次光源发出光 通量。M= ρE，ρ为透射率或反射率，与波长有关，因而物体呈 现彩色 。 对所有波长ρ 趋于0的物体，黑体
n1 sin I1 n2 sin I 2 n1 cos I1dI1 n2 cos I 2 dI2
L2 n 2 2 L1 n1
2
L2 L1 2 2 n2 n1
当光线处于同一介质，同前L2＝L1
反射情形，L2＝L1 综上，光束在均匀介质中传播，或在两种介质分界面 上的反射时的光亮度变化，都看成折射时的特例
dΦ=683VλdΦe=683×0.24×10×10-3=1.6152流明
d Ω=πθ2=3.14× (10-3)2 L=dΦ/（ds· dΩ)=6.553×107st L太阳＝1.5×105st LHe-Ne=440L太阳 “勿对着眼睛照射” “激光致盲武器”
§5.2朗伯余弦定律及朗伯源
发光强度空间分布可用式Iθ＝ INcosθ表示的的发光表面 只有绝对黑体是理想的余弦 辐射体，具有粗糙表面的发 光体与余弦发光体接近 对朗伯源，发光强度向量Iθ端 点轨迹是一个与发光面相切 的球面 余弦辐射体在和法线成任意 I I cos I L n n Const dA cos dA cos dA 角度方向的光亮度 朗伯源的光亮度Lθ与方向无关，只是I随θ变化而变化
灯具配光计算
灯具配光计算夏清明所谓灯具配光，指的是灯具发光强度的空间分布，通常用若干个具有代表性的平面上，光强值随角度的变化曲线（可在极坐标系或者直角坐标系中给出）来表达，称为配光曲线。
灯具的空间光强分布由分布光度计测量得到，原始数据以光强数据表的形式给出。
本文以下所有的计算都是以光强数据表为基础而展开的。
第一部分 基本计算1.基本概念、公式光强：光源在给定方向上单位立体角内所传输的光通量。
1.1.1照度：单位面积上所接收得到的光通量。
1.1.2亮度：光源在某一方向上,单位投影面积上和单位立体角内所发出的光通量。
1.1.3 由光强、照度、亮度的定义式，可推导出两个非常重要的公式：1.1.41.1.5这两个公式在灯具配光计算中经常要用到。
公式中各参量的意义参见图1.1。
图1.12.光通量的计算设想一个闭合球面，灯具位于球心，球的半径等于分布光度计的测试距离。
将这闭合球面细分成很多环带。
图1.2如图1.2所示，介于垂直角度γ1 和γ2之间的第n个环带所对应的光通量等于1.2.1称为环带系数，简称ZF。
介于水平角度C1，C2，垂直角度γ1，γ2之间的区域，其所对应的环带系数为1.2.2总光通量等于n为环带数。
1.2.3 例如，我们每隔10⁰分割一个环带，总共应该分割出18个环带，总光通量等于1.2.4I1，I2，…I18分别为对应环带上的平均光强。
),…)如果只计算垂直角度0⁰到90⁰区间的光通量，即为灯具的下射光通量，总光通量减去下射光通量，即为灯具的上射光通量。
到底将整个球面分割成多少个环带，取决于灯具的配光。
如果光强随角度变化剧烈，环带数应该多一些，比如每隔2⁰划分一个环带。
其他情况角度间隔可以适当大一些，5⁰或者10⁰就可以了。
事实上，光通量的计算思路就是把整个球面分割成若干区域（划分的细密程度取决于你想要达到的精度），落到每一小块上的光通量等于这一小块上的平均光强乘以相应的环带系数，所有区域上的光通量累加求和，得到灯具总光通量。