重要立体角
关于立体角，续五
关于立体角，续五3、多面角----球面三角部分关键内容简介在球面几何-球面三角中，一个基本概念是三面角，三面角的每个面本身所张的平面角称为边，由其余两面限定，而面与面两两之间所夹的平面角称为角，可以推导出，三面角的三个角之和超出180度或πrad，而超出的这部分，正好等于这个三面角所张的立体角，即：Ωt=ε=A+B+C-π——3.1这是关于立体角的一个重要而基本的关系。
通过将多面角分割为若干三面角，可求得多面角所张的立体角。
如正n面角可分割为n-2个相同的等腰三面角，故其立体角为：Ω=（n-2）ε，——3.2由于在诸ε中多余加入了自分割轴张出的一个轴角（二面角）2π/（n-2），故ε，=ε-2π/（n-2）——3.34、多面体多面体与立体角关系密切，欲深入了解立体角，从而对“空间”这个哲学、数学概念增加理解，不妨多观察多面体。
4.1. 认识(正)多面体的部分早期历程长方体以至正方体（正六面体）是人们早就有所了解的多面体，但先后发现5种正多面体，主要应是约公元前500年古希腊人的功劳；据记载，毕达哥拉斯学派已知有正四、六、八面体，特埃特图斯追加了正十二面体和正二十面体。
这5种正多面体首次同时出现，可能是在柏拉图的《蒂迈欧篇》中，蒂迈欧对苏格拉底所说的一段话里。
这段话对正多面体的描述并不很清晰，但5种正多面体却因此被称为柏拉图立体。
蒂迈欧神秘地将四种正多面体（除了正十二面体外）与古希腊哲学中的四个原始元素(火、气、水、土)分别联系在一起，而正十二面体被视为以太或宇宙的形态。
稍后，成书于公元前300年左右的欧几里得《几何原本》，在第13卷之命题13-17分别探讨了正四、八、六、二十、十二面体的作图问题，命题18对它们有所比较，并断言正多面体只有这5种。
但在一定意义上，球体也可以视为具有无穷多个面的第6种正多面体(也有人定义，正多面体只能有有限多个面)，每个面都是正三角形或正六边形；若球半径无穷大，则每个面的面积可以任意大(但不应是无穷大)；若球半径为有限值(但不应是无穷小)，则每个面的面积为无穷小。
立体角计算公式
立体角计算公式立体角，又称夹角、内角、拱角，是指在立体空间内三条曲线汇合成的一种特殊的角，它体现了空间几何学的概念。
它的计算通常使用三角函数和立体几何的相关参数。
立体角的计算都是围绕着一个拱角内三个平面之间的夹角来完成的。
基本计算公式二维平面立体角的计算公式如下：夹角=sin-1[(b x c)/(|b||c|)]其中，b和c是向量，|b|和|c|分别是b和c的模长，x表示叉乘。
三维平面立体角的计算公式如下：夹角=cos-1[(a x b)c/(|a||b||c|)]其中，a、b和c是向量，|a|、|b|和|c|分别是a、b和c的模长，x和表示叉乘和点乘。
立体几何计算公式立体几何的计算公式可以用来表示立体角的特性，以此来计算夹角的大小。
1.体积公式：V＝abc其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，V表示立体角的体积。
2.表面积公式：S＝ab+bc+ca其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，S表示立体角的表面积。
3.距离公式：D＝√(a+b+c)其中，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，D表示立体角的距离。
4.角平分公式：α/β/γ＝a/b/c其中，α、β和γ是各角的大小，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长。
5.体积中垂线公式：V＝abc sin其中，V表示立体角的体积，a、b和c是三条曲线汇合处的长度或边长，α表示立体角的内角大小。
立体角的应用立体角计算公式广泛应用于几何学、机械工程、电子学等领域，它可以用来计算空间坐标系的定位，构建复杂的几何体，也可用来测量空间距离、角度、体积等。
比如，在机械结构设计中，立体角的计算公式可以用来计算连接的螺栓的角度、位置和大小，为准备安装和维护机械设备提供依据。
在电子工程中，立体角的计算公式也可以用来计算电子元件之间的位置、距离和角度，这些参数对正确构建电子系统非常重要。
总结立体角是一种有三条曲线汇合而成的特殊角，它体现了空间几何学的概念。
立体角的单位
立体角的单位一、引言立体角是空间中一个重要的数学概念，用于描述在三维空间中的角度大小。
本文将介绍立体角的基本概念、表示方法和计算方式，并探讨其单位。
二、立体角的基本概念1.立体角是指以某一点为顶点，其余两条射线为边界所夹的空间区域。
2.立体角的大小与边界上的两条射线的夹角和两条射线的长度有关。
3.立体角的大小可以表示为实数，也可以表示为平面角的度量单位。
三、立体角的表示方法1.立体角常用字母表示，如常用的有α，β，γ等。
2.立体角也可以用弧度制表示，以弧度为单位的立体角常用符号为sr。
3.若以平面角的度量单位表示，立体角的单位为平方角度（square degrees）。
四、立体角的计算方式1.若已知两条边界射线的长度和夹角，可以通过计算公式求解立体角的大小。
2.计算公式为：立体角 = 射线1长度 * 射线2长度 * sin(夹角) / (射线1长度 * 射线2长度)。
3.在实际计算中，可以利用三角函数的性质简化计算过程，例如利用正弦定理等。
五、立体角的单位1.立体角的国际单位制（SI）单位为立体弧度（steradian，简写为sr）。
2. 1 steradian等于一个球体表面上的一个面积等于球心角为1弧度的球形面片的面积。
3. 1 steradian等于4π平方弧度，约等于57.3平方度，即1 steradian大约等于3282.8平方角度。
六、立体角的应用1.立体角在物理学、光学、工程学等领域有广泛的应用。
2.在物理学中，立体角常用于描述辐射物体发出的光线包围的空间。
3.在光学中，立体角可用于描述从一个点光源发出的光线在空间中的分布情况。
4.在工程学中，立体角可用于描述声音的衰减、辐射场等。
七、总结立体角作为描述空间角度大小的概念，在数学和应用学科中都有重要的意义。
本文介绍了立体角的基本概念、表示方法和计算方式，并详细探讨了其单位。
立体角的单位为立体弧度（steradian），是国际单位制中常用的角度单位之一。
空间几何的立体角
空间几何的立体角立体角是空间几何中重要的概念，用于描述三维物体之间的角度关系。
参考欧几里得几何学中平面角的定义，立体角也是通过两个平面之间的交叉线来确定的。
本文将介绍立体角的概念、计算方法以及其在实际生活和科学研究中的应用。
一、概念在空间几何中，我们可以定义立体角为两个不共面的射线所夹的角度。
具体地说，我们可以通过从一个射线上选取一点，然后与该射线相交的另一射线还可以由无数种不同位置的点来确定。
这样，我们就可以得到不同的立体角。
根据这个定义，可以得出以下结论：1. 两个相对的直角是等于360度的立体角；2. 两个形成平面角的直线和两个形成立体角的直线具有相同的夹角。
二、计算方法为了计算立体角，我们可以使用多种方法，以下是其中两种常用的方法：1. 体积法：通过计算立体角所包围的体积来确定其大小。
具体地说，我们可以在两个不共面的射线之间构造一个四面体，然后计算该四面体的体积。
该体积就是所求立体角的大小。
这种方法需要对几何体的体积计算有一定的理解和掌握。
2. 广义平面角法：理解和应用平面角的概念和计算方法，可以将其推广到立体角的计算中。
通过选取两个不共面的射线上的点，可以构成一个平面角。
将这个平面角的两条边替换为另外两个射线，就可以得到一个立体角。
通过计算这个立体角对应平面角的大小，即可确定立体角的度数。
这种方法更加直观，易于理解和计算。
三、应用立体角在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 光学：在光学领域中，研究光的传播和反射是非常重要的。
当光线从一种介质进入另一种介质时，会发生折射现象。
折射角的大小与入射角和介质的折射率有关。
通过计算折射角对应的立体角，可以进一步研究光的传播和折射规律。
2. 建筑设计：在建筑设计中，立体角可以用来描述建筑物之间的角度关系。
例如，在城市规划中，我们可以通过计算不同建筑物之间的立体角来优化建筑物的布局，以获得更好的采光和通风效果。
3. 数学研究：立体角作为空间几何的重要概念，被广泛应用于数学研究中。
空间几何中的平面角与立体角
空间几何中的平面角与立体角在空间几何中，平面角与立体角是两个重要的概念。
平面角是指由两条交叉的直线所形成的角度，而立体角则是由多个平面角所围成的角度。
理解和运用这些概念对于解决空间几何问题至关重要。
一、平面角平面角是平面几何中常见的概念，它是由两条直线在同一平面上的交叉所形成的角度。
对于给定的两条直线，在它们的交点处，可以测量出一个角度，即平面角。
平面角通常用弧度或度来表示。
在平面角中，有一些特殊的角度需要特别注意。
例如，当两条直线互相垂直时，它们所形成的平面角称为直角。
直角是平面几何中的基本角度单位，它的度数为90°，弧度表示为π/2。
直角的特殊性使得它在很多几何问题中具有重要的作用。
此外，在平面角中还有钝角和锐角。
当两条直线之间的夹角大于90°时，我们称它为钝角；当夹角小于90°时，我们称之为锐角。
钝角和锐角常常出现在各种几何问题中，它们的大小和位置对于问题的解决至关重要。
二、立体角立体角是空间几何中的一个重要概念，它是由多个平面角所围成的角度。
在空间中，我们可以将一个角度所围的范围看作是一个三维的空间区域，这个区域就是立体角。
在计算立体角时，我们通常采用球面角的概念来表示。
球面角是一种特殊的立体角，它是由一个球的表面上的两个交叉弧所形成的角度。
对于一个给定的球面角，我们可以根据弧长和球半径来计算它的值。
立体角在空间几何中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，立体角可以用来描述辐射场的分布情况；在计算机图形学中，立体角可以用来计算光线追踪和阴影效果等。
了解立体角的概念和计算方法对于解决这些问题非常重要。
总结：空间几何中的平面角与立体角是两个重要的概念。
平面角是由两条直线在同一平面上的交叉所形成的角度，而立体角则是由多个平面角所围成的角度。
了解和运用这些概念对于解决空间几何问题至关重要。
在计算平面角和立体角时，我们可以使用度数或弧度来表示，并且可以根据具体的问题和要求选择适当的计算方法。
立体角理解及应用
立体角在国家法定计量单位所采用的国际单位制(SI)中，除了7个基本单位外，还有两个辅助单位，一个是平面角(一般简称角度)，一般记为希腊小写字母α等，单位为弧度，记为rad，另一个是立体角，记为大写希腊字母Ω，单位为球面度，记为sr。
立体角涉及光度学、电磁辐射、球面天文学等许多领域的基本概念，如(热、光或其它电磁波、声音或其它机械波的)辐射通量、星座所占天球区域的“面积”(实际为立体角)大小等等，因此立体角概念本身的重要意义和实用价值不言而喻，可谓理解客观世界的空间形式和许多科学原理的一把钥匙。
通常的初等数学教育对平面角讲得很详尽，但对立体角的介绍则远不充足。
对三维空间、立体几何有兴趣者，不妨读读本文，希望您有所获益。
您斧正拙文之谬误、拓展和深化拙文所涵盖的内容，尤为笔者所企冀。
平面上，多边形内角和可表为(n-2)π，那么相应地，多面体内立体角之和如何？答曰：它在一定区间内变化，关于这一点，以后再展开叙述。
1、立体角定义与量度1.1立体角的概念当我们看到远处的两个物体，欲表达其相对方位时，用从这两个物体到眼睛的视线之间的夹角这个概念。
例如，可以选择月亮的上边缘顶点与下边缘顶点，由人眼到这两个点的视线之间的夹角较为稳定，可以称为月亮的“视直径”。
而当形容“挂在树梢上的月亮像月饼这么大”时，人们就一面犯了错误，一面已经在冥冥之中与立体角概念的幽灵相接近。
月亮、月饼当然不一样大，而且大小相差悬殊，但是当月饼与人眼之间为一定距离时，看起来它的确跟月亮“差不多一般大”。
月饼比月亮小得多，但当把月饼放在眼前时，它却能完全挡住月亮，这样就清楚了，随着距离变远，形象就变小。
这不仅是“视直径”的变化，其实也是另一个量，“立体角”的变化。
假设制作一个代表立体直角坐标系的三维“十字架”，使之穿过两个半径相差一倍的同心球面，球心在坐标系原点，自球心发出无数条射线，这些射线在球面上的投影点形成一条连续的闭合的曲线，那么这样的一条曲线在小球面上所限定的面积为在大球面上所限定面积的1/4。
立体角
数学术语
01 定义
03 常见
目录
02 应用
立体角（Solid Angle），常用字母Ω表示，是一个物体对特定点的三维空间的角度，是平面角在三维空间 中的类比。它描述的是站在某一点的观察者测量到的物体大小的尺度。例如，对于一个特定的观察点，一个在该 观察点附近的小物体有可能和一个远处的大物体有着相同的立体角。
对于任意一个四面体OABC,其中O,A,B,C分别为四面体的四个顶点。下面给出一个公式，计算从O点观察三角 形ABC的立体角Ω的方便简单的公式。令α=∠BOC，β=∠AOC，γ=∠AOB(均为各自平面内两条直线的夹角，可以 采用平面三角形的余弦公式计算求得)，。
谢谢观看
锥体的立体角大小定义为，以锥体的顶点为球心作球面，该锥体在球表面截取的面积与球半径平方之比，单 位为球面度。
定义
公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 任意定向曲面
单位 封闭曲面
在球坐标系中，任意球面的极小面积为： 因此，极小立体角（单位球面上的极小面积）为： 所以，立体角是投影面积与球半径平方值的比，这和“平面角是圆的弧长与半径的比”类似。对极小立体角 做曲面积分即可得立体角：
常见
圆锥球冠
任意四面体
顶角为2的圆锥的立体角为一个单位球的球冠。 （上面结果由下式得到） 应该注意阿基米德在2200年前不用微积分证明了球冠的表面积与半径为球冠边沿到球冠最低点的距离的圆的 面积相等。球冠边沿到球冠最低点的距离为 显然，在单位圆中球冠立体角为 当θ=π，立体角涵盖整个球体，球冠变为有着立体角 4π的球，我们将4π称为全方位立体角。当θ=π/2， 球冠变为有着立体角 2π的半球。
一个完整的球面对于球内任意一点的立体角为4πsr（对于球外任意一点的立体角为0sr）： 这个定理对所有封闭曲面皆成立，它也是高斯定律的主要依据。
立体角和球面角的计算
立体角和球面角的计算立体角是用来度量几何体内部的角度的概念，常用于计算体积、投影面积等几何问题。
球面角是度量球面上的角度的概念，常用于计算球体表面积、球冠体积等球面几何问题。
在本文中，我们将介绍立体角和球面角的计算方法。
一、立体角的计算立体角是用立体上两条射线之间的夹角来度量的。
在三维空间中，可以通过将立体分割为多个小面元，再计算每个小面元上的角度之和来获得立体角。
以下是几种常见的立体角计算方法：1. 平面上的立体角对于平面上的立体角，可以通过计算其边界上的线段与原点之间的夹角来求得。
具体计算步骤如下：- 将平面分割成多个小区域，如三角形、四边形等。
- 计算每个小区域的边界上的线段与原点之间的夹角。
- 将每个小区域的夹角相加，得到平面的立体角。
2. 立体图形的立体角对于立体图形，可以通过计算其面上的法线与原点之间的夹角来求得立体角。
具体计算步骤如下：- 将立体图形划分为多个小面元，每个小面元的面积为A。
- 计算每个小面元的法线与原点之间的夹角。
- 根据每个小面元的夹角和面积，计算每个小面元上的立体角。
- 将每个小面元上的立体角相加，得到立体图形的立体角。
二、球面角的计算球面角是度量球面上某一部分的大小的概念。
在球面几何学中，可以通过计算球面上两条弧的夹角来求得球面角。
以下是几种常见的球面角计算方法：1. 以球心为顶点的球面角对于以球心为顶点的球面角，可以通过计算球心到两条弧的夹角来求得。
具体计算步骤如下：- 已知球心和两条弧的切点，计算球心到切点的距离为R。
- 计算球心到两条弧的夹角。
- 根据夹角和球半径R，计算球面角。
2. 不以球心为顶点的球面角对于不以球心为顶点的球面角，可以通过计算两个球心角和球半径的乘积来求得。
具体计算步骤如下：- 已知两条弧上的两个切点与球心的连线长度分别为r1和r2。
- 计算两个切点到球心的连线与球半径的夹角。
- 根据两个夹角和球半径R，计算球面角。
总结：立体角和球面角是重要的几何概念，用于度量立体体积和表面积。
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cos 2 )
Page 8
3.用球坐标表示立体角
（见P9图2-5）微小面积
则dS对应的立体角为
dS r2 sin d d
计算某一个立体角时，在一定范围内积分即可。
d sin d d
d
Page 9
二、辐射量
通常，把以电磁波形式传播的能量称为辐射能，用Q表示，
单位为焦耳。
Q h
Page 4
定义:一个任意形状椎面所包含的空间称为立 体角。 符号：Ω 单位：Sr （球面度）
如图所示，△A是半径为R 的球面的一部分，△A的边 缘各点对球心O连线所包 围的那部分空间叫立体角。
立体角的数值为部分球面 面积△A与球半径平方之比， 即
A R2
Page 5
单位立体角：以O为球心、R为半径作球，若立体 角Ω截出的球面部分的面积为R2，则此球面部分 所对应的立体角称为一个单位立体角，或一球面
Page 3
§2-1 描述辐射场的基本物理量
一、立体角： 在光辐射测量中，常用的几何量就是立体角。立体角涉及
到的是空间问题。任一光源发射的光能量都是辐射在它周 围的一定空间内。因此，在进行有关光辐射的讨论和计算 时，也将是一个立体空间问题。与平面角度相似，我们可 把整个空间以某一点为中心划分成若干立体角。
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注意单位（W/m），光谱辐射通量不是辐射通量的单位 W/m2，而是辐射通量与波长的比值，描述的是某一波长 或波段的辐射特性。
于是有：
Page 1
引言
光 学——研究光的本质、特性、传播规律 的 科学.
几何光学——以光线在均匀媒质中直线传播的规 定为基础的研究。(画点、画线)
物理光学——在证明光是一种电磁波后的研究。 (干涉、衍射等，光可以拐弯了)
量子光学——现代理论对光的本质所达到的认 识.(粒子性和波动性)说明光是一种能量。
0
单位：W/Sr （瓦/球面度）
物理描述：点辐射源在某一方向上的辐射强度， 是指辐射源在包含该方向的单位立体角内所发出 的辐射通量。
Page 12
点辐射源： （相对概念）辐射源与观 测点之间距离大于辐射源最大尺寸10 倍时，可当做点源处理，否则称为扩 展源（有一定面积）.
P11第一句话重要，“辐射强度是描述点源特性的辐射
度。
对于一个给定顶点O 和一个随意方向的微小面积 dS ，它们对应的立体角为
d
dS cos
R2
其中θ为dS 与投影面积 dA的夹角，R为O 到dS中 心的距离。
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[例]
1、球面所对应的立体角：根据定义
全球所对应的立体角
4R2 4
R2
S
R2
(全球所对应的立体角是整个空间，又称为4π空间.)
教学目的：在红外物理（技术）及其应用的科学 实践和工程设计中，经常会遇到各种形式的辐射 源发出辐射的问题和测量问题。本要学习有关辐 射量和光度量的基本概念、定义、单位及计算。
教学方法：面授 教学手段：板书 学时分配：12 重点、难点：掌握辐射出射度、辐射强度、辐射
亮度、辐射照度的基本概念及计算。 作业布置：P279 4、5、6、9题
A0 A A
Page 17
§2.2光谱辐射量与光子辐射量
光谱辐射通量：辐射源在λ+△λ波长间隔内发出的
辐射功率，称为在波长λ处的光谱辐射功率（或单
色辐射 功li率m0）
单位：W/m （瓦/米）
严格地讲，单色辐射通量和光谱辐射通量不同，
其区别在于“单色辐射通量”比“光谱辐射通量”
的
波长范围更小一些。
MdA A为扩展源面积。
A
Page 14
3.辐射亮度：L
物理描述：辐射源在给定方向上的辐射亮度，是源在该方 向上的投影面积上、单位立体角内发出的辐射功率。
面积元△A向小立体角△Ω内发射的辐射功率 是二阶小量△(△Φ)＝△2Φ； 在θ方向看到的源面积是△A的投影面积
△Aθ＝△AcPoagse θ15，
定义的。
Page 10
辐射通量:单位时间内通过某一面积的光辐射 能量
单位：W（瓦）
Q辐是射辐功射率能dP量混。用Φ）与功dd率Qt意义相同。（见P10：辐射能量与
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1.辐射强度：I
数学描述：若点辐射源在小立体角△Ω内的辐射功 率为△Φ，则△Φ与△Ω之比的极限值定义为辐射强 度.
lim I
同理，半球所对应的立体角为2π空间。
球冠所对应的立 体2角(1：Rc（o2s见)RP92 图 24-3s）in
2
当α很小时，可用小平面代替球面，5º以下时误差≤1%。
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2.球台侧面所对应的立体角：
面积为大球面积减去小球面积（见P9
图2-4）
2R2
R2
(cos1ຫໍສະໝຸດ cos 2 )2(cos1
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光既然是一种传播着的能量，如何度量和 光定度量学研与究辐射度学：对光能进行定量研究的科
学. 光 度 学——只限于可见光范围，包含人眼特性。 辐射度学——规律适用于从紫外到红外波段（光
能的大小是客观的）.有些规律适用于整个电磁波 谱。 红外物理就是从光是一种能量出发，定量地讨 论光的计算和测量问题（当然不只是可见光）.
因此，在θ方向上观测到的源表面上该位置的辐亮度就定 义为△2Φ与△Aθ及△Ω之比的极限值
L单位liA：m00w /(A㎡2·Sr)
2 2
瓦/A（ 平 方米A·球c面os度 ）
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4.辐射照度：E
被照表面积的单位面积上接收到的辐射功率称辐射照度.
lim 单位：w/㎡（瓦/米2）
E
h是普朗克常数，ν是光的频率，ν与光速c、波长λ之间都是可换算的.
辐射能即可以表示辐射源发出的电磁波的能量，也可以表示被辐射表 面接收到的电磁波的能量。
辐射功率以及由它派生出来的几个辐射度学中的物理量，属于基本物 理量。它们的量值都可以用专门的红外辐射计在离开辐射源一定的距 离上进行测量。所以其他辐射量都是由辐射功率（或称为辐射通量）
量”。（画）
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2.辐射出射度：M
数学描述：若辐射源的微小面积△A向半球空间的 辐射功率为△Φ，则△Φ与△A之比的极限值定义为 辐射出射度.
lim M
A0 A A
单位：w/㎡
物理描述：扩展源单位面积向半球空间发射的功 率（或辐射通量）。
扩展源总的辐射通量，等于辐射出射度对辐射表 面积的积分：