第六章整式的乘除小结与复习
《整式的乘除》全章复习与巩固(基础)知识讲解(猪猪老师)
《整式的乘除》全章复习与巩固（猪猪老师）
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、幂的运算
1.同底数幂的乘法：
(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：
(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5.零指数幂：()0
10.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n n a a
-=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
要点二、整式的乘法和除法
1.单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2.单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即c b a m ,,,mc mb ma c b a m ++=++)((都是单项式).
3.多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.。
第六章整式的乘除小结与复习__
第六章整式的乘除小结与复习考点呈现考点1 幂的运算性质例1 下列运算正确的是（ ）A. （-a ）6·（-a 3）=a 18B.（-b 3）5=-3b 8C. （a 2b ）4=a 10b 3D.（ab ）12÷（ab ）10=a 2b 2考点2 零指数幂和负整数指数幂的意义例2 计算 2)51(--÷（-1）-2013+（1961-π）0×（-9）-1考点3 科学记数法例3 山西是我国古文明发祥地之一，其总面积与地球总面积的比值约为0.000 314，数据0.000 314用科学记数法可表示为（ ） A. 0.314×10-4 B. 3.14×10-4 C. 31.4×10-4D. 3.14×10-5考点4 整式的乘法例4先化简，再求值：（-2x2）2-（x2+1）（4x2-5）-x（x+11），其中x=-2.考点5 乘法公式例5计算：（x+3y）2-2（x+3y）（x-3y）+（x-3y）2考点6 整式的除法例6化简（4ab3+8a2b2）÷（-4ab）-（2a+b）（2a-b）考点7 定义新运算型例7定义一种新运算“§”，a§b=a2+ab+（b-1）2，根据这个新运算，可得（2x-1）§（x+3）误区点拨易错点1 混淆幂的运算性质例1下列计算①x3·x9=x27；②（-2m2n）3=-2m6n；③（a-b）9÷（a-b）3=（a-b）3.其中正确的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个易错点2 进行整式的乘法运算时出现漏乘例2计算：⑴ab（b+b2）-b2（ab-a+1）⑵（a-b）（a+5b）易错点3 乘法公式的结构掌握不牢例3计算：⑴（2x+3y）（3y-2x）⑵（4x-5y）2易错点4 科学记数法的意义理解不清例4传说西游记中的孙悟空一个筋斗就是十万八千里（1里=500米），那么它的百亿分之一是（）A. 5.4×10-6米B.0.54×10-7米C.54×10-5米D. 5.4×10-3米易错点5 在整式的乘除混合运算中，运算顺序混乱例5 计算：x 2y 2÷x·xy方法点拨 1.逆用幂的运算性质求值例1 已知a m =2，a n =4，求a3m-n 的值. 例2 计算： （-0.125）115×（2115）3+20122013)532()135(-⨯ 3.利用整式的乘法确定积中不含某项字母系数的值 例3 若关于多项式（x-1）（-kx+1）的乘积中不含一次项，求k 值4.巧用乘法公式求值例4 计算：20132-2012×2014-100125.巧用“被除式=除式×商式+余式”求解例5 已知多项式2x 3-4x 2-1除以多项式A ，得商式为2x ，余式为2x-1，则多项式A=中考链接1.下列计算正确的是（ ）A.2a 2+a 2=3a4 B.a 6÷a 2=a 3 C.a 6·a 2=a 12 D.（-a 6）2=a12 2.若3×9m×27m =311，则m 的值为（ ）A.2B.3C.4D.53.已知一粒米的质量是0.000 021千克，这个数字用科学记数法表示为（ ）千克A.21×10-4 B.2.1×10-6 C. 2.1×10-5D.2.1×10-44.计算：|-2|+（-2）2+（7-π）0-（31）-1.5、先化简再求值2b2+（a+b）（a-b）-（a-b）1.2，其中a=-3，b=2。
整式的乘除知识点归纳
整 式 的 乘 除知识点归纳：1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的 系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x5、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=∙（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
如：532)()()(b a b a b a +=+∙+6、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m m n a a a )()(==如：23326)4()4(4== 已知：23a =，326b =，求3102a b +的值；7、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=∙∙∙-8、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
整式的乘除知识点及题型复习
举例说明：如单项 式x^2除以多项式 2x-1，结果为 (x^2)/(2x1)=x+1
除法运算顺序：按照从左到 右的顺序进行除法运算，注 意先处理括号内的内容
除法法则：类似于多项式乘 法，将除法转化为乘法，然 后利用乘法法则进行计算
除法结果的化简：将除法结 果化简到最简形式，注意约
分和合并同类项
除法运算的注意事项：注意 处理符号和运算优先级的问
添加标题
解析：根据速度、时间和距离的关系，速度=距离/时间，所以时间=距离/速度。将已知数值代入公式，得到时间=100千米 /80千米/小时=1.25小时。
添加标题
题目：一架飞机以每小时800千米的速度从甲地飞往乙地，飞行了3小时后，发现方向有误，于是立即改变航向，并以每小时 1000千米的速度飞行了4小时，求飞机到达乙地所需的总时间。
项式。
整式除法的结 果仍为一个多 项式，其各项 系数和次数与 被除式相同。
整式除法的一 般形式为：被 除式=除式×商
式+余式。
在整式除法中， 需要注意除数 不能为0，且各 项系数和次数 必须符合数学
规则。
定义：将一个单项式除以另一个单项式的商称为单项式除以单项式。
运算法则：与单项式乘法类似，按照系数、字母因子的指数分别相除，对于只在被除式 中出现的字母因子，连同其指数一起作为商的一个字母因子。
定义：两个多项式相乘，将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项 相乘，再将所得积相加。 举例：$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$
公式：$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
注意事项：注意乘法分配律的应用，以及合并同类项时的符号问题。
整式的乘除(重点、难点、考点复习总结)
整式的乘除（重点、难点、考点复习总结）1．知识系统总结2．重点难点易错点归纳（1）几种幂的运算法则的推广及逆用例1：（1）已知52x=4,5y=3,求(53x)2; 54x+2y-2练习：1. 已知a x=2,a y=3, a z=4求a3x+2y-z（2）46×0.256= （-8）2013×0.1252014 =（2）同底数幂的乘除法：底数互为相反数时如何换底能使计算简便判断是否同底：判断底数是否互为相反数：看成省略加号的和，每一项都相反结果就互为相反数换底常用的两种变形：例2：（1）-x7÷（-x）5·（-x）2 (2)(2a-b)7·（-b+2a）5÷（b-2a）8（3）区分积的乘方与幂的乘方例3：计算（1）（x3）2 (2) (-x3）2 (3)（-2x3）2（4）-（2x3）2（4）比较法：逆用幂的乘方的运算性质求字母的值（或者解复杂的、字母含指数的方程）例4：（1）如果2×8n×16n=28n ,求n的值（2）如果（9n）2=316，求n的值（3）3x=,求x的值（4）（-2）x= -,求x的值（5）利用乘方比较数的大小指数比较法：833，1625, 3219底数比较法：355,444,533乘方比较法：a2=5,b3=12，a>0,b>0,比较a,b的大小比较840与6320的大小（6）分类讨论思想例6：是否存在有理数a，使（│a│-3）a =1成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由整式的乘法（1）计算法则明确单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的计算法则，尤其注意符号的问题，结果一定要是最简形式。
单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化为单项式乘以单项式，通过省略加号的和巧妙简化符号问题。
【例1】计算：（1）(-3x2y)(-xz4)(-2y3zt) (2)-5x n y n+2(3x n+2y-2x n y n-1+y n) （3）（-x+2）(x3-x2)练一练：先化简再求值：[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-0.25,y=4(2)利用整式的乘法求字母的值①指数类问题：②系数类问题：【例2】已知-2x3m+1y2n与7x m-6y-3-n的积与x4y是同【例3】在x2+ax+b与2x2-3x-1的积中，x3项项，求m与n的值的系数为—5，x2项的系数为-6，求a,b的值（3）新定义题【例4】现规定一种新运算：a*b=ab+a-b，其中a,b为有理数，则（a*b）+[(b-a)*b]=练一练：现规定一种新运算：a※b=ab+a-b，其中a,b为有理数，计算：[（m+n）※n]+[(n-m)※n] 课后提升：1.（-0.7×104）×（0.4×103）×（-10）=2.若（2x-3）（5-2x）=ax2+bx+c,则a= ,b=3.若（-2x+a）(x-1)的结果不含x的一次项，则a=4.计算：(1)（-5x-6y+z）(3x-6y) (2)-2xy(x2-3y2)- 4xy(2x2+y2)平方差公式（1）公式：（a+b）(a-b)=a2-b2注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，只要不是单独的数字或字母，写成平方的差时都要加括号公式的验证：根据面积的不同表达方式是验证整式乘法公式常用的方法(2)平方差公式的不同变化形式【例1】计算下列各式：（1）（-5x+2y）(-2y-5x)= （2）（2a-1）(2a+1)(4a2+1)=（3）20132-2012×2014 =练一练：1、（2y-x-3z）(-x-2y-3z)=2、99×101×10001=3、 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×…×（232+1）+1=（3）平方差公式的逆用【例2】∣x+y-3∣+(x-y+5)2=0,求3x2-3y2的值练一练：已知实数a,b满足a+b=2，a-b=5，求（a+b）3（a-b）3的值.课后提升：1.已知下列式子：①（x-y）（-x-y）；②（-x+y）(x-y)；③（-x-y）（x+y）；④（x-y）（y-x）.其中能利用平方差公式计算的是2.(-a-3)( )=9-a23.如果a2-2k=(a-0.5)（a+0.5），那么k=4.为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，将改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（）A.增加6平方米B.增加9平方米C.减少9平方米D.保持不变5.解方程：（3x+4）（3x-4）=9（x-2）26.计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（22014+1）完全平方公式（1）公式：（a±b）2=a2±2ab +b2首平方，尾平方，2倍乘积放中央，同号加，异号减注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式【例1】计算下列各式：（2x-5y）2 = (-mn+1)2 =(-t2-2)2=（2）完全平方公式的推广应用①直接推广②间接推广【例2】计算（a-2b+3c)2【例3】已知x+y+z=10,xy+xz+yz=8,求x2+y2+z2的值（3）利用完全平方公式求字母的值【例4】两数和的平方的结果是x2+(a-1)x+25,则a的值是（）A.-9B.1C.9或-11D.-9或11（4）利用完全平方公式进行简化计算【例5】计算：（1）1992 （2）3.012（5）完全平方公式的变形应用【例6】（1）已知m+n=7,mn=10,求8m2+8n2的值（2）已知（x+y）2=16,(x-y)2=4,求xy的值课后提升：1.下列展开结果是2mn-m2-n2的式子是（）A.（m+n）2B.(-m+n)2C.-(m-n)2D.-(m+n)22.(x+2y-z)2=3.若∣x+y-7∣+(xy-6)2=0,则3x2+3y2=4.若代数式x2+3x+2可以表示为 (x-1)2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是5.计算：（2x-y）2（2x+y）2整式的除法（1）计算法则整式乘法的逆运算，可以互相验证。
整式的乘除与因式分解小结与复习
b 整式的乘除与因式分解小结与复习考点呈现一、幂的运算例1 若.,,577512-===r q p m m m 求r q p m 243-+的值. 分析：可以把r q p m243-+逆用幂的有关性质进行变形,化成2223)()()(r q p m m m ÷⋅的形式． 解: r q p m 243-+=2223)()()(r q p m m m ÷⋅=.)()(5157751223=-÷⨯ 评注:灵活运用幂的运算性质是处理此类问题的关键．二、整式的乘法（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？（2）在多项式乘以多项式之前，我们学习了哪些有关知识？（写出三条即可）（3）请用你已有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式法是则如何获得的？（用（a+b ）(c+d)来说明）分析：阅读是基础，理解是关键.解：（1）第二类知识. （2）单项式乘以单项式，分配律，字母表示数，数可以表示线段的长或图形的面积，等等. （3）()()a b c d ac ad bc bd ++=+++.评注：此题利用数形结合考查了整式的乘法相关知识.1.单项式与多项式相乘，实际上是利用乘法的分配律转化为单项式乘法的运算.2.单项式乘以多项式的积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同.3.单项式乘以多项式的每一项时，不能漏乘某些项.4.多项式中的每一项都包括其前面的符号，计算时应注意符号问题．例3 现规定一种运算：,a b ab a b ⊕=+-其中a ，b 为实数，则()a b b a b ⊕+-⊕等于 ( )A.2a b -B.2b b -C.2bD.2b a -分析： 读懂所谓的新定义即可.解：按新定义运算可得：()a b b a b ⊕+-⊕=()()ab a b b a b b a b +-+-+--=2ab a b b ab b a b +-+-+--=2.b b -故应选B.评注：此类阅读理解问题，关键是按新定义运算，把陌生的运算转化为常见的整式运算.三 、乘法公式点拨：先用乘法公式计算,去括号、合并同类项后，再将已知条件整体代入计算.解：原式=x y y y 41222+-++=142++x y=1)2(2++x y当12=+x y 时，原式=3112=+⨯．四、整式的除法分析：在进行多项式除以单项式时，一要注意符号，二要注意不漏除，三对于混合运算，要注意运算顺序.解：（1）()()()322484a b a b ab a b ab +-+-÷ =2222a b b ab -+-=22a ab - .当2a =，1b =时，原式=22221-⨯⨯ =44-=0 .评注：多项式除以单项式应注意：1.符号问题，多项式是几个单项式的和，其中每一个单项式都是多项式的一项，所以多项式的每一项都包括它前面的符号.2.不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同.五、因式分解A ．2(2)x x x -B ．2(2)x x -C ．(1)(1)x x x +-D ．2(1)x x -解析：先提取公因式，然后再应用完全平方公式，结果为2(1)x x -．选D ．A ．（x ＋y ＋1）(x －y －1)B ．（x ＋y －1）(x －y －1)C ．（x ＋y －1）(x ＋y ＋1)D ．（x －y ＋1）(x ＋y ＋1)解析：将后三项分为一组运用完全平方公式，再与第一项运用平方差进行分解因式，结果为（x ＋y ＋1）(x －y －1)．选A ．请同学们思考：其他的分组方法能使分解进行吗？解析：先将前两项分为一组，后两项分为一组，再分解因式，结果为()()22xy y +-．请同学们思考：还有没有其他分组的方法？错解剖析一、幂的运算常见错误例1 计算： 34x x ⋅.错解： 34x x ⋅=1234x x=⨯. 剖析：同底数幂相乘，应底数不变，指数相加，与幂的乘方运算法则相混淆致错. 正解： 34x x ⋅=734x x =+.例2 计算： 43)(ab - . 错解： 43)(ab -=12ab -.剖析：积的乘方，应把积中的每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘，因此a -也应4次方. 正解：43)(ab -=124434)()(b a b a =-.例3 计算：28)(a a -÷-． 错解：原式=6628)()(a a a =-=--．剖析：错解中误认为8a -的底数是a -，实际上它的底数是a ．正解：原式=28a a ÷-= 6a -． 二、整式的乘除常见错误例4 计算：( 2x + y ) ( 2x – y ) ．错解：( 2x + y ) ( 2x – y ) = 2x 2 - y 2.剖析：式子在计算中都没有明确“项”的概念，包括字母前面的系数，因此在平方时漏掉了系数.应是2x 与y 这两项的平方差.正解：2222( 2x + y ) ( 2x - y ) =(2)4x y x y -=-．例 5 计算：（-1+ab 41）2. 错解：2222211111(1)(1)21()1444216ab ab ab ab a b -+=-+⨯⨯+=++. 剖析：等号左边的运算符合虽然是加号,但应是1-与14ab 的积,所以1214ab ⨯⨯应为12(1)4ab ⨯-⨯. 正解：2222211111(1)(1)2(1)()1444216ab ab ab ab a b -+=-+⨯-⨯+=-+. 评注：出现上述错误的主要原因是对公式理解不透彻和对公式结构特征不熟悉,可以通过多推导几遍公式,加深对两个公式的理解,再结合两个公式的几何解释,会对两个公式的理解更透彻；对公式结构特征的熟悉则要通过多观察,多记忆,做适量的练习来解决.例6计算: ()()2422152055x y x x x --÷-.错解一: 原式()()()2242215520534x y x x x y x =÷-+-÷-=-+.剖析：错误原因是将()2255x x -÷-这一项漏掉了.其实,多项式除以单项式,先把多项式各项分别除以这个单项式,然后把所得的商相加,注意不能漏除.错解二: 原式＝224222215520555341x y x x x x x y x -÷-÷-÷=---.剖析：错误原因是计算过程中将符号弄错了.正解:原式=()()()()224222215520555341x y x x x x x y x ÷--÷--÷-=-++.例7分解因式：(x+y)2+(x+y)+41. 错解:原式= (x+y)( x+y+1)+41. 剖析:尽管结果的第一项是积的形式,但从整体上看还是和的形式.错因在于曲解了分解因式的意义,误认为只要结果中有整式的积即可,而忽视了整个结果必须是积的形式这一本质.正解: 原式= (x+y)2+212⨯(x+y)+2)21(= (x+y+21)2. 例8 分解因式：222121y xy x +-. 错解:原式=x 2-2xy+y 2=(x-y)2.剖析:错解是把解方程中去分母的方法“移植”到分解因式中, 张冠李戴,错误地把多项式中的每一项都乘以2,破坏了变形的恒等性而致错.正确处理方法是把21作为公因式提出来. 正解:原式=222)(21)2(21y x y xy x -=+-. 例9 分解因式：(x 2+4)2-16x 2.错解:原式= (x 2+4)2-(4x ) 2=( x 2+4+4x)( x 2+4-4x).剖析: 错因在于分解因式不彻底.因为结果中的两个因式都是完全平方式,还可以继续分解.所以错解由于半途而废,而导致“前功尽弃”.正解:原式=( x 2+4+4x)( x 2+4-4x)=( x+2) 2 (x-2) 2.温馨提醒：错误本身并不可怕，可怕的是自己犯了错还不知道自己错在哪儿．其实，错误与成功就像睡梦与清醒一样，当你从错误中醒来时，你已走向了成功！基础盘点1．幂的运算主要包括四大类：（1）__________；（2）_____；（3）_______；（4）______.2．幂的前三个基本性质是整式乘法的基础，整式的乘法包括：______；_______；________．3.乘法公式是指____公式；_______公式.在乘法公式中，字母a ，b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的___，也可以取一个_____、一个_____或_____.4.幂的除法是整式除法的基础，熟练进行单项式除法是学习多项式除以单项式的关键.单项式除以单项式的法则：_________________________________；对于只在被除式里含有的字母，则________.多项式除以单项式法则：____________________________________.5.因式分解指的是_______________的形式.因式分解的基本方法：1．_________；2.__________.课堂检测A ．x 2·x 3=x6 B ．2x +3x =5x 2 C ．（x 2）3=x 6 D ．x 6÷x 2=x 3A ．2(3)m x +B ．(3)(3)m x x +-C ．2(4)m x -D ．2(3)m x -3.太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为33.8102⨯千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辅射能功率为（ ）A ．141.910⨯ 千瓦B ．142.010⨯ 千瓦C ．157.610⨯ 千瓦D ．151.910⨯千瓦4.已知32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 5. 已知102103m n ==，，则3210m n +=____________.7．卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103米/秒,则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少?8．已知：a +b =3，ab =2，求下列各式的值：（1）a 2b +ab 2 ； （2）a 2+b 2 ．跟踪训练A.224325a a a += B .22(3)9a a +=+C.235()a a =D.23326a a a ⋅=2．下列计算：①224)(a a a =-÷-；②92310)(x x x x =÷÷；③52433325)3()(15y x y x y x =-÷-，④16)31()9132(2236274-=-÷-b a ab b a b a ； 其中错误的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.下列应用这个立方公式进行的变形不正确．．．的是（ ） A. （x +4y ）（x 2－4xy +16y 2）=x 3+64y 3B. （2x+y ）（4x 2－2xy+y 2）=8x 3+y 3C. （a +1）（a 2＋a +1）=a 3+1D. x 3+27=（x +3）（x 2－3x +9）5.已知13323+++x ax x 能被12+x 整除，且商式是13+x ，则a = .6.若65=m ，25=n ，则125+-n m 的值=________.7．现有两张铁皮，长方形铁皮的长为x+2y ，宽为x －2y （x －2y ＞0）；正方形铁皮的边长为2（x －y ）．现根据需要，要把两张铁皮焊接成一张长方形的铁皮，铁皮长为6x ，请你求出新铁皮的宽．8．给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．基础盘点：1．同底数幂乘法 幂的乘法 积的乘法 同底数幂的除法2．单项式乘法 单项式乘多项式 多项式乘多项式3．平方差 完全平方 数 字母 单项式 多项式4．单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式 连同它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加5．把一个多项式分解为几个整式积 提取公因式 公式法课堂检测：1.C2. D3.A4. 25. 72 6． (34)ab a -7. 2.37×106米.8．(1)6； (2)5 .跟踪训练1．D 2．B 3.C 4．2222()a ab b a b ++=+ 5． 1 6． 90 7.y x 3465-. 8.答案不唯一，略.。
整式的乘除知识点及题型复习
整式的乘除知识点及题型复习整式的乘除是初中数学中的重要内容，它不仅是后续学习分式、二次根式等知识的基础，还在实际生活中有着广泛的应用。
接下来，我们就对整式的乘除的知识点及常见题型进行一次全面的复习。
一、整式乘法的知识点1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：＄a^m×a^n ＝a^｛m+n}＄（＄m$、＄n$都是正整数）例如：＄2^3×2^4 ＝ 2^｛3+4} ＝ 2^7$2、幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（＄m$、＄n$都是正整数）比如：＄（3^2)＾3 ＝ 3^｛2×3} ＝ 3^6$3、积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$（＄n$为正整数）例如：＄（2×3)＾2 ＝ 2^2×3^2 ＝ 36$4、单项式乘以单项式系数与系数相乘，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
比如：＄3x^2y × 5xy^2 ＝（3×5)×（x^2×x)×（y×y^2) ＝ 15x^3y^3$5、单项式乘以多项式用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：＄m(a ＋b ＋ c) ＝ ma ＋ mb ＋ mc$例如：＄2x(x ＋ 2y 3z) ＝ 2x^2 ＋ 4xy 6xz$6、多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：＄（a ＋ b)（m ＋ n) ＝ am ＋ an ＋ bm ＋ bn$比如：＄（x ＋ 2)（x 3) ＝ x^2 3x ＋ 2x 6 ＝ x^2 x 6$二、整式除法的知识点1、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即：＄a^m÷a^n ＝ a^｛m n}＄（＄a≠0$，＄m$、＄n$都是正整数，且$m ＞ n$）例如：＄6^5÷6^3 ＝ 6^｛5 3} ＝ 6^2$2、单项式除以单项式系数与系数相除，同底数幂分别相除，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
整式的乘除知识点及题型复习
整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数）②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。
3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。
4、322(3)---⨯- = 。
5、下列运算中正确的是（ ）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（ ）A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（ ）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。
A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；1、 已知2a x =，3bx =，求23a bx-的值。
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第六章整式的乘除小结与复习考点呈现考点1 幂的运算性质例1 下列运算正确的是（ ）A. （-a ）6·（-a 3）=a 18B.（-b 3）5=-3b 8C. （a 2b ）4=a 10b 3D.（ab ）12÷（ab ）10=a 2b 2分析：根据幂的运算性质可知（-a ）6·（-a 3）= a 6·（-a 3）=-a 6+3=-a 9，（-b 3）5=（-1）5（b 3）5=-b 3×5=-b 15，（a 2b ）4=（a 2）4b 4=a 8b 4，（ab ）12÷（ab ）10=（ab ）12-10=（ab ）2= a 2b 2，所以选项D 正确.解：选D.温馨提示：对于幂的各种运算性质，一定要分清指数的变化特征，避免混淆.另外，在计算选项D 时，把ab 看做一个整体，也就是看做底数，因此，它实际上是进行同底数幂的除法运算.考点2 零指数幂和负整数指数幂的意义例2 计算2)51(--÷（-1）-2013+（1961-π）0×（-9）-1的结果为＿＿＿＿.分析：解决本题可根据零指数幂的意义a 0=1（a≠0）和负整数指数幂的意义p a a a p p ,0(1≠=-是正整数），并按运算顺序进行计算.解：原式=25÷（-1）+1×)91(-=-25-91=9125-，故应填9125-. 温馨提示：解决这类问题应注意零指数幂与负整数指数幂中“底数不为0”的前提条件，同时还要注意符号处理.考点3 科学记数法例3 山西是我国古文明发祥地之一，其总面积与地球总面积的比值约为0.000 314，数据0.000 314用科学记数法可表示为（ ）A. 0.314×10-4B. 3.14×10-4C. 31.4×10-4D. 3.14×10-5分析：根据科学记数法表示绝对值小于1的数的意义：把一个绝对值小于1的数可以表示成a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，a 的整数只有一位，n 是负整数.0.000 314=3.14×0.0001=3.14×10-4.解：选B.温馨提示：在用科学记数法表示一个绝对值小于1的数时，要注意a 的整数位数只有一位，n 是负整数，且n 的绝对值等于第一个不是0的数字前面所有0的个数.考点4 整式的乘法例4 先化简，再求值：（-2x 2）2-（x 2+1）（4x 2-5）-x （x+11），其中x=-2.分析：根据整式的乘法法则对原式进行化简，再代入求值即可.解：原式=4x 4-（4x 4+4x 2-5x 2-5）-x 2-11x=4x 4-4x 4-4x 2+5x 2+5-x 2-11x=-11x+5.当x=-2时，原式=-11×（-2）+5=22+5=27.温馨提示：在解决单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘的运算时，要防止出现漏乘，并且要细心处理每项的符号.考点5 乘法公式例5计算：（x+3y）2-2（x+3y）（x-3y）+（x-3y）2的结果为＿＿＿＿.分析：本题可以利用完全平方公式和平方差公式展开后化简，也可逆用完全平方公式化简.解：方法1：原式=x2+6xy+9y2-2（x2-9y2）+x2-6xy+9y2=x2+6xy+9y2-2x2+18y2+x2-6xy+9y2=36y2.方法2：原式=[（x+3y）-（x-3y）]2=（6y）2=36y2.温馨提示：解这类题时，一是要注意乘法公式的正确使用，确保化简的结果正确；二是注意公式的逆向运用，本题显然逆用公式计算比较简便.考点6 整式的除法例6先化简（4ab3+8a2b2）÷（-4ab）-（2a+b）（2a-b），然后再选取你喜欢的一对a，b的值代入求值.分析：化简本题时，主要分两部分：对于（4ab3+8a2b2）÷（-4ab）采用多项式除以单项式的方法计算；对于（2a+b）（2a-b）采用平方差公式计算，最后合并同类项即可.在选取a，b的值时，要注意ab≠0，即a，b都不能为0.解：原式=-b2-2ab-（4a2-b2）= -b2-2ab-4a2+b2=-4a2-2ab.当a=2，b=1时，原式=-4×22-2×2×1=-16-4=-20.温馨提示：在进行多项式除以单项式时，要特别注意多项式每项的符号与除式的符号.本题是开放性试题，答案并不唯一，在选取a，b的值时，一定要注意a，b的取值范围.考点7 定义新运算型例7先规定一种新运算“§”，a§b=a2+ab+（b-1）2，根据这个新运算，可得（2x-1）§（x+3）= ＿＿＿＿.分析：根据规定的新运算a§b=a2+ab+（b-1）2，把它转化成我们熟悉的四则运算（2x-1）2+（2x-1）（x+3）+（x+3-1）2，然后进行计算即可.解：（2x-1）§（x+3）=（2x-1）2+（2x-1）（x+3）+（x+3-1）2=4x2-4x+1+2x2+6x-x-3+x2+4x+4=7x2+5x+2.温馨提示：解决这类问题其关键是根据规定的新运算法则把待求式转化为我们学过的运算.误区点拨易错点1 混淆幂的运算性质例1下列计算：①x3·x9=x27；②（-2m2n）3=-2m6n；③（a-b）9÷（a-b）3=（a-b）3.其中正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个错解：选D.剖析：①是幂的乘法运算，应是底数不变，指数相加，即x3·x9=x12，而错解是把指数运算弄成指数相乘了；②是积的乘方运算，应该是（-2m2n）3=（-2）3m6n3=-8 m6n3，而错解是忘记把2和n分别乘方了；③幂的除法运算，应是底数不变，指数相减，即（a-b）9÷（a-b）3=（a-b）6，错解却弄成指数相除了，以上错误的原因是对幂的运算性质混淆不清造成的.正解：A.易错点2 进行整式的乘法运算时出现漏乘例2计算：⑴ab（b+b2）-b2（ab-a+1）= ＿＿＿＿＿.⑵（a-b）（a+5b）的结果为＿＿＿＿＿.错解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2=2ab2；⑵原式=a2-5b2.剖析：⑴单项式与多项式相乘时，要注意单项式和多项式的每一项都要相乘，错解中，单项式-b2与多项式ab-a+1相乘时，只是-b2与ab、-a分别相乘，却漏掉了-b2与1相乘；⑵同样多项式与多项式相乘时，要求是先用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，而错解中只是两个多项式的首项与首项相乘，末项与末项相乘，即a与a相乘，-b与5b相乘，漏掉了a与5b相乘和-b与a相乘.以上两个小题出现错误的原因是由于漏乘造成错误.正解：⑴原式=ab2+ab3-ab3+ab2-b2=2ab2-b2.⑵原式=a2-ab+5ab-5b2= a2+4ab-5b2.易错点3 乘法公式的结构掌握不牢例3计算：⑴（2x+3y）（3y-2x）= ＿＿＿＿＿.⑵（4x-5y）2=＿＿＿＿＿.错解：⑴原式=（2x）2-（3y）2=4x2-9y2.⑵错解1：（4x-5y）2=（4x）2-4x·5y+（5y）2=16x2-20xy+25y2.错解2：（4x-5y）2=（4x）2-（5y）2=16x2-25y2.剖析：⑴平方差公式是（a+b）（a-b）=a2-b2，本题出现错误的原因是没能很好地把握平方差公式的结构特征，顺序颠倒；⑵完全平方公式是（a-b）2=a2-2ab+b2，错解1把中间项的2漏掉了，错解2干脆把中间项都漏掉了，错误的原因是未能把握完全平方公式的特征.正解：⑴原式=（3y+2x）（3y-2x）= （3y）2-（2x）2=9y2-4x2.⑵（4x-5y ）2=（4x ）2-2·4x·5y+（5y ）2=16x 2-40xy+25y 2.易错点4 科学记数法的意义理解不清例4 传说西游记中的孙悟空一个筋斗就是十万八千里（1里=500米），那么它的百亿分之一是（ ）A. 5.4×10-6米B.0.54×10-7米C.54×10-5米D. 5.4×10-3米错解：选B 或C.剖析：把绝对值小于1的数写成a×10n 的形式的要求是a 是一个只有整数位数一位的数，即：1≤|a|＜10，而选项B 中的|a|＜1，选项C 中的|a|＞10，都不符合科学记数法a×10-n 中a 的要求，错解的原因是对科学记数法的意义没能正确理解.正解：因为1里=500米，所以108 000里=108 000×500米=54 000 000米，所以，54 000 000米百亿分之一=54 000 000÷10 000 000 000=5.4×107÷1010=5.4×10-3（米），故选A.易错点5 在整式的乘除混合运算中，运算顺序混乱例5 计算：x 2y 2÷x·xy 的结果为＿＿＿＿＿.错解：原式=x 2y 2÷x 2y=y.剖析：在进行整式的乘除混合运算时，应按照从左到右的顺序进行，即先做除法（x 2y 2÷x=xy 2）再做乘法（xy 2·xy=x 2y 3），错解的原因是违背了这一混合运算的顺序，造成了运算顺序的混乱而出现错误.正解：原式=xy 2·xy=x 2y 3.方法点拨1.逆用幂的运算性质求值例1 已知a m =2，a n =4，求a 3m-n 的值.分析：a 3m-n 的指数是3m 与n 的差，它是同底数幂的除法的结果的形式，于是就有a 3m-n =a 3m ÷a n ，再逆用幂的乘方法则化成（a m ）3÷a n ，代入求出结果.解：因为a m =2，a n =4，所以，a 3m-n =a 3m ÷a n =（a m ）3÷a n =23÷4=2.点评：逆用幂的运算法则是解相关问题的技巧性方法.例2 计算：（-0.125）115×（2115）3+（20122013)532()135-⨯的结果为＿＿＿＿＿. 分析：按常规计算比较繁琐，经观察发现，若把（2115）3转化为（23）115，（125)135()135********∙化成，可逆用积的乘方法则计算.解：原式=（-0.125）115×（23）115+（20122012)513(135)135-⨯∙=（-0.125）115×8115+2012)135513(135⨯-⨯=（-0.125×8）115+2012)1(135-⨯ =（-1）115+135=-1+135=138-. 点评：对于这类特殊问题，逆用幂的运算性质，可简化运算过程.3.利用整式的乘法确定积中不含某项字母系数的值例3 若关于多项式（x-1）（-kx+1）的乘积中不含一次项，则k 的值为＿＿＿＿＿.分析：因题中要求不含x 的项，即该项系数的和为0.解：（x-1）（-kx+1）=-kx 2+kx+x-1=-kx 2+（k+1）x-1，因为积中不含x 的项，所以k+1=0，所以k=-1. 点评：解本题的关键是理解不含某项的意义，即相乘后合并同类项使其系数为0.4.巧用乘法公式求值例4 计算：20132-2012×2014-10012的结果为＿＿＿＿＿.分析：本题是有理数的混合运算，若按混合运算的顺序：先算乘方，再算乘法，最后算减法，会使运算过程很繁琐，注意到若把20132-2012×2014化为20132-（2013-1）（2013+1）， 10012化为（1000+1）2，然后利用乘法公式，可使运算大大的简化.解： 20132-2012×2014-10012=20132-（2013-1）（2013+1）-（1000+1）2=20132-（20132-12）-（10002+2×1000×1+12）= =20132-20132+1-10002-2000-1=-1 002 000.点评：解决这类问题的关键是抓住式子的特点，把它转化为易于利用乘法公式求解的形式.5.巧用“被除式=除式×商式+余式”求解例5 已知多项式2x 3-4x 2-1除以多项式A ，得商式为2x ，余式为2x-1，则多项式A=＿＿＿＿＿.分析：由“被除式=除式×商式+余式”可得“除式=（被除式-余式）÷商式，将除式2x 3-4x 2-1、商式2x 、余式2x-1，代入即可求出除式A 的值.解：根据题意得，A=[2x 3-4x 2-1-（2x-1）]÷2x=（2x 3-4x 2-1-2x+1）÷2x=（2x 3-4x 2-2x ）÷2x=x 2-2x-1. 点评：明确“除式=（被除式-余式）÷商式“是解决本题的关键.中考链接1.（2012年浙江衢州）下列计算正确的是（ ）A. 2a 2+a 2=3a 4B.a 6÷a 2=a 3C.a 6·a 2=a 12D.（-a 6）2=a 122.（2012年江苏苏州）若3×9m ×27m =311，则m 的值为（ ）A.2B.3C.4D.53.（2012年山东泰安）已知一粒米的质量是0.000 021千克，这个数字用科学记数法表示为（）A.21×10-4千克B.2.1×10-6千克C. 2.1×10-5千克D.2.1×10-4千克1）-1.4.（2012年江苏南通）计算：|-2|+（-2）2+（7-π）0-（31.5.（2012年贵州贵阳）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a-b）-（a-b）2，其中a=-3，b=2答案：1. D 2. A 3. C 4. 4. 5. -3.点拨：1. 选项A是整式的加法，结果为3a2，选项B是同底数幂的除法，其结果为a4；选项C是同底数幂的乘法，其结果为a8；选项D是幂的乘方，结果为a12.2. 先逆用幂的乘方性质转化为以3为底数的幂相乘，再根据同底数幂的乘法性质计算后，根据指数相等列出方程求解.3×9m×27m=3×32m×33m=31+5m=311，所以1+5m=11，解得m=2.3. 根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.在确定n的值时，看该数是大于1或等于1还是小于1，当该数大于1或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）.0.000 021第一个有效数字前有5个0，从而0.000 021= 2.1×10-5，故选C.4. 根据绝对值、有理数的乘方、零整数指数幂、负整数指数幂的定义分别进行计算，再把所得的结果相加即可；原式=2+4+1-3=4.5. 先运用平方差公式、完全平方公式化简式子，然后把a，b的值代入化简后的式子求值.1时，原式=-3.原式=2b2+a2-b2-（a2-2ab+b2）= 2b2+a2-b2-a2+2ab-b2=2ab，当a=-3，b=2跟踪训练1.计算x·2x7的结果为（）A.2x7B.2x8C.7x7D.7x82.下列计算中，正确的是（）A.x+2x=3x2B.（xy）9=x9yC.（x5）5=x25D.x30÷x10=x33.有下列计算：①（x-2y）2=x2-2y2；②（2x-y）5÷（y-2x）2=（2x-y）3；③（-3x2y3）2 ÷x4y6=-3.其中，正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个4.若（2x-5）（2x+1）=4x2-kx+p，则（k-p）2的值为（）A.9B.28C.102D.1695.计算x（-x-11）=＿＿＿＿，（-1-4x）（1-4x）=＿＿＿＿.6.计算：（a-b+1）2=（a-b）2+＿＿＿＿=a2-2ab+＿＿＿＿.7.用科学记数法表示-0.000 000 000 216=＿＿＿＿.8.若m x=4，m y=1，m z=2，m3x+2y-z=＿＿＿＿.9.计算下列各题：⑴（-a2b3）4·ab2÷a7b13；⑵x2y（5xy-1）-5xy（x2y+x）；⑶（x+1）（x+9）-（x-4）2；⑷[（a+3）（a-3）+（a-3）2]÷（-2a）；⑸（-0.5）-2-（2013-π）0+|-12|.10.已知x（x-1）-（x2-y）=-3，求x2+y2-2xy的值.第六章整式的乘除小结与复习跟踪训练参考答案1.B2.C3.B4.D5.-x2-11x 16x2-16. 2（a-b）+1 b2+2a-2b+17. -2.16×10-108.329.解：⑴原式=a8b12·ab2÷a7b13 =a8+1-7b12+2-13=a2b.⑵原式=5x3y2-x2y-5x3y2-5x2y=-6x2y.⑶原式=x2+x+9x+9-（x2-8x+16）= x2+x+9x+9-x2+8x-16=18x-7.⑷原式=（a2-9+a2-6a+9）÷（-2a）=（2a2-6a）÷（-2a）=-a+3.⑸原式=4-1+12=15.10.解：因为x（x-1）-（x2-y）=-3，所以x2-x-x2+y=-3，因而y-x=-3，即y=x-3.方法1.将y=x-3代入x2+y2-2xy得x2+y2-2xy=x2+（x-3）2-2x（x-3）=x2+x2-6x+9-2x2+6x=9，即x2+y2-2xy的值为9.方法2.因为y-x=-3，所以，x2+y2-2xy=（y-x）2=（-3）2=9.。