插值法部分习题
第三章多项式插值方法习题
4、经过点(0,1)，(1,2)，(2,5)的插值多项式 P(x) （ D ）
（A） x
（B） x 1
（C） 2x 1 （D） x2 1
x 0 2 51
5、已知函数 y f (x) 的数据表
，
y 3 6 9 0
则 y f (x) 的拉格朗日插值基函数 l2 (x) （ A ）
（A） x(x 2)( x 1) （B） (x 2)( x 5)( x 1)
第三章 习 题
1、 n 次拉格朗日插值多项式的余项是( A )
(A) Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n1
(
x)
(B) Rn (x)
f
(n)
n
(
!
)
n
(
x)
f (n1) ( )
(C) Rn (x) (n 1)!
(D)
Rn (x)
f (n) ( )
n!
x 0 0.5 1 1.5 2 1 1 x x 1 x 2 1 x3 3 x2 1。
2
2
22
又： R3 x f x px 满足： R0 1, R1 2, R2 3, R0 0 ，
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
2
)
(x
xi
)(x
xi1 )
，
解：对
x
[0,
2
]
，必有某个
x
i
使
xi
x
xi1 ，
令 h xi1 xi ，则： R(x)
f
'' (
Chapter 1 插值方法 习题
2
将以上代入 p( x) 中即可。 注：本题中两个节点 x0 0, x1 1 具有对称性，事实上
0 (1 x) 1 ( x),1 (1 x) 0 ( x), 0 (1 x) 1 ( x), 1 (1 x) 0 ( x)
由此特性也可简化处理过程。
f ( 4) ( ) ( x x0 )3 ( x x1 ) 。 节点，故插值余项为 f ( x) p( x) 4! 9． 解：注意到满足条件 q(1) 0, q(1) 10, q(1) 40
的插值多项式为
q( x) 10( x 1) 20( x 1)2 且 q(x)的余项因子为 ( x 1)3 ，故令所求的插值多项式为
解得 a 5, b 11 。所以，所求的插值多项式为 p( x) 10( x 1) 20( x 1)2 (5x 11)( x x0 )3 10． 解：用基函数方法完整求解问题 7 令所求的插值多项式为 0 ( x) y1 1 ( x) p( x) y00 ( x) y11 ( x) y0 (0) 0 (1) 0 。 为此要求基函数 0 ( x) 满足条件 0 (0) 1,0 (1) 0
p( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 ) f ( x0 , x1 , xห้องสมุดไป่ตู้ )( x x0 )( x x1 ) c( x x0 )( x x1 )( x x2 ) ，
f ( x1 ) f ( x0 , x1 ) 式 中 ， c f ( x0 , x1 , x2 ) x1 x0 f ( x1 , x2 ) f ( x0 , x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) x2 x0
埃尔米特插值多项式练习题
埃尔米特插值多项式练习题埃尔米特插值多项式练习题埃尔米特插值多项式是一种用于逼近函数的方法，它不仅可以通过给定的函数值来逼近函数的值，还可以通过给定的导数值来逼近函数的导数值。
在数值计算和插值问题中，埃尔米特插值多项式是一种非常有用的工具。
假设我们有一个函数f(x)，我们想要通过给定的函数值和导数值来逼近这个函数。
埃尔米特插值多项式可以通过以下步骤来求解：1. 首先，我们需要确定插值点。
插值点是我们已知的函数值和导数值的点。
通常，我们选择一组等距的插值点，以便于计算。
2. 接下来，我们需要构建拉格朗日插值多项式。
拉格朗日插值多项式是通过给定的函数值来逼近函数的值的多项式。
它可以通过以下公式来计算：L(x) = Σ [ f(xi) * Li(x) ] (i=0 to n)其中，Li(x)是拉格朗日基函数，它可以通过以下公式来计算：Li(x) = Π [ (x - xj) / (xi - xj) ] (j=0 to n, j ≠ i)这样，我们就可以得到拉格朗日插值多项式L(x)。
3. 接下来，我们需要构建埃尔米特插值多项式。
埃尔米特插值多项式是通过给定的函数值和导数值来逼近函数的多项式。
它可以通过以下公式来计算：H(x) = Σ [ f(xi) * Hi(x) + f'(xi) * Hi'(x) ] (i=0 to n)其中，Hi(x)是埃尔米特基函数，它可以通过以下公式来计算：Hi(x) = [ 1 - 2 * (x - xi) * Li'(xi) ] * (Li(x))^2Hi'(x)是埃尔米特基函数的导数，它可以通过以下公式来计算：Hi'(x) = (x - xi) * (Li(x))^2这样，我们就可以得到埃尔米特插值多项式H(x)。
通过以上步骤，我们可以得到一个逼近函数f(x)的埃尔米特插值多项式H(x)。
这个多项式可以在给定的插值点上非常精确地逼近函数的值和导数值。
插值法例题计算过程
插值法例题计算过程
【实用版】
目录
1.插值法的概念和应用
2.插值法例题的解题步骤
3.插值法在财务管理中的应用
4.结论
正文
一、插值法的概念和应用
插值法是一种数学方法，通过已知的数据点来预测或计算未知数据点的值。
在财务管理中，插值法常用于计算资金时间价值、债券收益率和股票期权价格等。
插值法的主要优点是能够提高计算精度，弥补单纯使用线性插值法的不足。
二、插值法例题的解题步骤
以下是一个关于插值法计算的例题：
已知某项目的投资额为 100,000 元，预期收益分别为：当利率为 10% 时，收益为 12,176.5 元；当利率为 12% 时，收益为 116,530 元。
假设利率为 i 时，收益为 120,000 元，求 i 的值。
解：我们可以使用插值法来解决这个问题。
首先，根据题意列出方程：（i-12%）/（10%-12%） = （120,000-116,530）/（121,765-116,530）化简得：
（i-12%）/（-2%） = 3,465/4,930
解这个方程，得到 i 的值为 11.76%。
三、插值法在财务管理中的应用
在财务管理中，插值法常用于计算资金的时间价值、债券的收益率和股票期权的价格等。
例如，在计算债券的收益率时，我们可以通过已知的债券价格和到期收益来预测债券的收益率。
四、结论
总之，插值法是一种重要的数学方法，它在财务管理中有广泛的应用。
数值分析 第二章习题
于是
1 2 1 2 2 p( x) 2 x x x ( x 1) x ( x 3) 2 4 4
2 3
法2：建立如下差商表
0
0 1 1 2
0
0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 -1 -1 -1/2 1/4
这样牛顿插值公式为
1 p( x) 0 0( x 0) 1( x 0) 1( x 0) ( x 1) ( x 0) 2 ( x 1) 2 4 1 2 2 2 x x ( x 1) x ( x 1) 2 4 1 x 2 ( x 3) 2 4
Lagrange插值多项式为
l2 ( x) f ( x0 )l0 ( x) f ( x1 )l1 ( x) f ( x2 )l2 ( x) 1 1 0 (3) ( x 1)( x 2) 4 ( x 1)( x 1) 6 3 5 2 3 7 x x 6 2 3
2 5、设 f ( x) c a, b 且 f (a) f (b) 0 ，求证
1 max f ( x) (b a) 2 max f ( x) a x b 0 x b 8
证明：以 x a 和 x b 为插值节点建立 f ( x) 的不超过一 次的插值多项式。
n
试证明： n
j 1
k n xk x 1 j j ( x j ) an f ( x j ) j 1 an wn
xk j (x j ) j 1 wn
n
k 证： 记 g ( x) x , 并利用差商的函数表达式有
j 1
n
xk 1 j f ( x j ) an
a x b
1 (b a) 2 max f ( ) a x b 8
第4、5讲 插值与拟合 作业参考答案
第四、五讲作业题参考答案一、填空题1、拉格朗日插值基函数在节点上的取值是（ 0或1 ）。
2、当1,1,2x =-，时()034f x =-，，，则()f x 的二次插值多项式为 （2527633x x +- ）。
3、由下列数据所确定的唯一插值多项式的次数为（ 2次 ）。
4、根据插值的定义，函数()x f x e -=在[0,1]上的近似一次多项式1()P x =（ 1(1)1e x --+ ），误差估计为（ 18 ）。
5、在做曲线拟合时，对于拟合函数x y ax b =+，引入变量变换y =（ 1y），x =（1x）来线性化数据点后，做线性拟合y a bx =+。
6、在做曲线拟合时，对于拟合函数Ax y Ce =，引入变量变换（ ln()Y y = ）、X x =和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
7、设3()1f x x x =+-，则差商[0,1,2,3]f =（ 1 ）。
8、在做曲线拟合时，对于拟合函数()A f x Cx =，可使用变量变换（ln Y y =）（ln X x = ）和B C e =来线性化数据点后，做线性拟合Y AX B =+。
9、设(1)1,(0)0,(1)1,(2)5,()f f f f f x -====则的三次牛顿插值多项式为（ 321166x x x +-），其误差估计式为（4()(1)(1)(2),(1,2)24f x x x x ξξ+--∈-） 10、三次样条插值函数()S x 满足：()S x 在区间[,]a b 内二阶连续可导，(),,0,1,2,,,k k k k S x y x y k n ==（已知）且满足()S x 在每一个子区间1[,]k k x x +上是（ 三次多项式 ）。
11、1()[a,b]()f x L x =函数在上的一次（线性）插值函数（公式）（ ()()x b x af a f b a b b a--+-- ），1()R x =（ 1()()(),2f x a x b a b ξξ''--≤≤ ）。
插值答案
i 0 i 0 k j 0
n
n
k
( 1) C x ( xik j li ( x))
j j 0 j k j i 0
n
利用结论(2)可知，
n
x
i 0
i
n
k j i i
l ( x ) x k j ，代人上式得到
k
(x
i 0
x) k li ( x) (1) j Ckj x j x k j ( x x) k 0
断误差；
4) 哪一个近似值更好？为什么？ 解： 1) L1 ( x) 1 x x0 x x1 e0.5 x0 x1 x1 x0
把 x 0.5 代入 L1 ( x) 中， 得到 y 1.3244 ， 与精确解 e0.5 相比， 误差绝对值为 0.0404， 或者用误差估计式求得：
则 f ( x) 以 x0 , x1 , , xn 为插值节点的 n 次 Lagrange 插值多项式为 (2) 设 f ( x) x k ，
Ln ( x) f ( xi )li ( x) xik li ( x)
i 0 i 0
n
n
由插值余项定理知
f ( x) Ln ( x) f n 1 ( ) n 1 ( x) 0 (n 1)!
插值法习题及解答
一、填空题：1． 满足()a a f x x =，()b b f x x =，()c c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
答：()()()()()3!a b c f R x x x x x x x ξ'''=---2．已知函数()f x 的函数值()()()()()0,2,3,5,6f f f f f ，以及均差如下 ()()()()()00,0,24,0,2,35,0,2,3,51,0,2,3,5,60f f f f f ===== 那么由这些数据构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数是 答： 1二、选择题1. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．()00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()110l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 答：D2．. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ ）A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 答：C3．过点(x 0,y 0), (x 1,y 1)，…，(x 5,y 5)的插值多项式P(x)是( )次的多项式。
(A). 6 (B).5 (C).4 (D).3． 答：B 三、证明题1. 设 f (x) = (x-1) (x-2) .证明对任意的x 有： f [1, 2, x)]= 1证明:f [1, 2] = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1) = 0, 对任意的x 有F[2, x] = [f (2) – f (x)]/ (2 – x) = [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x) = (x-1),所以 f [1, 2, x] = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x) = [0 - (x-1)]/ (1 – x) = 12.设在上具有二阶连续导数，且，求证：解：由，则在的线性插值多项式为：，于是由，可得：3． 试利用差分性质证明：证明：记：可以证明：， 又： 故：. 四、计算题： 1.．已知数值表试用二次插值计算()0.57681f 的近似值，计算过程保留五位小数。
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20.（1）0000.1)25.0(S ='，6868.0)53.0(S =' （2）0)53.0(S )25.0(S =''=''解：（1）在编辑窗口输入：>> x=[0.25,0.30,0.39,0.45,0.53];>> y=[0.5000,0.5477,0.6245,0.6708,0.7280]; >> dx0=1.0000;dxn=0.6868; >> s=csfit(x,y,dx0,dxn) s =1.8863 -1.0143 1.0000 0.5000 0.7952 -0.7314 0.9127 0.5477 0.6320 -0.5167 0.8004 0.6245 0.3151 -0.4029 0.7452 0.67085.0x x 0143.1x 8863.1S 231++-= ]3.0,25.0[x ∈ 5477.0x 9127.0x 7314.0x 7952.0S 232++-= ]39.0,3.0[x ∈6245.0x 8004.0x 5167.0x 632.0S 233++-= ]45.0,39.0[x ∈ 6708.0x 7452.0x 4029.0x 3151.0S 234++-= ]53.0,45.0[x ∈ （2）在编辑窗口输入：>> x=[0.25,0.30,0.39,0.45,0.53];>> y=[0.5000,0.5477,0.6245,0.6708,0.7280]; >> f=ThrSample2(x,y,0,0,0) f =1000000/729*(5477/5000*t-279327/1000000)*(t-39/100)^2+1000000/729*(108663/200000-1249/1000*t)*(t-3/10)^2+10000/81*(8310710142007177/9007199254740992*t-24932130426021531/90071992547409920)*(39/100-t)^2-10000/81*(140377307168768943/450359962737049600-3599418132532537/4503599627370496*t)*(t-3/10)^21试用4次牛顿插值多项式)x (P 4及三次样条函数)x (S （自然边界条件）对数据进行插值。
用图给出{（i x ，i y ），10,11,1,0i ,i 08.02.0x i =+=}，)x (P 4及)x (S .解：（1）在编辑窗口输入： >> x=[0.2,0.4,0.6,0.8,1.0];>> y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38]; >> N=newpoly(x,y) N =-0.5208 0.8333 -1.1042 0.1917 0.9800 由此可以得出牛顿插值多项式为：)x (P 4=98.0x 1917.0x 1042.1x 8333.0x 5208.0234++-+- >> S=ThrSample2(x,y,0,0,0)S =125*(46/25*t-69/125)*(t-3/5)^2+125*(567/500-81/50*t)*(t-2/5)^2+25*(-57/140*t+57/350)*(3/5-t)^2-25*(-81/200+27/40*t)*(t-2/5)^2/5)^2 （2）在编辑窗口输入：>> x=[0.2,0.28,0.4,0.6,0.8,1.0,1.08];>> y=[0.98 0.9596 0.92 0.81 0.64 0.38 0.2403]; >> cs=spline(x,[0 y 0]);xx=linspace(0.2,1.08,101); >> plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-'); >> x1=[0.2,0.28,0.4,0.6,0.8,1.0,1.08];>> y1=[0.98 0.9596 0.92 0.81 0.64 0.38 0.2403]; >> polyfit(x1,y1,4) ans =-0.4126 0.5487 -0.8475 0.1017 0.9893 >> plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-',x1,y1,'-.r'),grid0.20.30.40.50.60.70.80.91 1.1 1.2图2 P(x)和S(x)函数插值图．（1）用这9个点作8次多项式插值()xL8S x．（2）用三次样条（自然边界条件）程序求()解：在编辑窗口输入：>> x=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];>> y=0:1:8;y=sqrt(x);>> x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=0:1:8;>> m=polyfit(x,y,8)Warning: Polynomial is badly conditioned. Remove repeated data pointsor try centering and scaling as described in HELP POL YFIT.> In polyfit at 81m =Columns 1 through 4-0.00000000032806 0.00000006712680 -0.00000542920942 0.00022297151886 Columns 5 through 8-0.00498070758014 0.06042943489173 -0.38141003716579 1.32574370075005 Column 9-0.00000000000311>> x1=0:1:64;>> y1=polyval(m,x1);>> x2=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];>> y2=0:1:8;>> cs=spline(x,[0 y 0]);>> xx=linspace(0,64,101);>> plot(x,y,'o',xx,ppval(cs,xx),'-k',x1,y1,'--b',x,y,':r')010203040506070图3 Lagran插值与Spline插值的比较图从图中结果可以看出：在区间[0,64]上，三次样条插值更准确些；在区间[0,1]上，拉格朗日插值更准确些.附：各插值函数的Matlab实现：(1) csfit函数运行程序function S=csfit(x,y,dx0,dxn)n=length(x)-1;h=diff(x);d=diff(y)./h;a=h(2:n-1);b=2*(h(1:n-1)+h(2:n));c=h(2:n);u=6*diff(d);b(1)=b(1)-h(1)/2;u(1)=u(1)-3*(d(1)-dx0);b(n-1)=b(n-1)-h(n)/2;u(n-1)=u(n-1)-3*(dxn-d(n));for k=2:n-1temp=a(k-1)/b(k-1);b(k)=b(k)-temp*c(k-1);u(k)=u(k)-temp*u(k-1);endm(n)=u(n-1)/b(n-1);for k=n-2:-1:1m(k+1)=(u(k)-c(k)*m(k+2))/b(k);endm(1)=3*(d(1)-dx0)/h(1)-m(2)/2;m(n+1)=3*(dxn-d(n))/h(n)-m(n)/2;for k=0:n-1S(k+1,1)=(m(k+2)-m(k+1))/(6*h(k+1));S(k+1,2)=m(k+1)/2;S(k+1,3)=d(k+1)-h(k+1)*(2*m(k+1)+m(k+2))/6;S(k+1,4)=y(k+1);End(2)ThrSample2函数运行程序function [f,f0]=ThrSample2(x,y,y2_1,y2_N,x0) syms t;f=0.0;f0=0.0;if(length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp();return;endor i=1:nfor i=1:nif(x(i)<=x0)&&(x(i+1)>=x0)index=i;break;endendfif(x(i)<=x0)&&(x(i+1)>=x0)index=i;return;endendA=diag(2*ones(1,n));A(1,2)=1;A(n,n-1)=1;u=zeros(n-2,1);lamda=zeros(n-1,1);for i=2:n-1u(i-1)=(x(i)-x(i-1))/(x(i+1)-x(i-1));lamda(i)=(x(i+1)-x(i))/(x(i+1)-x(i-1));c(i)=3*lamda(i)*(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-1))+3*u(i-1)*(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i));A(i,i+1)=u(i-1);A(i,i-1)=lamda(i);endc(1)=3*(y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))-(x(2)-x(1))*y2_1/2;c(n)=3*(y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1))-(x(n)-x(n-1))*y2_N/2;m=followup(A,c);h=x(i+1)-x(i);f=y(i)*(2*(t-x(i))+h)*(t-x(i+1))^2/h/h/h+y(i+1)*(2*(x(i+1)-t)+h)*(t-x(i))^2/h/h/h+m(i )*(t-x(i))*(x(i+1)-t)^2/h/h-m(i+1)*(x(i+1)-t)*(t-x(i))^2/h/h;f0=subs(f,'t',x0);%ThrSample2函数运行调用的函数：function x=followup(A,b)n=rank(A);for(i=1:n)if(A(i,i)==0)disp();return;endend;d=ones(n,1);a=ones(n-1,1);c=ones(n-1);for(i=1:n-1)a(i,1)=A(i+1,i);c(i,1)=A(i,i+1);d(i,1)=A(i,i);endd(n,1)=A(n,n);for(i=2:n)d(i,1)=d(i,1)-(a(i-1,1)/d(i-1,1))*c(i-1,1);b(i,1)=b(i,1)-(a(i-1,1)/d(i-1,1))*b(i-1,1);endx(n,1)=b(n,1)/d(n,1);for(i=(n-1):-1:1)x(i,1)=(b(i,1)-c(i,1)*x(i+1,1))/d(i,1);end(3) newpoly函数运行程序function[c,d]=newpoly(x,y)n=length(x);d(:,1)=y';for j=2:nfor k=j:nd(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1)); endendc=d(n,n);for k=(n-1):-1:1c=conv(c,poly(x(k)));m=length(c);c(m)=c(m)+d(k,k);end(4) lagran函数运行程序function[c,l]=lagran(x,y)w=length(x);n=w-1;l=zeros(w,w);for k=1:n+1v=1;for j=1:n+1if k~=jv=conv(v,poly(x(j)))/(x(k)-x(j));endendl(k,:)=v;endc=y*l;。