2、插值法部分练习题
二次插值计算例题
二次插值计算例题二次插值是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点的坐标，推导出两个数据点之间的某个点的值。
在二次插值中，我们假设数据具有二次多项式的形式，并通过插值公式求解未知点的值。
以下是一个用于说明二次插值的计算例题：例题：已知数据点的坐标为（1，1）、（2，3）、（3，7），求x=2.5时的y值。
解析：1. 首先，我们需要确定插值多项式的形式。
由于已知的数据点个数为3个，因此我们可以假设插值多项式为二次多项式的形式：P(x) = a*x^2 + b*x + c2. 接下来，我们需要确定多项式的系数a、b和c。
为了确定这些系数，我们可以使用已知数据点的坐标。
3. 首先，我们将已知的数据点代入多项式中，得到以下方程： P(1) = a*1^2 + b*1 + c = 1P(2) = a*2^2 + b*2 + c = 3P(3) = a*3^2 + b*3 + c = 7将方程整理为矩阵形式，得到以下方程组：⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦4. 解方程组，可以得到系数a、b和c的值。
首先，将方程组进行高斯消元法的操作：⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤⎡ 1 1 1 ⎤⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥ => ⎢ 0 -2 -3 ⎥⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦⎣ 0 0 -2 ⎦进行回代运算：-2c = -2 => c = 1-2b - 3c = 3 => -2b - 3 = 3 => b = -2a +b +c = 1 => a - 2 + 1 = 1 => a = 2因此，系数a、b和c的值为2、-2和1。
5. 最后，将得到的系数代入插值多项式中，求解x=2.5时的y 值：P(2.5) = 2*2.5^2 + (-2)*2.5 + 1 = 11.25 - 5 + 1 = 7.25因此，在已知数据点（1，1）、（2，3）、（3，7）的情况下，当x=2.5时，y的值为7.25。
数值分析实验报告--实验2--插值法
1 / 21数值分析实验二：插值法1 多项式插值的震荡现象1.1 问题描述考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然拉格朗日插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关心插值多项式的次数增加时， 是否也更加靠近被逼近的函数。
龙格（Runge ）给出一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间[-1,1]上函数21()125f x x=+ (1)考虑区间[-1,1]的一个等距划分，分点为n i nix i ,,2,1,0,21 =+-= 则拉格朗日插值多项式为201()()125nn ii iL x l x x ==+∑(2)其中的(),0,1,2,,i l x i n =是n 次拉格朗日插值基函数。
实验要求：(1) 选择不断增大的分点数目n=2, 3 …. ，画出原函数f(x)及插值多项式函数()n L x 在[-1，1]上的图像，比较并分析实验结果。
(2) 选择其他的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数x x g xxx h arctan )(,1)(4=+=重复上述的实验看其结果如何。
(3) 区间[a,b]上切比雪夫点的定义为 (21)cos ,1,2,,1222(1)k b a b ak x k n n π⎛⎫+--=+=+ ⎪+⎝⎭(3)以121,,n x x x +为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果,试分析2 / 21原因。
1.2 算法设计使用Matlab 函数进行实验, 在理解了插值法的基础上，根据拉格朗日插值多项式编写Matlab 脚本，其中把拉格朗日插值部分单独编写为f_lagrange.m 函数，方便调用。
1.3 实验结果1.3.1 f(x)在[-1,1]上的拉格朗日插值函数依次取n=2、3、4、5、6、7、10、15、20，画出原函数和拉格朗日插值函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment2_1_1fx.m 。
可以看出，当n 较小时，拉格朗日多项式插值的函数图像随着次数n 的增加而更加接近于f(x)，即插值效果越来越好。
插值方法练习题
插值方法练习题一．已知函数y = f (x)的一组数据对这些数据进行多项式插值和三次样条插值，并求：x = 3.5 4.1 6.2 4.5时，y相应的多项式插值和三次样条插值函数值。
二．绘制上题中函数y = f (x)在区间[0, 10]上的多项式插值函数图形，并将已知点用“o”标出。
三．求出上题中每一小段内的三次函数。
绘制上题中函数y = f(x)在区间[0, 10]上的三次样条插值函数图形，并将已知点用“ ”标出。
四．对函数y = 1/(1+x2)在[-5, 5]上进行多项式插值，如何避免Runge现象。
五．对下表给出的数据作曲面插值参考答案：一．y = 13.2476 12.6730 9.8032 11.9877附：命令行x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];y=[12.34 13.02 13.98 13.52 12.81 11.08 9.96 9.51 10.23 11.14 12.25];xx=[3.5 4.1 6.2 4.5];p=polyfit(x,y,10);y1=polyval(p,xx)yy=spline(x,y,xx)二．附：命令行x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];y=[12.34 13.02 13.98 13.52 12.81 11.08 9.96 9.51 10.23 11.14 12.25];xx=0:0.0001:10;p=polyfit(x,y,10);y1=polyval(p,xx);plot(xx,y1,‘-‘,x,y,’o’)三．p1 = -0.4440 1.4719 -0.3479 12.3400p2 = -0.4440 1.4719 -0.3479 12.3400p3 = 0.5198 -4.3109 11.2177 4.6295p4 = -0.4654 4.5561 -15.3834 31.2307p5 = 0.5717 -7.8892 34.3977 -35.1441p6 = -0.1915 3.5588 -22.8420 60.2554p7 = 0.2542 -4.4634 25.2912 -36.0109p8 = -0.3253 7.7064 -59.8974 162.7624p9 = 0.0671 -1.7107 15.4393 -38.1354p10 = 0.0671 -1.7107 15.4393 -38.1354附：命令行x=[0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];y=[12.34 13.02 13.98 13.52 12.81 11.08 9.96 9.51 10.23 11.14 12.25];xx=0:0.0001:10;yy=spline(x,y,xx);for k=1:10;p=polyfit(xx(3*k-2:3*k+1),yy(3*k-2:3*k+1),3)endplot(xx,yy,‘-‘,x,y,’x’)四．切比雪夫点插值x i =5cos((i-1)π /10)，i=1, 2, ⋯, 11，附：命令行x=-5:0.001:5;y=1./(1+x.^2);n=11;k=1:n;x0=5cos((k-1)/(n-1).*pi);y0=1./(1+x0.^2);p=polyfit(x0,y0,n-1);yy=polyval(p,x);plot(x,y,'-',x0,y0,'o',x,yy,'--')五．x0=1:5;y0=1:5;[xx,yy]=meshgrid(x0,y0); m=length(x0);n=length(y0);z=[12.52 9.58 7.26 6.34 8.49; 14.26 10.98 6.63 5.04 7.56;15.02 9.23 5.38 6.26 9.57;13.94 8.58 6.26 7.53 11.29;10.28 7.05 7.72 9.15 14.33];xp=1:0.01:5;yp=1:0.01:5;[xxp,yyp]=meshgrid(xp,yp);zp=interp2(xx,yy,z,xxp,yyp,'spline');mesh(xp,yp,zp)。
数值方法第二章 插值法2
当选择代数多项式作为插值函数类时，称为代数多项 式插值问题:
代数多项式插值问题:
设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于n的多项式
Pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
现设 x x j 由 Rn ( x j ) f ( x j ) Pn ( x j ) 0
故知 Rn (x) 可表示为
(j=0,1,…，n)，
Rn ( x) k ( x)n1 ( x) k ( x)( x x0 )( x xn )
关键是求 k ( x) ?
(2.2.10)
grange插值多项式
现在考虑一般的插值问题：
满足插值条件 Ln ( xk )
y
பைடு நூலகம்
k
(k 0,1,2,,n) (2.2.1)
的次数不超过n的多项式显然为 : Ln ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
这是因为 (1) Ln ( xk ) lk ( xk ) yk yk (k 0,1,2,,n) (2)次数不超过n
3
1 f ( ) ( x) 2
3
1 2 R1 ( x) ( x x0 )(x x1 ) 8 3 1 2 R1 (115) (115 100)(115 121 ) 8 3 1 (115 100)(115 121 max 2 ) 100 ,121 8
其中，Ak为待定系数，由条件 lk ( xk ) 1 可得
1 Ak ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
Ch2(2)牛顿插值法
于是
f (0.596) N 4 (0.596) 0.63192,
17
截断误差
R4 ( x ) f [ x0 , , x5 ] 5 (0.596) 3.63 10 9.
差商具有如下性质(请同学们自证)：
(1) f ( x )的k阶差商f [ x0 , x1 , , xk 1 , xk ]可由函数值 f ( x0 ), f ( x1 ), , f ( xk )的线性组合表示, 且
6
f [ x0 Hale Waihona Puke x1 ,, xk 1 , xk ]
f ( xi ) i 0 ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xk )
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多 由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成
1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ), , ( x x0 )( x x1 )( x xn 1 )
共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？
f [ x0 , x1 ,, xk ]
f
(k )
( ) k!
用余项的 相等证明
7
差商的计算方法(表格法):
xk x0 x1 x2 x3 x4
f ( xk ) 一阶均差 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x2 , x3 ] f [ x3 , x4 ]
二阶均差
三阶均差
四阶均差
f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 2 , x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ]
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x 为精确值x 的近似值;()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-:***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差.3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6位和 7 1.73≈（三位有效数字）-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字,则12x x 的相对误差限为 0.0055 .5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0。
01 。
6、 已知近似值 2.4560A x=是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0。
0000204 。
7、 递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取01.41y ≈作计算，则计算到10y 时，误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 。
8、 精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。
9、 若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2＊10—5。
西南交大数值分析题库插值逼近题库
xkj lk (0)
1, 0, ( 1) n x0 x1...xn
n k 0 n 1 xk lk ( x) n k 0
j 0 j 1,2,...,n j n 1
n f ( n 1) () wn 1 ( x) 其中，wn+1(x)= ( x (n 1)! j 0
n k 0
证明： f ( x)
f (3) () 2 (x 3! k 0 xk )
(3). 三次样条插值与一般分段 3 次多项式插值的区别是_____ (三次样条连续且光 滑，一般分段 3 次连续不一定光滑。) §2. 计算题 (1). (a10 分)依据下列函数值表，建立不超过 3 次的 lagrange 插值多项式 L3(x). x 0 1 2 3 f(x) 1 9 23 3 解：基函数分别为
xn
1
(x
j 0
xj )
n 1 xk lk ( x)
wn 1 ( x) 可见其为 n 次多项式，并且可得其最高次系数为
(x0+…+ xn) (5). 设函数 f(x)是 k 次多项式，对于互异节点 x1,…, xn,， 证明当 n>k 时，差商 f [x, x1,…,xn]0，当 nk 时，该差商是 k-n 次多项式。 证明：因 f [ x0 , x1 , , xn ]
多项式 P1(x)在子区间[a,b]上的余项估计式，再估计最值即可。
f ( x) P 1 ( x) f () ( x a)( x b) 2!
x3 , c( x 1)
2 3
hi2 max f // ( x) a 8 x b
0 x x 1 2
x [a, b]
(12). s(x)=
2
已知 s(x)是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
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1、已知 f （x ）=ln x 的数值表如下，分别用线性及二次 Lagrange 插值法计算f (0.54) 的近似值，并估计误差。
解：
（1）线性插值法：
因为()ln f x x = 时递增函数，所以取0.5和0.6为插值节点。
则线性插值多项式为：
0011()()()()f x F x f l x f l x ==+
0.540.60.540.5
(0.54)(0.54)(0.5)
(0.6)0.50.60.60.50.6930.6(0.510)0.40.6198f F f f --≈=+
-- =-⨯+-⨯=-
截断误差：101011
()''()()(),(,)2
R x f x x x x x x ξξ=
--∈ 12
1
(0.54)0.0012
R ξ=
11(0.5,0.6)
110.0012(0.54)0.00120.360.25
,0.0032(0.54)0.0048
R R ξ∈∴⨯
<<⨯<<即 （2）二次lagrange 插值法：
A ：若取0.4，0.5和0.6为插值点，0120.916,0.693,0.510f f f =-=-=-
012(0.540.5)(0.540.6)
0.12
(0.40.5)(0.40.6)(0.540.4)(0.540.6)0.84(0.50.4)(0.50.6)(0.540.4)(0.540.5)0.28
(0.60.4)(0.60.5)l l l --=
=-----==----==--
001122(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)0.615f F f l f l f l ≈=++=-
截断误差：20121
()'''()()()()3!
R x f x x x x x x ξ=
---
则
23
1
(0.54)0.000112
R ξ
=
333
233
[0.4,0.6],()111,0.60.411
0.000112(0.54)0.0001120.40.6
f x R ξξ∈∴
<<-⨯<<-⨯递增；
即
20.00175(0.54)0.000519R -<<-
B ：若取0.5，0.6和0.7为插值点，0120.693,0.510,0.357f f f =-=-=-
012(0.540.6)(0.540.7)
0.48
(0.50.6)(0.50.7)(0.540.5)(0.540.7)0.64(0.60.5)(0.60.7)(0.540.5)(0.540.6)0.12
(0.70.5)(0.70.6)l l l --=
=----==----==---
001122(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)0.6162f F f l f l f l ≈=++=-
截断误差：20121
()'''()()()()3!
R x f x x x x x x ξ=--- 则
23
1
(0.54)0.000128
R ξ=
333
233
[0.5,0.7],()111,0.70.5
11
0.000128(0.54)0.0001280.70.5
f x R ξξ∈∴
<<⨯<<⨯递增；
即
20.000373(0.54)0.001024R <<
2、已知f(x)=e -x 的一组数据见下表，用抛物插值法计算e -2.1的近似值。
解：
001122()()()()F x f l x f l x f l x =++ 001122(2.12)(2.13)
(2.1)0.045,0.3679;
(12)(13)(2.11)(2.13)
(2.1)0.99,0.1353;(21)(23)(2.11)(2.12)
(2.1)0.055,0.0498;
(31)(32)
l f l f l f --=
=-=----===----===--
(2.1)(2.1)0.1201f F ≈= 截断误差：20121
()'''()()()()3!
R x f x x x x x x ξ=--- 故
32(2.1)= -0.0165e R - ⨯
3131
[1,3],()e ;
0.01650.01650.0165x f x e e e e e e ξξξ-------∈=∴<<∴⨯<⨯<⨯递减；
3、根据如下数表，构造不超过三次的 Lagrange 插值多项式。
解：
四点三次拉格朗日插值公式：
32(1)(2)(4)(0)(2)(4)
()19(01)(02)(04)(10)(12)(14)(0)(1)(4)(0)(1)(2)
233(20)(21)(24)(40)(41)(42)11451
1
442x x x x x x F x x x x x x x x x x ------=⨯
+⨯
------------ +⨯+⨯
------ =-+-+ 三点二次多项式：
取0120,1,2x x x ===，
2(1)(2)(0)(2)(0)(1)
()1923(01)(02)(10)(12)(20)(21)351
x x x x x x F x x x ------=⨯
+⨯+⨯
------ =++
取0120,1,4x x x ===，
2(1)(4)(0)(4)(0)(1)
()1233(01)(04)(10)(14)(40)(41)
521
1
22x x x x x x F x x x ------=⨯
+⨯+⨯
------ =-++
取0120,2,4x x x ===，
2(2)(4)(0)(4)(0)(2)
()1233(02)(04)(20)(24)(40)(42)
2143
1
42x x x x x x F x x x ------=⨯
+⨯+⨯
------ =-++
取0121,2,4x x x ===，
2(2)(4)(0)(4)(0)(2)
()9233(02)(04)(20)(24)(40)(42)83821
x x x x x x F x x x ------=⨯
+⨯+⨯
------ =-+-
线性插值多项式： 取010,1x x ==，10
()191010110x x F x x --=⨯+⨯=--- 取010,2x x ==，20
()1231110220x x F x x --=⨯
+⨯=+-- 取010,4x x ==，401
()13104402x x F x x --=⨯
+⨯=+-- 取011,2x x ==，21
()9231451221x x F x x --=⨯
+⨯=--- 取011,4x x ==，41
()932111441x x F x x --=⨯
+⨯=-+-- 取0
12,4x x ==，42
()23310432442
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