二次插值计算例题
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
数值分析实验报告线性插值和二次插值计算ln0.54的近似值
数值分析实验报告线性插值和二次插值计算ln0.54的近似值数值分析实验报告线性插值和二次插值计算ln0.54的近似值篇一：数值分析-用线性插值及二次插值计算数值分析上机报告习题：给出f(x)?lnx的数值表，用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。
解：(1)用线性插值计算 Matla b程序 x=0.54; a=[0.5,0.6];b=[-0.693147,-0.510826]; l1=b (1)*((x-a(2))/(a(1)-a (2))); l2=b(2)*((x-a(1))/(a(2)-a(1))); y=l1+l2 y = -0.6202（2）用抛物插值计算 Ma tlab程序 x=0.54; a=[0.4,0.5,0.6]; b=[-0.916291,-0.693147,-0.510826]; A=b(1)*(x-a(2))*(x-a(3))/((a (1)-a(2))*(a(1)-a(3))); B=b(2)*(x-a (1))*(x-a(3))/((a(2)-a(1))*(a(2)-a(3))); C=b(3)*(x-a(1))*(x-a(2))/((a(3)-a(1))*(a(3)-a(2)));y=A+B+C y= -0.6153篇二：数值分析上机实验报告二实验报告二题目：如何求解插值函数摘要：在工程测量和科学实验中，所得到的数据通常都是离散的，如果要得到这些离散点意外的其他点的数值，就需要根据这些已知数据进行插值。
这里我们将采用多种插值方法。
前言：（目的和意义）掌握Lagrange,Netn,Hermi te,线性，三次样条插值法的原理及应用，并能求解相应问题。
数学原理：主要的插值法有：多项式插值法、拉格朗日插值法、线性插值法、牛顿插值法，H ermite插值法三次样条插值法等。
插值答案
i 0 i 0 k j 0
n
n
k
( 1) C x ( xik j li ( x))
j j 0 j k j i 0
n
利用结论(2)可知，
n
x
i 0
i
n
k j i i
l ( x ) x k j ，代人上式得到
k
(x
i 0
x) k li ( x) (1) j Ckj x j x k j ( x x) k 0
断误差；
4) 哪一个近似值更好？为什么？ 解： 1) L1 ( x) 1 x x0 x x1 e0.5 x0 x1 x1 x0
把 x 0.5 代入 L1 ( x) 中， 得到 y 1.3244 ， 与精确解 e0.5 相比， 误差绝对值为 0.0404， 或者用误差估计式求得：
则 f ( x) 以 x0 , x1 , , xn 为插值节点的 n 次 Lagrange 插值多项式为 (2) 设 f ( x) x k ，
Ln ( x) f ( xi )li ( x) xik li ( x)
i 0 i 0
n
n
由插值余项定理知
f ( x) Ln ( x) f n 1 ( ) n 1 ( x) 0 (n 1)!
二次牛顿插值多项式例题
二次牛顿插值多项式例题牛顿插值多项式是一种常用的数值插值方法，它可以用于求解离散数据点的加权平均值。
二次牛顿插值多项式是其中一种常见的形式，它可以用来插值求解二次函数。
下面是二次牛顿插值多项式的例题: 假设我们有一个离散的数据点集{x1, x2, ..., xn}和相应的数值 y1, y2, ..., yn，我们需要用二次牛顿插值多项式来插值求解 y 关于 x 的函数。
首先，我们需要计算出牛顿插值多项式的根 x0, x1, ..., xn-1，这些根可以通过求解二次方程来实现。
具体地，我们可以将二次方程f(x) = 0 求解得到 x0, x1, ..., xn-1，其中 f(x) 是牛顿插值多项式的系数。
然后，我们可以使用这些根来计算出牛顿插值多项式的各项系数。
具体地，我们可以使用下面的公式来计算牛顿插值多项式的系数:a0 = y0 / (x0 - x1)a1 = y1 / (x0 - x1) - a0 * f"(x1) / f(x1)a2 = y2 / (x0 - x1) - a1 * f"(x1) / f(x1) - a0 * f""(x1) / (f(x1))^2...an = yn / (x0 - x1) - a(n-1) * f"(x1) / f(x1) - a(n-2) * f""(x1) / (f(x1))^2 - ... - a0 * f"""(x1) / (f(x1))^3 + ...其中，f"(x) 表示 f(x) 的一阶导数，f""(x) 表示 f(x) 的二阶导数，以此类推。
最后，我们可以使用这些系数来计算出牛顿插值多项式的输出值y。
具体地，我们可以使用下面的公式来计算牛顿插值多项式的输出值:y = a0 * (x0 - x1) + a1 * (x0 - x1) * f"(x1) + a2 * (x0 - x1) * f""(x1) + ... + an * (x0 - x1) * f"""(x1) + ...以上就是二次牛顿插值多项式的例题。
2、插值法部分练习题
1、已知 f （x ）=ln x 的数值表如下，分别用线性及二次 Lagrange 插值法计算f (0.54) 的近似值，并估计误差。
解：（1）线性插值法：因为()ln f x x = 时递增函数，所以取0.5和0.6为插值节点。
则线性插值多项式为：0011()()()()f x F x f l x f l x ==+0.540.60.540.5(0.54)(0.54)(0.5)(0.6)0.50.60.60.50.6930.6(0.510)0.40.6198f F f f --≈=+-- =-⨯+-⨯=-截断误差：101011()''()()(),(,)2R x f x x x x x x ξξ=--∈ 121(0.54)0.0012R ξ=11(0.5,0.6)110.0012(0.54)0.00120.360.25,0.0032(0.54)0.0048R R ξ∈∴⨯<<⨯<<即 （2）二次lagrange 插值法：A ：若取0.4，0.5和0.6为插值点，0120.916,0.693,0.510f f f =-=-=-012(0.540.5)(0.540.6)0.12(0.40.5)(0.40.6)(0.540.4)(0.540.6)0.84(0.50.4)(0.50.6)(0.540.4)(0.540.5)0.28(0.60.4)(0.60.5)l l l --==-----==----==--001122(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)0.615f F f l f l f l ≈=++=-截断误差：20121()'''()()()()3!R x f x x x x x x ξ=---则231(0.54)0.000112R ξ=333233[0.4,0.6],()111,0.60.4110.000112(0.54)0.0001120.40.6f x R ξξ∈∴<<-⨯<<-⨯递增；即20.00175(0.54)0.000519R -<<-B ：若取0.5，0.6和0.7为插值点，0120.693,0.510,0.357f f f =-=-=-012(0.540.6)(0.540.7)0.48(0.50.6)(0.50.7)(0.540.5)(0.540.7)0.64(0.60.5)(0.60.7)(0.540.5)(0.540.6)0.12(0.70.5)(0.70.6)l l l --==----==----==---001122(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)(0.54)0.6162f F f l f l f l ≈=++=-截断误差：20121()'''()()()()3!R x f x x x x x x ξ=--- 则231(0.54)0.000128R ξ=333233[0.5,0.7],()111,0.70.5110.000128(0.54)0.0001280.70.5f x R ξξ∈∴<<⨯<<⨯递增；即20.000373(0.54)0.001024R <<2、已知f(x)=e -x 的一组数据见下表，用抛物插值法计算e -2.1的近似值。
计算方法简明教程插值法习题解析
第二章 插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----==---=+6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-若采用二次插值法计算ln0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------==----=++500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。
二次插值法例题
二次插值法例题二次插值法是一种常用的数值计算方法，用于在给定的几个点之间计算线性插值函数。
下面是一个简单的二次插值法例题: 假设我们有四个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ ,我们需要计算一个线性插值函数 $y$ ,使得 $y$ 在 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ 四个点之间保持连续。
首先，我们可以使用二次插值法在四个点之间计算一个二次多项式 $y_2(x)$。
具体来说，我们可以使用以下公式:$$y_2(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2$$其中，$a_0, a_1, a_2$ 是由四个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ 计算出来的系数。
接下来，我们可以使用二次多项式 $y_2(x)$ 来计算插值函数$y$ 在 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ 四个点之间的值。
具体来说，我们可以使用以下公式:$$y(x) = y_2(x_{target}) cdot (x - x_{target}) + y_2(x_0)$$ 其中，$x_0$ 是 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ 四个点中的一个，$x_{target}$ 是我们需要计算插值函数的点。
例如，如果我们的目标是计算 $(x_3, y_3)$ 点的插值函数，那么我们可以使用以下公式:$$y(x) = y_2(x_{target}) cdot (x - x_{target}) + y_2(x_0)$$ 其中，$x_0$ 可以是 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3),(x_4, y_4)$ 四个点中的一个，$x_{target}$ 则是我们需要计算插值函数的点，例如 $x_{target} = x_3$ 就是不错的选择。
计算物理学(刘金远)第-3-章-函数近似方法(课后习题及答案)
第３章函数近似方法（习题及答案）§3.1插值法【3.1.1】已知sin()x 在030,45,60的值分别为1/2，分别用一次插值和二次插值求0sin(50)近似值。
【3.1.2】误差函数的数据表：x 0.460.470.480.49…f(x)0.48465550.49374520.50274980.5116683…利用二次插值计算：（1）(0.472)f ;(2)()0.5,?f x x ==【3.1.3】【3.1.4】已知列表函数x -101y-15-5-3给出二次插值函数【解】0(0)(1)1()(1)(10)(11)2x x l x x x --==-----;1(1)(1)()(1)(1)(01)(01)x x l x x x +-==--++-2(1)(0)1()(1)(11)(10)2x x l x x x +-==++-2153()(1)5(1)(1)(1)22L x x x x x x x =--+-+--【3.1.5】已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。
【解】取插值节点014, 9x x ==，两个插值基函数分别为)9(51)(1010--=--=x x x x x x l )4(51)(0101-=--=x x x x x x l 故有565)4(53)9(52)()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25655)5()5(1=+=»L f 误差为)(2)95)(45(!2)()5(2x x f f R ¢¢-=--¢¢=【3.1.6】已知(1)2,(1)1,(2)1f f f -===，求()f x 的二次拉格郎日插值多项式【解】22(1)(2)(1)(2)(1)(1)()21(11)(12)(11)(12)(21)(21)1(38)6x x x x x x L x x x --+-+-=++----+-+-=-+【3.1.7】求经过(0,1),(1,2),(2,3)A B C 三点的二次拉格郎日插值多项式【解】22(1)(2)(0)(2)(0)(1)()123(01)(02)(10)(12)(20)(21)1(343)2x x x x x x L x x x ------=++------=-+【3.1.8】编写拉格朗日三点插值程序，绘出)cos(x y =在[p ,0]区间的插值曲线，将[p ,0]区间8等份（9个插值点），由插值函数取25个点绘出插值曲线。
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二次插值计算例题
二次插值是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点的坐标，推导出两个数据点之间的某个点的值。
在二次插值中，我们假设数据具有二次多项式的形式，并通过插值公式求解未知点的值。
以下是一个用于说明二次插值的计算例题：
例题：已知数据点的坐标为（1，1）、（2，3）、（3，7），求x=2.5时的y值。
解析：
1. 首先，我们需要确定插值多项式的形式。
由于已知的数据点个数为3个，因此我们可以假设插值多项式为二次多项式的形式：
P(x) = a*x^2 + b*x + c
2. 接下来，我们需要确定多项式的系数a、b和c。
为了确定这些系数，我们可以使用已知数据点的坐标。
3. 首先，我们将已知的数据点代入多项式中，得到以下方程： P(1) = a*1^2 + b*1 + c = 1
P(2) = a*2^2 + b*2 + c = 3
P(3) = a*3^2 + b*3 + c = 7
将方程整理为矩阵形式，得到以下方程组：
⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤
⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥
⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦
4. 解方程组，可以得到系数a、b和c的值。
首先，将方程组进行高斯消元法的操作：
⎡ 1 1 1 ⎤⎡ a ⎤⎡ 1 ⎤⎡ 1 1 1 ⎤
⎢ 4 2 1 ⎥ * ⎢ b ⎥ = ⎢ 3 ⎥ => ⎢ 0 -2 -3 ⎥
⎣ 9 3 1 ⎦⎣ c ⎦⎣ 7 ⎦⎣ 0 0 -2 ⎦
进行回代运算：
-2c = -2 => c = 1
-2b - 3c = 3 => -2b - 3 = 3 => b = -2
a +
b +
c = 1 => a - 2 + 1 = 1 => a = 2
因此，系数a、b和c的值为2、-2和1。
5. 最后，将得到的系数代入插值多项式中，求解x=2.5时的y 值：
P(2.5) = 2*2.5^2 + (-2)*2.5 + 1 = 11.25 - 5 + 1 = 7.25
因此，在已知数据点（1，1）、（2，3）、（3，7）的情况下，当x=2.5时，y的值为7.25。
参考内容:
1. R. L. Burden, J. D. Faires, "Numerical Analysis" (11th edition), Cengage Learning, 2015.
2. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, "Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing" (3rd
edition), Cambridge University Press, 2007.
3. Y. C. Hon, "Applied Numerical Methods", Pearson Education, 200
4.
4. W. Cheney, D. Kincaid, "Numerical Mathematics and Computing" (7th edition), Cengage Learning, 2012.
5. D. Kahaner, C. Moler, S. Nash, "Numerical Methods and Software" (Prentice-Hall series in computational mathematics), Prentice Hall, 1989.
6. J. Stoer, R. Burlisch, "Introduction to Numerical Analysis" (3rd edition), Springer, 2002.。