任意奇数幻方的米字平衡法
2021年幻方解法整理归纳
在一种由若干个排列整洁数构成正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线几种数之和都相等，具备这种性质图表，称为“幻方”。
国内古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最典型填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写办法是这样：把1(或最小数)放在第一行正中；按如下规律排列剩余n×n-1个数：(1)每一种数放在前一种数右上一格；(2)如果这个数所要放格已经超过了顶行那么就把它放在底行，依然要放在右一列；(3)如果这个数所要放格已经超过了最右列那么就把它放在最左列，依然要放在上一行；(4)如果这个数所要放格已经超过了顶行且超过了最右列，那么就把它放在前一种数下一行同一列格内；(5)如果这个数所要放格已有数填入，解决办法同(4)。
这种写法总是先向“右上”方向，象是在爬楼梯。
口诀：1居首行正中央,依次右上莫相忘上出格时往下放,右出格时往左放.排重便往自下放,右上出格一种样图一 2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例）① 把()122＋＝m n 阶幻方均提成4个同样小幻方A 、B 、C 、D(如图二)图二（注意A 、B 、C 、D 相对位置不能变化，由于12＋m 为奇数，因此A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用持续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2na ＝）(如图三)图三（由于12＋m 为奇数，因此A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用持续摆数法构造幻方）③ 在A 中间一行上从左侧第二列起取m 个方格，在其他行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中数与D 中相应方格中数字对调(如图四)：图四 不论是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行左侧第二列开始；由于当6＝n 时，1＝m ，因此本例中只取了一种数）④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中数与D 中相应方格中数字对调。
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幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.2.构造幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法—罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．（2）仅适用于三阶幻方—九宫格口诀.口诀是：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
（3）适用于所有偶数阶幻方的填法—对称交换的方法1.将数依次填入方格中，对角线满足要求。
2.调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调；调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。
3.三阶幻方的性质：1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.视频描述把0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数填在下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。
1.1.请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把7—15这九个数构成一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！3.3.请用1、4、7、10、13、16、19、22、25编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！视频描述将下面左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和都相等。
1.1.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把３、４、５、８、９、10、13、14、15编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？3.3.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n －1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6789 1011121314 15 16内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
幻方算法（转）
幻⽅算法（转）幻⽅的算法（C++版)⼀、幻⽅按照阶数可分成了三类，即奇数阶幻⽅、双偶阶幻⽅、单偶阶幻⽅。
⼆、奇数阶幻⽅（劳伯法）奇数阶幻⽅最经典的填法是罗伯法。
填写的⽅法是：把1（或最⼩的数）放在第⼀⾏正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：（1）每⼀个数放在前⼀个数的右上⼀格；（2）如果这个数所要放的格已经超出了顶⾏那么就把它放在底⾏，仍然要放在右⼀列；（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上⼀⾏；（4）如果这个数所要放的格已经超出了顶⾏且超出了最右列，那么就把它放在底⾏且最左列；（5）如果这个数所要放的格已经有数填⼊，那么就把它放在前⼀个数的下⼀⾏同⼀列的格内。
例，⽤该填法获得的5阶幻⽅：17241815235714164613202210121921311182529⼆、双偶数阶幻⽅（海尔法）所谓双偶阶幻⽅就是当n可以被4整除时的偶阶幻⽅，即4K阶幻⽅。
在说解法之前我们先说明⼀个“互补数”定义：就是在n阶幻⽅中，如果两个数的和等于幻⽅中最⼤的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为⼀对互补数。
如在三阶幻⽅中，每⼀对和为10的数，是⼀对互补数；在四阶幻⽅中，每⼀对和为17的数，是⼀对互补数。
双偶数阶幻⽅最经典的填法是海尔法。
填写的⽅法是：以8阶幻⽅为例：（1）先把数字按顺序填。
然后，按4×4把它分割成4块（如图）12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364（2）每个⼩⽅阵对⾓线上的数字（如左上⾓⼩⽅阵部分），换成和它互补的数。
64236160675795554121351501617474620214342244026273736303133323435292838392541232244451918484915145253111056858595462631三、单偶数阶幻⽅（斯特拉兹法）所谓单偶阶幻⽅就是当n不可以被4整除时的偶阶幻⽅，即4K+2阶幻⽅。
幻方法则
幻方幻方法则南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛书的数学问题进行了详尽的研究。
其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，清代，李光地的《周易折中》把杨辉所概括的这种排列排列原理为“阳动阴静”。
我们通常所说的幻方是平面和幻方。
n阶幻方就是在n×n的方格中填上n^2【n的平方】个数，行、列和对角线的和值相等为完美幻方，行、列和值相等为不完美幻方。
这一和值叫幻和值。
一个n阶幻方幻和值公式为：Nn=1/2xn(n2+1)【注：n2是n的平方】幻方分为奇阶幻方和偶阶幻方，构成方法也不同。
【奇阶幻方】一、Merzirac法生成奇阶幻方在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。
如下图用Merziral法生成的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9Merzirac法，有人也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），-Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向下移一格继续填写）。
其实斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。
【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。
如右上方向斜步，跳步就为向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就为向右（或向上）一步；等等等等】二、loubere法生成奇阶幻方在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移两格继续填写。
如下图用Louberel法生成的5阶幻方：23 6 19 2 1510 18 1 14 2217 5 13 21 94 12 25 8 1611 24 7 20 3上述loubere法可以记作X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），2Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向上移二格继续填写）。
幻方的构造
幻方的构造所谓幻方（magic square），也叫纵横图，就是在n×n的方阵中，放入从1开始的n2个自然数；在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。
这个和数就叫“幻方常数”或“幻和”。
对于任意n阶的幻方来说，其幻方常数S和方阵阶数n的关系是：1n（n2+1）S=2例如3阶的幻方常数是15，4阶的幻方常数是34，5阶的幻方常数是65……那么，如何构造幻方呢？下面我们分几种情况分别进行说明：一、奇数阶幻方奇数阶幻方，也就是幻方阶数为奇数的幻方，如：3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？对所有奇数阶幻方的构造，我们都可以采取“连续摆数法”，其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。
按照这一法则构成5阶幻方的示例如下图：按上述法则构成11阶幻方如下图：二、4阶幻方构造4阶幻方我们可以采取“对角线法”，即首先按从上到下、从右向左（也可按从左到右、从上到下）的次序把1—16填入4阶方阵中，然后将两条主对角线上元素按中心轴对称原则互相交换就行，也就是1和16互换、6和11互换、4和13互换、7和10互换，见下图：三、6阶幻方构造6阶幻方，我们可以采用“斯特雷奇法”，即首先将6阶幻方分成ABCD四个3阶幻方，然后按ABCD的顺序将每个3阶幻方用“连续摆数法”填上，3阶方阵A填数字1—9，B填10—18，C填19—27，D填28—36，如下图：然后将A中的8、5和4分别和D中的35、32和31交换，形成6阶幻方，如下图：四、双偶数阶幻方双偶数阶幻方，即n＝2·2m形式的幻方，我们可以采取“对称法”（symmetrical method）。
即将双偶数阶幻方分成上、下、左、右4个小方阵，首先在左上角方阵中布点：每行每列任取一半方格打上“○”号；然后向其余3个方阵映象，使每个小方阵中各有一半方格被“○”所占据。
幻方解法整理归纳之欧阳道创编
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写办法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n1个数：(1)每一个数放在前一个数的右上一格；(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理办法同(4)。
这种写法总是先向“右上”的标的目的，象是在爬楼梯。
口诀：1居首行正中央,依次右上莫相忘上出格时往下放,右出格时往左放.排重便往自下放,右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例）① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分红4个同样的小幻方A 、B 、C 、D(如图二)图二（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不克不及修改，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）(如图三) 图三（因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必定可以用连续摆数法构造幻方）③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对换(如图四)：图四不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为那时6＝n ，1＝m ，所以本例中只取了一个数）④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对换。
幻方罗伯法证明方法
幻方罗伯法证明方法幻方，这玩意儿可神奇啦！就像一个神秘的魔法盒子，里面藏着无尽的奇妙。
而罗伯法呢，就是打开这个魔法盒子的一把钥匙。
咱先来说说幻方是啥。
简单来讲，就是把一些数字巧妙地排列在一个方阵里，让每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
这就好比是一场数字的大派对，每个数字都要找到自己最合适的位置，才能让整个派对热闹而和谐。
那罗伯法是怎么做到让这些数字乖乖听话，排列出完美幻方的呢？这可就得好好研究研究啦。
你看啊，罗伯法就像是一个聪明的指挥家，它指挥着数字们依次就座。
先从第一行中间那个位置开始，这就是整个幻方的起点。
然后呢，数字们就一个一个地按照一定的规则排下去。
比如说，下一个数字要放在右上方，如果右上方已经有数字了，那就放到下方。
这就好像是数字们在玩跳房子游戏，一格一格地跳着，找到自己的落脚点。
这听起来是不是很简单？但这里面可藏着大学问呢！就好像解一道超级复杂的谜题，每一步都要小心翼翼，不能出错。
想象一下，这些数字就像是一群调皮的小孩子，要让他们乖乖听话，按照罗伯法的规则来排列，可不是一件容易的事啊。
但一旦排列成功，哇，那感觉就像是创造了一个小小的奇迹。
咱们来具体分析分析罗伯法的神奇之处。
它为什么能这么准确地让数字们排列成幻方呢？这背后其实有着深刻的数学原理。
就好像是一条隐藏在数字世界里的秘密通道，只有通过罗伯法，我们才能找到它。
比如说，通过罗伯法排列出来的幻方，它的对称性是非常美妙的。
每一行、每列和对角线都像是一面镜子，反射出同样的和谐与完美。
这难道不是数学的魅力所在吗？而且啊，罗伯法可不是随便想出来的，那是经过无数数学家们的努力和探索才发现的。
他们就像是一群勇敢的探险家，在数字的海洋里寻找着宝藏，而罗伯法就是他们找到的最珍贵的宝藏之一。
你说，这多有意思啊！一个小小的罗伯法，却能让我们看到数学的博大精深。
它就像是一把钥匙，打开了幻方这个神秘世界的大门，让我们可以尽情地探索其中的奥秘。
总之，幻方罗伯法证明方法真的是太神奇啦！它让我们感受到了数学的无穷魅力，也让我们对这个世界有了更深的理解。
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任意奇数幻方的米字平衡法
范贤荣2016.2.22
我用此法已排好奇数3至25阶的幻方。
现与幻友们共享与交流。
画至25阶，就把A4纸排满了。
继续画就得用更大的纸。
因此，我就搁笔了。
从图中可以看出大于25阶的任意奇数幻方都可以按照本方法画出。
此法的口诀是：
中数居中最要紧，斜上楼梯爬到顶，直落腰间接着填，横角垂直三跟进。
米字形成分四区，一二三四各领军，两两相差都为四，纵横各自找平衡。
注：中数——即中位数。
三跟进——即横、角、直的连续旋转。
还有单方向的递进也是级差3。
平衡——即找互补数。
互补数——即两数相加等于两倍中位数的
那两个数。
幻和——即幻方的纵、横和对角线各自相加都相等的那个数。
具体排法，以7阶幻方为例，画图如下：
现把3至25阶的幻方陈列如后。