任意奇数阶幻方的罗伯移步法
任意奇数阶幻方的罗伯移步法
学习心得
范贤荣2016.2.25
在学习幻方构成时，在网上看到了大多数幻友介绍的罗伯（loubere）法。
读后，我有心得如下：
1、罗伯（loubere）法的确是最简单的任意奇数阶幻方的构成法。
它只要一步一步地填写就可以了。
2、有人称之为楼梯法。
这也非常形象，体现了一步一步斜着向上的填写规律。
因此，我觉得以罗伯楼梯法谓之，倒是一个好办法，既尊敬了罗伯的创造，又形象地体现了填写规律。
但是，楼梯太实用了，就采用了浪漫点的移步二字，编写了本文的题目。
3、罗伯法的填写步骤，非常经典。
关于“出格/出框”、“重复/遇阻”的规定，也往往还被其他方法所引用。
4、罗伯法的口诀，对“1居上行正中央”的这种幻方，是很正确且准确的。
但是，不知道这是不是罗伯老师的原话。
我现在看到的都是幻友们的介绍。
因此，就与幻友们讨论一下：
这个口诀，只适用于“1居上行正中央”的这种幻方。
或者说“1居上行正中央”的这种幻方，只是罗伯幻方的一种。
罗伯幻方每一阶都有多种。
幻方数与阶数相同。
因此，我建议在这口诀下面加一个注：“1居上行正中央”只是罗伯幻方有代表性的一种。
1还可以在其他点格上。
5、1还可以在那些点格上呢？
我们把方阵空格用（X，Y）即（行，列）表示。
第一行，第三列表示为（1，3）那么，各阶数方阵有几个幻方，1点在何处，可见下表：
我们还可以形象地用方阵的方式，直观地看到1的位置。
5阶幻方的1点在幻和为65的格子内。
方法是：
1）与阶数一样，画出阶数方阵。
例如，5阶
2）将该阶幻方的幻和填在方阵的“上行正中央”。
例如5阶幻和65。
3）在斜着把幻和，逐行向左移一位，填在各行。
如下图
4）再利用罗伯法则，将出格的数移回来。
就可以直观地看到1在那些点格了。
5）顺便说说方阵中的其他数据是什么？从何而来？。
这些数据都是一个不等于“幻和”的对角线之和。
我是计算出来的，计算完5阶，我就知道7阶了。
因此，就少画了许多方阵。
6）其他不等于“幻和”的对角线之和，就是将“幻和”向两边逐步加减“阶²”。
例如5阶，5²=25 65+25=90、90+25=115、65-25=40、40-25=15
心得汇报完毕。
方阵附后：
7阶方阵
幻方的1点在175幻和的格子内
附录：罗伯法
请大家注意图H和图1，可以总结出下面的编排方法：
1、在第一行正中央的方格子中填上1；
2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边；
3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1）
4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3
的下面，然后把5、6依次按斜上方向填入方格内；
5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。
重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图1，与左边的图H完全相同。
这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。
使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。
编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？”
为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的口诀：
1居上行正中央，
依次斜排且莫忘；
上出框时往下写，
右出框时左边放；
重叠就在下格填，
右上出框也一样。
任意奇数阶幻方的罗伯移步法
任意奇数阶幻方的罗伯移步法学习心得范贤荣2016.2.25在学习幻方构成时，在网上看到了大多数幻友介绍的罗伯（loubere ）法。
读后，我有心得如下：1、罗伯（loubere ）法的确是最简单的任意奇数阶幻方的构成法。
它只要一步一步地填写就可以了。
2、有人称之为楼梯法。
这也非常形象，体现了一步一步斜着向上的填写规律。
因此，我觉得以罗伯楼梯法谓之，倒是一个好办法，既尊敬了罗伯的创造，又形象地体现了填写规律。
但是，楼梯太实用了，就采用了浪漫点的移步二字，编写了本文的题目。
3、罗伯法的填写步骤，非常经典。
关于“出格/出框”、“重复/遇阻”的规定，也往往还被其他方法所引用。
4、罗伯法的口诀，对“1 居上行正中央”的这种幻方，是很正确且准确的。
但是，不知道这是不是罗伯老师的原话。
我现在看到的都是幻友们的介绍。
因此，就与幻友们讨论一下：这个口诀，只适用于“1 居上行正中央”的这种幻方。
或者说“1居上行正中央”的这种幻方，只是罗伯幻方的一种。
罗伯幻方每一阶都有多种。
幻方数与阶数相同。
因此，我建议在这口诀下面加一个注：“1 居上行正中央”只是罗伯幻方有代表性的一种。
1 还可以在其他点格上。
5、1 还可以在那些点格上呢？我们把方阵空格用（X，Y）即（行，列）表示。
第一行，第三列表示为（1，3）那么，各阶数方阵有几个幻方， 1 点在何处，可见下表：我们还可以形象地用方阵的方式，直观地看到 1 的位置。
5 阶幻方的1 点在幻和为65 的格子内。
方法是：1）与阶数一样，画出阶数方阵。
例如， 5 阶2）将该阶幻方的幻和填在方阵的“上行正中央”。
例如5 阶幻和65。
3）在斜着把幻和，逐行向左移一位，填在各行。
如下图4）再利用罗伯法则，将出格的数移回来。
就可以直观地看到 1 在那些点格了。
5）顺便说说方阵中的其他数据是什么？从何而来？。
这些数据都是一个不等于“幻和”的对角线之和。
我是计算出来的，计算完5 阶，我就知道7 阶了。
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构造幻方
构造幻方所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。
这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。
幻方分为奇数阶幻方、偶数阶幻方（单偶阶幻方、双偶阶幻方），下面就这三类幻方的构造分别示范。
奇数阶幻方的经典方法－罗伯奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。
按照这一法则建立5阶幻方的示例如下图：罗伯法（连续摆数法）的助记口诀：1居上行正中央，依次斜填切莫忘。
上出框界往下写，右出框时左边放。
重复便在下格填，角上出格一个样。
1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。
偶数阶幻方的一种制作方法——双偶阶、单偶阶幻方1.双偶阶幻方（中心对称交换法）n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……)先说明一个定义。
互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。
先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：这个方阵的对角线，已经用颜色标出。
奇数阶幻方的经典方法－罗伯法
奇数阶幻⽅的经典⽅法－罗伯法
所谓幻⽅，也教纵横图，就是在n×n的⽅阵中放⼊1到n2个⾃然数：在⼀定的布局下，其各⾏、各列和两条对⾓线上的数字之和正好都相等。
这个和数就叫做“幻⽅常数”或幻和。
构造幻⽅的⽅法：
奇数阶幻⽅，也就是3阶、5阶、7阶……幻⽅，那么如何构造这样的幻⽅呢？
我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下：
把“1”放在中间⼀列最上边的⽅格中，从它开始，按对⾓线⽅向（⽐如说按从左下到右上的⽅向）顺次把由⼩到⼤的各数放⼊各⽅格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进⾏中轮到的⽅格中已有数或到达右上⾓，则退⾄前⼀格的下⽅。
按照这⼀法则建⽴5阶幻⽅的⽰例如下图：
罗伯法（连续摆数法）的助记⼝诀：
1 居上⾏正中央，依次斜填切莫忘。
上出框界往下写，右出框时左边放。
重复便在下格填，⾓上出格⼀个样。
1 居上⾏正中央——数字 1 放在⾸⾏最中间的格⼦中
依次斜填切莫忘——向右上⾓斜⾏，依次填⼊数字
上出框界往下写——如果右上⽅向出了上边界，就以出框后的虚拟⽅格位置为基准，将数字竖直降落⾄底⾏对应的格⼦中
右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟⽅格位置为基准，将数字平移⾄最左列对应的格⼦中
重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格⼦已被其它数字占领，就将｛N＋1｝填写在｛N｝下⾯的格⼦中
⾓上出格⼀个样——如果朝右上⾓出界，和“重复”的情况做同样处理。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n －1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6789 1011121314 15 16内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
幻方算法（转）
幻⽅算法（转）幻⽅的算法（C++版)⼀、幻⽅按照阶数可分成了三类，即奇数阶幻⽅、双偶阶幻⽅、单偶阶幻⽅。
⼆、奇数阶幻⽅（劳伯法）奇数阶幻⽅最经典的填法是罗伯法。
填写的⽅法是：把1（或最⼩的数）放在第⼀⾏正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：（1）每⼀个数放在前⼀个数的右上⼀格；（2）如果这个数所要放的格已经超出了顶⾏那么就把它放在底⾏，仍然要放在右⼀列；（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上⼀⾏；（4）如果这个数所要放的格已经超出了顶⾏且超出了最右列，那么就把它放在底⾏且最左列；（5）如果这个数所要放的格已经有数填⼊，那么就把它放在前⼀个数的下⼀⾏同⼀列的格内。
例，⽤该填法获得的5阶幻⽅：17241815235714164613202210121921311182529⼆、双偶数阶幻⽅（海尔法）所谓双偶阶幻⽅就是当n可以被4整除时的偶阶幻⽅，即4K阶幻⽅。
在说解法之前我们先说明⼀个“互补数”定义：就是在n阶幻⽅中，如果两个数的和等于幻⽅中最⼤的数与1的和（即n×n＋1），我们称它们为⼀对互补数。
如在三阶幻⽅中，每⼀对和为10的数，是⼀对互补数；在四阶幻⽅中，每⼀对和为17的数，是⼀对互补数。
双偶数阶幻⽅最经典的填法是海尔法。
填写的⽅法是：以8阶幻⽅为例：（1）先把数字按顺序填。
然后，按4×4把它分割成4块（如图）12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364（2）每个⼩⽅阵对⾓线上的数字（如左上⾓⼩⽅阵部分），换成和它互补的数。
64236160675795554121351501617474620214342244026273736303133323435292838392541232244451918484915145253111056858595462631三、单偶数阶幻⽅（斯特拉兹法）所谓单偶阶幻⽅就是当n不可以被4整除时的偶阶幻⽅，即4K+2阶幻⽅。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法;是把幻方分成了三类;即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方..下面按这三类幻方;列出最常用解法考试用;不求强大;只求有效..奇数阶幻方罗伯法奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法..填写的方法是：把1或最小的数放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n－1个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行;仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列;仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列;那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入;那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内..例;用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方对称交换法所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方;即4K阶幻方..在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中;如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和即 n×n＋1;我们称它们为一对互补数 ..如在三阶幻方中;每一对和为 10 的数;是一对互补数；在四阶幻方中;每一对和为 17 的数;是一对互补数 ..双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：内外四个角对角上互补的数相易;方阵分为两个正方形;外大内小;然后把大正方形的四个对角上的数字对换;小正方形四个对角上的数字对换即1;164;13互换6;117;10互换即可..对于n=4k阶幻方;我们先把数字按顺序填写..写好后;按4×4把它划分成k×k个方阵..因为n是4的倍数;一定能用4×4的小方阵分割..然后把每个小方阵的对角线;象制作4阶幻方的方法一样;对角线上的数字换成互补的数字;就构成幻方..以8阶幻方为例：1 先把数字按顺序填..然后;按4×4把它分割成4块如图2 每个小方阵对角线上的数字如左上角小方阵部分;换成和它互补的数..单偶数阶幻方象限对称交换法以n=10为例;10＝4×2＋2;这时k=21把方阵分为A;B;C;D四个象限;这样每一个象限肯定是奇数阶..用罗伯法;依次在A象限;D象限;B象限;C象限按奇数阶幻方的填法填数..2在A象限的中间行、中间格开始;按自左向右的方向;标出k格..A象限的其它行则标出最左边的k格..将这些格;和C象限相对位置上的数;互换位置..3在B象限任一行的中间格;自右向左;标出k-1列..注：6阶幻方由于k-1=0;所以不用再作B、D象限的数据交换; 将B象限标出的这些数;和D象限相对位置上的数进行交换;就形成幻方..下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2;这时k＝1。
小学奥数之罗伯特法填幻方(完整版)
小学奥数之罗伯特法填幻方1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑴适用于三阶幻方的三大法则有：⑴求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）⑴求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3．987654321987654321134141516129781051132165-1-4-1.幻方（一）教学目标知识点拨⑴角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
幻方填写方法
没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17241815235714164613202210121921311182529双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：12345678910111213141516内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16231351110897612414151对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
幻方填写方法
没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k 个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
以8阶幻方为例：(1) 先把数字按顺序填。