2008.6.27_任意阶幻方的构造方法
幻方模型
幻方和的计算公式
由定义可知：
Sn (1 2 n ) / n
2
n (1 n ) / 2n
2 2
n(1 n ) / 2
2
注：不存在2阶幻方。
如何构造幻方
奇数（不妨n=5）阶的情况 第一步: 在第一行中间写1 第二步: 每次向右上方移一格依次填按由小到大排列 的下一个数，向上移出界时填下一列最后一行的小方格； 向右移出界时填第一列上一行的小方格。若下面想填的 格已填过数或已达到幻方的右上角时，改填刚才填的格 子正下方的小方格，继续第二步直到填完 偶数阶的情况 偶数阶的幻方可以利用奇数 阶幻方拼接而成，拉尔夫·斯特 雷奇给出了一种拼接的方法 ，这 里不作详细介绍 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
7
i
0 ，即
r6 r4 r7 r2 r5 r1 r3 r5 r7 r1 r6 r3 r2 r4 r3 r4 r2 r1 r7 r5 r6
r1 r2 r r 3 5 r4 r6 r7
=
0 0 0 0
R=C=D=S=1的方阵构成的线性空间具有什么样的性质？ 1在第一行中共有4种取法，为保持上述性质的成
立，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定
后，第三行与第四行的1就完全定位了，故一共可作出 8个不同的最简方阵，称之为基本幻方并记之为Q1，… ， Q8
1 0 0 0 Q1 0 0 0 1
幻方问题
什么是幻方
所谓的魔方是指由1~n2这n2个正整 数按一定规则排列成的一个n行n列 的正方形 ,且每行、每列与对角线 上的n个元素之和都相等。n称为此 魔方的阶 。 Dürer幻方：4阶，每一行之和为 34，每一列之和为34，对角线 （或反对角线）之和是34，每个 小方块中的数字之和是34，四个 角上的数字加起来也是34
幻方填写技巧
幻方的填写技巧摘要：发现了一种任意阶幻方的填法规律，只通过简单的计算就能很快地填出任意阶幻方。
关键词：幻方填法奇数阶幻方偶数阶幻方幻方，古称“纵横图”，就是用自然数1、2、3、…、n2排成n 行，n列的“方阵”，如果每一行，每一列以及每一对角线上的n个数的和都相等（等于n(n2+1)/2），这个“方阵”就叫做n阶幻方。
古今中外很多科学家都对幻方有过深入研究。
介绍幻方的书很多，但大都只介绍了奇数阶幻方的填法，而对于偶数阶幻方的填法，都没有过多的介绍。
我通过对幻方的深入研究，得到了一种n阶幻方的填法规律,利用这个规律,可以很快地填出任意阶幻方(已用V.B语言编成了程序,在计算机上只需要几秒钟就可以得到上千阶幻方)。
现把n阶幻方的填法介绍给大家。
1、奇数阶幻方奇数阶幻方的填法很多书上都有介绍，现选谭浩强著《QBASIC 语言教程》中方法，以5阶幻方为例说明填法（如图１）：图１①先将“1”放在第一行当中一列；②从“2”开始直到“n 2”为止，各数依次按下列规则放数：每一个数放的行比前一个数的行数减1，列数加1。
如“6”放的第3行第2列，则“7”放在第2行第3列；③如果上一个数的行数为1，则下一数的行数为n （最下一行）。
如“8”放在第1行第4列，则“9”放在第5行第5列；④如果上一个数的列数为n ，则下一个数的列数应为1，行数减1。
如“3在第4行第5列，则“4”应放在第3行第1列；⑤如下一个数应放的位置已被其它数占用，则下一个数放在上一个数的下面。
如“5”的下一个数“6”应放在第1行第3列，但该位置已被“1”占用，故将“6”放在“5”的下面。
根据上述五点，可以填出所有的奇数阶幻方。
2、偶数阶幻方分是否能被4整除两种情况而用不同的方法。
（1）、当n 能被4整除时，设n=4k(k ≥1)，最简单的4k 阶幻方为k ＝1时的4阶幻方，前人的填法为：①先画一个4×4的格子，从小到大依次填入1至16各数（如a b (同列对调) c (同行对调)图2图2a）。
幻方解法
幻方解法奇阶幻方介绍：当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。
可以用Merzirac 法与loubere法实现，根据我的研究，发现用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法。
偶阶幻方介绍：当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方。
当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方。
可用了Hire法、Strachey以及YinMagic将其实现，Strachey 为单偶模型，我对双偶（4m阶）进行了重新修改，制作了另一个可行的数学模型，称之为Spring。
YinMagic是我于2002年设计的模型，他可以生成任意的偶阶幻方。
奇阶幻方解法Merzirac法：在第一行居中的方格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向下移一格继续填写。
如下图用Merziral法生成的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9loubere法：在居中的方格向上一格内放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有数字，则向上移两格继续填写。
如下图用Louberel法生成的7阶幻方：30 39 48 1 10 19 2838 47 7 9 18 27 2946 6 8 17 26 35 375 14 16 25 34 36 4513 15 24 33 42 44 421 23 32 41 43 3 1222 31 40 49 2 11 20horse法：先在任意一格内放入1。
向左走1步，并下走2步放入2(称为马步)，向左走1步，并下走2步放入3，依次类推放到n。
在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下边放入2n+1。
如下图用Horse 法生成的5阶幻方：77 58 39 20 1 72 53 34 156 68 49 30 11 73 63 44 2516 78 59 40 21 2 64 54 3526 7 69 50 31 12 74 55 4536 17 79 60 41 22 3 65 4637 27 8 70 51 32 13 75 5647 28 18 80 61 42 23 4 6657 38 19 9 71 52 33 14 7667 48 29 10 81 62 43 24 5一般令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，[-1,0]为向左走一步。
奇数阶幻方构造原理
奇数阶幻方构造原理
奇数阶幻方是指由1到n^2 的连续整数构成的方阵，其每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等。
以下是奇数阶幻方构造的一些原理和方法：
- 九子排列法：宋代数学家杨辉总结的“洛书”幻方的编排方法。
具体步骤为：九子排列、上下对易、左右相更、四维挺出。
- 巴舍法：以构造三阶幻方为例，假设有一个三行三列的格子，然后制造阳台、天台、地下室，再爬梯填数，最后把阳台、天台、地下室及里边的数去掉，就得到了一个三阶幻方。
- 罗伯法：可以构造出所有的奇数阶幻方。
口诀为：1居上行正中央，依次斜填切莫忘；上出框界往下写，右出框界左边放；排重便在下格填，右上出格一个样。
这些方法可以帮助构造各种奇数阶幻方，有兴趣的读者可以尝试用这些方法构造五阶幻方和七阶幻方。
方 构 造
1.杨辉与奇数阶幻方的构造
杨辉于1275年给出了3—10阶的幻方。 并给出奇数阶幻方的一般构造方法（《续 古摘奇算经》）。比如，对于3阶幻方
方法：九子斜排，上下对易，左右相 更，四维挺进。
结果：戴九履一，左三右七，二四为 肩，六八为足。
1.杨辉与奇数阶幻方的构造
1 42 753 86
9
9 42 357 86
（2）把A中每一行的空格 中填入1到n该行尚 没有的剩余数字 （左大右小）,使每 行每列数字之和均 为10,得方阵B；
1324
方
4231 阵
4231
1324
B
（3）把方阵B转置， 1 4 4 1
即交换行列， 3 2
1.杨辉此 C与，时奇C得中数到的阶方数幻阵叫方的2构造3
2 3
3 2
C
方 阵
原始数；
4114
（4）把C中各原始数 分别用其相应 的根数替换， 得方阵D；
0 12 12 0
方
8448 阵
4884
D
12 0 0 12
（5）最后将B、D两方阵中对应数分别相加， 便得到一个n阶幻方E。
1324
1.杨辉与奇数阶幻方的构造
4231
1 15 14 4
4231
1324
12 6 7 9
0 12 12 0 8448
四维挺进
11 24 7 20 3 1.杨辉4 与奇1数2阶幻2方5 的构8造 16
17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15
四维挺进
2.奇数阶幻方的劳伯尔构造
原理：
在一个具有（2n+1）×（2n+1） 个方格的方阵中，最顶一行的中间 填上数1，然后按照如下法则进行：
三阶幻方的N种构造方法
三阶幻方的N种构造方法三阶幻方是一种3x3的数字方阵，其中每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
以下是几种构造三阶幻方的方法：1.蛇型法：首先将数字1放在第一行的中间位置，然后按照蛇形的方式，依次填充数字2、3、4⋯、9、当数字超出边界时，从相反的边界开始填充。
这样构造出的三阶幻方如下：8163574922.阶梯法：首先将数字1放在第一行的第一列，然后依次填充数字2、3到第一列的第三行。
接下来，将数字4填充到第一行的第二列，之后将数字5、6依次填充到第二列的第一行和第三行。
最后将数字7、8、9填充到第二列的第二行、第三行和第一行，最终构造出以下三阶幻方：2769514383.方块法：将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。
接下来，将数字5填充到剩余的位置。
构造出的三阶幻方如下：2947536184.加法法：首先将数字1填充到方阵的中间位置。
然后从中间位置开始，按照数字的递增顺序依次填充2、3、4到右上角、右下角和左下角。
最后将剩下的数字以对称的方式填充到相应的位置。
构造出的三阶幻方如下：8163574925.填充法：首先将数字1填充到方阵的上方，然后从上方顺序填充数字2、3、4到右上角、右下角和左下角。
接下来，将数字5填充到剩余的位置。
构造出的三阶幻方如下：294753618以上只是几种常见的构造三阶幻方的方法，实际上，三阶幻方的构造方法有很多种，而且可以进行旋转和翻转等操作来得到更多的构造方法。
由于幻方的特殊性质和对称性，可以通过一些数学方法进行推导和计算来构造出更多的三阶幻方。
幻方是数学中的一个有趣且古老的问题，它的研究既有实际应用价值，又具有数学美感。
08.幻方(三)双偶数阶幻方的编排方法
3、幻方（三）——双偶数阶幻方的编排方法奇数阶幻方我们已经会编排了，偶数阶幻方怎么编排呢？和奇数阶幻方的编排方法一样吗？为了便于讲解，我们把偶数分为两类：一类是4、8、12、16、……这样的偶数叫做双偶数（能连续两次被2整除），双偶数也就是4的倍数，因此双偶数可用4k表示（k是自然数）；另一类是6、10、14、18、……这样的偶数叫做单偶数（只能一次被2整除），单偶数可用4k＋2表示（k是自然数）。
这一节先学习双偶数阶幻方的编排方法。
一、中心对称交换法例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。
【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格内，使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。
先计算这个相等的和是多少？也就是前面学过的幻和：（1＋2＋3＋…＋15＋16）÷4＝34。
再想办法将这十六个数排列成幻和是34的四阶幻方。
①先把1～16按顺序填入4×4的方格中（如下图A）；我们把图A称为四阶自然方阵。
这时可以发现，两条对角线上的四个数的和都恰好是34，其它每行、每列上四个数的和都不是34，因此，这两条对角线上的八个数都不动，作为四阶幻方两条对角线上的数。
②观察自然方阵（图A）中的第一列和第四列。
第一列上四个数的和是1＋5＋9＋13＝28，比34少6；第四列上四个数的和是4＋8＋12＋16＝40，比34多6。
为了使第一列和第四列上四个数的和分别是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即5和8，9与12）相互交换就可以了（图B）。
同样地，为使第二、三列上的四个数的和也是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即2与3，14与15）相互交换就可以了（图C）。
③再观察上图C的第一、第四行。
第一行上四个数的和是1＋3＋2＋4＝10，比34少24；第四行上四个数的和是13＋15＋14＋16＝58，比34多24。
为了使第一行和第四行上四个数的和分别是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即2和14，3与15）相互交换就可以了。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
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任意阶幻方的构造方法
一、幻方分类
n 表示阶数
二、构造方法
以下幻方均指在n n ⨯（n 行n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上1——2n 所构成的幻方。
1、奇数阶幻方——连续摆数法（如图一：以五阶幻方为例）
① 把1填在第一行正中；
② 把i a ()i ≤2放在1－i a 的右上一格；如：3、5、7、8、20等。
③ 如果i a 所要放的格已超出了顶行，那么就把它放在1－i a 的右一列的最下行；如：2、9、18、25。
④ 如果i a 所要放的格已超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的上一行的最左列；如：4、10、17、23。
⑤ 如果i a 所要放的格已超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内；如：16。
⑥ 如果i a 所要放的格已有数填入，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内。
如：6、11、21。
图一
2、单偶数阶幻方()122＋
＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D ；如图二（a ）；
（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方）
② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()
2221a a ——＋、在
C 中填入()22312a a ——＋、在
D 中填入()
22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）；如图二（b ）； （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方）
③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调；如图二（c 、d ），
（不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数）
④ 在C 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与B 中相应方格中的数字对调。
（因为01＝－
m ，所以在C 中没有取数） 图二（d ）即为所求幻方。
图二（a ） 图二（b ）
图二（c ） 图二（d ） 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例）
① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方；如图三（a ）
② 在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色（以便于区分），然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格；如图三（b ）
（正确理解“每行每列中任取一半的方格”。
本例中因为4＝m ，所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格） ③ 从左上角的方格开始，按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方，遇到有底色的方格跳过，计数，这样填满了没有底色的方格；如图三（c ）
（从左上角开始按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n阶幻方，当遇到有底色的方格时空出不填即可）
④从右下角的方格开始，按从右到左、从下到上的次序将剩下的数从小到大依次填入n 阶幻方，这样填满了有底色的方格。
如图三（d）
图三（d）即为所求幻方。
图三（a）图三（b）
图三（c）图三（d）
参考书目：
1、《幻方及其他——娱乐数学（第二版）经典名题》吴鹤龄编著科学出版社。