任意奇数阶幻方的罗伯移步法
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任意奇数阶幻方的罗伯移步法
学习心得
范贤荣 2016.2.25
在学习幻方构成时，在网上看到了大多数幻友介绍的罗伯（ loubere ）法。读后，
我有心得如下：
1、罗伯（ loubere ）法的确是最简单的任意奇数阶幻方的构成法。它只要一步一步地填写就可以了。
2、有人称之为楼梯法。这也非常形象，体现了一步一步斜着向上的填写规律。因此，我觉得以罗伯楼梯法谓之，倒是一个好办法，既尊敬了罗伯的创造，又形象地体现了填写规律。但是，楼梯太实用了，就采用了浪漫点的移步二字，编写了本文的题目。
3、罗伯法的填写步骤，非常经典。关于 “出格/出框”、“重复/遇阻”的规定，也往往还被其他方法所引用。
4、罗伯法的口诀，对“1 居上行正中央”的这种幻方，是很正确且准确的。但是，不知道这是不是罗伯老师的原话。我现在看到的都是幻友们的介绍。因此，就与幻友们讨
论一下：
这个口诀，只适用于“1 居上行正中央”的这种幻方。或者说“1 居上行正中央”的这种幻方，只是罗伯幻方的一种。
罗伯幻方每一阶都有多种。幻方数与阶数相同。
因此，我建议在这口诀下面加一个注： “1 居上行正中央” 只是罗伯幻方有代表性的一种。 1 还可以在其他点格上。
5、1 还可以在那些点格上呢？
我们把方阵空格用（ X，Y）即（行，列）表示。第一行，第三列表示为（ 1，3） 精品资料
我们还可以形象地用方阵的方式，直观地看到 1 的位置。
5 阶幻方的 1 点在幻和为 65 的格子内。
那么，各阶数方阵有几个幻方， 1 点在何处，可见下表：
方法是：
1） 与阶数一样，画出阶数方阵。例如， 5 阶
2） 将该阶幻方的幻和填在方阵的“上行正中央”。例如 5 阶幻和 65。
3） 在斜着把幻和，逐行向左移一位，填在各行。如下图
4） 再利用罗伯法则，将出格的数移回来。就可以直观地看到 1 在那些点格了。
5） 顺便说说方阵中的其他数据是什么？从何而来？。 这些数据都是一个不等于
“幻和”的对角线之和。我是计算出来的，计算完 5 阶 ，我就知道 7 阶了。因此，
就少画了许多方阵。 精品资料
心得汇报完毕。方阵附后：
6） 其他不等于“幻和”的对角线之和，就是将“幻和”向两边逐步加减“阶。例如2”5
阶， 52=25 65+25=90 、90+25=115 、65-25=40 、40-25=15
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7 阶方阵
幻方的 1 点在 175 幻和的格子内 精品资料
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附录：罗伯法
请大家注意图 H 和图 1，可以总结出下面的编排方法：
1、在第一行正中央的方格子中填上 1；
2、按斜上方向在 1 的右上角填入 2，但出上框了，这时要把 2 改填在 2 所在这一列的最下边； 精品资料
3、按斜上方向在 2 的右上角填入 3，又出右框了，把 3 改填在 3 所在这一行的最左边；
（上图 1）
4、按斜上方向在 3 的右上角填入 4，但与先填入的 1 重合了，这时就把 4 改填在 3
的下面，然后把 5、6 依次按斜上方向填入方格内；
5、按斜上方向在 6 的右上角填入 7，但出框的右上角，这时就把 7 改填在 6 的下面，
（与重合相同）。重复上面的做法，把 8 、9 依次填入方格中，这样就得到了图 1，与左边的图 H 完全相同。
这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。
使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。编排过程中会出现五种情况：“第一行
正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？”
为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的口诀：
1 居上行正中央，
依次斜排且莫忘；
上出框时往下写，
右出框时左边放；
重叠就在下格填，
右上出框也一样。 精品资料
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任意奇数阶幻方最简单公式做法
任意奇数阶幻方最简单公式做法
任意奇数阶幻方最简单公式做法
奇数阶幻方的填法我有最简易公式，任意奇数阶直接填成（3阶——任意奇数阶通用），先填中心九宫图，然后延伸填成米字形。在米字划分的八个区内，对称填（1——最大数），（2——最大数减1），（3——最大数减2），（4——最大数减3）。这八个数为首数，然后按照走向每格依次递加4，或者递减4，依次填完即成！公式简单而且完美对称，绝对最简单！不用位移法，一次填成！任意奇数阶通用。
公式中带入n(即幻方阶数）即可，内九宫格内每格一个公式，正中心数填上（n 平方+1）除以2，.然后以（中心数）（注：以下简称（中））为坐标和原始数；得出周围八个格内数，如下：
中上左为（中）减1. 中下右为（中）加1.
中上 为（中）减 （n-1). 中下 为（中）加（n-1).
中上右为（中）加（2n-3). 中下左为（中）减（2n-3).
中左 为（中）加（n+1). 中右 为（中）减（n+1).
然后以这八个数为首数，向外延伸成米字形，填法如下：
中上左方向每格递减2. 中下右方向每格递加2.
中上 方向每格递加2. 中下 方向每格递减2.
中上右方向每格递减2. 中下左方向每格递加2.
中左 方向每格递加2. 中右 方向每格递减2.
下面填米字隔开的八个区域：
将（ 1 ）填入右上顶角的下一格，（以它为首数每格递加4）从上往左下依次填完一行，再折回从上往左下依次填完第二行，以此类推，填完本区。
将（n的平方）填入右下顶角的上一格，（以它为首数每格递减4）从下往左上依次填完一行，再折回从下往左上依次填完第二行，以此类推，填完本区。
将（ 2 ）填入右下顶角的左一格，（以它为首数每格递加4）从下往左上依次填完一行，再折回从下往左上依次填完第二行，以此类推，填完本区。
将（n的平方-1）填入左下顶角的右一格，（以它为首数每格递减4）从下往右上依次填完一行，再折回从下往右上依次填完第二行，以此类推，填完本区。
n阶幻方的填法
精心整理
页脚内容 n阶幻方的填法(n≥3)
幻方，亦称纵横图。台湾称为魔术方阵。将自然数1，2，3，……n2排列成一个n2方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于这样的方阵称为幻方。
幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国着名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9填入3*3的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15。
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3 5 7
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n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
1、奇数阶幻方
n为奇数(n=3，5，7，9，11……)(n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……)
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯方)。填写方法是这样：
把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：
(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；
(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 精心整理
页脚内容 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解
1 幻方（一）
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方
2. 了解偶数阶幻方相关知识点
3. 深入学习三阶幻方
一、幻方起源
也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：
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我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．
二、幻方定义
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33的数阵称作三阶幻方，44的数阵称作四阶幻方，55的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
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三、解决这幻方常用的方法
⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．
幻方的算法-Merzirac法生成奇阶幻方
幻方的算法—Merzirac法生成奇阶幻方
奇阶幻方
当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。可以用Merzirac法与loubere法实现，Merzirac法与loubere法称为斜步法，即向斜方向走一步；也可用国际象棋之马步也可构造出更为神奇的奇幻方，故命名为horse法，即马步法。
下面我详细介绍Merzirac法
Merzirac法生成奇阶幻方
Merzirac法最简单的方法为：
1、在第一行居中的方格内放1 ；
2、以后按顺序，向右斜上方填写数字（称为斜步）；
3、若出到方阵上方，把该数字填到本该所在列的最下格 ；
4、若出到方阵右方，把该数字填到本该所在行的最左格 ；
5、若右上已有数字，或出到方阵右上(即对角线方向)， 则把数字填入上一个数字的下一格，即在n的下方放入n+1（称为跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下方放入2n+1，在3n的下方放入3n+1，……依次填完所有数字即可完成任何一个奇阶幻方。
下面是用此方法构成的5阶幻方，每一行、每一列、对角线的和都为65，我们将此和值称为幻和值，用f(n)表示，f(5)＝65。
65
17 24 1 8 15 65
23 5 7 14 16 65
4 6 13
20 22 65
10 12 19 21 3 65
11 18 25 2 9 65
65 65 65 65 65 65
斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。下面我总结所有的Merzirac法（斜步法）：
我们用坐标轴的方法，将左右方向设为X轴，向右为X，向左为-X；将上下方向设为Y轴，向上为Y，向下为-Y。
一般的，令矩阵[1,1]为向右走一步，向上走一步，用X+Y表示，，[-1,0]为向左走一步，用-X表示，[0,-1]为向下走一步，用-Y表示。则斜步可以表示为X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。
3阶、5阶幻方填拆法、杨辉法、罗伯法
3阶幻方拆填法
三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，把1-9这九个数字填入九宫格，使每行、每列、对角线的和都相等，和称为幻和。
九数之和=921=45
幻和=15345
每行、每列、2条对角线的和=415，其中中间数多计算了3次，所以有
中间数=345415=5
1091，1082，1073，1064。这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。
先填四个角
①若填两对奇数
第一行：奇数+偶数+奇数=偶数，与每行的和是奇数矛盾。
②若填一对奇数，一对偶数
如果另一对奇数填在第二列
第一行：奇数+奇数+偶数=偶数，与每行的和是奇数矛盾。
因此，四个角必须填两对偶数。对角线上的数填好后，十字架上的两对奇数就很容易了，一共有8种填法。 奇 偶 奇
5
奇 偶 奇
奇 偶
5
偶 奇
奇 奇 偶
5
偶 奇 奇 （一） （二） （三） （四）
（五） （六） （七） （八）
杨辉法
九子斜排，上下对易
左右相更，四维突出
罗伯法
1 居上行正中央
依次斜填切莫忘
上出框界往下写
右出框时左边放
重复便在下格填
出角重复一个样 8 1 6
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4 9 2 2 7 6
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4 3 8 2 9 4
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6 1 8 8 3 4
1 5 9
6 7 2
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1 5 9
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1
4 2
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8 6
9 9
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1 4 9 2
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5阶幻方杨辉法
各子斜排
以212n为中心作一个n阶幻方
[最新]六阶幻方解法
![[最新]六阶幻方解法](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/56c0ce74cbaedd3383c4bb4cf7ec4afe04a1b10c.webp)
一、奇阶幻方：罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方）
一居上行正中央，依次斜填切莫忘， 上出格时往下填，右出格时左边放，
排重便在下格填，角上出格一个样。 例：用1-25组成五阶幻方。
二、偶阶幻方：
偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方 双偶数:四阶幻方，八阶幻方，„„4K阶幻方， 可用<对称交换法>，方法很简单:
1) 把自然数依次排成方阵 2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线
3) 把这些对角线所划到的数，保持不动
4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调。
单偶数:六阶幻方，十阶幻方，„„4K+2阶幻方
方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>: 1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方
阵,
2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵 3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止。
例题：用自然数1-36完成六阶幻方。
首先因为4×1＋2，k＝1，把11～26填入中间4×4方格
中，
然后将1-10，27-36这20个自然数成对填入余下空中。
“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。
小学思维数学讲义：幻方（一）-带详解
⼩学思维数学讲义：幻⽅（⼀）-带详解
幻⽅（⼀）1. 会⽤罗伯法填奇数阶幻⽅
2. 了解偶数阶幻⽅相关知识点
3. 深⼊学习三阶幻⽅
⼀、幻⽅起源
也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正⽅形，因此纵横图⼜叫幻⽅．幻⽅起源于我国，古⼈还为它编撰了⼀些神话．传说在⼤禹治⽔的年代，陕西的洛⽔经常⼤肆泛滥，⽆论怎样祭祀河神都⽆济于事，每年⼈们摆好祭品之后，河中都会爬出⼀只⼤乌龟，乌龟壳有九⼤块，横着数是3⾏，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有⼏个点点，正好凑成1⾄9的数字，可是谁也弄不清这些⼩点点是什么意思．⼀次，⼤乌龟⼜从河⾥爬上来，⼀个看热闹的⼩孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于⼗五！”于是⼈们赶紧把⼗五份祭品献给河神，说来也怪，河⽔果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻⽅”，由于它有3⾏3列，所以叫做“三阶幻⽅”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻⽅．如下图：
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我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》⾥有⼀段注解：“九宫者，⼆四为肩，六⼋为⾜，左三右七，戴九履⼀，五居中央．”这段⽂字说明了九个数字的排列情况，可见幻⽅在我国历史悠久．三阶幻⽅⼜叫做九宫图，九宫图的幻⽅民间歌谣是这样的：“四海三⼭⼋仙洞，九龙五⼦⼀枝连；⼆七六郎赏⽉半，周围⼗五⽉团圆．”幻⽅的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．
⼆、幻⽅定义
幻⽅是指横⾏、竖列、对⾓线上数的和都相等的数的⽅阵，具有这⼀性质的33?的数阵称作三阶幻⽅，44?的数阵称作四阶幻⽅，55?的称作五阶幻⽅……如图为三阶幻⽅、四阶幻⽅的标准式样，9
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三、解决这幻⽅常⽤的⽅法
⑴适⽤于所有奇数阶幻⽅的填法有罗伯法．⼝诀是：⼀居上⾏正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重⼀个样．⑵适⽤于三阶幻⽅的三⼤法则有： ①求幻和： 所有数的和÷⾏数（或列数）
小学奥数 数论 数字谜综合 幻方(一).题库版
5-1-4-1.幻方（一）.题库 教师版 page 1 of 15
1. 会用罗伯法填奇数阶幻方
2. 了解偶数阶幻方相关知识点
3. 深入学习三阶幻方
一、幻方起源
也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：
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我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．
二、幻方定义 知识点拨 教学目标
5-1-4-1.幻方（一） 5-1-4-1.幻方（一）.题库 教师版 page 2 of 15 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33的数阵称作三阶幻方，44的数阵称作四阶幻方，55的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，
奇妙的幻方
64
134 1 36
50 78 106
12( )22 92
n阶幻方（标准幻方）.其中，相等的
4K型的数叫做
幻方具有轮换性.如右图所示的幻方， 可以看成是先将五阶幻方的前
三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的 （反过来移
动也行）.这样，随你怎样选取5 X5的一个方块后必然得到一个五阶幻方， 这就是幻方的轮换性.
幻方的构造方法:
学与练（一）
1 .奇数阶幻方的构造方法: 1 14 22 10 18 1 14 22
25 8 16 4 12 25 8 16
19 2 15 23 6 19 2 15
13 21 9 17 5 13 21 9
7 20 3 11 24 7 20 3
1 14 22 10 18 1 14 22
25 8 16 4 12 25 8 16
19 2 15 23 6 19 2 15 知识要点
幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格. 一般地,
在n xn （n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上 n xn个连续的自然数（注意,
这nxn个连续自然数不一定要从 1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两 条对角线上的几个自然数的和都相等，这样排列成的数字图形叫做
和叫做幻和，n叫做阶.幻和=幻方内所有数字之和十阶数，奇数阶幻方的中心数=幻和十阶数. 非标准的
幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方.
幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方•偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（ 双偶数，4K+ 2型的数叫做单偶数）.
幻方具有对称性.如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性. 同一曲线所串连的四个数的和都相等,
并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和•这就是幻方的对称性.
⑴杨辉三阶幻方构造法:
我国古代著名数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍的一种排法，它可以简
数阶幻方
数阶幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方，偶数阶幻方又分为单偶数阶幻方和双偶数阶幻方。
奇数阶幻方：罗伯法（适合编制所有的）
一居上行正中央，依次斜填切莫忘，
上出格时往下填，右出格时左边放，
排重便在下格填，角上出格一个样。
六阶幻方，具体的做是：
偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方
双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方，
可用，方法很简单:
1) 把自然数依次排成方阵
2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线
3) 把这些对角线所划到的数，保持不动
4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调
幻方完成！
单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方
一、同心方阵法（不建议用）:
1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵,
2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵
3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止
六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中
二、象限对称交换法 （建议用）
以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2
（1） 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上
的数，互换位置。