数阶幻方的编排方法
幻方填入规律
幻方，亦称纵横图。
台湾称为魔术方阵。
将自然数1，2，3，⋯⋯n*n排列成一个n*n 方阵，使得每行、每列以及两对角线上的各个数之和都相等，等于n/2*(n*n+1) ，这样的方阵称为幻方。
例如：把1，2，3，4，5，6，7，8，9 填入3*3 的格子，使得：每行、每列、两条对角线的和是15 。
n 是它的阶数，比如上面的幻方是 3 阶。
n/2*(n*n+1) 为幻方的变幻常数。
数学上已经证明，对于n>2 ，n 阶幻方都存在。
目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。
这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。
1、奇数阶幻方n 为奇数(n=3 ，5，7，9，11 ⋯⋯()n =2*k+1 ，k=1 ，2，3，4，5⋯⋯) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写方法是这样：把1( 或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1 个数：(1) 、每一个数放在前一个数的右上一格；(2) 、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3) 、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4) 、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5) 、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。
这种写法总是先向“右上” 的方向，象是在爬楼梯。
2、双偶阶幻方n 为偶数，且能被 4 整除(n=4 ，8 ，12 ，16 ，20 ⋯⋯) (n=4k，k=1 ，2，3，4，5⋯⋯) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1 称为互补。
先看看 4 阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：将对角线上的数字，换成与它互补的数字。
这里，n*n+1 = 4*4+1 = 17 ；把1 换成17-1 = 16 ；把 6 换成17-6 = 11 ；把11 换成17- 11 = 6⋯⋯换完后就是一个四阶幻方。
三阶、四阶、六阶幻方解题口诀
三阶、四阶、六阶幻⽅解题⼝诀⼤家听过⼤禹治⽔的故事吗？相传在那个年代，陕西的洛⽔常常泛滥成灾，每当河⽔泛滥之时，会有⼀直乌龟浮出⽔⾯，当时⼈们也不知道为什么，只是觉得很好奇，于是⼈们开始研究这个规律。
经过⼀段时间的观察，发现后来发现乌龟背上的龟壳分为9块，横着有三⾏，竖着有三⾏，⽽且每⼀块⾥边都有⼀些⼩点，每块龟壳⾥⾯的点数刚好凑成1-9这9个数字，可是，谁也弄不清楚这些点数到底有什么含义。
直到有⼀年，河⽔还是泛滥成灾，乌龟⼜浮上了⽔⾯，这时有个⼩孩在岸边⼤喊⼤叫起来：“⼤家快来看啊，这些⼩点⾮常有趣，横着看加起来是15，竖着看，加起来也是15，斜着看加起来还是15！”这个数字之谜竟然被⼀个⼩孩⼦给想明⽩了。
后来⼤⼈们觉得⼤概河神想要每样祭品的数量是15份吧，于是赶紧抬来15头猪、15头⽜和15只⽺献给河神，果然，从此以后河⽔再也不泛滥了…当然了，这只是⼀个传说，这个乌龟上的图案就是我们要学习的内容“幻⽅”，也叫“洛书”、“纵横图”、“魔阵”等等。
接下来我们就来揭开“幻⽅”的神秘⾯纱，⼀起来学习⼀下吧！幻⽅是把1⾄n^2的⾃然数排列成正⽅形，使它的纵横均有n个数，⽽把每⾏、每列、两条对⾓线的数加起来，它们的和都是相等的，这个和叫做幻和。
幻⽅的特征是横、竖、斜相加的得数都相等，幻⽅的幻和会等于n（n^2+1）÷2。
幻⽅按照纵横各有数字的个数可分为三阶幻⽅、四阶幻⽅、五阶幻⽅、六阶幻⽅…按照纵横数字数量为奇数、偶数可分为奇阶幻⽅、偶阶幻⽅。
三阶幻⽅我们⾸先简单介绍⼀下三阶幻⽅：把1-9填⼊⽅格，使幻⽅成⽴。
它也是⼀个奇阶幻⽅，幻和是3×（3^2+1）÷2=15。
那么这⾥⾯的数字我们是怎么得来的呢？第⼀种⽅法⼝诀是：九⼦斜排，上下对易，左右更替，四维挺出。
实际就分为四个步骤：第⼀个步骤是九⼦斜排，意思呢就是按照图中的形状斜着排列1-9的9个数字；第⼆个步骤是上下对易，也就是最顶端的数字和最底端的数字1和9对换；第三个步骤是左右更替，即将最左端和最右端的两个数字7和3对换；第四个步骤是四维挺出，如图所⽰把这四个数字向四个⽅向分别挺出。
初一幻方的规律和方法
初一幻方的规律和方法
以下是一种适用于奇数阶幻方的规律和方法：
1. 把“1”放在中间一列最上边的方格中。
2. 从这个“1”开始，按对角线方向顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶则折向底，如果到达右侧则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。
例如，如果构建一个5阶幻方，那么根据以上方法可以得到：
以上步骤只是一个简单的记忆口诀，并不代表全部的方法。
如果你有任何关于如何构造幻方的具体问题，请告诉我，我会尽力帮助你。
幻方编排法
97 74 28 29 71 70 32 33 67 4
1
66 36 37 63 62 40 41 59
100
96 43 57 56 46 47 53 52 50 5 13 51 49 48 54 55 45 44 58 88 87 42 60 61 39 38 64 65 35 14 16 34 68 69 31 30 72 73 27 85 86 75 25 24 78 79 21 20 82 15 99 83 8 9 10 11 12 95 84 94
7
3
18
6
17 2
十 阶 幻 方
4
1
5 13 14 16 15 83 8 9 10 11 12
偶阶幻方分为4K型和4K+2型
4K型又称为双偶型如8阶幻方，方法是先将数字依 次填入，然后将之分成4X4的方格，划出各自的对 角线，最后将对角线以外的数字按整个大幻方的中 心进行中心对称交换。 4K+2型先将最外一圈空着，然后把数字从 8K+3~16K2+8K+2按双偶幻方填法填入空格中， 最外一圈只能去凑了。
1
63
62
11 19 38 30 43 51 6
4
53 45 28 36 21 13 60
5
52 44 29 37 20 12 61
59
14 22 35 27 46 54 3
58
15 23 34 26 47 55 2
8
49 41 32 40 17 9 64
56 10
八 阶 幻 方
48 18 25 39 33 31 24 42 16 50 57 7
1
63
62
11 19 38 30 43 51 6
数学北师大版七年级上册四阶幻方的编制口诀
（1）先帮我算幻和好吗？ 幻和=（1+2+…+16）÷4= 34 （2）那么现在请帮我这些数 依次填进去好吗？
三阶幻方的幻和可以用9个数的和除以3； 那么四阶幻方的幻和也可以用16个数的和除以4
（3）现在来分析这个列表
幻和=34
三阶幻方：三行三列，共3×3=9个数 列表如下： 四阶幻方： 四行四列，共4×4=16个数 1997年美国科学
家发射了两个宇 宙飞船，在飞船 上为了向外星人 展示人类的文明， 科学家就选择了 一张是四阶幻方 的图片……
7
12
1
14
下面我们就来探索如何编制四阶幻方：
探究二
那我们试一试把1到16这16个数字填进空格里好吗？
1
2
3
4 第一行和=10 少了24 8
第二行和=26
5
9
第 一 对角线和=34 列 和
6
7
少了8
10 11 12 第三行和=42 多了8 15
第 三 列 和
13 14
第 二 列 和
16 第四行和=58 多了2幻和=34 少了6
=28
多了2 少了2 多了6
=40
老师说：根据刚才的情况我们发现对角线上的 4个数和就是幻和，那么就让它们位置都不变。 1 2 3 4
4个数和= 34 4个数和= 34 1.我先变个中心点 4个数和= 34 2.数字2（和3）与 4个数和= 34 谁关于中心点相对 3.数字5（和9）与 谁关于中心点相对
5
6
7
8
9 10 13 14
它就是对称交换法
11 12 15 16
幻方之填法(自我学习总结)
幻方的填写技巧一、N阶幻方的分类：1、奇数阶幻方：当n=2k+1时，称为奇数阶幻方。
2、偶数阶幻方：（1）双偶数幻方：当n=4k=2×2k时，称为双偶数数阶幻方。
（2）单偶数幻方：当n=4k+2=2×(2k+1）时，称为单偶数阶幻方。
二、幻方的填写方法：1、奇数阶幻方：可按照如下方法操作：Merzirac法，有人也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），-Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向下移一格继续填写）。
其实斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。
【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。
如右上方向斜步，跳步就为向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就为向右（或向上）一步；等等等等】（2）杨辉“阳动阴静”法南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛书的数学问题进行了详尽的研究。
其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，清代，2、双偶数阶幻方：可按照如下方法操作：（一）四阶幻方：（1） 对角线上的数字一律不动；（2） 对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。
（3） 完成后的四阶幻方如下：（1）对角线上的数字一律不动；（2）对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。
（3）3、（按奇数阶幻方填法按区域填写）（二）十阶幻方：我就在旁边静静地呆着，不言不语，生怕惊扰这静谧的美好，惟愿时光驻留，变成永恒回忆；惟愿几十年后，两鬓斑白的我们仍然携手坐在阳台上，不谈悲喜，只闻花香。
携手的日子总是温暖多过于寒冷，欢笑多过于失意，此时此刻，感恩日子的温润让自己满足。
一个人的独立，两个人的扶持，让光阴有滋有味，富有弹性。
幻方的制作方法
奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方）一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出格时往下填，右出格时左边放，排重便在下格填，角上出格一个样。
六阶幻方，具体的做是：偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方，可用<对称交换法>，方法很简单:1) 把自然数依次排成方阵2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线3) 把这些对角线所划到的数，保持不动4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调幻方完成！单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>:1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵,2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。
这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。
（参见图1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。
我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有m 个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。
而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。
图1 河图洛书图2 纵横图长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。
一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。
09.幻方(四)单偶数阶幻方的编排方法
4、幻方（四）——单偶数阶幻方的编排方法我们已经知道，双偶数阶幻方使用“中心对称交换法”编排比较简单，那么，单偶数阶幻方（六阶、十阶、十四阶……）能使用“中心对称交换法”编排吗？我们以六阶幻方为例进行研究。
按照中心对称交换的步骤，应先排出一个六阶自然方阵（如下图A），如果对角线上的数不动，我们先把第一行和倒数第一行除对角线外的各数进行中心对称交换，结果如下图B所示。
从图B可以看到，第一行大数多而小数少，而倒数第一行反而是小数多而大数少，显然这两行的和不会相等，所以不能再照搬中心对称交换法来编排单偶数阶幻方。
下面我们介绍一种单偶数阶幻方的编排方法——同心方阵法。
什么是同心方阵法呢？如果编排一个六阶幻方，就要先编排一个四阶幻方作为中心，然后在它的四周再编排一个外框，这样就可构成六阶幻方。
使用同心方阵法，用1～36这三十六个数编排六阶幻方的具体步骤如下：一、因为要编排的是六阶幻方，所以要取（6－2）×（6－2）＝16个数来编排中心部分的四阶幻方。
取哪些数呢？中间的16个，也就是要去掉前、后各（36－16）÷2＝10个数，即取11、12、13、14、…、25、26这十六个数，用编排四阶幻方的方法在6×6的中心编成一个四阶幻方。
二、编排四阶幻方的外框。
①用哪些数编排外框？从1～36中已经取出11至26来编排中心的四阶幻方，这弱就还剩下1～10这十个小数，27～36这十个大数。
为了使用方便，我们把这二十个大、小数排成下列形式；注意：这些数相应的一大一小两个数恰好都是37。
②怎样编排外框？由求幻和公式可知：六阶幻方的幻和＝（1＋2＋3＋4＋…＋35＋36）÷6＝111，四阶幻方的幻和＝（11＋12＋13＋…＋25＋26）÷4＝74，111－74＝37，这就是说，在已经编好的中心四阶幻方的每列（行）的两端空格里必须填入和是37的两个数。
又知上面相应的一大一小两个数的和恰好是37，因此，只要在每列（行）的两端空格里分别填入相应的一个大数和一个小数就可以了。
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精心整理
奇数阶幻方的编排方法
简便易学的编排方法。
一、九子排列法
宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。
这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。
先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我
1
2
3
图1）
4
然后把5
5
1
下面以五阶幻方为例，再介绍一种奇数阶幻方的编排方法。
步骤如下：
①先画出一个5×5（五行五列）的方格，在方格的四周画出凸阶梯式的虚线方格（如下图1）
②把1～25这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中（如上图2）；
③以3、15、23、11四个数为顶点（实际上就是五阶幻方的四个顶点）画出一个正方形；
④把正方形外面凸出的虚线方格中的数按“上移下，下移上；左移右，右移左”的方法，全部平移5格到对应部分的方格中，擦掉虚线格子，就得到一个五阶幻方（见下图）。
这种编排幻方的方法叫“巴舍法”，也叫平移补空法，它和“罗伯法”一样，也适用于一切的奇数阶幻方的编排。
需要提醒大家注意的是，在步骤②中，填写1～25这二十五个数时，可以从左向右上填写，也可以从右向左上填写，或者从上向右下填写，还可以从上向左下填写，其移动后的结果都是一个五阶幻方，同学们可以自己动手试一试。
另外，编排n 阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成等差数列就可以了。
练习（一定要完成的哦）
1、使用“罗伯法”将4～12编排一个三阶幻方。
2、用“罗伯法”将21、31、32、41、4
3、61、121、125、12
7编成一个三阶幻方。
3、使用“巴舍法”将1～49编排一个七阶幻方。
双偶数阶幻方的编排方法
一、中心对称交换法
例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。
【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格
34。
是3412＋16＝40（即2与3，＋14＋16＝58（即8与12例如2又如，9称交换就可以直接得到四阶幻方，把这种编排双偶数阶幻方的办法叫“中心对称交换法”。
由例1可以看到，用“中心对称交换法”编排四阶幻方的主要步骤归纳如下：
①把1～16按顺序排成四阶自然方阵；
②四阶自然方阵中对角线上的八个数不动，作为四阶幻方两条对角线上的数；
③把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换。
运用“中心对称交换法”不仅可以编排四阶幻方，而且可以编排任意的双偶数阶幻方。
例2、用1～64这六十四个数编排一个八阶幻方（八行八列）。
【分析与解答】编排步骤如下:
①把1至64按顺序填入8×8的方格子中,排成八阶自然方阵；（见左下图）
②把八阶自然方阵分成四个四阶自然方阵（左下图粗线条），每个四阶自然方阵分别画出对角
线（图中有颜色的数字）；
③每个四阶自然方阵中对角线的数字都不动，把对角线以外的数字在八阶自然方阵中进行中心对称交换。
这样就得到一个八阶幻方（见右下图）。
二、环形平移补空法
例3、用“环形平移补空法”编排一个八阶幻方。
【分析与解答】编排步骤如下:
①画一个8×8的八阶幻方空格（下图A的中间实线部分），并在左右两端画出凸阶梯状虚线方格（如图A所示，每向外一层上、下各减少一格）。
②把1至64这六十四个数分成四组，即第一组：1～16，第二组：17～32，第三组：33～48，第四组：49～64。
③把第一组的十六个数从八阶幻方的第一行第八列开始，按顺时针方向依次排成环形（红色）；
；第四
B）
1至（4k组，…。