幻方解析
幻方知识点总结
幻方知识点总结幻方的起源可以追溯到公元前2200年的古代中国，最早的幻方出现在中国的《周髀算经》中。
这本书中记载了3阶和4阶的幻方，展示了当时中国对幻方的早期研究和应用。
随后，幻方传入了印度、中东和欧洲等地区，在这些地区的文化和数学传统中都留下了深远的影响。
著名的数学家如拉马努金、欧拉、高斯等都曾对幻方进行了深入的研究，为幻方的发展和应用做出了重要贡献。
要理解幻方，首先需要了解几个基本概念：阶数、和数、构造方法和性质。
阶数是指幻方数组的边长，比如3阶幻方就是一个3x3的数组。
和数是指每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和，也叫做幻方的魔数。
构造方法是指幻方的排列规则和建立过程，包括奇阶幻方和偶阶幻方两种不同的构造方法。
而幻方的性质则是指它特有的数学特点和规律，如对称性、旋转性、等价性等。
在构造幻方的过程中，最常用的方法是奇阶幻方和偶阶幻方的构造方法。
对于奇阶幻方来说，它的构造方法相对简单，常用的有“Siamese method”、“Loubere method”等，它们都是通过一定的规则和步骤将数字逐个填入方格中，最终形成一个满足要求的幻方。
而对于偶阶幻方来说，则需要更复杂的构造方法，常用的有“method of de la Loubere”、“methodof de la Hire”等，它们需要通过巧妙的排列和替换来构造出一个满足要求的幻方。
在构造的过程中，对数字的排列、替换和对称性的利用都是十分重要的技巧。
除此之外，幻方还具有一些特殊的性质和规律。
比如，幻方的逆幻方、旋转幻方和反转幻方都是与原幻方有一定联系的新幻方，它们之间的对应关系和巧妙的变换方法都是幻方研究的重要内容。
幻方还具有对称性和等价性，这使得幻方可以在不同的方向上进行旋转、翻转和变换，从而获得新的幻方和新的挑战。
在实际生活中，幻方还有许多有趣的应用，比如在数学教育、艺术设计、密码学等领域都可以看到幻方的身影。
幻方的研究和探索不仅仅是一种数学游戏，它还蕴含着丰富的数学知识和有趣的推理技巧。
幻方知识点总结
幻方知识点总结一、幻方的定义。
幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、每列和对角线上的数字之和都相等的数学结构。
例如，一个简单的三阶幻方（3×3的方格）：begin{array}{ccc}hline8 1 6 hline3 5 7 hline4 9 2 hlineend{array}这里每行、每列和两条对角线上的数字之和都是15。
二、幻方的阶数。
1. 阶数的概念。
- 幻方的阶数是指幻方的行数（或列数），用n表示。
常见的有三阶幻方（n = 3）、四阶幻方（n=4）等。
2. 不同阶数幻方的特点。
- 三阶幻方。
- 是最基本、最常见的幻方。
它的数字组合相对固定，中心数字具有特殊性质。
在三阶幻方中，中心数字是这9个数字的平均数。
例如在上面的三阶幻方中，数字是1 - 9，它们的平均数是5，正好是中心数字。
- 四阶幻方。
- 构造相对复杂一些。
四阶幻方的幻和（每行、每列、对角线数字之和）计算为：(1 + 2+3+·s+16)÷4=(16×(16 + 1)÷2)÷4= 34。
三、幻方的构造方法。
1. 奇数阶幻方（以三阶幻方为例）——罗伯法。
- 把1（或最小的数）放在第一行正中。
- 按以下规律排列剩下的数：- 每一个数放在前一个数的右上一格。
- 如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在底行，仍然要放在右一列。
- 如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行。
- 如果这个数所要放的格已经填好了其他的数，或者同时超出了顶行和右列，那么就把这个数放在前一个数的下一行同一列的格内。
2. 偶数阶幻方（以四阶幻方为例）——对称交换法。
- 先将1 - 16按顺序填入4×4的方格中。
- 然后将对角线上的数字（从左上角到右下角和从右上角到左下角）进行对称交换。
例如，交换1和16，4和13，6和11，7和10，就可以得到一个四阶幻方。
四年级下册数学奥数试题-培优拓展训练：第14讲：幻方(学生版)
第十四讲幻方------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【知识点解析】一、幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。
幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。
幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。
二、幻方问题主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。
通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。
2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。
幻方的规律和求法
幻方的规律和求法幻方的规律和求法：幻方可是个神奇的存在呀！简单来说，就是在一个正方形格子里，填上一些数字，让每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
我们可以把幻方想象成一个数字的大舞台，每个数字都像是一位演员，它们要在这个舞台上找到自己的位置，共同演绎出神奇的规律。
那些格子就像是演员们的站位，必须恰到好处，才能呈现出完美的表演。
比如说三阶幻方，就像是一个小型的数字音乐会，九个数字要在九个位置上完美配合，奏响和谐的数字乐章。
那幻方是怎么做到让每行、每列和对角线的数字和都相等的呢？这就像是一场精心编排的舞蹈，每个数字都要准确无误地迈出自己的舞步。
以三阶幻方为例，中间的数字就像是领舞的主角，它的位置至关重要。
其他数字则像是伴舞，围绕着中间数字旋转跳跃。
它们之间有着一种微妙的平衡和协调，就像一个默契十足的舞蹈团队。
我们来看看具体的规律。
首先，幻方中每行、每列和对角线上的数字之和是一个固定值，这个值是所有数字总和的三分之一。
比如三阶幻方，1 到9 这九个数字的总和是 45，那么每行、每列和对角线的和就是 15。
这就好像是一场比赛，每个队伍的目标总分是确定的，数字们要努力去达到这个目标。
其次，中间位置的数字有着特殊的地位，它往往是一个关键的平衡点。
而且，相对的两个数字之和通常等于另外两个相对数字之和，就像两队选手在进行拔河比赛，力量要保持平衡。
为了让大家更好地理解，我们来看一个具体的三阶幻方例子：4 9 23 5 78 1 6在这里，每行、每列和对角线的和都是 15。
4 和 6、9 和 1、2 和 8 等相对数字之和都是 10，是不是很神奇呢？幻方在生活中也有不少应用呢！比如在建筑设计中，一些古老的建筑可能会运用幻方的原理来布局，以求达到某种平衡和和谐。
在数学研究中，幻方更是一个重要的领域，数学家们不断探索着更复杂、更奇妙的幻方。
总之，幻方就像是一个隐藏在数字世界里的神秘宝藏，等待着我们去探索和发现。
它的规律既神奇又有趣，让我们感受到了数字的魅力和魔力。
思维导引-幻方与数阵教案
思维导引-幻方与数阵教案教学目标：1. 了解幻方与数阵的基本概念及其关系；2. 学会制作简单的幻方与数阵；3. 培养学生的逻辑思维能力和观察能力；4. 提高学生对数学美的欣赏能力。
教学重点：1. 幻方与数阵的基本概念；2. 制作幻方与数阵的方法。
教学难点：1. 理解幻方的性质；2. 制作具有一定规律的数阵。
教学准备：1. PPT课件；2. 练习题；3. 彩笔、白纸等。
教学过程：一、导入（5分钟）1 2 34 5 67 8 92. 学生发现这是一个3x3的幻方，接着教师讲解幻方的定义及性质。
二、幻方的概念与性质（10分钟）1. 介绍幻方的定义：幻方是指一个n×n的方阵，其每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
2. 讲解幻方的性质：如奇数阶幻方的中心数是幻方中所有数的平均数，且幻方的数字呈对称分布等。
3. 举例说明并引导学生验证幻方的性质。
三、制作幻方（10分钟）1. 引导学生了解制作幻方的方法：如利用中心数法、奇偶数填充法等。
2. 分组讨论，让学生尝试制作一个7x7的幻方。
3. 学生展示制作结果，教师点评并讲解制作过程中的注意事项。
四、数阵的概念与制作（10分钟）1. 介绍数阵的概念：数阵是指在二维空间内，按照一定规律排列的一组数字。
2. 讲解数阵的分类：如线性数阵、网格数阵、螺旋数阵等。
3. 引导学生观察不同的数阵类型，分析其规律。
五、欣赏与创作（5分钟）1. 展示一些具有美感的数阵图片，让学生欣赏并感受数学美。
2. 学生自由创作一个数阵，要求体现个人特色和规律。
3. 展示学生作品，大家共同欣赏、评价。
教学反思：六、数阵的规律与应用（10分钟）1. 介绍数阵在实际生活中的应用，如在计算机科学、信息编码、数据分析等领域。
8 3 1 6 4 2 9 7 54 9 2 75 3 1 8 62 7 53 1 8 64 93. 学生分组讨论，尝试找出数阵中的规律，并探讨如何在实际问题中应用这些规律。
小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解
幻方（一）1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独知识点拨教学目标数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
4年级-6-幻方和数阵图-难版
第6讲幻方和数阵图传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了如下图这样的数阵图，也称做幻方。
幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。
到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。
明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。
将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。
幻方是特殊的数阵图。
大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。
人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。
数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。
幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。
这个相等的和叫“幻和”。
要求在n行n列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续的自然数。
这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即知识梳理它们构成了差相等的数列，是等差数列。
因此在解答这类问题时，常用的知识有：1．等差数列的求和公式总和=（首项+末项）×项数÷22．数字的奇偶性奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
数阵图【例1】★如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。
请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。
【解析】不存在，设所填的数分别是a，b，c，如图所示。
假设 a+b=奇数． a+c=奇数，b+c=奇数，左边=2(a+b+c)，是偶数，右边=三个奇数相加，是奇数，偶效≠奇数。
幻方_??????
幻方1.概念简析：幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样.2.构造幻方常用的方法：（1）适用于所有奇数阶幻方的填法—罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．（2）仅适用于三阶幻方—九宫格口诀.口诀是：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
（3）适用于所有偶数阶幻方的填法—对称交换的方法1.将数依次填入方格中，对角线满足要求。
2.调整行，对角线数不动，对称行的其它数对调；调整列，对角线数不动，对称列的其它数对调。
3.三阶幻方的性质：1.幻和相等，幻和等于9个数的和除以3.2.中间数必位于幻方中心，中间数等于幻和除以3.3.黄金三角: 黄金三角顶点的数为两腰之和除以2.视频描述把0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数填在下面图中的方格内，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都相等。
1.1.请用11、13、15、17、19、21、23、25、27编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把7—15这九个数构成一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！3.3.请用1、4、7、10、13、16、19、22、25编制一个三阶幻方。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！视频描述将下面左边方格中的9个数填入右边方格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和都相等。
1.1.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
注：此题答案默认为0，正确答案见解析！2.2.把３、４、５、８、９、10、13、14、15编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？3.3.将图中的数重新排列，使横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等。
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预备：
请你将1——9各数填到这个表格中，使得横行、竖行、斜行的和都是15。
传说公元前二千多年，在洛水里浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，（如图1），后来人们把它称之为洛书，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。
许多人产生了这样的问题，图中的九个数字，有没有别的填法？如果把图形变成4×4个方格，是否也可以进行这样的填数游戏？
【知识要点】
在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这九个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三
阶幻方。
如果在44
⨯⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续自然数，（注意这些连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的n个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数。
任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和！
幻方的幻和等于n (n2 +1) ÷2 。
幻和=总和÷阶数
二、幻方的特征：
1、对称性
2、轮换性
三、幻方的种类：
按照纵横各有数字的个数，可以分为：
三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方……
按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为：
1、奇数阶幻方
2、偶数阶幻方
（1）单偶数阶幻方，阶数是2的倍数，形如：2n+2
（2）双偶数阶幻方，阶数是4的倍数，形如：2n+4
四、幻方的构造方法
1、杨辉口诀法（仅仅适用于三阶幻方）
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。
他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：
九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足
2、罗伯法
适用于奇数阶幻方，适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。
口诀：
1居下行正中央，依次斜填切莫忘； 下出框时往上写，左出框时往右放； 排重便往上格填，左下排重一个样。
3、巴舍法(平移补空法)（适合奇数阶幻方） 要点，构造五阶具体操作： (1)画图:构造楼梯
(2)按顺序填数（数字按顺序斜排）
(3)平移补空:把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左，注意：几阶幻方就平移几个格。
4、对称交换法（对角线法）——适用于四阶幻方
总体来说，偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂。
但因为四阶阶数不大，作为拓展， 补充一下四阶的一种简单构造方法——对角线法。
【典型例题】
例题：请编出一个三阶幻方，使其幻和为２４。
基本型三阶幻方的幻和是１５。
幻和增加了２４－１５＝９，Array每个数应该增加９÷３＝３。
三阶幻方的基本型的拓展：
每个数都加上１，依然是一个幻方，幻和增加了３。
幻方的基本型可以拓展出更多的幻方！
例题：在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于18.
2
5
例题：请用１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７编制一个三阶幻方。
这是一个等差数列，将它与基本型中的１－９对应好：
１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７
１、２、３、４、５、６、７、８、９
（１）先写出基本型
（２）再对应的数填在对应的位置。
习题：
１、把７—１５这九个数构成一个三阶幻方。
２、把５－２０这１６个数构成一个四阶幻方。
３、把３、４、５、８、９、１０、１３、１４、１５编成一个三阶幻方，并求出幻和
是多少？
４、构成一个三阶幻方，使其幻和是１８。
５、用罗伯法把５－２９这２５个数编成一个五阶幻方。
６、把１０－５８编排成一个七阶幻方。
4
8
5
图2
７、用９个连续的自然数构造一个三阶幻方，使每一横行、竖列、对角线的三个数的和
等于６０。
８、
9、用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
10、在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
【小试锋芒】
1.
2. 在下面的方格内分别填上3~11、5~13、7~15这九个数字，使横、竖和对角线上
三个数的和都相等。
3.用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方。
4.把12到36这25个数填入下图中，使横、竖和对角线上三个数的和都相等。
5.将九个连续自然数填入九宫格中，使横、竖和对角线上三个数的和都等于
66.
6.把25~33这九个数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对角线
上三个数的和都相等。
7.把1~100中找出25个连续数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每
条对角线上三个数的和都相等。
8.把10~60中找出25
个连续数字填入以下五阶幻方中，使
每一行横、每一竖和每条对角线上的五个数的和都相等。
9. 在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于21.
7
8
10. 在空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等.
42
34 30
11. 找出九个连续的自然数，分别填入下图的圈内，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都等于60。
1.11。