任意阶幻方的填法
数阶幻方的编排方法
精心整理奇数阶幻方的编排方法简便易学的编排方法。
一、九子排列法宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。
这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。
先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我123图1）4然后把551下面以五阶幻方为例，再介绍一种奇数阶幻方的编排方法。
步骤如下：①先画出一个5×5（五行五列）的方格，在方格的四周画出凸阶梯式的虚线方格（如下图1）②把1～25这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中（如上图2）；③以3、15、23、11四个数为顶点（实际上就是五阶幻方的四个顶点）画出一个正方形；④把正方形外面凸出的虚线方格中的数按“上移下，下移上；左移右，右移左”的方法，全部平移5格到对应部分的方格中，擦掉虚线格子，就得到一个五阶幻方（见下图）。
这种编排幻方的方法叫“巴舍法”，也叫平移补空法，它和“罗伯法”一样，也适用于一切的奇数阶幻方的编排。
需要提醒大家注意的是，在步骤②中，填写1～25这二十五个数时，可以从左向右上填写，也可以从右向左上填写，或者从上向右下填写，还可以从上向左下填写，其移动后的结果都是一个五阶幻方，同学们可以自己动手试一试。
另外，编排n 阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成等差数列就可以了。
练习（一定要完成的哦）1、使用“罗伯法”将4～12编排一个三阶幻方。
2、用“罗伯法”将21、31、32、41、43、61、121、125、127编成一个三阶幻方。
3、使用“巴舍法”将1～49编排一个七阶幻方。
双偶数阶幻方的编排方法一、中心对称交换法例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。
【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格34。
小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解
幻方（一）1. 会用罗伯法填奇数阶幻方2. 了解偶数阶幻方相关知识点3. 深入学习三阶幻方一、幻方起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．二、幻方定义幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻方常用的方法⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样．⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数）②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2．四、数独知识点拨教学目标数独简介：（日语：数独すうどく）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力拼图游戏。
幻方
幻 方三帆中学 陈立雪一、幻方的古老传说据传说，大约公元前2000年前的时候，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。
于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。
事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹。
图上有九个数字。
大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。
这张图，就是闻名于世的洛书。
它由三行三列九个数字组成的正方形排列，它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15。
这种美妙的正方形排列，在我国历史上，曾叫做“九宫图”，亦叫做纵横图。
后来，人们称它为“幻方”。
因为它是由三行三列组成的，所以它被称为三阶幻方。
现已确认，洛书是世界上最古老的幻方。
二、幻方问题幻方是数学的重要分支——组合学研究的一个问题：将1~2n 的自然数填入n n 的方阵中，使每行、每列、以及每条对角线上的n 个数之和相等（称为幻和），这个方阵称为n 阶幻方。
根据阶数不同，常把幻方分为奇阶幻方、偶阶幻方、双偶幻方（阶数为4的倍数的幻方）、单偶幻方（阶数为不是4的倍数的偶数）；另外，随着人们的研究深入，又出现了同心幻方、完美幻方、平方幻方、幻立方、幻圆等更加奇妙的幻方。
三、三阶幻方的构造：字母推理法由连续自然数构成的三阶幻方只有一种构造方法。
以1~9九个自然数构成的三阶幻方为例，设图中填入的九个数字分别为i h g f e d c b a ,,,,,,,,（如图）。
a b c d e f g h i首先，由幻方每行、每列、以及每条对角线上的三个数字之和是一个常数，则可得：154531)987654321(31)(31=⨯=++++++++=++++++++=++=++=++i h g f e d c b a ih g f e d c b a 即幻和为15。
其次，由图可知：()()()()ei h g f e d c b a d e fg e c h e b i e a 3)(+++++++++=+++++++++++所以有：e 345415+=⨯，因而可得：5=e 。
负数幻方的规律和方法
负数幻方的规律和方法负数幻方是指由负整数构成的幻方。
幻方是指一个数阵，每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
一般我们所熟知的幻方都是由正整数构成的，但是负数幻方却是相对较少被提及的。
我们需要明确的是，负数幻方的规律和方法与正数幻方基本相同，只是数字的符号不同而已。
所以，我们可以通过正数幻方的方法来推导负数幻方。
我们来看一个简单的3阶负数幻方的例子：```-8 -1 -6-3 -5 -7-4 -9 -2```我们可以观察到，每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和都是-15。
这个规律和正数幻方是一样的。
接下来，我们来看看如何构造一个负数幻方。
1. 首先，选择一个基准数字。
这个数字可以是任意一个负整数，但是为了方便起见，我们可以选择基准数字为负数幻方的中间数字。
2. 其次，我们需要确定基准数字的左上角的位置。
这个位置可以是任意一个格子，但是为了方便起见，我们可以选择左上角的位置为第一行的中间格子。
3. 接下来，我们需要确定其他格子中的数字。
我们可以按照以下规律进行填写：- 如果当前格子的上方或左方的格子已经填写了数字，那么当前格子的数字就是基准数字减去上方格子的数字。
- 如果当前格子的上方和左方的格子都已经填写了数字，那么当前格子的数字就是基准数字减去上方格子和左方格子的数字之和。
4. 重复上述步骤，直到填满所有的格子。
需要注意的是，由于负数的特殊性，我们需要对填写的过程进行一些调整：- 如果基准数字为奇数，那么填写的过程中，如果当前格子的数字为正数，我们可以将其变为负数。
- 如果基准数字为偶数，那么填写的过程中，如果当前格子的数字为负数，我们可以将其变为正数。
通过上述规律和方法，我们可以构造出任意阶数的负数幻方。
负数幻方的规律和方法与正数幻方基本相同，只是数字的符号不同而已。
负数幻方的构造过程也是在基准数字的基础上按照一定规律填写其他格子的数字。
通过这种方法，我们可以构造出各种不同阶数的负数幻方。
幻方
幻方一般地说，在n×n的方格里，既不重复也不遗漏地填上n²个连续的自然数，每个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上n个自然数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方。
这个相等的和叫幻和。
奇数阶幻方奇数阶幻方的方法可以简单概括为方阵斜线对换法：（1）三阶幻方（九宫幻方）：具体可以概括为以下几步：第一步：将1——9九个整数如图1那样排列成方阵；第二步：如图2，画斜线；第三部：如图3，将图2中得到的正方形外四角的数字1、3、7、9，分别向斜线对面数三格，把数字填入空格内，即1和9交换，3和7交换入幻方格内。
便得到了图4的三阶幻方（九宫幻方），横排、数列，对角线上每三个数字的和都为15。
（2）五阶幻方：五阶幻方具体可以概括为以下几步：第一步：将1——25这二十五个整数如图5排列成方阵；第二步：如图6，画斜线；第三部：如图7，将图2中得到的正方形外四角的数字（1、2、6），（4、5、10）；（16、21、22），和（20、24、25）分别向斜线对面数五格，把数字填入空格内，即1 和25交换，2和20交换，6 和24交换，5和21交换，4和16交换，10和22交换填入幻方格内便得到了图8的五阶幻方，横排、数列，对角线上每三个数字的和都为65。
偶数阶幻方偶数阶幻方的方法可以简单概括为方阵对角线数字互换和对面数字互换的方法：比如四阶幻方四阶幻方比较简单，只需要交换对角线上的数字就能使横排、竖列、对角线上的和分别都等于34。
具体步骤为：第一步：将1——16十六个整数如图9排列成方阵；第二步：如图10那样画出对角线和方框；第三步：如图10—图11，将方阵中对角线上的数字1和16，4和13，6和12，以及7和10 对换，便得到了图12的四阶幻方，而六阶幻方就要复杂得多了，不仅仅需要交换对角线上的数字，还需要横排对面交换，竖列对面交换。
反幻方将1～9九个自然数，填在3×3正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。
趣味数学游戏——幻方
趣味数学游戏——幻方当你还是个小学生的时候，也许就玩过这样一种数学益智游戏，就是把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填在3×3的方格里，使之横、竖、对角线的数字相加都等于15（如下图），这样的“填数”的问题，在数学语言里就叫“幻方”。
而填在3×3方格里的，就叫3阶幻方。
3阶幻方是最简单的幻方。
历代数学家们，都喜欢研究幻方，现在的幻方种类很多，有平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等，平面幻方又分三角幻方，六角幻方（蜂窝幻方）等。
这里要重点介绍的，还是平面正方形幻方，3阶正方形幻方的等值是15，,这个等值是不可改变的，即是说你永远都无法设计出等值是14或者16的3阶幻方，对于4阶、5阶幻方乃至n阶幻方都一样，其等值都是唯一的、确定的。
其中4阶幻方的等值是34，5阶幻方的等值是65，对于任意n阶幻方，其等值为（n3+n）÷2。
其实，任意阶幻方构造法,任意维幻方构造法,任意次幻方构造法,数学家们都早已找到，不存在最大阶幻方的世界纪录之类的说法。
对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)1、N 为奇数时，最简单(1)将1放在第一行中间一列;(2)从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按45°方向行走，如向右上，每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1(3)如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1;(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。
2、N为4的倍数时采用对称元素交换法。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。
小学思维数学讲义：幻方（一）-带详解
⼩学思维数学讲义：幻⽅（⼀）-带详解幻⽅（⼀）1. 会⽤罗伯法填奇数阶幻⽅2. 了解偶数阶幻⽅相关知识点3. 深⼊学习三阶幻⽅⼀、幻⽅起源也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正⽅形，因此纵横图⼜叫幻⽅．幻⽅起源于我国，古⼈还为它编撰了⼀些神话．传说在⼤禹治⽔的年代，陕西的洛⽔经常⼤肆泛滥，⽆论怎样祭祀河神都⽆济于事，每年⼈们摆好祭品之后，河中都会爬出⼀只⼤乌龟，乌龟壳有九⼤块，横着数是3⾏，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有⼏个点点，正好凑成1⾄9的数字，可是谁也弄不清这些⼩点点是什么意思．⼀次，⼤乌龟⼜从河⾥爬上来，⼀个看热闹的⼩孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于⼗五！”于是⼈们赶紧把⼗五份祭品献给河神，说来也怪，河⽔果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻⽅”，由于它有3⾏3列，所以叫做“三阶幻⽅”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻⽅．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》⾥有⼀段注解：“九宫者，⼆四为肩，六⼋为⾜，左三右七，戴九履⼀，五居中央．”这段⽂字说明了九个数字的排列情况，可见幻⽅在我国历史悠久．三阶幻⽅⼜叫做九宫图，九宫图的幻⽅民间歌谣是这样的：“四海三⼭⼋仙洞，九龙五⼦⼀枝连；⼆七六郎赏⽉半，周围⼗五⽉团圆．”幻⽅的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．⼆、幻⽅定义幻⽅是指横⾏、竖列、对⾓线上数的和都相等的数的⽅阵，具有这⼀性质的33?的数阵称作三阶幻⽅，44?的数阵称作四阶幻⽅，55?的称作五阶幻⽅……如图为三阶幻⽅、四阶幻⽅的标准式样，98765432113414151612978105113216三、解决这幻⽅常⽤的⽅法⑴适⽤于所有奇数阶幻⽅的填法有罗伯法．⼝诀是：⼀居上⾏正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重⼀个样．⑵适⽤于三阶幻⽅的三⼤法则有：①求幻和：所有数的和÷⾏数（或列数）②求中⼼数：我们把幻⽅中对⾓线交点的数叫“中⼼数”，中⼼数＝幻和÷3．③⾓上的数=与它不同⾏、不同列、不同对⾓线的两数和÷2．四、数独知识点拨教学⽬标数独简介：（⽇语：数独すうどく）是⼀种源⾃18世纪末的瑞⼠，后在美国发展、并在⽇本得以发扬光⼤的数学智⼒拼图游戏。
幻方(Magic Square)
这个幻方铁板是我 国数学史上应用阿 拉伯数字的最早实 物资料，也是元代 西安接受阿拉伯文 化影响的具体体现。 笔者对这个幻方进 行了仔细研究，发 现这个六阶幻方不 是普通的幻方，它 还具有两个独特的 性质。
第一，该幻方还是一个二次幻方。幻方中 第一行和第六行中六个数的平方和也相等： 28^2+4^2+3^2+31^2+35^2+10^2=3095 27^2+33^2+34^2+6^2+2^2+9^2=3095 第一列和第六列中六个数的平方和也相等： 28^2+36^2+7^2+8^2+5^2+27^2=2947 10^2+1^2+30^2+29^2+32^2+9^2=2947 而一般的幻方根本不具有这个特性。
根据北周甄鸶注《数 术记遗》：
九宫者，二四为肩，
六八为足，左三右七， 戴九履一，五居中央。
《射雕英雄传》第29和31回
（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来，
脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你：
将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相 加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花
3阶幻方只有1种；
4阶幻方有880种；
5阶幻方有275305224种（约两亿 七千五百万）； 7阶幻方有363916800种（约三亿 六千四百万） ； 8阶幻方超过10亿种。
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了 系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提 出了一个构造三阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出， 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足]