任意阶幻方的填法
小学奥数--幻方
填幻方姓名：日期：成绩：【知识要点】在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这九个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续自然数，（注意这些连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的n个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数。
任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和！【典型例题】例1. 把1—9这九个自然数填在九空格里，使横、竖和对角线上三个数的和都等于15。
第一种：变形法将1~9数依顺序填入下框；第二种：口诀法例2. 把5到25这25个自然数填入以下五阶幻方中（变形法、口诀法），使横、竖和对角线上三个数的和都相等。
例3、在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于18.25例4. 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。
【小试锋芒】1.在下面的方格内分别填上3~11、5~13、7~15这九个数字，使横、竖和对角线上三个数的和都相等。
2.用11,13,15,17,19,21,23,25,27编制成一个三阶幻方。
3.把12到36这25个数填入下图中，使横、竖和对角线上三个数的和都相等。
4.将九个连续自然数填入九宫格中，使横、竖和对角线上三个数的和都等于66.5.把25~33这九个数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对角线上三个数的和都相等。
6.把1~100中找出25个连续数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对角线上三个数的和都相等。
7.把10~60中找出25个连续数字填入以下三阶幻方中，使每一行横、每一竖和每条对角线上三个数的和都相等。
8、在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于21.788、在空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等.4234 30。
幻方填写技巧
幻方的填写技巧摘要：发现了一种任意阶幻方的填法规律，只通过简单的计算就能很快地填出任意阶幻方。
关键词：幻方填法奇数阶幻方偶数阶幻方幻方，古称“纵横图”，就是用自然数1、2、3、…、n2排成n 行，n列的“方阵”，如果每一行，每一列以及每一对角线上的n个数的和都相等（等于n(n2+1)/2），这个“方阵”就叫做n阶幻方。
古今中外很多科学家都对幻方有过深入研究。
介绍幻方的书很多，但大都只介绍了奇数阶幻方的填法，而对于偶数阶幻方的填法，都没有过多的介绍。
我通过对幻方的深入研究，得到了一种n阶幻方的填法规律,利用这个规律,可以很快地填出任意阶幻方(已用V.B语言编成了程序,在计算机上只需要几秒钟就可以得到上千阶幻方)。
现把n阶幻方的填法介绍给大家。
1、奇数阶幻方奇数阶幻方的填法很多书上都有介绍，现选谭浩强著《QBASIC 语言教程》中方法，以5阶幻方为例说明填法（如图１）：图１①先将“1”放在第一行当中一列；②从“2”开始直到“n 2”为止，各数依次按下列规则放数：每一个数放的行比前一个数的行数减1，列数加1。
如“6”放的第3行第2列，则“7”放在第2行第3列；③如果上一个数的行数为1，则下一数的行数为n （最下一行）。
如“8”放在第1行第4列，则“9”放在第5行第5列；④如果上一个数的列数为n ，则下一个数的列数应为1，行数减1。
如“3在第4行第5列，则“4”应放在第3行第1列；⑤如下一个数应放的位置已被其它数占用，则下一个数放在上一个数的下面。
如“5”的下一个数“6”应放在第1行第3列，但该位置已被“1”占用，故将“6”放在“5”的下面。
根据上述五点，可以填出所有的奇数阶幻方。
2、偶数阶幻方分是否能被4整除两种情况而用不同的方法。
（1）、当n 能被4整除时，设n=4k(k ≥1)，最简单的4k 阶幻方为k ＝1时的4阶幻方，前人的填法为：①先画一个4×4的格子，从小到大依次填入1至16各数（如a b (同列对调) c (同行对调)图2图2a）。
幻方的口诀顺口溜
幻方的口诀顺口溜
1. 幻方真奇妙，口诀要记牢，一居上行正中央，这个例子很明了，就像找到了宝藏的钥匙哟！比如3×3 的幻方，数字1 不就放在最上面一行的正中央嘛！
2. 依次斜填切莫忘，哎呀呀，可别小看它呀！就像走迷宫有了方向一样。
你看那个 4 不就斜着填下去嘛！
3. 上出框时往下填，这多有意思呀，就好比球弹到了地上又弹起来。
像 7 超出框了，不就往下填嘛！
4. 右出框时往左填，嘿，是不是很好玩呀，如同汽车拐弯换了个道儿。
数字 9 不就这样填嘛！
5. 排重便在下格填，哇塞，这感觉就像纠错一样呢！要是碰到重复的数字，不就往下一格填嘛，就像避开障碍。
6. 右上排重一个样，可不是嘛，就像遇到同样的困难有同样的解决办法。
比如右上有数字了，也得这样处理呀！
7. 幻方口诀真好用，绝对让你大不同，你想想，用了口诀解幻方多轻松呀！
8. 记住口诀不慌张，仿佛有了定海神针呀！不管遇到啥样的幻方都不怕啦！
9. 轻松玩转幻方界，哎呀呀，那感觉就像武林高手称霸江湖一样呢！
10. 幻方口诀顺口溜，大家一定要记熟，真的超级有用处哟！就像拥有了神奇的魔法棒！
我的观点结论：幻方的口诀顺口溜真的太重要啦，能让我们快速掌握幻方的技巧，大家一定要好好记住呀！。
填幻方的方法初中数学
填幻方的方法初中数学填幻方是数学中一个有趣且具有挑战性的问题。
幻方是一个由整数构成的方阵，使得每一行、每一列以及每条对角线上的数字之和都相等。
填幻方的方法可以通过不同的策略和技巧来解决。
下面将介绍一些填幻方的方法以及相关的数学原理。
首先，最简单的填幻方方法是针对特定的幻方类型使用已知的规则。
常见的幻方类型包括3阶、4阶、5阶等等。
对于3阶幻方，可以使用以下规则进行填充：123456789根据幻方的定义，幻方的每一行、每一列以及每条对角线的和都应该等于15、因此，我们可以选择一个起始位置，并将15除以3，得到每个格子应该填充的数值。
根据这个规则，我们可以填入：123456789对于4阶幻方，可以使用以下规则进行填充：12345678910111213141516同样地，我们可以选择一个起始位置，将34除以4，得到每个格子应该填充的数值。
根据这个规则，我们可以填入：12151612461081151413973这些规则可以应用于一些特定的幻方类型，但对于更大的幻方或者其他类型的幻方，可能需要使用不同的方法来填充。
其次，对于更复杂的幻方，可以使用反推法来进行填充。
反推法是一种通过逆向的推理来填充幻方的方法。
首先，我们可以确定幻方中心位置的数值，然后逐渐向外推断每个格子应该填充的数值。
例如，对于一个5阶幻方，我们可以选择中心位置为13，然后可以确定四个对角线上的数值，即1、9、17、25、而中心位置的上方和下方的数字可以根据1、9、17、25逐渐增加或递减，经过一定规律的运算得到。
然后，我们可以利用这些确定的数值来推算其他的格子数值。
最后，对于更复杂的幻方，可以使用迭代法进行填充。
迭代法是一种通过不断重复特定的操作来逐渐逼近解的方法。
在填幻方的问题中，迭代法可以通过不断调整幻方中的数字来逼近正确的解。
例如，对于一个奇数阶的幻方，可以先将幻方的中心位置填充为1，然后对幻方中的每个格子进行遍历。
对于每个格子，根据其相邻格子的数值来确定应该填充的数值。
人教版七年级上数学《 实验与探究 填幻方》课堂笔记
《实验与探究填幻方》课堂笔记以下是《实验与探究填幻方》的课堂笔记，供您参考：一、概念与性质幻方是一个由整数排列而成的正方形矩阵，其特点是将矩阵中每条横行、纵列和对角线上的数字相加，结果都等于同一个常数。
幻方具有如下性质：1.每行、每列、每条对角线上的数字相加都等于同一个常数。
2.任意两个数在水平方向或垂直方向上的和相等。
3.幻方的四个角上的数分别是正方形的四个顶点上的数。
二、填幻方的方法与规律1.定义法：根据幻方的定义，从第一行开始，将数字1至n^2按顺序填入矩阵中，使得每行、每列、每条对角线上的数字相加都等于同一个常数。
2.观察法：观察已有的幻方，发现其规律并运用规律填写。
3.奇偶性法：根据填入的数字的奇偶性来填写幻方。
例如，当填入的数字为偶数时，将其放在正方形的下边和右边；当填入的数字为奇数时，将其放在正方形的上边和左边。
4.对称性法：根据数字的对称性来填写幻方。
例如，当填入的数字为对称数字时，将其放在正方形的对称位置上。
5.最小最大法：先确定幻方中最小的数和最大的数，再将其他数字填充到剩余的位置上。
6.相邻数对法：先确定相邻的两个数字，再将其他数字填充到剩余的位置上。
7.逐步完善法：从第一行开始，先填写第一个数字，然后逐步完善其他数字，直到填满整个矩阵。
三、填幻方的步骤1.确定幻方的阶数和常数。
2.根据定义法或观察法或其他方法填写第一行或第一列或对角线上的数字。
3.根据规律填写其他位置上的数字。
4.检查每行、每列、每条对角线上的数字相加是否等于同一个常数。
四、填幻方的注意事项1.在填写幻方时要注意遵循规律，不要盲目填写。
2.在填写幻方时要检查每行、每列、每条对角线上的数字相加是否等于同一个常数。
3.在填写幻方时要尽可能使用多种方法进行尝试，以得到最优解。
幻方九宫格填写方法
幻方九宫格填写方法宝子们，今天来唠唠幻方九宫格的填写方法，可有趣啦。
幻方九宫格呢，就是一个3×3的格子，要把1 - 9这九个数字填进去，让每行、每列还有两条对角线上的数字之和都相等。
这个相等的和是15哦。
有一种简单的方法叫“罗伯法”。
咱先把1填在最下面一行中间的格子里。
这就像找个小角落先扎根。
然后呢，按顺序填数字。
下一个数字2就往右上格填。
可是右上格如果出了九宫格的范围，那就像调皮的小数字迷路了一样，这时候就把它放到九宫格的另一边。
就像2右上格出界了，那就把2填在九宫格最左边一列对应的格子里。
再填3的时候呢，继续右上格原则。
如果右上格已经有数字了，那这个数字就填在当前数字的下方。
比如说3右上格有1了，那3就填在2的下面。
按照这个规律一直填下去，就能把1 - 9顺利填进九宫格啦。
还有一种思路呢，咱可以从数字的组合来想。
因为每行每列对角线的和是15嘛。
那1 + 5+ 9 = 15，1 + 6 + 8 = 15，2 + 4+ 9 = 15，2 + 5+ 8 = 15，2 + 6 + 7 = 15，3 + 4+ 8 = 15，3 + 5+ 7 = 15，4 + 5+ 6 = 15。
咱可以先确定中间数字是5，为啥呢？因为5在这些组合里出现的次数最多呀，就像它是数字里的小明星，在九宫格中间坐镇最合适。
然后再根据这些组合，把其他数字安排到合适的位置。
宝子们，幻方九宫格是不是很神奇呀？你要是自己动手填一填，会发现特别好玩。
就像玩数字游戏一样，当你成功把九宫格填好的时候，那感觉就像打游戏通关了一样，超级有成就感呢。
这小小的九宫格，可藏着大大的数学乐趣哦。
巧填幻方
巧填幻方一、什么叫幻方？（通俗点说）把一些有规律的数填在纵横格数都相等的正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等。
这样的方阵图叫做幻方。
幻方又分为奇数阶幻方和偶数阶幻方。
奇数阶幻方是指横行、竖列都是单数（即3、5、7、9……）的方阵图。
偶数阶幻方是指横行、竖列都是双数（即4、6、8、10……）的方阵图。
二、奇数阶幻方在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。
(1) 将1放在第一行中间一列；(2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按 45°方向向右上方行走，每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1；(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。
例：3阶幻方例：5阶幻方三、偶阶幻方1、双偶阶幻方:四阶幻方，八阶幻方,....,4m阶幻方，采用对称元素交换法。
将幻方等分成m×m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶(n=4×m)幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵，然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。
(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可)1) 把自然数依次排成方阵2) 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线,3) 把这些对角线所划到的数,保持不动,4) 把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对调。
例：4阶幻方第一步，先把1放在4阶幻方4个角的任意一个角格，按同一个方向按顺序依次填写其余数。
如下所示：第二步，进行对称交换（有两种对称交换的方法）。
关于构造任意奇数阶幻方的新方法
关于构造任意奇数阶幻方的新方法作者：周小安赵宇来源：《智能计算机与应用》2017年第06期摘要：关键词：中图分类号：文献标志码： A文章编号： 2095-2163Abstract： Magic square originated thousands of years ago in China，which is one of the research objects of combinatorial designs. In a square matrix，if the sums of every row，every column and two diagonals are equal， this square matrix is called magic square. Currently， the achievements in the research of magic square have been widely used in image encryption，image scrambling，etc. This paper introduces a new continuous numbering method to structure arbitrary odd order magic square，which is more flexible than traditional construction methods.The new method can not only increase the forms of odd order magic square， but also parallelly structure magic square and reduce the time of structuring it.0引言幻方具有非常悠久的历史，虽然古老但却是最流行的数字游戏之一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8 3 4
1 5 9
6 7 2 33 34 29
35 3 31 8
1 32 9 28
6 7 2 33 34 29
35 28 30 32 31 36
30 5 4 36
(3) 在B象限任一行的中间格，自右向左，标出 列。(注：6阶幻方由于 象限任一行的中间格， 阶幻方由于k-1=0，所以 象限任一行的中间格 自右向左，标出k-1列 注 阶幻方由于 ， 不用再作B、 象限的数据交换 象限的数据交换)， 象限标出的这些数， 不用再作 、D象限的数据交换 ，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进 象限标出的这些数 象限相对位置上的数进 行交换，就形成幻方。 行交换，就形成幻方。
2、双偶阶幻方 为偶数，且能被4 (n=4k，k=1， n为偶数，且能被4整除 (n=4k，k=1，2，3， 4，5……) 可用<对称交换法>,方法很简单: >,方法很简单 可用<对称交换法>,方法很简单: 1) 把自然数依次排成方阵 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线, 4*4的小区 2) 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线, 把这些对角线所划到的数,保持不动, 3) 把这些对角线所划到的数,保持不动, 把没划到的数,按幻方的中心, 4) 把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称 的方式,进行对调, 幻方完成! 的方式,进行对调, 幻方完成! 例如： 例如：四阶幻方
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(有人称之为楼梯法) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(有人称之为楼梯法)。 填写方法是这样： 1(或最小的数 放在第一行正中； 或最小的数) 填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n 按以下规律排列剩下的n×n-1个数： 个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (1)每一个数放在前一个数的右上一格； 每一个数放在前一个数的右上一格 (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放 (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放 在底行，仍然要放在右一列； 在底行，仍然要放在右一列；
1 9 17 25 33 41 49 57
2 10 18 26 34 42 50 58
3 11 19 27 35 43 51 59
4 12 20 28 36 44 52 60
5 13 21 29 37 45 53 61
6 14 22 30 38 46 54 62
7 15 23 31 39 47 55 63
(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把 (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把 它放在最左列，仍然要放在上一行； 它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最 (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最 右列， 右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格 内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同 (5)如果这个数所要放的格已经有数填入， 如果这个数所要放的格已经有数填入 (4)。 (4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 例如：三阶幻方和上面的七阶幻方。 例如：三阶幻方和上面的七阶幻方。
1+2+3+L +n =(1+n )*n / 2 L
2 2 2
对于一个n阶正规幻方， 1（2）对于一个n阶正规幻方， 我们先假设其幻方常数为X 我们先假设其幻方常数为X 则该幻方每一行的和都为X 则该幻方每一行的和都为X， 共有n 所以， 阶幻方的和就是n*X 共有n行，所以，n阶幻方的和就是n*X 另一方面 阶幻方包含了从1 n阶幻方包含了从1到的所有正整数 所以该幻方的和就应该为
35 3 31 8 30 4
1 32 9 28 5 36
6 7 2 33 34 29
26 21 22 17 12 13
19 23 27 10 14 18
24 25 20 15 16 11
幻方常数为111 幻方常数为111
接下来我们来寻找填n阶幻方的通法， 接下来我们来寻找填n阶幻方的通法，目前填 写幻方的方法，是把幻方分成了三类， 写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类 又有各种各样的填写方法。 又有各种各样的填写方法。 三类幻方
奇数阶幻方
双偶阶幻方
单偶阶幻方
1、奇数阶幻方
n为奇数
(n=2×k+1，k=1， (n=2×k+1，k=1，2，3，……)
58 15 23 34 26 47 55 2
8 49 41 32 40 17 9 64
幻方常数为260 幻方常数为260
最后我们来看一看单偶阶的幻方， 最后我们来看一看单偶阶的幻方，这也是三 种情况中最复杂的一种。 种情况中最复杂的一种。
(n=4k+2，k=1， n为偶数，且不能被4整除 (n=4k+2，k=1，2，3，…) 为偶数，且不能被4 1)把方阵分为 把方阵分为A 四个象限， 1)把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯 定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限， 象限， 象限， 定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限， 象限按奇数阶幻方的填法填数。 C象限按奇数阶幻方的填法填数。
1 5 9
2 6
3 7
4 8 画对 角线
1 5 9
2 6
3 7
4 8
10 11 12
10 11 12
13 14 15 16
13 14 15 16 对 调
1 15 14 4 12 6 7 9
34
8 10 11 5 2 16 13 3
再来看看八阶幻方： 再来看看八阶幻方：
1 9 17 25 33 41 49 57 2 10 18 26 34 42 50 58 3 11 19 27 35 43 51 59 4 12 20 28 36 44 52 60 5 13 21 22 29 37 45 53 61 30 38 46 54 62 31 39 47 55 63 32 40 48 56 64 6 14 7 15 23 8 16 24
这里我们以6 这里我们以6阶为例 A 8 3 4 1 5 9 6 7 2 33 34 29 26 21 22 17 12 13 19 23 27 10 14 18 24 25 20 15 16 11 C B D
35 28 30 32 31 36
(2)在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出 格。A象限 在 象限的中间行 中间格开始，按自左向右的方向，标出k格 象限的中间行、 象限 的其它行则标出最左边的k格 将这些格， 象限相对位置上的数， 的其它行则标出最左边的 格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换 象限相对位置上的数 位置。 阶时 阶时k=1) 位置。(6阶时
(1+n2)*n2 / 2 因此就有n*X= 因此就有n*X=
即n阶幻方常数为
(1+ n2 )*n / 2
4）七阶幻方：（幻和为175） 七阶幻方：（幻和为175） ：（幻和为175 30 38 46 5 13 21 22 39 47 6 14 15 23 31 48 7 8 16 24 32 40 1 9 17 25 33 41 49 10 18 26 34 42 43 2 19 27 35 36 44 3 11 28 29 37 45 4 12 20
8 16 24 32 40 48 56 64
1 56 48 25 33 24 16 57
63 10 18 39 31 42 50 7
62 11 19 38 30 43 51 6
4 53 45 28 36 21 13 60
5 52 44 29 37 20 12 61
59 14 22 35 27 46 54 3