2021秋八年级数学上册第二章分式与分式方程2、4分式方程第3课时分式方程的应用鲁教版五四制
八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程第1课时分式方程及其解法教案人教版
1 15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
【知识与技能】
1.理解分式方程的意义；
2.掌握解分式方程的基本思路和解法；
3.理解解分式方程可能无解的原因,掌握解分式方程的验根方法.
【过程与方法】
通过探索实际问题中的数量关系,体会分式方程的模型作用,在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用意识.
【情感态度】
在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.
【教学重点】
解分式方程的基本思路和解法.
【教学难点】
理解解分式方程可能无解的原因,及增根的含义.
一、情境导入,初步认识
问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少？
【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后,自主探究,获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”.
思考 (1)方程90603030vv与以往学过的方程有什么不同之处？
（2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？
（3）怎样解分式方程90603030vv呢？
【教学说明】教师提出问题后,学生自主探究,相互交流,得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形,适时予以点拨,最后师生共同评析.
二、思考探究,获取新知
分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2 解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程.
如:解方程90603030vv.
解:在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v）,得
90(30-v)=60（30+v）.
解得v=6.
检验:将v=6代入方程,左边=5/2=右边,所以v=6是原分式方程的解.
试一试
解方程2110525xx .
八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程第2课时用分式方程解决实际问题教案新版新人教版
1 第2课时 用分式方程解决实际问题
【知识与技能】
能构建分式方程解决实际应用问题.
【过程与方法】
经历“实际问题——构建分式方程模型——解决实际应用问题”的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识，发展学生分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
在构建分式方程解决实际问题的过程中，体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.
【教学重点】
构建分式方程解决实际应用问题.
【教学难点】
依据实际问题构建分式方程模型.
一、情境导入，初步认识
问题解分式方程的一般步骤是怎样的？为什么解分式方程过程中一定要检验？
【教学说明】让学生回顾分式方程的解法，为利用分式方程的实际应用问题作好准备.教师再解释分式方程必须检验的原因，加深印象.
教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、典例精析，掌握新知
例1两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
【分析】由题意可知甲队单独施工1个月完成工程量是13，如果能知道乙队单独施工1个月所完成的工程量，就可以比较两边的施工速度.因此可以设出乙队单独施工1个月完成的工程量为1x，进而列出方程为13+12(13+1x)=1，解这个方程，求出未知数值后，经检验，得到问题的答案.
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x.记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
13+16 +12x=1.
2 方程两边乘6x，得
2x+x+3=6x.
解得
x=1.
检验：当x=1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的13，可知乙队的施工速度快.
【教学说明】解答过程可由学生自己完成，注意给出分式方程的检验过程.
例2某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？
初中数学之分式方程知识点汇总
初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
鲁教版2020-2021学年度八年级数学上册第二章分式与分式方程期末复习能力提升训练题(含答案)
鲁教版2020-2021学年度八年级数学上册
第二章分式与分式方程期末复习能力提升训练题（含答案）
一．选择题：
1．在盒子里放有三张分别写有整式2，x+3，5的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠﹣4，且x≠﹣2 B．x＝﹣4，或x＝2
C．x＝﹣4 D．x＝2
3．分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零 B．分式无意义
C．若a≠﹣时，分式的值为零 D．若a≠时，分式的值为零
4．已知＝＝＝，则＝（ ）
A． B． C． D．
5．下列分式的约分中，正确的是（ ）
A．＝﹣ B．＝1﹣y
C．＝ D．＝
6．若数a使得关于x的分式方程﹣＝5有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．以下给出三个结论（ ）
（1）若1﹣（x﹣1）＝x，则2﹣x﹣1＝2x；
（2）若，则；
（3）若x﹣，则x﹣1＝﹣1．其中正确的结论共有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．若分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．0或﹣2
9．一个圆柱形容器的容积为Vm3，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间t分钟．设小水管的注水速度为x立方米/分钟，则下列方程正确的是（ ）
A．+＝t B．+＝t
C．•+•＝t D．+
10．甲、乙两人同时从圆形跑道（圆形跑道的总长小于700m）上一直径两端A，B相向起跑，第一次相遇时离A点100m，第二次相遇时离B点60m，则圆形跑道的总长为（ ）
A．240m B．360m C．480m D．600m
分式方程意义与解法是什么
分式方程意义与解法是什么
分式方程意义与解法是什么
分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程，该部分知识属于初等数学知识。下面是店铺给大家整理的分式方程意义与解法简介，希望能帮到大家！
分式方程的意义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法
①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号};
②按解整式方程的步骤(移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项， 系数化为1)求出未知数的值;
③验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).
一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。
如果分式本身约分了，也要代进去检验。
分式方程的解题步骤
去分母
方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号。
(最简公分母：①系数取最小公倍数②未知数取最高次幂③出现的因式取最高次幂)
移项
移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值;
验根 求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的'过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。
验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。
如果分式本身约分了，也要代入进去检验。
在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。
一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.
鲁教版2020-2021学年度八年级数学上册第二章分式与分式方程期末复习培优提升训练题(含答案)
鲁教版2020-2021学年度八年级数学上册
第二章分式与分式方程期末复习培优提升训练题（含答案）
1．自然数a，b，c，d满足＝1，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x人，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．甲、乙、丙三名打字员承担一项打字任务，已知如下信息
如果每小时只安排1名打字员，那么按照甲、乙、丙的顺序至完成工作任务，共需（ ）
A．13小时 B．13小时 C．14小时 D．14小时
4．若＝2，则＝
5．•＝
．
6．在小学阶段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，＝．
类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如＝，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么 （B+1）﹣（A+1）＝ ．
7．直接写出结果：（1）＝ ；
（2）＝ ．
8．已知＝，则代数式的值是 ． 9．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程＝2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为
．
10．已知：，则（y﹣x）的值是
．
11．方程组的解是
．
12．①已知x＝3是方程＝1的一个根，则a＝
；
②已知x＝1是方程的一个增根，则k＝ ．
13．甲做90个机器零件所用的时间和乙做120个所用的时间相等，又知甲、乙两人每小时共做35个机器零件，问甲、乙每小时各做多少个机器零件．
解：设甲每小时做x个机器零件，则乙每小时做 个机器零件，依题意可列方程 ．
14．阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
鲁教版八年级数学上册 第二章 分式与分式方程 单元测试卷
第1页，共4页
鲁教版八年级数学上册
第二章 分式与分式方程 单元测试题
一、选择题：
1. 下列关于分式方程增根的说法正确的是( )
A. 使所有的分母的值都同时为零的解是增根B. 分式方程的解为0就是增根
C. 使分子的值为0的解就是增根 D. 使最简公分母的值为0的解是增根
2. 当𝑥=1时，下列分式没有意义的是( )
A. 𝑥+1𝑥
B.
𝑥𝑥−1
C.
𝑥−1𝑥
D.
𝑥𝑥+1 3. 下列各式：1−𝑥5,4𝑥𝜋−3,𝑥2−𝑦22,5𝑥，其中分式共有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 若𝑥、𝑦的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是( )
A. 𝑥𝑦+1 B. 𝑥+𝑦𝑥+1 C. 𝑥𝑦𝑥+𝑦 D. 2𝑥3𝑥−𝑦
5. 计算(2𝑎𝑏)3的正确结果是( )
A. 8𝑎𝑏33 B. 8𝑎𝑏3 C. 2𝑎𝑏33 D. 6𝑎𝑏33
6. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简.规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简.过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是( )
A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁
7. 甲从𝐴地到𝐵地要走𝑚小时，乙从𝐵地到𝐴地要走𝑛小时，若甲、乙二人同时从𝐴、𝐵两地出发，经过几小时相遇( )
A. (𝑚+𝑛)小时 B. 𝑚+𝑛2小时 C. 𝑚+𝑛𝑚𝑛小时 D. 𝑚𝑛𝑚+𝑛小时
8. 下列说法错误的是( )
第2页，共4页
A. 13𝑥与𝑎6𝑥2的最简公分母是6𝑥2
B. 1𝑚+𝑛与1𝑚−𝑛的最简公分母是𝑚2−𝑛2
C. 13𝑎𝑏与13𝑏𝑐的最简公分母是3𝑎𝑏𝑐
分式方程知识点归纳总结
学习必备 精品知识点
分式方程知识点归纳总结
1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零
2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 其中A、B、C为整式
（0C）
注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式
1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式
3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
4. 分式的符号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为
注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号。
5. 条件分式求值
1） 整体代换法：指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。 CBCABACBCABA411babbababa7223学习必备 精品知识点
鲁教版八年级数学上册 第2章 分式及分式方程单元测试题
八年级数学上册
第二章 《分式与分式方程》 单元测试卷
一、选择题：
1．下列代数式中，属于分式的是（ ）
A．﹣3 B．1x C．﹣a﹣b D．﹣14
2．若分式1xx有意义，则x的取值范围是（ ）
A．1x B．1x C．1x D．1x
3．把分式方程2xx+2＝12x化为整式方程，正确的是（ ）
A．x+2＝﹣1 B．x+2（x﹣2）＝1
C．x+2（x﹣2）＝﹣1 D．x+2＝﹣1
4．计算211xxx的结果是（ ）
A．11x B．1 C．﹣1 D．11x
5．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025 m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A． B． C．2.5×10-5 D．2.5×10-6
6．如果把分式232xxy中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大2倍
7．下列各式中，是最简分式的是 （ ）
A．aba B．4x2y C．2x1x1 D．x2x2
8．若分式2254xx的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．x为任意数 B．52x C．52x D．52x
9．甲、乙两单位为爱心基金分别捐款4800元、6000元，已知甲单位捐款人数比乙单位少50人，而甲单位人均捐款数比乙单位多1元.若设甲单位有x人捐款，则所列方程是( ) A．48006000150xx B．48006000150xx
C．48006000150xx D．48006000150xx 10．若关于x的不等式组2341xxxa有三个整数解，且关于y的分式方程2122yayy有整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
鲁教版(五四制)八年级数学上册第二章综合测试卷含答案
1 鲁教版（五四制）八年级数学上册第二章综合测试卷
一、选择题(每题3分，共36分)
1．【2023·烟台龙口市期中】分式xx＋1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x＝－1 B．x≠－1 C．x≠0 D．x＞－1
2．【2023·威海荣成市月考】分式22x－4，32x，4x－2的最简公分母是( )
A．2x B．2x－4
C．2x(2x－4) D．2x(x－2)
3．【母题：教材P45复习题T8】分式|x|－2x－2的值为0，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．－2或2 D．不存在这样的x
4．【2023·泰安新泰市月考】如果把分式x2＋y22xy中的x，y都扩大3倍，那么分式的值( )
A．扩大3倍 B．不变
C．缩小3倍 D．扩大9倍
5．化简－x3y2z2÷－xz2y43×z3xy24的结果是( )
A．－x2 B．－x3 C．－x2y4 D．－z4x
6．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简
2 分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是( )
A.a－2ba2－b2
B.x－1x2＋1
C.x＋yx2－y2 D.a2－b2(a＋b)2
7．若4xx2－4＝ax＋2－bx－2，则a－2b的值是( )
A．－6 B．6
C．－2 D．2
8．【2022·河北】若x和y互为倒数，则x＋1y2y－1x的值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．定义a b＝2a＋1b，则3x＝42的解为( )
A．x＝15 B．x＝25
C．x＝35 D．x＝45
10．若关于x的方程3x＋axx＋1＝2－3x＋1有增根x＝－1，则2a－3的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6