八年级数学上册第15章分式15.3分式方程第二课时分式方程的应用PPT课件新人教版
八年级上册数学15.3第2课时列分式方程解决实际问题
课堂练习
7．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以 体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球 ，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价 格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买 足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？
.
甲队 乙队
工作时间（月） 工作效率
1 1
1
2
3
1
1
2
x
工作总量（1）
(1 1 ) 1 23
11 2x
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
等量关系： 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
(1 1 ) 1
11
23
2x
列得分式方程：1 1 1 1 1 1.
2 3 2 x
探索新知
解得 x sv
.
50
检验：由v，s都是正数，得 x sv
时，x(x+v)≠0.
50
所以，原分式方程的解为 x sv
.
50
答：提速前列车的平均速度为 sv
50
km/h.
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； 2.找：找出题中的相等关系， 3.设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 4.列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 5.解：解所列分式方程；
．
﹣
＝30
课堂练习
6．某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元 在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每 件多少元？
2022年人教版八年级数学上册第十五章分式教案 分式方程(第2课时)
第十五章分式15.3 分式方程第2课时一、教学目标【知识与技能】能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.【过程与方法】1. 以工程问题为例，能将此类实际问题中的相等关系用分式方程表示，提高运用方程思想解决问题的能力.2.培养学生分析问题、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】实际生活中相关工程问题类的分式方程应用题的分析应用.【教学难点】将实际问题中的等量关系用分式方程表示并且求得结果.五、课前准备教师:课件、直尺、分式方程的解法等。
学生:三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。
六、教学过程（一）导入新课利用分式方程可以解决生活中的实际问题吗？这节课我们来学习怎么用分式方程来解决现实生活中的问题。
（出示课件2）教师问:同学们能不能说一下解分式方程的一般步骤是什么？学生回答:解分式方程的一般步骤.(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.(2)解这个整式方程.(3) 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.(4)写出原方程的根.（二）探索新知1.创设情境，探究列分式方程解答实际问题教师:请同学们完成下面的题目:（出示课件4）甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？学生小组讨论后回答:（出示课件5）解:设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（x–6）个零件，依题意得:解得:x=18.经检验，x=18是原分式方程的解，且符合题意.由x＝18，得x–6=12答:甲每小时做18个，乙每小时做12个.教师问:请同学们说一说列分式方程解应用题的步骤:学生讨论后回答:读题，设未知数，列方程，解答.总结点拨:（出示课件6）列分式方程解应用题的一般步骤:1. 审:分析题意，找出数量关系和相等关系.2. 设:选择恰当的未知数，注意单位统一.3. 列:根据数量和相等关系，正确列出方程.4. 解:解这个分式方程.5. 验:检验.既要检验所求的解是不是分式方程的解，又要检验是否符合实际意义.6. 答:注意单位和语言完整.教师小结:客观世界中存在着大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题，这也恰恰体现了我们经常谈到的一个关键词:“学以致用”.例1:两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快?（出示课件7）师生共同解答如下:分析:本题没有具体的工作量，常常把工作量虚拟为1，工作时间的单位为“月”.甲队一个月完成总工程的13，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的1x ，那么甲队半个月完成总工程的16，乙队半个月完成总工程的12x，两队半个月完成总工程的16＋12x.等量关系为:甲队单独做的工作量＋两队共同做的工作量＝总工程量1，则有13＋16＋12x＝1. 解:设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的1x，依题意得（出示课件8）方程两边同乘6x ，得2x+x+3=6x ， 解得 x=1.检验:x=1时，6x≠0，x=1是原分式方程的解.答:由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务， 而甲队1个月完成总工程的 13 ，可知乙队施工速度快.例2:某列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？（出示课件11）解:设提速前列车的平均速度为x km/h ，则提速前列车行驶s km 所用的时间为s x h ；提速后列车的平均速度为（x+v ）km/h ，提速后列车运行 （s+50）km ，所用时间为s+50x+v h. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程:去分母得:s(x+v)=x (s+50) (出示课件12)去括号，得sx+sv=sx+50x.移项、合并同类项，得 50x=xv.解得x=sv 50.检验:由于v ，s 都是正数，x=sv 50时，x （x+v ）≠0，x=sv 50是原分式方程的解. 答:提速前列车的平均速度为 sv 50km/h.例3:关于x 的方程 无解，求k 的值.（出示课件14） 解:方程的两边同时乘(x+3)(x –3)得x+3+kx –3k=k+3整理得:(k+1)x=4k ，因为方程无解，则x=3或x = –3当x=3时，(k+1) ·3=4k，k=3，当x= –3时，(k+1)(–3)=4k ， k=-37所以当k=3或k=-37时，原分式方程无解.（三）课堂练习（出示课件17-23）1. 下列方程中属于分式方程的有（ ）；属于一元分式方程的有（ ）. ① ②③④ x 2 +2x –1=02.解方程:3. 某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？4. 某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天?(2)若甲工程队单独做a天后，再由甲、乙两工程队合作____天(用含a 的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元?参考答案:1. ①③；①2. 解:方程两边都乘以最简公分母(x+1)(x-1)得:（x–1）+2（x+1）=4∴x=1检验:当x=1时，（x+1）（x–1）=0，所以x=1不是原方程的根.∴原方程无解.3.解:（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x–9）元/条，根据题意得:3120x−9=4200x，解得:x=35，经检验，x=35是原方程的解，∴x–9=26．答:A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．（2）设购买a条A型芯片，则购买（200–a）条B型芯片，根据题意得:26a+35（200–a）=6280，解得:a=80．答:购买了80条A型芯片．4. 解:(1)设乙单独做x天完成此项工程，则甲单独做(x+30)天完成此项工程.由题意得:20( )=1整理得x2–10x–600=0，解得x1=30，x2= –20.经检验:x1=30，x2=–20都是分式方程的解，但x2=–20不符合题意舍去.x+30=60.答:甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天.(2)设甲单独做a天后，甲、乙再合作(20–)天，可以完成此项工程.(3)由题意得1×a+(1+2.5)(20–)≤64解得a≥36答:甲工程队至少要单独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:列分式方程解应用题的一般步骤:(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量和未知量各有几个，量与量之间的基本关系是什么.(2)设未知数，找出尽可能多的相等关系，用含有未知数的代数式表示其他未知量.注意，所设未知量的单位要明确.(3)列方程，抓住题中含有相等关系的语句，将这些语句抽象为含有未知数的等式，这就是方程.(4)解方程，检验解的合理性(包括检验是否是方程的解，是否符合实际)，写出答案.注意:列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程.不同之处是所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列分式方程的解，又要检验是否符合实际意义.（五）课前预习预习下节课157页小结的相关内容。
人教版八年级上册数学精品教学课件 第1课时 分式方程及其解法3
8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
x2
x2x159
x2
16x
48
2
经检验, x 9 是原方程的根
2
11 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 11 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
x
2x
3x
9 12
x
2x 9
5x
4
x 9 2
x2 9x 36 x2 9x 9
经检验, x 9 是 2
原方程的根
例3 ：解方程 y 4 y 5 y 7 y 8 y5 y6 y8 y9
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相
同， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
1
1
1
y 1 y 2y01yy12y1,y2102yyy1121y,y220 20
下面的过程请同学们自己完成 相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
x x2 1
x2 1 x
5 2
能 y 1 5 y2
( x )2 5( x ) 3 能 y2 5y 3
x 1
x 1
x2 x2
1 1
3(x2 1) x2 1
2x
0
不能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复 杂 ，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解 法称为 ——通 分 法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差 一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种 解法称为 —— 拆 项 法
分式方程应用题ppt课件
解:设乙队单独完成这项工程需要x天
1 20+( 1 + 1 ) 24=1
60
60 x
解得:x 90
经检验:x 90是原方程的解
x+3 原计划
由题意可得:
1800 1.51800 1x8003
实际上
x3
x
18x00
x
1800 1800
18
同步练习
2.某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯 净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍， 结果比原计划提前3天完成了生产任务．
2.求原计划每天生产多少吨纯净水？
分式方程的应用
宜宾市高县胜天中学
李诗富
1
教学目标：
1、了解用分式方程的数学模型反映现 实情境中的实际问题.
2、能用分式方程来解决现实情境中的 问题
重点：理解“实际问题”——分式方程模 型的过程。
难点：实际问题中的等量关系的建立。
关键：分析实际问题中的量与量之间的关
系，正确列出分式方程。
2
回顾与思考
解:设原计划每天铺设管道x米， 则实际上每天铺设（ 1+10%）x米
550 5 550
x
(1 10%) x
24
例4.工作总量看成单位 1 的类型
预备知识
1.一项工程，甲工程队单独完成需要10天，则每天完成多少?
每天完成整个工程的 1 ，即甲队的工效为 1
10
10
2.一项工程，甲工程队单独完成需要a天，则每天完成多少?
分析：设骑车同学速度为v千米/时
（提示：20分= 1 小时） 3
人教版八年级数学上册教案：15.3.2 列分式方程解决实际问题
在数字问题中要掌握十进制数的表示法.
(3)工程问题
基本公式：________________；
(4)顺水逆水问题
顺水速度＝____________；逆水速度＝____________．
温故知新，唤醒学生的已有知识体系，为本节课作知识的铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】问题：一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同，若水流速度为3千米/时，求轮船在静水中的速度.分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，则顺水航行的速度为________千米/时，逆水航行的速度为________千米/时，顺水航行的时间为________时，逆水航行的时间为________时，根据题意，可得方程________________________________.1.利用课件提出实际应用问题：求出车速.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x＝1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的 ，可知乙队的施工速度快.
1.通过例题教学使学生掌握基础知识、基本的运算方法，掌握解决数学问题的基本技能，增强学生解决问题的能力.2.通过例题教学使学生掌握基本的数学语言、规范其解题书写格式.3.通过例题教学提高学生分析问题解决问题的能力.
(4)列车提速前行驶skm所用的时间与列车提速后行驶(s＋50)km所用的时间相同；(5) ， ；(6) ＝
解：设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，则提速前它行驶skm所用时间为 h；提速后列车的平均速度为(x＋v)km/h，提速后它行驶(s＋50)km所用时间为 h.根据行驶时间的等量关系，得 ＝ .
八年级上册数学第十五章分式方程
第一节：认识分式方程1.1 分式方程的定义分式方程是指含有分式的方程，其中未知数出现在分式中。
1.2 分式方程的性质分式方程的性质包括有理数的性质、分式的性质、方程的性质。
1.3 分式方程的解分式方程的解是指能满足方程的未知数的数值，求解分式方程的过程就是求方程的解的过程。
第二节：分式方程的基本形式2.1 一元一次分式方程一元一次分式方程的形式是a/x+b=c，其中a、b、c是已知数，x是未知数，x≠0。
2.2 一元一次分式不等式一元一次分式不等式是a/x+b<c，其中a、b、c是已知数，x是未知数，x≠0。
第三节：分式方程的解法3.1 通分法对于分式方程中的分式进行通分，使得方程变得更容易计算。
3.2 消去法通过约去分式中的公因式，使得方程变得更简单，从而更容易求解。
第四节：用分式方程解实际问题4.1 问题拆解将实际问题转化为分式方程，对实际问题进行分析和拆解，得到问题的数学表示形式。
4.2 方程求解将转化得到的分式方程进行求解，得到问题的解。
第五节：应用题5.1 填空题给定一元一次分式方程，要求填写方程的解。
5.2 计算题给定一元一次分式方程，要求解出方程的解并进行计算。
结语：分式方程是数学中常见的一种方程形式，掌握分式方程的基本概念、基本形式、基本解法，能够帮助我们更好地理解数学知识，在实际问题中也能够更加灵活地运用数学知识解决问题。
希望同学们能够认真学习分式方程的知识，掌握分式方程的解题方法，提高自己的数学水平。
在进行进一步的学习中，我们将深入探讨分式方程的解法，包括更复杂的情况和实际问题的应用。
同时也会针对一些常见的困惑和错误进行讲解和解答，以帮助同学们更好地掌握分式方程的知识。
第一节：分式方程的解法1.1 假分式方程假分式方程是指分式方程中含有未知数的分母含有未知数的方程形式。
在解假分式方程时，我们需要通过通分的方法将方程转化为一般的分式方程，然后再按照常规的分式方程解法进行求解。
第1套人教初中数学八上 15.3 分式方程(第2课时)分式方程的应用课件 【通用,最新经典教案】
2
3
4
5
6
).
B.a7
C.a6
D.a12
关闭
B
答案
1
2
3
4
5
6
2.下列计算正确的是(
).
A.b4·
b2=b8
B.x3+x2=x6
C.a4+a2=a6
D.m3·
m=m4
关闭
选项 A 和 D 都是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;选项 B 和 D 的左边都不是同类项,
不能合并.
关闭
D
解析
答案
6
.
关闭
2 187
答案
1
2
3
4
5
6
6.计算:
(1)-36×37;
(2)y5·
y4·
y;
(3)a3·
a5-a2·
a6;
(4)29×28×23.
关闭
(1)-36×37=-36+7=-313;
(2)y5·y4·y=y5+4+1=y10;
(3)a3·a5-a2·a6=a8-a8=0;
(4)29×28×23=29+8+3=220.
40
30
程为 + 3 = -3 .
5.列分式方程解应用题的基本步骤
(1) 审 ——仔细审题,找出等量关系;
(2) 设 ——合理设未知数;
(3) 列 ——根据等量关系列出方程(组);
(4) 解 ——解出方程(组);
(5) 验 ——检验;
(6) 答 ——写出答案.
新课早知
学前温故
6.小兰的妈妈在供销大厦用 12.50 元买了若干瓶酸奶,但她在百
思南县第八中学八年级数学上册第十五章分式15.3分式方程第2课时分式方程的应用教案新版新人教版8
第2课时 分式方程的应用1．进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程．2．使学生能较熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题．重点在不同的实际问题中审明题意设未知数，列分式方程，解决实际问题． 难点在不同的实际问题中，设未知数列分式方程．一、复习引入 1．解下列方程：(1)3－x x ＋1＝4＋x x ＋1－2；(2)2x ＋3＋32＝72x ＋6. 2．列方程解应用题的一般步骤：(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答．[概括] 这些解题方法与步骤，对于解分式方程应用题也适用．这节课，我们将学习列分式方程解应用题．二、探究新知例 1 某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2 640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用了2小时输完．问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？[分析] (1)如何设元？(2)题目中有几个相等关系？(3)怎样列方程？ 本题有两个相等关系： (1)甲速＝2乙速 (2)甲时＋120＝乙时其中(1)用来设，(2)用来列方程．[概括] 列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审清题意；(2)设未知数(要有单位)；(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； (4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； (5)写出答案(要有单位)．例2 A ，B 两地相距135千米，两辆汽车从A 开往B ，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．练习：(1)甲乙两人同时从A 地出发，骑自行车到B 地，已知AB 两地的距离为30 km ，甲每小时比乙多走3 km ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走x km ，则可列方程为( )A .30x －30x －3＝23B .30x －30x ＋3＝23C .30x ＋3－30x ＝23 D .30x －3－30x ＝23(2)我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必须是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度．例3(教材例3) 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成工程的13，设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x ，那么甲队半个月完成总工程的________，乙队半个月完成总工程的________，两队半个月完成总工程的________．本题是工程问题，注意基本公式是：工作量＝工时×工效． 等量关系为：甲、乙两个工程总量总工程量．列方程：13＋16＋12x＝1.例4(教材例4) 某次列车平均提速v km /h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50 km ，提速前列车的平均速度为多少？分析：这里的字母v ，s 表示已知数据，设提速前列车的平均速度为x km /h ，那么提速前列车行驶s km 所用时间为________h ，提速后列车的平均速度为________km /h ，提速后列车运行(s ＋50)km 所用时间为________h .本题是列含字母系数的分式方程，解这个方程并且检验是难点，在解题过程中注意把s ，v 当作已知数．等量关系：提速前行驶50 km 所用的时间＝提速后行驶(s ＋50) km 所用的时间．列方程：sx＝错误!.练习：教材第154页练习第1，2题． 三、课堂小结1．列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意；(2)设：设未知数(要有单位)；(3)列：根据题目中的数量关系找出相等关系，列出方程； (4)解：解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； (5)答：写出答案(要有单位)． 2．几种基本题型： (1)行程问题； (2)数字问题； (3)工程问题； (4)顺水逆水问题； (5)利润问题． 四、布置作业教材第154～155页习题15.3第3，4，5题．本节课结合具体的数学内容采用“问题情境——建立数学模型——解释应用与拓展”的模式展开，选择有现实意义的，对学生具有一定挑战性的内容，使学生在自主探索和合作交流的过程中建立数学模型，让学生能够自觉的用数学的眼光观察世界，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力．第2课时 线段的垂直平分线的有关作图1．作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图．(重点)2．依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴．(重点)一、情境导入有时我们感觉两个平面图形成轴对称，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？二、合作探究探究点一：作线段的垂直平分线【类型一】 作某条线段的垂直平分线如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB 的垂直平分线)解析：本题其实就是作线段AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作法作出即可． 解：作法：(1)分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于E 、F两点；(2)作直线EF ，EF 即为所求的直线．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．方法总结：要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．【类型二】 垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合如图，已知点A 、点B 以及直线l .(1)用尺规作图的方法在直线l 上求作一点P ，使PA ＝PB .(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM ＝PN ，BN ＝PM ，求证：∠MAP ＝∠NPB .解析：(1)利用线段垂直平分线的作法作出即可；(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质得出即可．解：(1)如图所示：(2)在△AMP 和△BNP 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝PN ，PM ＝BN ，AP ＝BP ，∴△AMP ≌△PNB (SSS)，∴∠MAP ＝∠NPB .方法总结：解决此类问题首先要正确作出图形，然后运用相关的知识解决其他问题．【类型三】 垂直平分线作法的应用如图，某地由于居民增多，要在公路l 边增加一个公共汽车站，A ，B 是路边两个新建小区，这个公共汽车站C 建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)?解析：作线段AB 的垂直平分线，由垂直平分线的定理可知，垂直平分线上的点到A ，B 的距离相等．解：连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于O ，交AB 于E .∵EO 是线段AB 的垂直平分线，∴点O 到A ，B 的距离相等，∴这个公共汽车站C 应建在O 点处，才能使到两个小区的路程一样长．方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．【类型四】 线段垂直平分线与角平分线作法的综合运用如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M ，N 表示大学，OA ，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)解析：到两条公路的距离相等，在这两条公路的夹角的平分线上；到两所大学的距离相等，在这两所大学两个端点的连线的垂直平分线上，所画两条直线的交点即为所求的位置．解：如图，点P为所求．方法总结：通过本题要熟练地掌握角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法．探究点二：对称轴的画法【类型一】画出已知图形的对称轴画出下列轴对称图形的所有对称轴(不考虑颜色)．解析：利用轴对称图形的性质分别得出其对称轴即可．解：如图所示：方法总结：画轴对称图形的对称轴，先找出对称点，然后作对称点的垂直平分线即可．【类型二】补全图形，并画出对称轴如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．解析：根据轴对称的性质画出图形即可．解：如图所示：方法总结：解答此类问题，一般要先设计出轴对称图形，然后根据图形的特点，画出对称轴．三、板书设计线段的垂直平分线的有关作图1．线段垂直平分线的作法．2．作轴对称图形的对称轴的方法．本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．[菱形]说课稿一、教材分析1、在教材中的作用与地位[菱形]紧接[矩形]一节之后。
15.3分式方程-增根(教案)-人教版八年级数学上册
举例：在去分母时，要注意将等式两边的每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘或乘错。
（3）解整式方程后的检验：学生在解整式方程后，容易忽视对解的检验。教师应强调检验的重要性，并教授具体的检验方法。
举例：求解分式方程$\frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1}$，解得$x=5$，需将$x=5$代入原方程检验是否成立。
1.教学重点
（1）理解增根的定义：增根是指使分式方程分母为零的根。这是本节课的核心概念，教师需通过实例讲解，使学生深刻理解增根的含义。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a}= \frac{2}{a}$，当$x=a$时，分母为零，此时$x=a$为增根。
（2）掌握求解含增根分式方程的方法：包括识别增根、去分母、求解整式方程、检验解等步骤。教师需详细讲解并举例说明每个步骤的操作方法。
2.教学难点
（1）增根的识别：对于初学者来说，判断何时会产生增根是一大难点。教师可通过列举不同类型的分式方程，帮助学生识别增根。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} = \frac{2}{x-c}$，增根可能为$x=a$、$x=b$或$x=c$。
（2）去分母过程中易出现的错误：在求解含增根分式方程时，去分母是关键步骤，但学生容易在此过程中出现错误。教师应详细讲解并强调注意事项。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对增根的概念和求解含增根分式方程的方法掌握程度有所不同。有些学生能够迅速理解并运用到实际题目中，但也有一些学生在识别增根和处理分母为零的情况时遇到困难。这让我意识到，在教学过程中，我们需要针对不同水平的学生进行有针对性的指导。
2018年秋八年级数学上册第15章分式专题强化八分式方程及其应用课件新版新人教版20180823262(智能版推荐)
解：设甲工厂每天能加工 x 件新产品，则乙工厂每天能加工 1.5x 件新产品．由
题意，得：12x00＝112.50x0＋10.解得：x＝40.
经检验：x＝40 是原分式方
程的解，并且符合题意，所以 1.5x＝60.答：甲、乙两个工厂每天能加工新
产品的件数分别为 40 件，60 件．
强化角度 7 阅读改错型应用题 11．甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇 3000 字的文章与乙打一篇 2400 字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打 12 个字，问甲、 乙两人每分钟各打多少字？李明同学是这样解答的： 设甲同学打印一篇 3000 字的文章需要 x 分钟．根据题意，得30x00－24x00＝ 12.① 解得：x＝50.经检验 x＝50 是原方程的解．② 答：甲同学每分钟打字 50 个，乙同学每分钟打字 38 个．③ (1)请从①、②、③三个步骤说明李明同学的解答过程是否正确，若有不正 确的步骤改正过来； (2)请你用直接设未知数的方法列方程，不需解答．
动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！
习惯不加以抑制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来， 而是你到哪里去。当你在埋头工作的时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而 是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势， 这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！是产生在人的思想里。 你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到什么，你必须知道现在应该先放弃什么！把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若 自怨自艾，必会坐失良机！人人都有两个门：一个是家门，成长的地方；一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只