中考数学一轮复习考点专题课件：第24课时 圆的基本性质
2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题23 圆(解析版)
专题23 圆
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 与圆有关的概念
圆的概念：在一个平面内，线段𝑂𝐴绕它固定的一个端点𝑂旋转一周，另一个端点𝐴所形成的图形叫圆．这个固定的端点𝑂叫做圆心，线段𝑂𝐴叫做半径．以𝑂点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴ 圆心；
⑵ 半径，
⑶ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以𝐴、𝐵为端点的弧记作𝐴𝐵⏜，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
中考数学复习之圆的基本性质,考点过关与基础练习题
32.圆的有关性质
➢ 知识过关
1. 圆有相关概念
(1)圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转_____,另一个端点A所于形成的图形叫做圆，圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于____r的点的集合.
(2)弧、弦、等圆、等弧
①弧：圆上任意_____的部分叫做弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；
①弦：连接圆上任意两点的____叫做弦，经过_____的弦叫做直径.
①等圆：能够_____的两个圆叫做等圆；
①等弧：在_____或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
2. 垂径定理及其推论
(1) 对称性：
①圆是中心对称图形，其对称中心是圆心
①圆是轴对称图形，其对称轴是_______.
(2) 垂径定理及其推论
①垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且平分这条弦所对的______；
①推论：平分弦(非直径)的直径______于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
➢ 考点分类
考点1 圆心角、弧、弦之间的关系
例1如图所示，圆O通过五边形OABCD的四个顶点，若DAB=150°，A=65°，D=60°，则的度数为( )
A.25° B.40° C.50° D.55°
考点2垂径定理及简单应用
例2如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深度为_______m.
考点3垂径定理与其他知识的综合运用
例3如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧CBD上任意一点，AH＝2，CH＝4．
（1）求⊙O的半径r的长度；
（2）求sin∠CMD；
（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF的值．
➢ 真题演练
1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，𝐴𝐵=4√5，则△ODE的面积为（ ）
连线中考数学一轮复习系列专题19圆的基本性质
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基础知识
知识点一、圆的有关概念
1. 圆的定义①（动态定义）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆记做“⊙O”.
②（静态定义）圆是到定点的距离等于定长的点的集合．即：圆上各点到圆心的距离都等于定长（半径），反之到圆心距离等于半径的点一定在圆上；
2.等圆：能够完全重合的圆叫等圆．同圆或等圆的半径相等．
3.确定圆的条件
确定一个圆有两个基本条件
①圆心（定点）——用来确定圆的位置；②半径（定长）——用来确定圆的大小．
经过不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点二、弦、弧、圆心角等相关概念
1. 弦与直径：
①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，记做：弦AB，弦CD等．
②直径：经过圆心的弦叫做直径，直径等于半径的2倍．直径是圆中最长的弦.
2. 弧与半圆
①弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，如以A、B为端点的弧记做AB，
②半圆：圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，其中的每条弧都叫做半圆．
③劣弧、优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用弧上的两点表示；大于半圆的弧叫做优弧，用弧上三点表示．
④等弧：能够完全重合的弧叫等弧.
知识点三、弧、弦、圆心角之间的关系
1. 圆的旋转不变性 - 2 - / 14 把圆绕着圆心旋转任意一个角度，都与原来的图形重合，我们把这种性质称为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
知识点四、垂径定理
1. 圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
2. 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
初三数学复习圆的认识与证明
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初三数学复习圆的认识与证明
① 理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系 .
② 了解圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征
③ 了解三角形的内心和外心.
④ 了解切线的概念、切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画 圆的切线.
⑤ 会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积
【知识精要】
一、圆的认识
1 •圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
2 •有关概念：弦、直径，弧、等弧、优弧、劣弧、半圆、弦心距、弧、优弧、劣弧。在同圆或等圆中，能 够互相重合的弧叫做等弧。等圆、同心圆、同圆或等圆的半径相等。
3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。
4. （补充）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对应的两条弧。
对于一个圆和一条直线来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个；（ 1）垂直于
弦；（2）过圆心；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。
其中重点注意：（2）（ 3） = （1）（ 4）（ 5），所平分的弦要不是直径。
垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行
圆的计算和作图提供了方法和依据。
5•与圆有关的角：
⑴圆心角，圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们
所对应的其余各组量都分别相等。 2 / 9
⑵圆周角，圆周角定理：一条弧所对的圆周等于它所对的圆心角的一半。
注意：一、由于圆特殊的对称性，造成点与圆心相对位置不同，就有可能产生双解情况。
1、 点 0 是 ABC 的外心，.BOC =80 °，则.A=.
解读：应考虑外心 O在-ABC的内部和外部两种情况.A=40 °，140°
中考数学考点29圆的基本性质总复习(解析版)
圆的基本性质
【命题趋势】
圆的基本性质是中考考查的重点.常以选择题.填空题和解答题考查为主；其中选择题和填空题的难度不会太大.对应用、创新、开放探究型题目.会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题.进一步体现数学来源于生活.又应用于生活。
【中考考查重点】
一、运用垂径定理及其推论进行计算
二、运用圆周角定理及其推论进行计算
三、垂径定理雪与圆周角定理结合
考点：圆的有关概念
圆的定义：在一个平面内.线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周.另一个端点A所形
成的图形叫圆。这个固定的端点O叫做圆心.线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O.读作圆O。
圆的特点：在一个平面内.所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置.半径长度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同.半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形.经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；
2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。2）直径长度等于半径长度的2倍。
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧.简称弧。以A、B为端点的弧记作AB⏜.读作圆弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中.能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧.每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
1．（2021秋•顺义区期末）如图.在⊙O中.如果＝2.则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（ ）
中考数学复习圆的基本性质练习题含答案解析
1 第六单元 圆
第24课时 圆的基本性质
点对点·课时内考点巩固30分钟
1. (2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是( )
A. ∠B B. ∠C C. ∠DEB D. ∠D
第1题图
2. (2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是( )
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
第2题图
3. (2019兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝( )
A. 110° B. 120° C. 135° D. 140°
第3题图
4. (2019甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是( ) 2 A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60°
第4题图
5. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为( )
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
第5题图
6. (2019西安高新一中模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是( )
A. 48° B. 96° C. 114° D. 132°
第6题图
7. (2019陕西黑马卷)如图，在⊙O中，弦AB∥CD，连接BC，OA，OD.若∠BCD＝25°，CD＝OD，则∠AOD的度数是( )
A. 140° B. 120° C. 110° D. 100° 3
第7题图
8. (2019赤峰)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为( )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第8题图
9. (2019贵港)如图，AD是⊙O的直径，AB︵＝CD︵，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是( )
中考数学圆的基本性质专题复习学案设计
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1 / 8 中考数学圆的基本性质专题复习
一、知识点讲解
1．圆的概念
圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合．定点就是圆心，定长就是半径的长，通常也称为半径．以定点O为圆心的圆称为圆O，记作O．
2．点和圆的位置关系
设圆的半径为R，点P到圆心的距离为d，则（1）点P在圆外Rd；
（2）点P在圆上；
（3）点P在圆内Rd0．
3．圆的确定
不在同一条直线上的三点确定一个圆．
经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫三
角形的外心，这个三角形叫这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三边垂直平分线的交点．
4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及其推论（“知一推三”，强调特殊情况不成立）
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距
也相等；
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心
距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．
5．垂径定理及其推论（“知二推二”， 强调特殊情况不成立）
如果圆的一条直径垂直于圆的一条弦，那么这条直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧． 中考数学圆的基本性质专题复习学案设计
2 / 8 二、知识点相关练习
例1.在平面上，经过给定的两点的圆有____个，这些圆的圆心一定在连结这两点的线段的_______上．
例2.平面上有一个点到⊙O的圆周上的最小距离为6cm，最大距离为8cm，则⊙O的半径为_______．
例3.在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，以点A为圆心，若B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径R的取值范围为 __________．
专题30 圆的基本性质-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)
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专题30 圆的基本性质
【知识要点】
知识点一 圆的基础概念
圆的概念：在一个平面内，线段𝑂𝐴绕它固定的一个端点𝑂旋转一周，另一个端点𝐴所形成的图形叫圆．这个固定的端点𝑂叫做圆心，线段𝑂𝐴叫做半径．以𝑂点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑴ 圆心；
⑵ 半径，
⑶ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以𝐴、𝐵为端点的弧记作𝐴𝐵⏜，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
知识点二 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
1） 过圆心，作垂线，连半径，造𝑅𝑇△，用勾股，求长度；
2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 2 / 27
知识点一 圆的基础概念
圆的概念：在一个平面内，线段𝑂𝐴绕它固定的一个端点𝑂旋转一周，另一个端点𝐴所形成的图形叫圆．这个固定的端点𝑂叫做圆心，线段𝑂𝐴叫做半径．以𝑂点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
⑷ 圆心；
⑸ 半径，
⑹ 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
中考数学考点研究与突破【24】圆的基本性质(含答案)
考点跟踪突破24 圆的基本性质
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(2014·舟山)如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( D )
A．2 B．4 C．6 D．8
,第1题图) ,第2题图)
2．(2014·温州)如图，已知点A，B，C在⊙O上，ACB︵为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是( A )
A．2∠C B．4∠B
C．4∠A D．∠B＋∠C
3．(2014·毕节)如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过点C作CD⊥AB交AB于点D.已知cos∠ACD＝35，BC＝4，则AC的长为( D )
A．1 B.203 C．3 D.163
,第3题图) ,第4题图)
4．(2014·兰州)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC，BD，下列结论中不一定正确的是( C )
A．AE＝BE B.AD︵＝BD︵
C．OE＝DE D．∠DBC＝90°
5．(2014·孝感)如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧BC︵的中点，点D是优弧BC︵上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝63 cm；③sin∠AOB＝32；④四边形ABOC是菱形．其中正确的序号是( B )
A．①③ B．①②③④
C．②③④ D．①③④
解析：∵点A是劣弧BC︵的中点，OA过圆心，∴OA⊥BC，故①正确；∵∠D＝30°，∴∠ABC＝∠D＝30°，∴∠AOB＝60°，∵点A是劣弧BC︵的中点，∴BC＝2BE，∵OA＝OB，∴OB＝OA＝AB＝6 cm，∴BE＝AB·cos30°＝6×32＝33 cm，∴BC＝2BE＝63
cm，故B正确；∵∠AOB＝60°，∴sin∠AOB＝sin60°＝32，故③正确；∵∠AOB＝60°，
∴AB＝OB，∵点A是劣弧BC︵的中点，∴AC＝OC，∴AB＝BO＝OC＝CA，∴四边形ABOC是菱形，故④正确．故选B
北京四中数学中考总复习：圆综合复习--知识讲解(基础)
第1页 共17页 中考总复习：圆综合复习—知识讲解（基础）
【考纲要求】
1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；
2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、圆的有关概念
1. 圆的定义
如图所示，有两种定义方式：
①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作⊙O，线段OA叫做半径；
②圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 第2页 共17页 2.与圆有关的概念
①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．
②直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是⊙O的直径，直径是圆中最长的弦．
③弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是⊙O中的弧，分别记作»BC，¼BAC．
④半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如»AC是半圆．
⑤劣弧：像»BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．
⑥优弧：像¼BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．
⑦同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．
⑧弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
⑨等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
⑩等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中∠AOB，∠BOC是圆心角．
⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中∠BAC、∠ACB都是圆周角．