中考数学复习考点知识专题讲义第23讲 圆的基本概念与性质
︵︵ ∵CF＝CA，
∴CA＝CF，∠FBC＝∠EBC．
∴CE＝CF. ∵∠A＋∠F＝180°，∠CEA＋∠CEB＝180°， ∴∠CEB＝∠F.
∴△CFB≌△CEB．
∴BF＝BE.
︵
弧 成两条弧，每一条弧都叫做半圆；③大于半 圆 ABC ，
圆的弧叫做 优优弧弧
，小于半圆的弧叫
︵ 优弧 ACB
做 劣劣弧弧
圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角
∠AOB，∠BOC
顶点在圆上，并且 两两边边 都与圆相交的角叫 ∠ACB，∠BAC，
圆周角
做圆周角
∠ABC
考点二 圆的相关性质 1．圆的对称性及相关定理：
为C，D．若AC＝CD＝DB，则∠P的大小为 6600 °.
6．(2019·百校联考二节选)阅读与思考： 阿基米德(公元前287年～公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数 学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，阿基米德流传于世的著 作有10余种，多为希腊文手稿．下面是《阿基米德全集》中记载的一个命题：AB是
2．圆周角定理及推论：
温馨提示 1．根据圆的定义可知，圆中所有的半径都相等，故圆中经常出现等腰三角形． 2．等圆和等弧：能够互相重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够重合的 弧叫做等弧． 3．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、圆周角之间的数量关系可以相互转化，能 准确地从图中识别出相关的基本图形及其等量关系．但要注意的是，遇到“一条弦所 对的圆周角”时，要注意分类讨论：若圆周角在这条弦的同侧，则两个圆周角相等； 若圆周角在这条弦的异侧，则两个圆周角互补(实质上是圆内接四边形的对角).
圆心角、弧、弦之间的关系 例1 (教材题改编)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且在直径AB的同
侧，已知AC∥OD．
︵︵ (1)连接CD，BD，CD与BD相等吗？说明理由；
图1
︵︵ 解：CD＝BD.
理由：如解图1，连接OC．
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．
∵AC∥OD，∴∠OAC＝∠BOD，∠OCA＝∠COD．
(2)若AB＝3，BC＝1，则BM的长为 4
．
【提示】在MB上截取BH＝BC，然后证△MHC≌△ABC，可得MB＝AB＋BC．
学霸笔记 有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径(半径)，利用垂径定理和 解直角三角形来达到求解的目的，圆的半径r、弦的长度l、圆心到弦的距离(弦心距)d三
2
者之间的关系是12l ＋d2＝r2.
∴∠COD＝∠BOD．∴C︵D＝B︵D.
解图1
(2)若点C，D位于直径AB的异侧，其余条件不变，请在图2中画出图形，并直接写 ︵︵ 出CD与BD的关系，不必证明．
图2
︵︵ 解：画图如解图2所示，CD＝BD.
解图2
【跟踪训练】 1．(2019·衢州一模)如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB，ON⊥CD，
【跟踪训练】 3．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中不一定正确的是( C )
A．AE＝BE C．OE＝DE
B．∠C＝12∠BOD
2
D．OC2＝12AB ＋OE2
︵︵ 1．如图，AB，CD是⊙O的直径， AE ＝ BD .若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是 (D )
A．32°
B．60°
图1
图2
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)， ︵
BC>AB，M是ABC的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中
点，即CD＝AB＋BD．
下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG.
3．圆的相关概念：
图形
名称
定义
表示
圆心
定点O叫做圆心
圆心O
半径 连接圆心与圆上任一点的线段 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过 圆圆心心
弦 的弦叫做直径
半径OA，OB， OC 弦AB，BC，直 径AC
①圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称
弧；②圆的任意一条直径的两个端点把圆分
︵︵ 劣弧AB，BC，半
A．110° C．125°
B．120° D．135°
4．(2019·太原二模)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O
于点D．若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为( B )
A．100° C．110°
B．105° D．120°
5．(2019·长春一模)如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别 ︵︵︵
A．35° C．40°
B．38° D．42°
【思路分析】如解图，连接CD，则∠BDC＝∠ADC＝90°.由∠A＝70°，可得 ∠ACD的度数．再根据圆周角定理可得∠DOE的度数．
学霸笔记 在解决圆的有关问题时，要注意积累有关圆的基本图形，在复杂图形中识别基 本图形．例如：由两条半径和一条弦构成等腰三角形，由直径和两条弦构成直角三角 形，圆内接四边形以及同弧所对的圆周角等. 当条件中出现“等弧”“等弦”“等圆心 角”时，能联想找到其他相关的相等关系.
图3
2．(2015·山西13题)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧 BD的中点．若∠A＝40°，则∠B＝ 7700 度．
3．(2014·山西8题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB．若∠OBA＝
50°，则∠C的度数为( B )
A．30°
B．40°
C．50°
D．80°
︵ ∵M是ABC的中点，
∴MA＝MC．
……
任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
证明：又∵∠A＝∠C，
∴△MBA≌△MGC．
∴MB＝MG.(3分) 又∵MD⊥BC，
∴BD＝GD． ∴CD＝CG＋GD＝AB＋BD．
(2分) (5分)
︵ (2)填空：如图3，已知等边三角形ABC内接于⊙O，AB＝2，点D为 AC 上一点，∠ ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 2＋2 2 ．
山西中考对圆的有关基础知识的考查，重点是圆周角定理及其推 论，考查形式以填空、选择题居多，从考点来看，对这一内容单独考查较少，且均为 基础题，但大多时候会与直角三角形、切线的性质等内容综合进行考查，有一定的难 度．
考点一 圆的相关概念 1．圆的定义： (1)平面内到 定定点点 的距离等于 定定长长 的所有点组成的图形叫做圆． (2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆． 2．确定圆的条件： 不定在长同一直定线长上 定长 定长的三个点确定一个圆．
︵ ⊙O的弦，点C在⊙O上，且CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使AD＝DE，点F是 BC
︵︵ 上一点，且CF＝CA，连接BF可得BF＝BE.
将上述问题中的弦AB改为直径AB，如图1所示，试证明BF＝BE.
解：如解图所示，连接CE，BC．
∵CD⊥AB，AD＝DE， ∴AC＝CE.
∴∠CAE＝∠CEA．
第23讲 圆的基本概念与性质
【版本导航】人教：九上第二十四章P79～P91； 北师：七上第四章P123～P124 九下第三章P64～P88； 华师：九下第二十七章P36～P46.
1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念． 2．*探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．(选学) 3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆 周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的 圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补.
【跟踪训练】 2．(2019·大连二模)如图，点A，B，C在⊙O上，∠OAB＝65°，则∠ACB的度数 为( C )
A．50° C．25°
B．32.5° D．20°源自垂径定理及应用 例3 (2019·包头改编)如图，在⊙O中，B是⊙O上一点，∠ABC＝120°，AC＝
2 3，BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
︵︵ 垂足分别为M，N，BA，DC的延长线交于点P，连接OP.下列结论：①AB＝CD；②OM ＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，其中正确的个数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
圆周角定理及推论 ︵
例2 (2019·聊城)如图，BC是半圆O的直径，D，E是 BC 上两点，连接BD，CE并 延长交于点A，连接OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为( C )
命题点 圆周角定理及推论(必考) 1．(2016·山西19题)请阅读下列材料，并完成相应的任务．
阿基米德折弦定理 阿基米德(Archimedes，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学 家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al－Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基 米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al－Biruni译本出 版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
(1)求⊙O的半径长；
解：连接OA，OC，过点O作OH⊥AC于点H，如解图． ∵∠ABC＝120°， ∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°. ∴∠AOC＝2∠AMC＝120°. ∵OA＝OC，OH⊥AC， ∴∠AOH＝12∠AOC＝60°，AH＝12AC＝ 3. ∴OA＝sinA6H0°＝2.故⊙O的半径长为2.
C．68°
D．64°
2．(2019·百校联考三)如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，且∠CAB＝ 34°，则∠D的度数是( C )
A．44° C．56°
B．54° D．66°
3．(2019·常熟模拟)如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若OA∥BC，
初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义(学生版)
初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义知识图谱圆的相关概念知识精讲知识精讲一．圆的相关概念1.圆的概念（1）描述性定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径；（2）集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（3）圆的表示方法:用符号 表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O”，读作“圆O”；（4）同圆、同心圆、等圆：①圆心相同且半径相等的圆叫同圆；②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；③能够重合的两个圆叫做等圆．2.弦与弧的相关概念：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍；（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作 AB，读作弧AB；（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角与圆周角（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角；①将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧；②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；（2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三点剖析一．考点：圆的相关概念二．重难点：1.圆的两种定义的理解；2.弦心距、优弧、圆周角等陌生概念的理解与记忆．三．易错点：1.圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2.弓形只是由弧和弦所构成不包含半径；3.同圆、等圆、同心圆的联系与区别．圆的相关概念例题例题1、判断：（1）直径是弦，弦是直径（）（2）半圆是圆弧（）（3）长度相等的弧是等弧（）（4）能够重合的弧是等弧（）（5）圆弧分为优弧和劣弧（）（6）优弧一定大于劣弧（）（7）半径相等的圆是等圆（）例题2、设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了15米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（）A.你只能塞过一张纸 B.你只能塞过一只书包C.你能钻过铁丝 D.你能直起身体走过铁丝随练随练1、下列说法中，结论错误的是（）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随练2、过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（）A.1条 B.2条 C.3条D.无数条随练3、如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，74AOC ∠=︒，则E ∠=．垂径定理知识精讲一．垂径定理1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.推论1：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．补充说明：做题过程中，定理与推论1（1）可以直接使用，而推论1（2）、（3）需证明后再使用．三点剖析一．考点：垂径定理二．重难点：利用垂径定理求圆的半径、弦长和弦心距．三．易错点：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题垂径定理例题例题1、在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm ，则油的最大深度为（）A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm例题2、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长为（）A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸例题3、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分．如果M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交O 于点E ，并且4CD =，6EM =，求O 的半径．例题4、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm例题5、⊙O 的半径为10，两平行弦AC ，BD 的长分别为12，16，则两弦间的距离是（）A.2B.14C.6或8D.2或14随练随练1、如图，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA=30°，OC=3cm ，则弦AB 的长为（）A.9cmB.3cmC.cmD.cm随练2、如图，ABC ∆内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论AB DE AE BE OD DE AEO C ⊥==∠=∠①，②，③，④， 12AE AEB=⑤，正确结论的是随练3、如图，当圆形桥孔中的水面宽度AB 为8米时，弧ACB 恰为半圆．当水面上涨1米时，桥孔中的水面宽度A B ''为（）15米 B.215米 C.217米 D.不能计算随练4、如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AB BC ⊥，2cm AB =，4cm CD =．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离是多少？弧，弦，圆心角之间的关系知一推二知识精讲一．圆心角、弧、弦之间的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等．若AOB A OB ''∠=∠，则 AB A B ''=，AB A B ''=，AM A M ''=．2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．二．应用1.在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；2.有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距；3.在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角；4.有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）作等弧所对的圆心角三点剖析一．考点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系二．重难点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系三．易错点：1.两条弧存在倍数关系，但所对应的弦并不是存在相同的倍数关系；2.判断题中，注意题中前提条件，必须是在等圆或同圆中．弧，弦，圆心角之间的关系知一推二例题例题1、下列说法中正确的是（）①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．A.①③ B.②④ C.①④ D.②③例题2、如图，以ABC ∆的边BC 为直径的O 分别交AB AC 、于点D E 、，连结OD OE 、，若65A ∠=︒，则DOE ∠=．例题3、如图，AB 、CD 为⊙O 的直径， AC CE=，（1）试说明BD CE =；（2）若连结BE ，问BE 与CD 平行吗？请说明理由．随练随练1、如图所示，点D 是弦AB 的中点，点C 在⊙O 上，CD 经过圆心O ，则下列结论中不一定正确的是（）A.CD ⊥ABB.∠OAD=2∠CBDC.∠AOD=2∠BCDD.弧AC=弧BC随练2、如图，A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，且AB CD =，则下列说法不正确的是（）A.AOB COD ∠=∠B.AOC BOD ∠=∠C.AC BD =D.OC CD=随练3、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC ，则∠ABC=___________．拓展拓展1、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A.45（）cm B.9cm C.45 D.62cm拓展2、下列说法正确的有（）①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点．A.①②③④⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.②④⑤拓展3、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为____cm≤OP≤____cm．拓展4、如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=时，△PAD为等腰三角形．拓展5、在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，^^^AC CD BD==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是__________．拓展6、如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm．拓展7、在⊙O 中，点C 是劣弧AB 的中点，则线段AB 和线段AC 的大小为（）A.2AB AC =B.2AB AC >C.2AB AC< D.无法确定拓展8、如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是弧ACB 上一点，D 、E 是弧AB 上不同的两点（不与A 、B 两点重合），则D E ∠+∠的度数为（）A.mB.1802m︒-C.902m ︒+D.2m 拓展9、如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB=2，⊙O 上存在点C ，使得弦AC=22BOC=______________°．拓展10、如图9A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是弧 AB 的中点，求证四边形OACB 是菱形．图9。
中考数学 专题23 圆(知识点串讲)(原卷版)
专题23 圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或等弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． 2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。
初中九年级数学圆的讲义
初中九年级数学圆的讲义圆一、基本概念与性质在平面内把线段OP绕着端点O旋转一周，端点P所形成的图形叫做圆。
其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径。
以点O为圆心的圆，记作⊙O ，读作圆O 。
点和圆的位置关系：如果⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则d>r时，点P在__________d=r时，点P在__________d<r时，点p在__________< p="">圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
弦与弧连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，是圆最长的弦。
圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，符号：以C、D为端点的弧，记作，读作圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角。
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，能够互相重合的两个圆叫做等圆，能够互相重合的弧叫做等弧。
同圆或等圆的半径相等。
圆心角、弧、弦之间的关系：1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
2.推论：在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角和弦都相等。
在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角和弧都相等。
3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
圆心角与圆周角的关系：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
2.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。
垂径定理：1.垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧确定圆的条件：1.经过一点A作圆2.经过A、B两点作圆3.经过A、B、C三点作圆——a)当三点位于一条直线时b)当三点不在一条直线上时4.结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆三角形的三个顶点确定一个圆。
人教版九年级下册数学中考综合复习：第23讲《圆的基本性质》
第23讲《圆的基本性质》要点梳理知识点1：主要概念1.圆:平面上到____的距离等于____的所有点组成的图形叫做圆.____叫做圆心,____叫做半径,以O为圆心的圆记作⊙O.2.弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做___,连接圆上任意两点的线段叫做___,经过圆心的弦叫做直径,直径是最长的___.3.圆心角:顶点在____,角的两边与圆相交的角叫做圆心角.4.圆周角:顶点在____,角的两边与圆相交的角叫做圆周角.5.等弧:在__________中，能够完全____的弧叫做等弧．知识点2：圆的有关性质1.圆的对称性：①圆是______图形，其对称轴是________________．②圆是________图形，对称中心是_____．③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．知识点3：垂径定理及推论1.垂径定理：垂直于弦的直径_______，并且____________________．2.垂径定理的推论：①平分弦(不是直径)的直径_________，并且_____________________；②弦的垂直平分线_______，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．知识点4：弦、弧、圆心角的关系定理及推论①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_____，所对的弦______．②推论：在同圆或等圆中，如果两个______、______、_______、__________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点5：圆周角定理及推论1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的________．2.圆周角定理的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧______．②半圆(或直径)所对的圆周角是_____；90°的圆周角所对的弦是_____．知识点6：点和圆的位置关系①点P在圆上⇔_______；②点P在圆内⇔______；③点P在圆外⇔_______．知识点7：过三点的圆①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三边___________的交点，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．知识点8：圆内接四边形圆内接四边形的对角________常见的辅助线(1)有关弦的问题，如图1，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边的直角三角形，利用勾股定理知识求解；(2)有关直径的问题，如图2，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明或计算．(3)有等弧或证弧相等时，如图3，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆周(心)角．图1 图2 图3命题点1：垂径定理1.(泸州)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E。
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)
中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三． 注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ； 点P 在圆上⇔d ＝r ； 点P 在圆内⇔d ＜r ． 要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=． 【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ， 可求2a b cCE +-=． 连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可． 【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。
(初三数学)第23讲圆的性质
性质
弦长、弦中垂线、弦心距之间存 在一定的关系。
应用
解决与弦长、弦中垂线、弦心距 相关的问题时，需要判断圆与直
线的位置关系。
圆与直线相离
定义
圆与直线没有公共点。
性质
直线到圆心的距离大于圆的半径。
应用
解决与直线到圆心的距离相关的问题时，需要判 断圆与直线的位置关系。
04 圆的周长与面积
圆的周长
圆的周长的定义
餐具和厨具
圆形的碗、盘子、杯子等餐具和厨具方便使用，符合人体工学。
建筑结构
圆形或圆弧形的建筑结构如拱门、穹顶等具有较好的承重和稳定 性。
圆在几何证明中的应用
垂径定理
通过圆的垂径定理，可以证明经过圆心的直径将圆分成两个相等的 部分。
切线性质
利用圆的切线性质，可以证明切线与半径垂直，以及切线与半径之 间的距离关系。
(初三数学)第23讲 圆的性质
contents
目录
• 圆的定义与基本性质 • 圆的对称性 • 圆与直线的位置关系 • 圆的周长与面积 • 圆的实际应用
01 圆的定义与基本性质
圆的定义
圆上三点确定一个圆
在一个平面内，通过三个不共线的点 可以确定一个圆。
圆上三点确定一个圆
圆上三点确定一个圆
若已知一个点和通过该点的一条直线， 则该点和直线外的一个点可以确定一 个圆，该圆以该点和直线外的一点为 直径。
圆与四边形的关系
圆内接四边形是指四个顶点都在圆上的四边形。四边形的 对角线长度和角度与圆的半径和圆心角有关。
圆与其他几何图形的关系
除了三角形和四边形外，圆还与其他许多几何图形有关系， 如圆与椭圆、圆与抛物线等。这些关系在几何学中有着广 泛的应用。
中考数学 第一部分 教材知识梳理 第六单元 第23课时 圆的基本性质课件
拓展1 （’15天水）如图，边长 为1的小正方形构成的网格中，半
径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 1 正切值为 . 2 _____
【解析】由题意得，∠AED = ∠AED ，∵ ⊙O 在边长为1的网格格点上，∴AB =2，AC =1,则 AC 1 1 tan ABC , tanAED . AB 2 2
圆及其相关概念
1. 圆的基本概念（参考图（1）） (1)圆的定义：平面内到定点距 离等于定长的所有点组成的图形 圆心 ， 叫做圆，这个定点叫做①_____ 定长叫做半径，OA 为半径. (2)弦及直径连接圆上任意两点的线段叫做弦,
AE 为弦；经过②______ 圆心 的弦叫做直径，EF 为
直径.
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（3）弧、劣弧、优弧 圆上任意两点间的部分 叫做圆弧，简称弧.其中，小于半圆的部分叫做 ︵ 劣弧，AF 为劣弧；③______ 大于 半圆的部分叫做优 ︵ 弧，AEF 为优弧. （4）圆心角：顶点在圆心，角的两边都与圆 ︵ 相交的角叫做圆心角，∠AOF 叫做AF 所对的 圆心角. （5）圆周角：顶点在圆上，角的两边都与圆 相交的角叫做圆周角，∠AEF 为圆周角.
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考点3 圆周角定理及其推论（高频考点） 1. 定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数 一半 . 的⑩______
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8
2. 推论： （1）在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所 对的圆周角
11
______ 相等 ；相等的圆周角所对
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失分点15 判断：
一条弦对应两个圆周角问题
⑧圆中一条弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角 为30°. （ × ） ⑨圆中一条弦长所对的圆心角为40°，则这条弦所对的 圆周角为20° . （ × ）
2020年中考备考数学专题复习--第1部分 第6章 第23节 圆的基本概念及性质
弦、弧、圆心角的关系
文字描述
数学符号表述
在同圆或等圆中， ∵∠AOB＝∠COD，
定 理
相等的圆心角所对 的弧相等，所对的
∴A︵B＝C︵D，
弦也⑧__相__等____ ∴AB＝CD
图示
文字描述
数学符号表述
推
在同圆或等圆中， 如果两条弧相等，
∵A︵B＝C︵D，
论 那么它们所对的圆 ∴∠AOB＝∠COD，
弦和直径 心的弦叫做直径
弦心距 圆心到弦的距离 圆心角 顶点在④_圆__心_____的角 圆周角 顶点在圆上，并且⑤__两__边____都与圆相交的角
2.圆的对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任何一条 ⑥__直__径__所__在__的__直__线____；圆也是中心对称图形，⑦__圆__心____ 是它的对称中心． 3．确定圆的条件 (1)圆心确定圆的位置； (2)不在同一直线上的三个点确定一个圆．
8．[2019 十堰]如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB 交 CB 的延长线于点 E，若 BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝ 13，
则 AE＝( D )
A．3 C．4 3
第8题图 B．3 2 D．2 3
第六章 圆
第23节 圆的基本概念及性质
【教材链接】九(上)第二十四章 P79－P91，P105－P110.
圆的有关概念和性质
1．圆的有关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于
弧 半圆的弧叫做①_优__弧__，小于半圆的弧叫做②_劣__弧_ 连接圆上任意两点的③_线__段_____叫做弦，经过圆
命题解读：题型为填空题或解答题，主要考查正多边形 与其外接圆的性质和计算．
6．[2018 呼和浩特，12]同一个圆的内接正方形和正三角 形的边心距的比为___2_∶__1__．
圆的基本概念初三知识总结
圆的基本概念初三知识总结
初三数学中，圆的基本概念包括以下几个方面：
1. 圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆（或圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合）。
2. 圆心：定点称为圆心，线段OA称为圆的半径。
3. 圆的基本性质：
（1）圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆的特殊性：圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。
（3）圆的直径：通过圆心且两个端点都在圆周上的线段叫做圆的直径。
4. 圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，顶点在圆周上且两边与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
5. 弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
6. 垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
7. 弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等。
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
8. 推论：直径是最大的弦。
9. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
10. 点与圆的位置关系：设点到圆心的距离为d，则有点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔d=r；点在圆内⇔d<r。
以上是初三数学中关于圆的基本概念的知识点总结。
希望可以帮助你更好地理解和学习这部分内容。
中考数学复习课件 第23课 圆的有关概念与性质
若 AB＝8，CD＝2，则 EC 的长为
()
A．2 15
B．8
C．2 10
D．2 13
【解析】 连结 BE ，如解图 1. ∵⊙O 的半径 OD⊥弦 AB 于点 C，AB＝8，
∴A C ＝12A B ＝4. 设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r－2.在 Rt△AOC 中， ∵A C ＝4，OC＝r－2，OA 2＝A C2＋OC2， ∴r2＝42＋(r－2)2，解得 r＝5，∴AE＝2r＝10. ∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°. 在 Rt△ABE 中，∵AE＝10，AB＝8， ∴BE ＝ AE2－AB2＝6. 在 Rt△BCE 中，∵BE＝6，BC＝4， ∴CE ＝ BE2＋BC2＝ 62＋42＝2 13. 【答案】 D
点评：(1)本题主要考查圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性 质，难度中等． (2)要注意题目中的隐含条件(半径相等)及分类讨论思想的应用． 解析：(1)连结 OB，OF，如解图 2. ∵A，B，C，D，E，F 是⊙O 的六等分点， ∴AD 是⊙O 的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°， ∴△AOB，△AOF 均是等边三角形． ∴AB ＝AF＝AO＝OD，∴AB＋AF＝AD. (2)当点 P 在B︵F上时，PB＋PF＝PD；
当点 P 在B︵D上时，PB＋PD＝PF；
当点 P 在D︵F上时，PD＋PF＝PB.
【预测演练 1－1】 下列四个命题：①直径是弦；②经过 三个点一定可以作圆；③一个圆中最长的弦是直径；
④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的命题有
A．4 个 C．2 个
B．3 个 D．1 个
()
解析：其中②应该是经过不在同一直线上的三个点才可以
2．用垂径定理进行计算或证明时，常需连结半径或作出 圆心到弦的垂线段(即弦心距)，则垂足为弦的中点，再 利用圆的半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形 来求解．